【精品】2015学年云南省昆明三中高二上学期期中数学试卷和解析

2024-2025学年云南省昆明市高二上学期11月期中数学检测试题一、单选题（本大题共8小题）1．已知集合，，则（）{}24A x x =≤{}10B x x =->A B = A ．B ．C ．D ．[)2,1-(]1,2[)0,1(),1-∞2．复数在复平面内对应的点位于（）()()1i 3i --A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．直线的倾斜角为（）0x y ++=A ．B ．C ．D ．π3π43π4π24．已知命题p ：，，命题q ：，，则（ ）x ∃∈R 210x x -+≤0x ∀≥e sin x x ≥A ．p 和q 都是真命题B ．和q 都是真命题p ⌝C ．p 和都是真命题D ．和都是真命题q ⌝p ⌝q ⌝5．已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）22:(3)1A x y +-=B y x =B A ．B ．221x y +=22(3)(3)1x y -+-=C ．D ．22(3)1x y ++=22(3)1x y -+=6．已知正方体的内切球半径为）A ．B ．C．D ．36π9π27π7．已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ）()()131,2log 1,2ax x f x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩R a A ．B ．(],0-∞(]0,1C ．D ．(],1-∞-[)1,0-8．已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹O A ()()22221x y -+-=OA P 方程为（ ）A ．B ．()()22111x y -+-=()()22112x y -+-=C ．D ．()()221112x y -+-=()()221114x y -+-=二、多选题（本大题共3小题）9．已知，，，，则（ ）()1,8,11A ()2,6,9B ()3,4,10C ()1,8,14D A ．B ．直线AB 的一个方向向量为3AB = 1,1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．四点共面D ．点到直线的距离为,,,A B C D C AB 10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．点是图象的一个对称中心π,012⎛⎫⎪⎝⎭()f x B ．的单调递增区间为，()f x π5ππ,π2424k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈ZC ．在上的值域为()f x 6ππ,12⎛⎤- ⎥⎝⎦⎡-⎣D ．将的图象先向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标缩短为原来的()f x π24（纵坐标不变），得到函数的图象，则12()g x ()cos8g x x=11．已知圆：与圆：，则下列结论正确的1C ()()2224x a y ++-=2C ()()2224x y a -+-=是（）A ．若圆与圆外切，则或1C 2C 2a =2-B ．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为1a =1C 2C 3y x=C ．若圆与圆关于点对称，则1C 2C ()1,3-4a =-D ．当时，对任意的，曲线W ：恒过圆0a =R λ∈()()2211440x y x y λλλ+++--=与圆的交点1C 2C 三、填空题（本大题共3小题）12．从1至5这5个整数中随机取2个不同的数，则这2个数的乘积为奇数的概率为 .13．已知点，，，，若A ，B ，C ，D 四点共面，()0,1,1A ()3,1,2B -()1,4,1C --()3,6,D x 则.x =14．如图，在四棱台体中，平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，1111ABCD A B C D -1AA ⊥，P 为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 122AB AA ==114A B =1C D 1D P 11AB D .四、解答题（本大题共5小题）15．已知的三个顶点的坐标分别为，，.ABC V ()2,0A ()4,2B ()1,3C (1)求过点且与直线平行的直线的方程；C AB (2)求边上的高所在直线的方程.BC 16．某社团为统计居民运动时长，调查了某小区100名居民平均每天的运动时长（单位：h ），并根据统计数据分为，，，，，六个[)1,1.5[)1.5,2[)2,2.5[)2.5,3[)3,3.5[]3.5,4小组（所调查的居民平均每天的运动时长均在内），得到的频率分布直方图如图[]1,4所示.(1)求出图中m 的值，并估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数；(2)按分组用分层随机抽样的方法从平均每天运动时长在，这两个时间段[)2.5,3[]3.5,4内的居民中抽出6人分享运动心得，若再从这6人中选出2人发言，求这2人来自不同分组的概率.17．记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知.ABC V cos 2A A -=(1)求角A ；(2)若，求的面积的最大值3a =ABC V 18．