专题03 全等三角形中的动态问题(解析版)

专题03全等三角形中的动态问题初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。

解决动点问题常见的答题思路是：1. 注意分类讨论；2. 仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3. 利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______ 秒时，△DEB与△BCA全等．【答案】0，2，6，8.【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8−4=4，∴点E的运动时间为4÷2=2(秒)；②当E在BN上，AC=BE时，∵AC=4，∴BE=4，∴AE=8+4=12，∴点E的运动时间为12÷2=6(秒)；③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，这时E在A点未动，因此时间为0秒；④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，AE=8+8=16，点E的运动时间为16÷2=8(秒)，故答案为0，2，6，8.【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【答案】C【解析】解：AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，即t=1，同理，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16－2t=2，即t=7．当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为C．【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A ＝∠BCD ；(2)当点E 运动多长时间时，CF ＝AB .请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝90°，∠BCD ＋∠ACD ＝90°，∴∠A ＝∠BCD .(2)①当点E 在射线BC 上移动5s 时，CF ＝AB .可知BE ＝2×5＝10，∴CE ＝BE －BC ＝10－3＝7，∴CE ＝AC∴∴A ＝∴BCD ，∴ECF ＝∴BCD ，∴∴A ＝∴ECF在∴CFE 与∴ABC 中ECF A CE AC CEF ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴CFE ∴∴ABC ，∴CF ＝AB∴当点E 在射线CB 上移动2s 时，CF ＝AB .可知BE ′＝2×2＝4，CE ′＝BE ′＋BC ＝4＋3＝7，∴CE′＝AC.在∴CF′E′与∴ABC中E CF A CE ACCE F ACB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠''''⎩'∴∴CF′E′∴∴ABC，∴CF′＝AB.综上，当点E运动5s或2s时，CF＝AB.【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设∴POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使∴EOP∴∴AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析．【解析】解：(1)∴|m﹣n﹣3|+0，∴|m﹣n﹣3|0，∴n＝3，m＝6，∴点A(0，6)，点B(3，0)；(2)连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝12OP•OB＝32|6﹣t|；(t≥0)(3)∴∴OAB+∴OBA＝90°，∴OAB+∴APD＝90°，∴OPE＝∴APD，∴∴OBA＝∴OPE，只要OP＝OB，可证∴EOP∴∴AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB∴BD于B，ED∴BD于D．∴ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等时，t的值为_____．【答案】1或115或235.【解析】解：∴当点P在AC上，点Q在CE上时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝6﹣3t，解得：t＝1；∴当点P在AC上，点Q第一次从点C返回时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴5﹣2t＝3t﹣6，解得：t＝11 5；∴当点P在CE上，点Q第一次从E点返回时，∴以P，C，M为顶点的三角形与∴QCN全等，∴PC＝CQ，∴2t﹣5＝18﹣3t，解得：t＝235；综上所述：t的值为1或115或235．故答案为：1或115或235．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∴BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有∴DEG与∴BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，∴DEG与∴BFG全等．