分数裂项

分数的裂项——分数裂差知识点睛（一）单位分数1. 单位分数是指分子为1的分数，每个分数都可以拆成若干个分母不同的单位分数之和，例如：3016151613121+=+=， 2. 61321322-32331-21=⨯=⨯⨯=，31-2161= （二）分数裂差的基本形式1. 分子为11n 1-11n n 1541431321211+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ 2. 分子不为1）（）（1n 1-121n n 2542432322212+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯3. 分母两数之差不为12n 1-12n n 2972752532312+=+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯）（ （三）分数裂差的三大特征1. 当分数数列满足“母积子差”可以直接裂项，如果不满足，就要去构造成“母积子差”的形式；2. 分子全部相同，最基本的形式是分子为1，如果是不为1，则需要转化为1；3. 分母之间的差是一个定值，而且是两个自然数乘积的形式，首尾相接。

例题精讲【例1】 求100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【例2】 求420120112161++++ 的值。

【例3】 求23212752532312⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

即学即练【练1】 求901421301201++++ 的值。

【练2】 求20181861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【练3】 两个自然数的倒数的和是 2411，这两个自然数中较小的是多少？【练4】 求1412151210141081386126411⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。

课后作业【作业1】 求1111101541431321⨯++⨯+⨯+⨯ 的值。

【作业2】 求99163135115131++++的值。

【作业3】 求119199717751553133111⨯+⨯+⨯+⨯+⨯的值。

【作业4】 求136115110161311++++++ 的值。

分数裂项本课将学习通过巧妙的计算将题目变简（一）分数裂差：1丶直接裂差：形如ba b a a b a b b a a b 11--=⨯⨯=⨯-此时，不难发现，当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的差值时，可以将这个数裂为两个数作差（后面简称裂差）.2丶间接裂差：形如）（ba abc b a a b a b c b a c b a c 111-⨯-=⨯-⨯-=-⨯=⨯此时，不难发现，当此时分子并不为分母两数差值时，也可以裂项，不过此时会多了一个系数a b c-3丶多数裂差：形如ba b a c b a a c b a c c b a a c ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯-1-1-此时，不难发现，当此时分母不为两数乘积时，也可裂和，两数裂成1个1个的作差，三数裂成两个两个的作差，同理多数，且此时差值由大减小决定（二）分数裂和：4丶裂和：形如ba b a a b a b b a a b 11+=⨯+⨯=⨯+当分母为两个数的乘积，分子正好为这两个数的和，这类型的数，可以直接裂和（三）平方差公式：()()22b a b a b a -=-+（四）思路剖析：5丶首先得明白这类型题的一个考察形式，目的就是让我们分数间相互抵消，或者相互凑整.6丶口诀：①：连加连减必裂差②：加减混合必裂和③：连乘必定会约分例题一：（1）3130130291131211211111101⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ （2）5614213012011216121++++++例题二：10098398963863643423⨯+⨯++⨯+⨯+⨯ 例题三：1009799981079874654132⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题四：12200720083420092010200620072008200820092010200720082009201020082010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+例题五：10099981543143213211⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题六：101100991543974329832199⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 例题七：10432994328432332211⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯++⨯⨯+⨯+ 例题八：）（）（999819776135493251011-515019831992101011⨯++⨯+⨯+⨯⨯⨯++⨯+⨯+⨯自我巩固巩固一：871761651541431321211⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固二：56174216301520141213612211++++++巩固三：101982141121182852⨯++⨯+⨯+⨯ 巩固四：22122166161151174743422211+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯巩固五：103211432113211211++++++++++++++ 巩固六：2019201943433232212122222222⨯+++⨯++⨯++⨯+ 巩固七：12959697459899100959697989910096979910097100⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯++⨯⨯⨯⨯+⨯⨯+ 巩固八：）（）（）（）（10219211043213214)321()21(3++⨯++++++++⨯+++++⨯+拓展练习拓展一：1311241192097167512538314⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯拓展二：11010990897271565542413029201912116521+++++++++拓展三：）（）（）（（））（）（（））（（20171141131121120171411311211413112113121121++++++++++++++ 拓展四：120171201712015120151717151513132222222222-++-+++-++-++-+拓展五：（21191727532531219172752532311114382⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯-⨯++⨯+⨯+⨯ 拓展六：10981943273215⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯ 拓展七：272624231986517643154211⨯⨯⨯++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯。