已知直线，圆.():1l y k x =+22:4440C x y x y +--+=(1)若直线与圆相切，求的值；l C k (2)记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的C C l C A B ABC V k 值.19．如图，在几何体ABCDEF 中，已知四边形ABCD 是边长为2的正方形，平EA ⊥面ABCD ，，.EA FC ∥22EA FC ==(1)求异面直线EB 与DF 所成角的余弦值(2)证明：平面平面BDF .EBD ⊥(3)若M 是几何体ABCDEF 内的一个动点，且（），点N 满足，()()12AM t AB AD t AE=++- 102t ≤≤()CN CF CB CD CF λμλμ++=++ ，求的最小值.2MN =AM AN ⋅答案1．【正确答案】A【详解】由得：，即；24x ≤22x -≤≤[]2,2A =-由得：，即，.10x ->1x <(),1B =-∞[)2,1A B ∴=- 故选：A.2．【正确答案】D 【详解】，()()21i 3i 34i i 24i--=-+=- 在复平面内对应的点为，位于第四象限.()()1i 3i ∴--()2,4-故选：D.3．【正确答案】C【详解】由得，0x y +=y x =-所以直线的斜率，即，1k =-tan 1k α==-又，所以倾斜角.[)0,πα∈3π4α=故选：C.4．【正确答案】B【详解】对于p 而言，，故p 是假命题，是真命题.22131024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭p ⌝对于q 而言，，，故q 是真命题，是假命题.0x ∀≥e 1sin xx ≥≥q ⌝综上，和q 都是真命题.p ⌝故选：B.5．【正确答案】D【详解】由题意可得，圆的圆心坐标为，圆和圆的半径均为1，A ()0,3AB 设圆心关于直线的对称点为，()0,3A y x =(),B a b 则，解得，所以圆的标准方程为.311322b a a b -⎧⨯=-⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩30a b =⎧⎨=⎩B 22(3)1x y -+=故选：D6．【正确答案】B【详解】因为正方体的内切球半径为设外接球的半径为R ，则，所以，故外接球的体积()(2223R =⨯3R =为．34π36π3R =故选：B.7．【正确答案】D【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a 的取()f x R 1321log 3a a <⎧⎪⎨+≥⎪⎩10a -≤<值范围是.[)1,0-故选：D8．【正确答案】D 【详解】设，，则，，即，①.()00,A x y (),P x y 02x x =2y y =02x x =02y y =因为点A 在圆上运动，所以满足②.()()22221x y -+-=()()2200221x y -+-=把①代入②，得，即.()()2222221x y -+-=()()221114x y -+-=故线段OA 的中点P 的轨迹方程为.()()221114x y -+-=故选：D9．【正确答案】ACD 【详解，A 正确；3=，B 错误；()1,2,2AB =--由题意得，则，所以四点共面，C 正确；()2,4,4CD =-2CD AB =- ,,,A B CD，，则点到直线的距()2,4,1AC=--=AC ⋅ 28212AB =++=C AB ，D 正确.=故选：ACD.10．【正确答案】AC【详解】因为，所以点是图象的一个对称中心，πππ2sin 4012123f ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x A 正确；令（），则（），πππ2π42π232k x k -+≤-≤+k ∈Z ππ5ππ242242k k x -+≤≤+k ∈Z 故的单调递增区间为（），B 错误；()f x ππ5ππ,242242k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z因为，所以，故在上的值域为，C ππ,126x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦π2ππ4,333x ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦()f x ππ,126⎛⎤- ⎝⎦⎡-⎣正确；将的图象先向右平移个单位长度，可得函数()f x π24的图象，πππ2sin 42sin 4cos 4632y x x x⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），可得的图象，D12()cos8g x x=-错误.故选：AC11．【正确答案】ABD 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径．若圆1C (),2a -12r =2C ()2,a 22r =与圆外切，则，解得或，A 正确．1C 2C 4=2a =2-当时，圆：，圆：，将两圆的方程作差1a =1C ()()22124x y ++-=2C ()()22214x y -+-=可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，B 正确．1C 2C 3y x =若圆与圆关于点对称，则解得，C 错误．1C 2C ()1,3-212,232,a a -+=-⨯⎧⎨+=⨯⎩4a =当时，圆：，圆：，0a =1C 2240x y y +-=2C 2240x x y -+=则，所以对任意的，()()()2222221144440x y x y x y y x x y λλλλ+++--=+-+-+=R λ∈曲线W 恒过圆与圆的交点，D 正确．