【答案】见解析．【解析】解：（1）证明：在∴ABD 和∴CDB 中，AD BC AB CD BD DB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴∴ABD ∴∴CDB ，∴∴ADB ＝∴CBD ，∴AD ∴BC ；（2）解：设运动时间为t ，点G 的运动速度为v ，∴当0＜t ≤43时，若∴DEG ∴∴BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩， ∴436t t BG BG =-⎧⎨-=⎩ ，解得：13t BG =⎧⎨=⎩，v ＝3； ∴若∴DEG ∴∴BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩， ∴643t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，解得：11t BG =-⎧⎨=-⎩（舍去）； ∴当43＜t ≤83时，若∴DEG ∴∴BFG ，则DE BF DG BG =⎧⎨=⎩， ∴346t t BG BG =-⎧⎨-=⎩，解得：23t BG =⎧⎨=⎩，v ＝1.5； ∴若∴DEG ∴∴BGF ，则DE BG DG BF =⎧⎨=⎩，∴634t BG BG t =⎧⎨-=-⎩，解得：5252t BG ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，v ＝1． 综上，点G 的速度为1.5或3或1．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB ＝4cm ，AC ∴AB ，BD ∴AB ，AC ＝BD ＝3cm ．点 P 在线段 AB 上以 1/cm s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t （s ）．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当t ＝1 时，∴ACP 与∴BPQ 是否全等，请说明理由，并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC ∴AB ，BD ∴AB ”为改“∴CAB ＝∴DBA ＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为x /cm s ，是否存在实数x ，使得∴ACP 与∴BPQ 全等？若存在，求出相应的x 、t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：(1)当t =1时，AP = BQ =1， BP = AC =3，又∴A =∴B = 90°，∴∴ACP ∴∴BPQ (SAS ).∴∴ACP =∴BPQ ，∴∴APC +∴BPQ =∴APC +∴ACP = 90*.∴∴CPQ = 90°，即线段PC 与线段PQ 垂直；(2)∴若∴ACP ∴∴BPQ ，则AC = BP ，AP = BQ ，得：34t t xt =-⎧⎨=⎩，解得11t x =⎧⎨=⎩; ∴若∴ACP ∴∴BQP ，则AC = BQ ，AP = BP ，34xt t t =⎧⎨=-⎩，解得：232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩ 综上所述，存在11t x =⎧⎨=⎩或232t x =⎧⎪⎨=⎪⎩使得∴ACP 与∴BPQ 全等.【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在∴ABC中，∴ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE∴l于E，QF∴l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当∴PEC与∴QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题意得：t＋3t＝6＋8，解得：t＝72（秒），当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；（2）由题意可知AP＝t，则CP=6(6)6(614)t tt t-≤⎧⎨-<≤⎩；（3）∴当P在AC上，Q在BC上时，∴∴ACB＝90，∴∴PCE＋∴QCF＝90°，∴PE∴l于E，QF∴l于F．∴∴EPC＋∴PCE＝90°，∴PEC＝∴CFQ＝90°，∴∴EPC＝∴QCF，∴∴PCE∴∴CQF，∴PC＝CQ，∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；∴当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得：t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，∴当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，综上，当∴PEC与∴QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在∴ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∴B=∴C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，∴BPD与∴CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使∴BPD与∴CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿∴ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在∴ABC的哪条边上相遇？