分数裂项讲解
分数裂项，指的是将一个分式中的分子或分母拆分成两个或多个部分，然后再将分式进行简化的方法。

这种方法在解决某些数学题目时非常有用，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。

下面以一个数学题目为例来讲解分数裂项的具体步骤。

题目：将$\frac{x+2}{x^2-x-6}$拆分成两个部分。

解法：
1. 首先，我们可以将$x^2-x-6$分解成$(x-3)(x+2)$，于是原式变成$\frac{x+2}{(x-3)(x+2)}$。

2. 我们可以发现，分母部分中有一个$x+2$与分子部分相同，于是可以将原式拆分成$\frac{x+2}{x+2}×\frac{1}{x-3}$。

3. 化简得到：$\frac{1}{x-3}$。

通过分数裂项，我们成功将原式拆分成了两个部分，并进行了简化。

这种方法在许多数学题目中都是非常实用的。

分数裂项还有一些其他的应用，例如在部分分式分解中。

在部分分式分解中，我们需要把一个分式写成多个分数之和的形式，这时候分数裂项也非常有用。

通常的做法是，将分母拆分成多个部分，然后将每个部分拆分成简单的分式。

这样，就可以将原式分解成多个简单的分式相加，从而更容易进行计算。

总之，分数裂项是一种非常实用的方法，在解决数学题目时非常有用。

我们通过将分式进行拆分和简化，可以把复杂的式子变得简单易懂，方便我们进行计算。

因此，在数学学习中，我们需要充分掌握分数裂项的技巧，灵活运用在解决各种问题中。

分数裂项的知识点总结一、分数裂项的定义在数学中，分数裂项指的是将一个分数表达成若干个较小的分数之和的形式。

通俗来讲，就是把一个分数分解成几个更小的分数相加的形式。

分数裂项有两种常见的形式，一种是分母为线性函数的形式，另一种是分母为二次函数的形式。

1. 分母为线性函数的分数裂项当分数的分母为线性函数的形式时，我们可以使用部分分式分解的方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。

具体的步骤如下：首先，对分母进行因式分解，得到一些线性因式和重数为1的线性因式。

然后，将这些线性因式和重数为1的线性因式分别拆分成若干个较小的分数。

最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。

例如，对于分数$\frac{1}{(x-1)(x-2)}$，我们可以进行部分分式分解，得到$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。

2. 分母为二次函数的分数裂项当分数的分母为二次函数的形式时，我们可以使用平方配方法将其分解成若干个较小的分数相加的形式。

具体的步骤如下：首先，对分母进行平方配，得到一些平方项。

然后，将这些平方项拆分成若干个较小的分数。

最后，将分解后的各个较小的分数相加，就得到了原来的分数。

例如，对于分数$\frac{1}{x^2-1}$，我们可以进行平方配，得到$\frac{1}{x^2-1} =\frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$的形式，再将其相加即可还原原来的分数。

二、常见的分数裂项技巧在分数裂项的过程中，我们常常会遇到一些特殊的情况，这时需要灵活运用一些分数裂项的技巧来处理。

下面列举一些常见的分数裂项技巧：1. 使用齐次化简：当分母中含有根式或者复杂的二次函数时，我们可以使用齐次化简的方法，将其化为一般的二次函数，便于进行分数裂项。

2. 对待定系数进行适当取值：在进行部分分式分解时，我们可以通过适当取值来简化未知数的计算，例如取特殊值或者代入简单的方程组。

分数裂项分子不一样拜
【原创实用版】
目录
I.分数裂项的基本概念
II.分数裂项的方法
III.如何解决分数裂项问题
IV.分数裂项的注意事项
正文
一、分数裂项的基本概念
分数裂项是一种数学方法，用于解决分数相减或分数相除中的问题。

具体来说，分数裂项将一个分数拆分为两个分数的和或差，从而简化计算。

二、分数裂项的方法
1.分子分母同时乘以同一个数，使原分数变为两个分数的和或差。

2.分子分母同时除以同一个数，使原分数变为两个分数的和或差。

3.分子分母同时乘以不同的数，使原分数变为两个分数的和或差。

三、如何解决分数裂项问题
1.列出原分数，并分析其能否进行裂项。

2.根据题目要求，选择合适的裂项方法进行拆分。

3.计算拆分后的分数，并得出结果。

四、分数裂项的注意事项
1.必须保证拆分后的两个分数都为真分数，且分子和分母的大小关系不变。

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分数裂项基本公式分数裂项基本公式是数学中非常重要且常用的一个公式，它在解决分式计算和简化分式等问题时起着关键的作用。

本文将对分数裂项基本公式进行全面而生动的介绍，并展示其在数学中的指导意义。

分数裂项基本公式可以用于将一个分数表达式展开成多项式的和，并且这些多项式彼此互不相等。

对于一个分数 $ \frac{A}{(x-a)(x-b)} $，其中 A、a 和 b 是实数，分数裂项基本公式可以将其分解为两个部分 $ \frac{A}{x-a} $ 和 $ \frac{-A}{x-b} $ 的和，即：$ \frac{A}{(x-a)(x-b)} = \frac{A}{x-a} + \frac{-A}{x-b} $这个公式在解决分母为一次因式且分子常数不为零的分数时非常有用。