1C 2C 故选：ABD.12．【正确答案】/0.3310【详解】根据题意知样本空间，()()()()()()()()()(){}Ω1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5=所以，()Ω10n =事件为这2个数的乘积为奇数，所以，则，A ()()(){}1,3,1,5,3,5A =()3n A =所以，()()()3Ω10n A P A n ==故答案为.31013．【正确答案】3-【详解】由题可知，，，因为A ，B ，C ，D ()3,2,1AB =- ()1,3,2AC =-- ()3,5,1AD x =-四点共面，所以（m ，），AD m = AB nAC + n ∈R ，()()()()3,5,13,2,11,3,23,23,2x m n m n m n m n -=-+--=--+-即，解得，，所以.3323521m n m n m n x -=⎧⎪-+=⎨⎪-=-⎩2m =3n =3x =-故答案为.3-14．【正确答案】π2【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，A (0,0,0)()12,0,2B ()10,2,2D ()12,2,2C ()0,4,0D ()1,3,1P ()11,1,1D P =-，，设平面的法向量为，()12,0,2AB = ()10,2,2AD = 11AB D (),,n x y z =则，则平面的一个法向量，11220220n AB x z n AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11AB D ()1,1,1n =-所以，即直线平面，1D P n ∥1D P ⊥11AB D 故直线与平面所成角的大小为.1D P 11AB D π2故答案为.π215．【正确答案】(1)20x y -+=(2)360x y --=【详解】（1）由，可知，()2,0A ()4,2B 20142AB k -==-故所求直线的方程为，31y x -=-即.20x y -+=（2）易知，231413BC k -==--则所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，()32y x =-即.360x y --=16．【正确答案】(1)，2.4h 0.5m =(2).13【详解】（1）由，解得.()0.20.420.30.10.51m ++++⨯=0.5m =因为，所以中位数在内，设中位数为()()0.20.40.50.3,0.20.40.50.50.55+⨯=++⨯=[)2,2.5x ，则，得，()0.320.50.5x +-⨯= 2.4x =即估计这100名居民平均每天的运动时长的中位数为 2.4h.（2）由题知，平均每天运动时长在，内的频率分别为0.5，0.1，[)2.5,3[]3.5,4则应从平均每天运动时长在，内的居民中分别抽出5人，1人.[)2.5,3[]3.5,4记时间段内的5人分别为a ，b ，c ，d ，e ，记时间段内的1人为M ，则[)2.5,3[]3.5,4从这6人中选出2人的基本事件有，，，，，，(),a b (),a c (),a d (),a e (),a M (),b c ，，，，，，，，共15个，(),b d (),b e (),b M (),c d (),c e (),c M (),d e (),d M (),e M 2人来自不同分组的基本事件，，，，，共5个，(),a M (),b M (),c M (),d M (),e M 所以这2人来自不同分组的概率为.51153=17．【正确答案】(1)2π3.【详解】（1）由，可得，即，cos 2A A -=1cos 12A A -=πsin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，所以，解得.()0,πA ∈ππ62A -=2π3A =（2）由余弦定理可得，222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=++=因为，所以，则，222b c bc +≥39bc ≤3bc ≤所以的面积，ABCV 1sin 2S bc A ==≤当且仅当.b c ==故的面积的最大值为.ABC ∆18．【正确答案】(1)或.0k =125k =(2)k =【详解】（1）由圆的方程可知圆心，半径.C 224440x y x y +--+=(2,2)C 2r =直线，即.:(1)l y k x =+0kx y k -+=因为直线与圆相切，则.解得或.l C 2=0k =125k =（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离ABC V Cl 2d ===同样根据点到直线距离公式.=化简得.261210k k -+=解得k=19．【正确答案】(1)(2)证明见解析(3)2-【详解】（1）以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系.，，，，则，()0,2,0D ()2,2,1F ()0,0,2E ()2,0,0B ()2,0,1DF =，()2,0,2EB =-，cos ,DF EB DF EB DF EB⋅===故异面直线EB 与DF 所成角的余弦值为（2）取BD 的中点O ，连接OE ，OF ，则，()1,1,0O 所以，，，， ()1,1,2OE =-- ()1,1,1OF = ()2,2,1EF =- ()0,2,2ED =-所以，，则，OE OE == OF OF == 3EF EF == 222OE OF EF +=所以.OE OF ⊥，则，又为中点，ED ED == EB EB == ED EB =O DB 所以，，OE DB ⊥OF DB O = 所以平面BDF .OE ⊥因为平面EBD ，OE ⊂所以平面平面BDF .EBD ⊥（3）因为（），()()()12212AM t AB AD t AE t AO t AE =++-=+- 102t ≤≤所以M 在线段OE 上.