【答案】见解析．【解析】解：（1）∴∴BPD与∴CQP全等，理由如下：∴AB＝AC＝18cm，AD＝2BD，∴AD＝12cm，BD＝6cm，经过2s后，BP＝4cm，CQ＝4cm，∴BP＝CQ，CP＝6cm＝BD，在∴BPD和∴CQP中，∴BD=CP，∴B＝∴C，BP＝CQ，∴∴BPD∴∴CQP（SAS），∴∴点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，∴BP≠CQ，∴∴BPD与∴CQP全等，∴B＝∴C，∴BP＝PC＝12BC＝5cm，BD＝CQ＝6cm，∴t＝52，∴点Q的运动速度＝612=552cm/s，∴当点Q的运动速度为125cm/s时，能够使∴BPD与∴CQP全等；（2）设经过x秒，点P与点Q第一次相遇，由题意可得：125x﹣2x＝36，解得：x＝90，∴90﹣1818102++×3＝21（s），∴经过90s点P与点Q第一次在∴ABC的边AB上相遇．【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5 cm，BC=12 cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，∴ABP∴∴DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻∴ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）当点P以2cm/s的速度沿BC向点C运动时间为ts时，BP=2t∴BC=12∴PC=12－2t故答案为：12－2t.（2）∴∴ABP∴∴DCP∴BP=CP∴2t=12－2t解得：t=3．（3）存在，理由如下：∴当BP=CQ，AB=PC时，∴ABP∴∴PCQ，∴PC=AB=5∴BP=BC－PC=12－5=7∴2t=7解得t=3.5∴CQ=BP=7，则3.5v=7解得v=2．∴当AB=CQ，PB=PC时，∴ABP∴∴QCP∴2t=6解得t=3∴CQ=3v=5，解得v=53．综上所述，当v=2或53时，∴ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∴B＝∴C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使∴BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．【答案】3或9 2 .【解析】解：设点P 运动的时间为t 秒，则BP ＝3t ，CP ＝8﹣3t ，∴∴B ＝∴C ，∴当BE ＝CP ＝6，BP ＝CQ 时，∴BPE 与∴CQP 全等，此时，6＝8﹣3t ，解得t ＝23， ∴BP ＝CQ ＝2，此时，点Q 的运动速度为2÷23＝3厘米/秒； ∴当BE ＝CQ ＝6，BP ＝CP 时，∴BPE 与∴CQP 全等，此时，3t ＝8﹣3t ，解得t ＝43， ∴点Q 的运动速度为6÷43＝92厘米/秒； 故答案为3或92． 【习题精练】1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC ，∴C ＝90°，AC 10=，BC 6=，线段PQ =AB ，点Q 在过点A 且垂直于AC 的射线AX 上来回运动，点P 从C 点出发，沿射线CA 以2cm /s 的速度运动，问P 点运动___________ 秒时(t 0)>，才能使∴ABC ∴∴QP A 全等．【答案】2或8.【解析】解：∴∴ABC ∴∴QP A ，∴BC ＝P A ＝6，∴当点P 在线段CA 上时，CP ＝AC －AP ＝10－6＝4，∴P 点运动时间为：4=22（秒），∴当点P在线段CA的延长线上时，CP＝AC＋AP＝10＋6＝16，∴P点运动时间为：16=82（秒），综上所述，P点运动时间为：2秒或8秒.2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB=12，CA∴AB于A，DB∴AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后∴CAP与∴PQB 全等．【答案】4.【解析】解：∴CA∴AB于A，DB∴AB于B，∴∴A=∴B=90°，设运动x分钟后∴CAP与∴PQB全等；则BP=x，BQ=2x，则AP=（12－x），分两种情况：∴若BP=AC，则x=4，AP=12－4=8，BQ=8，AP=BQ，∴∴CAP∴∴PBQ；∴若BP=AP，则12－x=x，解得：x=6，BQ=12≠AC，此时∴CAP与∴PQB不全等；综上所述：运动4分钟后∴CAP 与∴PQB 全等；故答案为：4．3．（2020·常州市月考）如图，ADC 中．∴C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ∴AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，∴ABC 才能和∴APQ 全等．