通过将原分数展开成多个部分，我们可以更容易地进行计算和求解。

例如，考虑分数 $ \frac{5}{(x-2)(x-3)} $，我们可以使用分数裂项基本公式将其展开为：$ \frac{5}{(x-2)(x-3)} = \frac{5}{x-2} + \frac{-5}{x-3} $通过这个展开式，我们可以更方便地进行计算和化简。

此外，我们还可以将这个展开式进一步简化为一个等效的形式。

通过合并相同的分子，我们可以得到：$ \frac{5}{(x-2)(x-3)} = \frac{5(x-3) - 5(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{5x - 15 - 5x + 10}{(x-2)(x-3)} = \frac{-5}{(x-2)(x-3)} $通过分数裂项基本公式，我们不仅可以将原分数展开为多个部分，还可以进一步简化得到一个更简洁的表达式。

分数裂项基本公式在解决一些特定类型的问题时非常有用。

比如，在求解部分分式分解时，分数裂项基本公式可以帮助我们将一个复杂的分数表达式分解为更简单的部分。

这在代数、微积分等学科中经常会遇到。

分数裂项分数裂项是分数加减法计算的逆向过程分数裂差a与b互质1a－1b＝1×b a×b－1×a b×a＝b－a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的差，那么这个分数就可以写成两个分数单位相减的形式。

b－a a×b＝b a×b－a b×a＝1a－1b分数裂和a与b互质1a＋1b＝1×b a×b＋1×a b×a＝b＋a a×b反过来看，如果一个分数分母可以写成两个数的积，分子是这两个数的和，那么这个分数就可以写成两个分数单位相加的形式。

b＋a a×b＝b a×b＋a b×a＝1a＋1b例1：11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋⋯⋯＋19×10＝11－12＋12－13＋13－14＋14－15＋⋯⋯＋19－110＝1－110＝91021×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝1－111＝1011例3：11×3＋13×5＋15×7＋17×9＋19×11＝21×3×12＋23×5×12＋25×7×12＋27×9×12＋29×11×12＝12×21×3＋23×5＋25×7＋27×9＋29×11＝12×11－13＋13－15＋15－17＋17－19＋19－111＝12×1－111＝12×1011＝511例4：31×2－52×3＋73×4－94×5＋115×6＝11＋12－12＋13＋13＋14－14＋15＋15＋16＝1＋12－12－13＋13＋14－14－15＋15＋16＝1＋16＝116+16+112+120+130+142+156+172+190+1110（1）12（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50（3）1－14＋120＋130＋142＋156（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11（5）12×5＋15×8＋18×11＋⋯⋯＋120×23（6）113－712＋920－1130＋1342－1556（7）712－920＋1130－1342练习答案：（1）12+16+112+120+130+142+156+172+190+1110＝11×2＋12×3＋13×4＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＋18×9＋19×10＋110×11＝1－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋19－110＋110－111＝1－111＝1011（2）11×2＋12×3＋13×4＋⋯⋯＋149×50＝11－12＋12－13＋13－14＋⋯⋯＋149－150＝1－150＝4950（3）1－14＋120＋130＋142＋156＝1－14＋14×5＋15×6＋16×7＋17×8＝1－14＋14－15＋15－16＋16－17＋17－18＝1－18＝78（4）20021×3＋20023×5＋20025×7＋20027×9＋20029×11观察发现，每一个分数的分子都是2002，分母都是差值位2的两个数的乘积。