因为，()CN CF CB CD CF λμλμ++=++ 所以，故N 在平面BDF 上.FN FB FD λμ=+ ()()AM AN AO OM AO ON ⋅=+⋅+ ；()()22AO AO OM ON OM ON AO AO OM ON =+⋅++⋅=+⋅+ 设G 为MN 的中点，所以，()()22AM AN AO OM AO ON AO OG ⋅=+⋅+=+⋅ 因为，所以，2MN =1OG =故的最小值为AO OG ⋅≥ AM AN ⋅ 2-。

2014-2015学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}∪{0}D．{x|x≥1}∪{0}2．（5分）α≠是sinα≠1的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若，则a＞b．则（）A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假命题4．（5分）对于任意实数a，点P（a，2﹣a）与圆C：x2+y2=1的位置关系的所有可能是（）A．都在圆内B．都在圆外C．在圆上、圆外D．在圆上、圆内、圆外5．（5分）已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是其的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．6．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位7．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．B．C．D．28．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π9．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．10．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k≤5？B．k≤6？C．k≤7？D．k≤8？11．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①（•）=（•）；②||﹣||＞|﹣|；③（•）﹣（•）与垂直；④（3+2）•（3﹣2）=9||2﹣4||2中，是真命题的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④12．（5分）对于集合M，N，定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=（M﹣N）∪（N﹣M），设M={y|y=x2﹣4x，x∈R}，N={y|y=﹣2x，x∈R}，则M⊕N=（）A．（﹣4，0]B．[﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等腰直角三角形（如图所示），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为．14．（5分）已知直线l与直线4x﹣3y+5=0关于y轴对称，则直线l的方程为．15．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为．16．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．18．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．19．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+sinωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．20．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC、BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求点C到平面BDF的距离．21．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2=ac，cosB=（1）求的值；（2）设ac=2，求a+c的值．22．（12分）已知：f n（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n•n，n=1，2，3，…（I）求a1、a2、a3；（II）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．2014-2015学年云南省玉溪一中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）函数的定义域为（）A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}∪{0}D．{x|x≥1}∪{0}【解答】解：要使函数有意义则x＞1故选：A．2．