【答案】5cm 或10cm .【解析】解：∴AD ∴AC ，∴∴C ＝∴P AQ ＝90°，当BC ＝AQ ＝5cm 时，且AB ＝PQ ，∴Rt ∴ABC ∴Rt ∴PQA ，当AQ ＝AC ＝10cm 时，且AB ＝PQ ，∴Rt ∴ABC ∴Rt ∴QP A ．故答案为：5cm 或10cm ．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC ，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.【答案】235或7或8. 【解析】解：∴当0≤t ＜4时，点M 在AC 上，点N 在BC 上，此时AM＝2t，BN＝3t，AC＝8，BC＝15．当MC＝NC即8−2t＝15−3t时全等，解得t＝7，舍去；∴当4≤t＜5时，点M在BC上，点N也在BC上，若MC＝NC，则点M与点N重合，即2t−8＝15−3t，解得t＝235；当5≤t＜233时，点M在BC上，点N在AC上，当MC＝NC即2t−8＝3t−15时全等，解得t＝7；∴当233≤t＜232时，点N停在点A处，点M在BC上，如图∴，当MC＝NC即2t−8＝8，解得t＝8；故答案为：235或7或8．5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∴B＝∴C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使∴BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？【答案】3厘米/秒或92厘米/秒【解析】解：设点P运动的时间为t秒，则BP=3t，CP=8－3t，∴∴B=∴C，∴当BE=CP=6，BP=CQ时，∴BPE与∴CQP全等，此时，6=8－3t，解得t=23，∴BP=CQ=2，此时，点Q的运动速度为2÷23=3厘米/秒；∴当BE=CQ=6，BP=CP时，∴BPE与∴CQP全等，此时，3t=8－3t，解得t=43，∴点Q的运动速度为6÷43=92厘米/秒.6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角∴ABC，∴C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q 两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q为顶点的三角形与∴ABC全等．【答案】3或6.【解析】解：AC中点或C点时，∴ABC和∴PQA全等，∴当AP=3=BC时，在Rt ∴ACB 和Rt ∴QAP 中，AB PQ CB AP =⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴ACB ∴Rt ∴QAP∴当AP =6=AC 时，在Rt ∴ACB 和Rt ∴P AQ 中，;AB PQ AC AP =⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴ACB ∴Rt ∴P AQ故答案为3或6. 7.（2020·四川青羊期中）如图，在∴ABC 中，已知AB ＝AC ，∴BAC ＝90°，AH 是∴ABC 的高，AH ＝4 cm ，BC ＝8 cm ，直线CM ∴BC ，动点D 从点C 开始沿射线CB 方向以每秒3厘米的速度运动，动点E 也同时从点C 开始在直线CM 上以每秒1厘米的速度向远离C 点的方向运动，连接AD 、AE ，设运动时间为t （t ＞0）秒．（1）请直接写出CD 、CE 的长度（用含有t 的代数式表示）：CD ＝ cm ，CE ＝ cm ； （2）当t 为多少时，∴ABD 的面积为12 cm 2？（3）请利用备用图探究，当t 为多少时，∴ABD ∴∴ACE ？并简要说明理由．【答案】（1）3t ，t ；（2）t 为23s 或143s ；（3）见解析. 【解析】解：（1）根据题意得：CD ＝3t ，CE ＝t ；故答案为3t ，t ；（2）∴S ∴ABD 12=BD •AH ＝12，AH ＝4， ∴AH ×BD ＝24，∴BD ＝6．若D 在B 点右侧，则CD ＝BC ﹣BD ＝2，t 23=；若D在B点左侧，则CD＝BC+BD＝14，t143 =；综上所述：当t为23s或143s时，∴ABD的面积为12 cm2；（3）∴当E在射线CM上时，D在CB上，则需满足BD＝CE，∴ABD∴∴ACE.∴CE＝t，BD＝8﹣3t∴t＝8﹣3t，∴t＝2，∴当E在CM的反向延长线上时，D在CB延长线上，则需满足BD＝CE，∴ABD∴∴ACE.∴CE＝t，BD＝3t﹣8，∴t＝3t﹣8，∴t＝48．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点A、B两点的坐标分别A（m，0），B （0，n），且|m -n -3|26n-= 0 ，点P从A出发，以每秒1 个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接 PB ，若∴POB 的面积不大于 3 且不等于 0，求 t 的范围；（3）过 P 作直线 AB 的垂线，垂足为 D ，直线 PD 与 y 轴交于点 E ，在点 P 运动的过程中， 是否存在这样的点 P ，使∴EOP ∴∴AOB ?