第1讲 分数的裂项（裂差）【内容综述】在分数裂项中可能用到整数的裂项公式，如：1）1+2+3+⋯+n =()12n n +； 2）1⨯2+2⨯3+⋯+n ⨯(n +1)=()()123n n n ++； 3）1⨯2⨯3+2⨯3⨯4+⋯+n ⨯(n +1)⨯(n +2)=()()()1234n n n n +++； 4）1⨯n +2⨯(n -1)+3⨯(n -2)+⋯+(n -1)⨯2+n ⨯1=()()126n n n ++； 5）()()()()222222+12+224626n n n n ⨯⨯++++= ；（n 为偶数） 6）()()()22222122+1135216n n n n -⨯⨯++++-= ；（n 为奇数） 7）2222123n ++++ =()()1216n n n ++； 8）3333123n ++++ =()2123n ++++ =()2214n n +； 这节课我们学习分数的裂项——裂差，这种方法是分数多项计算常用方法，我们的目的能够达到下面的“咔咔算式”：（中间项可以咔咔抵消，剩下首尾有限项的算式命名为“咔咔算式”）11111111111223341n n n n n --+-+-++-=-=-裂差口诀：连加必裂差，裂差变咔咔，采用“撕分母”的方法．11b a a b a b -=-⨯，()11111n n n n =-++，()1111n n p p n n p ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭． 例1. 计算：111112233499100++++⨯⨯⨯⨯ =________； 【分析】整体共99个分数相加，不可能去通分，又是连加的形式，利用裂差变为咔咔算式．【解答】原式=1111111112233499100-+-+-++- =111100- =99100【评注】同学们一定记住这个算式的方法和结果，好多题目都可以变成这个结构哦！例2. 计算：123101224474656++++⨯⨯⨯⨯ =_______； 【分析】本题的分子虽然不同，但都恰好是分母中两个因数之差，仍然可以采用裂差法解题．【解答】原式=1224474656++++⨯⨯⨯⨯ =111111111224474656-+-+-++- =11156- =5556【评注】在分数裂差中，注意一定要把分子变成分母两个分数的之差，这时候大胆去“撕分母”，就可以得到咔咔算式的效果．例3. 计算：1111255881198101++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】整体共49个分数连加，分母中两个因数之差都是3，可以提取13，然后裂差吧． 【解答】原式=133333255881198101⎛⎫++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭=1111111113255881198101⎛⎫-+-+-++- ⎪⎝⎭=11132101⎛⎫- ⎪⎝⎭=33202【评注】如果分子不是分母两个因数之差，一定先通过扩倍变成裂项公式的条件，然后才可以去裂项．例4. 计算：11111353575799799101++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________； 【分析】整体连加，且每个分母都是三个因数，不用裂差为三个分数，请你仔细观察，相邻两个分数的分母有哪些公共的因数，把公共的因数作为裂差后的分母，就到达咔咔算式的目的啦，本题应该先把分子都变为4，才可以撕分母，想想为什么？【解答】原式=1111111114133535575779979999101⎛⎫-+-+-++- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=11141399101⎛⎫- ⎪⨯⨯⎝⎭=8339999【评注】如果分母是三个因数的乘积，可以裂差：11(2)111(1)(2)2(1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n n n n n n ⎛⎫+-=⨯=⨯- ⎪⨯+⨯+⨯+⨯+⨯++⨯+⎝⎭； ()()11()()111()2()2()()n p n p n p n n p p n p n n p p n p n n n p ⎛⎫+--=⨯=⨯- ⎪-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+⎝⎭．1）1111122334(1)1n n n n ++++=⨯⨯⨯⨯++ ； 2）111111112323434(1)(2)22(1)(52)n n n n n ⎛⎫++++=- ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯++⨯+⎝⎭ ．例5. 计算：11111121231234123100+++++++++++++++ =_________； 【分析】分母先使用公式：1+2+3+⋯+n =()12n n +，尽量不要约去分母中的2，分母就是分数裂项的敏感数列：1⨯2，2⨯3，3⨯4，4⨯6，……，可以直接裂项了．【解答】原式=11111251223103441001⎛⎫+++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭=101121⎛⎫- ⎪⎝⎭=200101【评注】如果在连加的算式中，如果能使用公式的，尽量使用公式，相同位置上的数才可以约分，否则可以找不到规律．例6. 计算：222222221223342012016122334201201556++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________； 【分析】当你找不到解题方法的时候，不妨具体算出每个加数的大小，如果发现是假分数，最好化成带分数，以便，整数部分和小数部分分别计算．【解答】原式=1111222212233420120165⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（共2015项） =11112201122334201552016⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝+⎭ =1403012016⎛⎫- ⎪⎝⎭+ =201540302016【评注】一般地，2222222(1)212()111122(1)(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++===+=+-+++++，抱定必是裂差的思路，再次提醒大家：分数裂差分子一定是分母中两个因数之差才能顺利撕分母哦．同时裂差法不单单只用于分数的连加裂项，也适用于整数的裂项，以及分数的特殊裂项，如1）1+2+3+4+⋯+100（使用裂差法）=_________；（提示：(1)(1)2n n n n n +--=） 2）232012222+++++ （使用裂差法）=_________；（提示：2n n n =-）3）1239121231234123410++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =_________；华数知识点点击破 陈拓老师讲义 （提示：1111123123123(1)!!n n n n n n n -=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯- ）【练习题】1. 计算：11111223344950++++⨯⨯⨯⨯ =__________；2. 计算：1111144771097100++++⨯⨯⨯⨯ =__________；3. 计算：()()()()()2310011212123129912100+++⨯++⨯+++++⨯+++ =__________；4. 计算：2341011212231223341223100101++++⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯++⨯ =__________；5. 计算：()()()()22221223349910012233499100++++++++⨯⨯⨯⨯ =__________；【参考答案】1、4950； 2、33100； 3、50495050；、 4、27573434； 5、99396100；。