（5分）α≠是sinα≠1的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：α≠，未必有sinα≠1，如α=≠，则sinα=1；但sinα≠1时，α≠，否则，α=，则sinα=1，矛盾．故是sinα≠1的必要不充分条件．故选：B．3．（5分）设命题p：x＞2是x2＞4的充要条件，命题q：若，则a＞b．则（）A．“p或q”为真B．“p且q”为真C．p真q假D．p，q均为假命题【解答】解：∵在命题p中：x＞2⇒x2＞4为真命题，但x2＞4⇒x＞2不一定成立∴命题p为假命题，命题q：若，则c≠0，且c2＞0由不等式的性质易得a＞b，∴命题q为真命题，故C错误，D错误则“p或q”为真，故A正确；“p且q”为假，故B错误；故选：A．4．（5分）对于任意实数a，点P（a，2﹣a）与圆C：x2+y2=1的位置关系的所有可能是（）A．都在圆内B．都在圆外C．在圆上、圆外D．在圆上、圆内、圆外【解答】解：∵圆C：x2+y2=1的圆心是（0，0），半径是r=1；点P（a，2﹣a）到圆心的距离d==≥≥r，∴点P在圆C外；故选：B．5．（5分）已知{a n}是首项为1的等比数列，S n是其的前n项和，且9S3=S6，则数列的前5项和为（）A．或5 B．或5 C．D．【解答】解：显然q≠1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和．故选：C．6．（5分）设有一个直线回归方程为=2﹣1.5，则变量x增加一个单位时（）A．y平均增加1.5个单位B．y平均增加2个单位C．y平均减少1.5个单位D．y平均减少2个单位【解答】解：∵直线回归方程为=2﹣1.5，①∴y=2﹣1.5（x+1）②∴②﹣①=﹣1.5即y平均减少1.5个单位，故选：C．7．（5分）样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为（）A．B．C．D．2【解答】解：由题意知（a+0+1+2+3）=1，解得a=﹣1，∴样本方差为S2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=2，故选：D．8．（5分）点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为（）A．B．C．D．π【解答】解：满足条件的正方形ABCD，如下图示：其中满足动点P到定点A的距离|PA|＜1的平面区域如图中阴影所示：=1则正方形的面积S正方形阴影部分的面积故动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率P==故选：C．9．（5分）已知二面角α﹣AB﹣β的平面角是锐角θ，α内一点C到β的距离为3，点C到棱AB的距离为4，那么tanθ的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：如图所示，CO⊥β，垂足为O，CD⊥AB，垂足为D，且CO=3，CD=4，连接DO，∵CO⊥β，∴CO⊥DO，∴在Rt△CDO中，DO=；∵CO⊥β，AB⊂β，∴CO⊥AB，即AB⊥CO，又AB⊥CD，CD∩CO=C；∴AB⊥平面CDO，DO⊂平面CDO，∴AB⊥DO；∴∠CDO是二面角α﹣AB﹣β的平面角，∴∠CDO=θ；∴．故选：D．10．（5分）运行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应该填的条件是（）A．k≤5？B．k≤6？C．k≤7？D．k≤8？【解答】解：执行程序框图，有S=1，k=1第1次执行循环体，有S=1+，k=2第2次执行循环体，有S=1++，k=3第3次执行循环体，有S=1+++，k=4第4次执行循环体，有S=1++++，k=5第5次执行循环体，有S=1+++++，k=6第6次执行循环体，有S=1++++++，k=7此时S=1++﹣=，根据题意，应该退出执行循环体，输出S的值，故选：B．11．（5分）设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则①（•）=（•）；②||﹣||＞|﹣|；③（•）﹣（•）与垂直；④（3+2）•（3﹣2）=9||2﹣4||2中，是真命题的有（）A．①②B．②③C．③④D．②④【解答】解：对于①：∵（•）表示与向量共线的向量，而（•）则表示与向量共线的向量；故①错误；对于②：当||＜||时，则原不等式不成立，故②错误；对于③：[（•）﹣（•）]•=0；∴（•）﹣（•）与垂直；对于④：结合向量的运算律，得到（3+2）•（3﹣2）=9||2﹣4||2故④正确；故选：C．12．（5分）对于集合M，N，定义M﹣N={x|x∈M且x∉N}，M⊕N=（M﹣N）∪（N﹣M），设M={y|y=x2﹣4x，x∈R}，N={y|y=﹣2x，x∈R}，则M⊕N=（）A．（﹣4，0]B．[﹣4，0）C．（﹣∞，﹣4]∪（0，+∞）D．（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）【解答】解：由M中y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4≥﹣4，得到M=[﹣4，+∞）；由N中y=﹣2x＜0，得到N=（﹣∞，0），∴M﹣N=[0，+∞），N﹣M=（﹣∞，﹣4），则M⊕N=（M﹣N）∪（N﹣M）=（﹣∞，﹣4）∪[0，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都为全等的等腰直角三角形（如图所示），如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为．【解答】解：由题设条件知此几何体为一个三棱锥且从同一顶点出发的三个棱两两垂直、长为1故以其中两棱组成的三角形为底面，以另一个棱为高，其体积为=，所以这个几何体的体积为，故答案为．