若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∴30m n --=，∴m －n －3=0，2n －6=0∴m =6，n =3∴OA =6，OB =3；（2）∴当P 在线段AO 上时，AP =t ，OP =6－t此时，S ∴BOP =9－1.5t∴∴BPO 的面积不大于3且不等于0，∴0<9－1.5t ≤3，解得4≤t <6；∴当P 在线段AO 的延长线上时，AP =t ，OP =t －6此时，S ∴BOP =1.5t －9∴0<1.5t －9 ≤3，解得6<t ≤8；（3）∴∴AOB ∴∴EOP ，∴OB =OP =3，则t =3，∴∴AOB ∴∴EOP ，∴OB =OP =3，AP =OA +OP =9，则t =99.（2020·宜兴市月考）如图，在∴ABC 中，∴BAD ＝∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，∴DFE 与∴DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S △△．【答案】见解析【解析】解：（1）证明：∴∴BAD =∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，∴DF =DM ，在Rt ∴AFD 和Rt ∴AMD 中，DF DM AD AD=⎧⎨=⎩， ∴Rt ∴AFD ∴Rt ∴AMD （HL ）； （2）解：∴当0＜t ＜4时，点G 在线段CM 上，点E 在线段AF 上．EF =10－2t ，MG =4－t∴10－2t =4－t ，解得：t =6（不合题意，舍去）；∴当4≤t ＜5时，点G 在线段AM 上，点E 在线段AF 上．EF =10－2t ，MG =t －4，∴10－2t =t －4，解得：t =143， 当t =143时，∴DFE 与∴DMG 全等； （3）证明：∴∴BAD =∴DAC ，DF ∴AB ，DM ∴AC ，∴DF =DM ，∴S ∴AED =12AE •DF ，S ∴DGC =12CG •DM ， ∴ADE DGC S AE S CG=△△， ∴点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，∴AE =2t ，CG =t ， ∴AE CG=2， 即ADE DGCS S △△=2， ∴在运动过程中，不管取何值，都有S ∴AED =2S ∴DGC ．10.（2020·江苏工业园区期末）如图∴，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC 、EDF ，其中AB ＝8cm ，BC ＝6cm ，AC ＝10cm ．现将∴ABC 和∴EDF 按如图∴的方式摆放（点A 与点D 、点B 与点E 分别重合）．动点P 从点A 出发，沿AC 以2cm /s 的速度向点C 匀速移动；同时，动点Q 从点E 出发，沿射线ED 以acm /s （0＜a ＜3）的速度匀速移动，连接PQ 、CQ 、FQ ，设移动时间为ts （0≤t ≤5）． （1）当t ＝2时，S ∴AQF ＝3S ∴BQC ，则a ＝ ；（2）当以P 、C 、Q 为顶点的三角形与∴BQC 全等时，求a 的值；（3）如图∴，在动点P 、Q 出发的同时，∴ABC 也以3cm /s 的速度沿射线ED 匀速移动，当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与∴EFQ全等时，求a与t的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）由题意得：∴BAF＝∴ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∴S∴AQF＝3S∴BQC，S∴AQF＝12AF×AQ，S∴BQC＝12BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案为：1；（2）因为以P、C、Q为顶点的三角形与∴BQC全等，CQ是公共边，则点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∴CPQ＝∴ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ∴AC，∴AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∴ABC的面积＝∴ACQ的面积+∴BCQ的面积，1 2×8×6＝12×10×2a+12×2a×6，解得：a＝32；（3）由题意得：∴A＝∴E，∴∴A与∴E为对应角，分两种情况：∴AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∴EQ＝at，∴at ＝2t ，∴a ＝2，∴EQ ＝2t ，∴BE ＝3t ，∴BQ ＝BE ﹣EQ ＝t ，∴AQ ＝AB +BQ ＝8+t ＝10，解得：t ＝2；∴AP 与EF 为对应边，AQ 与EQ 为对应边，则AP ＝EF ＝10，AQ ＝EQ ，∴2t ＝10，∴t ＝5，∴AQ ＝EQ ＝5a ，∴BE ＝3t ＝15，∴BQ ＝15﹣5a ，或BQ ＝5a ﹣15，当BQ ＝15﹣5a 时，AQ ＝15﹣5a +8＝23﹣5a ，或AQ ＝8﹣（15﹣5a ）＝5a ﹣7，∴5a ＝23﹣5a ，或5a ＝5a ﹣7（舍去），解得：a ＝2.3；当BQ ＝5a ﹣15时，AQ ＝5a ﹣15+8＝5a ﹣7，或AQ ＝8﹣（5a ﹣15）＝7﹣5a ，∴5a ＝5a ﹣7（舍去），或5a ＝7﹣5a ，解得：a ＝0.7，舍去；综上所述，a ＝2时，t ＝2；或a ＝2.3时，t ＝5．11.（2019·江苏期末）如图∴，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3 cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为 s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，∴若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；∴若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图∴，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2 cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图∴图∴ 【答案】见解析.【解析】解：（1）20÷3＝203， 故答案为：203；（2）∴CD ∴AB ，∴∴B ＝∴DCB ，∴∴CNM 与∴ABM 全等，∴∴CMN ∴∴BAM 或∴CMN ∴∴BMA ，∴由题意得：BM ＝CN ＝3t ，∴∴CMN ∴∴BAM∴AB ＝CM ，∴12＝20－3t ，解得：t ＝83；∴由题意得：CN ≠BM ，∴∴CMN ∴∴BMA ，∴AB ＝CN ＝12，CM ＝BM ，∴CM ＝BM ＝12BC ，∴3t ＝10，解得：t ＝103∴CN ＝at ，∴103a＝12解得：a＝185；（3）存在∴CD∴AB，∴∴B＝∴DCB，∴∴CNM与∴PBM全等，∴∴CMN∴∴BPM或∴CMN∴∴BMP，∴当∴CMN∴∴BPM时，则BP＝CM，若此时P由A向B运动，则BP＝12－2t，CM＝20－3t，∴BP＝CM，∴12－2t＝20－3t，解得：t＝8 (舍去)若此时P由B向A运动，则BP＝2t－12，CM＝20－3t，∴BP＝CM，∴2t－12＝20－3t，解得：t＝6.4，∴当∴CMN∴∴BMP时，则BP＝CN，CM＝BM，∴CM＝BM＝12 BC∴3t＝10，解得：t＝10 3当t＝103时，点P的路程为AP＝2t＝203，此时BP＝AB－AP＝12－203＝163，则CN＝BP＝16 3即at＝163，∴t＝103，∴a＝1.6符合题意综上所述，满足条件的t 的值有：t ＝6.4或t ＝103. 12. 如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．【答案】235或7或8 【解析】解：点M 从点A 到点C 需要AC ÷2=4s ，到点B 共需（AC ＋BC ）÷2=232s 点N 从点B 到点C 需要BC ÷3=5s ，到点A 共需（AC ＋BC ）÷3=233s ∴当0≤t ＜4时，即点M 在AC 上，点N 在BC 上，此时AM =2t ，BN =3t ，∴CM =8－2t ，NC =15－3t∴∴MEC =∴CFN =∴ACB =90°，∴∴MCE ＋∴NCF =90°，∴CNF ＋∴NCF =90°∴∴MCE =∴CNF若CM =NC 时，利用AAS 可得∴MCE ∴∴CNF即8－2t =15－3t解得：t =7（不符合前提条件，故舍去）；∴当4≤t ＜5时，即点M 在BC 上，点N 在BC 上，易知：当M、N重合时满足题意此时CE=2t－8，CN=15－3t，CE=CN ∴2t－8=15－3t解得：t=235；∴当5≤t＜233时，即点M在BC上，点N在AC上，∴CM=2t－8，NC=3t－15∴∴MEC=∴CFN=∴ACB=90°，∴∴MCE＋∴NCF=90°，∴CNF＋∴NCF=90°∴∴MCE=∴CNF若CM=NC时，利用AAS可得∴MCE∴∴CNF 即2t－8=3t－15解得：t=7；∴当233≤t＜232时，即点M在BC上，点N与点A重合，∴CM=2t－8，NC=8∴∴MEC=∴CFN=∴ACB=90°，∴∴MCE＋∴NCF=90°，∴CNF＋∴NCF=90°∴∴MCE=∴CNF若CM=NC时，利用AAS可得∴MCE∴∴CNF即2t－8=8解得：t=8．故答案为：235或7或8．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∴CEF＝∴AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：∴ADO∴∴ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM∴CD于点M，QN∴CD于点N．问两动点运动多长时间∴OPM与∴OQN全等？【答案】见解析.【解析】解：（1）∴A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）∴OE＝OA，OB∴AE，∴BA＝BE，∴∴BAO＝∴BEO，∴∴CEF＝∴AEB，∴∴CEF＝∴BAO，∴∴CEO＝∴DAO，在∴ADO与∴ECO中，CE0DA0 OA0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴∴ADO∴∴ECO．（2）设运动的时间为t秒，当PO＝QO时，易证∴OPM∴∴OQN．