14．（5分）已知直线l与直线4x﹣3y+5=0关于y轴对称，则直线l的方程为4x+3y ﹣5=0．【解答】解：设直线l上的一点为（x，y），则关于y轴对称点的坐标为（﹣x，y），∵直线l与直线4x﹣3y+5=0关于y轴对称，∴﹣4x﹣3y+5=0即4x+3y﹣5=0∴直线l的方程为4x+3y﹣5=0故答案为：4x+3y﹣5=015．（5分）不等式组表示的平面区域的面积为24．【解答】解：作出表示的平面区域由图知，可行域是梯形，其面积为故答案为：2416．（5分）若x＞0，y＞0且+=1，则x+y的最小值是9．【解答】解：∵∴=当且仅当时，取等号．故答案为：9．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．（Ⅰ）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（Ⅱ）求取出的两个球上标号之积能被3整除的概率．【解答】解：设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y，用（x，y）表示抽取结果，则所有可能的结果有16种，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16种结果，每种情况等可能出现．（4分）（Ⅰ）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则A={（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）}．事件A由4个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上的标号为相同数字的概率为．（8分）（Ⅱ）设“取出的两个球上标号的数字之积能被3整除”为事件B，则B={（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3）}．事件B由7个基本事件组成，故所求概率．答：取出的两个球上标号之积能被3整除的概率为．（12分）18．（12分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．19．（12分）已知函数f（x）=sin2ωx+s inωxsin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．∵函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，∴，解得ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得．∵，∴，∴．∴，即f（x）的取值范围为．20．（12分）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC、BD交于点G．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求点C到平面BDF的距离．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD∵AD⊥平面ABE∴BC⊥平面ABE∵BF⊥平面ACE∴BF⊥AE∴AE⊥平面BCE（2）解：∵AE=EB=BC=2且BF⊥平面ACE∴F是EC的中点，∴GF∥AE∴GF⊥CE又BF⊥CE∴CF⊥平面BFG点C到平面BDF的距离：即CF∵EB=BC=2∵EC2=BE2+BC2=8利用勾股定理得：CF=EC=21．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若b2=ac，cosB=（1）求的值；（2）设ac=2，求a+c的值．【解答】解：（1）由，得，由b2=ac及正弦定理得，sin2B=sinAsinC．所以=．（2）由题意得，ac=2，即b2=2．由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，得a2+c2=b2+2accosB=5，即（a+c）2=a2+c2+2ac=5+4=9，所以a+c=3．22．（12分）已知：f n（x）=a1x+a2x2+…+a n x n，f n（﹣1）=（﹣1）n•n，n=1，2，3，…（I）求a1、a2、a3；（II）求数列{a n}的通项公式；（II）求证：．【解答】解：由已知f1（﹣1）=﹣a1=﹣1，所以a1=1（1分）f2（﹣1）=﹣a1+a2=2，所以a2=3，f3（﹣1）=﹣a1+a2﹣a3=﹣3，所以a3=5（3分）（II）∵（﹣1）n+1•a n+1=f n+1（﹣1）﹣f n（﹣1）=（﹣1）n+1•（n+1）﹣（﹣1）n•n =（n+1）+n∴a n+1即a n=2n+1+1所以对于任意的n=1，2，3，a n=2n﹣1（7分）（III）f n（x）=x+3x2+5x3++（2n﹣1）x n∴f n（）=+3（）2+5（）3+…+（2n﹣1）（）n①f n（）=（）2+3（）3+5（）4+…+（2n﹣1）（）n+1②①─②，得f n（）=（）+2（）3+2（）4+…+2（）n﹣（2n﹣1）（）n+1 （9分）=∴，（12分）又n=1，2，3，故＜1（13分）赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

昆明三中、滇池中学2010——2011学年上学期期中考试高二数学试卷（文科）本试卷分第I 卷（选择题，请答在机读卡上）和第II 卷两部分，满分共100分，考试用时120分钟。