∴当点P、Q分别在y轴、x轴上时PO＝QO得：5﹣t＝12﹣3t，解得t＝72（秒），∴当点P、Q都在y轴上时PO＝QO得：5﹣t＝3t﹣12，解得t＝174（秒），∴当点P在x轴上，Q在y轴上时，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝72（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，∴OPM与∴OQN全等．14.（2019·福建省惠安期中）如图，在∴ABC中，BC＝8cm，AG∴BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若∴ADE∴∴CDF，求所有满足条件的t值．【答案】见解析．【解析】解：（1）根据题意，当0≤t≤2时，BF=4t；当2＜t≤4时，BF=16-4t；（2）根据题意，由BF＝AE，则16-4t=2t，解得：t=83；∴当BF＝AE时，t的值为：83；（3）当0＜t≤2时，∴ADE∴∴CDF，则AE=CF，即8－4t=2t，解得：t=43；当2＜t≤4时，∴ADE∴∴CDF，则AE=CF，即4t－8=2t，解得：t=4；则t=43或4时，∴ADE∴∴CDF．15.（2020·无锡市月考）∴ABC中，AB=AC=12厘米，∴B=∴C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，∴BPD与∴CQP全等.【答案】3或4.5【解析】解：当BD=PC时，∴BPD与∴CQP全等，∴点D为AB的中点，∴BD=12AB=6cm，∴BD=PC，∴BP=8－6=2（cm），∴点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，∴运动时间时23 s，∴∴DBP∴∴PCQ，∴BP=CQ=2cm，∴v=2÷23=3；当BD=CQ时，∴BDP∴∴QCP，∴BD=6cm，PB=PC，∴QC=6cm，∴BC=8cm，∴BP=4cm，∴运动时间为4÷3=43（s），∴v=6÷43=4.5；∴点Q的运动速度为3或4.5；故答案为3或4.5.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∴ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图∴，分别过点A、B作AD∴l于点D，BE∴l于点E．求证：∴ACD∴∴CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图∴，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD∴l于点D，过点N 作NE∴l于点E，设运动时间为t秒．∴CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）∴直接写出当∴MDC 与∴CEN 全等时t 的值．【答案】见解析．【解析】解：（1）∴AD ∴直线l ，BE ∴直线l ，∴∴DAC +∴ACD =90°，∴∴ACB =90°，∴∴BCE +∴ACD =90°，∴∴DAC =∴ECB ，∴∴ACD ∴∴CBE （AAS ）；（2）∴由题意得，AM =t ，FN =3t ，则CM =8－t ，由折叠的性质可知，CF =CB =6，∴CN =6－3t ；故答案为：8－t ；6－3t ；∴由折叠的性质可知，∴BCE =∴FCE ，∴∴MCD +∴CMD =90°，∴MCD +∴BCE =90°，∴∴NCE =∴CMD ，∴当CM =CN 时，∴MDC 与∴CEN 全等，当点N 沿F →C 路径运动时，8－t =6－3t ，解得，t =－1（不合题意），当点N 沿C →B 路径运动时，CN =3t －6，则8－t =3t －6，解得，t =3.5，当点N 沿B →C 路径运动时，由题意得，8－t =18－3t ，解得，t =5，当点N 沿C →F 路径运动时，由题意得，8－t =3t －18，解得，t =6.5，综上所述，当t =3.5秒或5秒或6.5秒时，∴MDC 与∴CEN 全等．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1 备用图（1）试求∴ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S =：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值； （3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】见解析．【解析】解：（1）∴AM ∴AN ，∴∴MAN =90°，∴AB 平分∴MAN ，∴∴BAC =45°，∴CB ∴AB ，∴∴ABC =90°，∴∴ACB =45°．（2）∴当E 在线段AC 上时，作BH ∴AC 于H ，BG ∴AM 于G ．∴BA 平分∴MAN ，∴BG =BH ，∴S∴ADB：S∴BEC=2：3，AD=t，AE=2t，∴12t ×BG：12×（6－2t）×BH=2：3，∴t=127s．∴当点E运动到AC延长线上，可得t=12∴当t=127s或12s时，满足S∴ADB：S∴BEC=2：3．（3）存在．∴BA=BC，∴BAD=∴BCE=45°，∴当AD=EC时，∴ADB∴∴CEB，∴t=6－2t，∴t=2s，∴t=2s时，∴ADB∴∴CEB．当D在MA延长线上时，2t－6=t，t=6s，综上所述，满足条件的t的值为2s或6s．。