第Ｉ卷 选择题（共36分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1.双曲线22a x -22by =1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为 ( )A.2 B.3 C. 2D.23 2 若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 03=--y x B 032=-+y x C 01=-+y x D 052=--y x3、抛物线281x y -=的准线方程是 ( ). A. 321=x B. 2=y C. 321=y D. 2-=y4．直线1l ：3)1(=-+y a ax 与2l ：2)32()1(=++-y a x a 互相垂直，则a 的值为（ ）A 、3-B 、1C 、230-或 D 、31-或5．如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是（ ）A ．232600y x y x ≥-⎧⎪-+>⎨⎪<⎩ B ．232600y x y x >-⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩ C ．232600y x y x >-⎧⎪-+>⎨⎪≤⎩D ．232600y x y x >-⎧⎪-+<⎨⎪<⎩ 6、过抛物线28x y =的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果y 1+ y 2=6，那么|AB|= （ ）A ．8B ．10C ．9D ．77．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ） A ．14B ．12C ． 2D ．48．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，且它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则此双曲线的方程为 （ ）Ａ．2211224x y -=Ｂ．2214896x y -=Ｃ．222133x y -= Ｄ．22136x y -=9．已知直线240x y --=，则抛物线2y x =上到直线距离最小的点的坐标为 （ ）A ．(1,1)-B ．(1,1)C ．(1,1)-D ．(1,1)--10．设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离为 （ ）. A ．316 B ．4 C ．916 D ．9411．圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线3 x + 4y －11=0的距离等于1的点有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ，其离心率e 的取值范围为 ( )A ．)∞ B ．)∞C ．(D ．(昆明三中、滇池中学2010——2011学年上学期期中考试高二数学试卷（文科）第II 卷（非选择题共64分）注意事项：1． 第II 卷共4页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2024-2025学年云南省昆明三中高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若直线l 的一个方向向量为(− 2,6)，则它的倾斜角为( )A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°2.如图，空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，点M 在OA 上，且OM =23OA ，点N 为BC 中点，则MN 等于( )A. 12a +12b−12c B. −23a +12b +12c C. 23a +23b−12c D. 23a +23b−12c3.已知空间向量a =(2,2,−1)，b =(4,0,3)，则向量b 在向量a 上的投影向量是( )A. 59(4,0,3)B. 15(4,0,3)C. 59(2,2,−1)D. 15(2,2,−1)4.已知点A(2,−3)，B(−3,−2)直线l 过点P(1,1)，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A. (−∞,−4]∪[34,+∞) B. (−∞,−14]∪[34,+∞)C. [−4,34]D. [34,4]5.点P(2,3)关于直线x +y +2=0的对称点的坐标为( )A. (−3,−2)B. (−2,−3)C. (−5,−4)D. (−4,−5)6.如图，二面角α−l−β等于120°，A 、B 是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面α、β内，AC ⊥l ，BD ⊥l ，且AB =AC =BD =2，则CD 的长等于( )A. 23B. 22C. 4D. 27.已知曲线x−1= 4−y 2，则x 2+(y−4)2的最大值，最小值分别为( )A. 17+2，17−2 B. 17+2，5C. 37，17−2D. 37，58.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点Q ，P 的距离之比|MQ ||MP |=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x 2+y 2=1，定点Q 为x 轴上一点，P (−12,0)且λ=2，若点B (1,1)，则2|MP |+|MB |的最小值为( )A.6B.7C.10D.11二、多选题：本题共3小题，共18分。