专题05 等腰三角形中的动态问题(解析版)

二次函数在数学中是一个非常重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。

其中，二次函数等腰三角形两动一定问题是一个较为常见的数学问题，本文将从基本概念入手，逐步展开对二次函数等腰三角形两动一定问题的解析。

1. 二次函数的基本概念二次函数是指数学中的一种函数形式，其一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是实数且a≠0。

二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，其开口方向取决于a的正负。

二次函数在代数、几何、物理等领域都有着广泛的应用，因此对二次函数的研究具有重要意义。

2. 等腰三角形的基本概念等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。

在等腰三角形中，两个相等的边称为等腰边，而夹在等腰边之间的角称为顶角。

等腰三角形在几何学中具有重要的地位，其性质和应用也是我们在学习和实际生活中经常遇到的。

3. 二次函数等腰三角形两动一定问题在数学问题中，我们经常会遇到求解关于二次函数和等腰三角形的结合问题。

其中，二次函数等腰三角形两动一定问题即是其中之一。

这类问题通常涉及到二次函数图像与等腰三角形的关系，需要通过数学方法去分析和求解。

4. 解析二次函数等腰三角形两动一定问题的方法4.1 分析二次函数的图像特点我们需要通过对二次函数的图像特点进行分析，来理解二次函数与等腰三角形的关系。

通过对二次函数的开口方向、顶点、对称轴等特征进行研究，可以为后续的问题解决提供重要的线索。

4.2 探讨等腰三角形的性质我们需要对等腰三角形的性质进行深入探讨。

通过对等腰三角形的角度、边长、高度等特性进行分析，可以为问题的解决提供必要的几何基础。

4.3 利用二次函数的性质解决问题我们可以利用二次函数的性质，结合等腰三角形的几何特性，来解决二次函数等腰三角形两动一定问题。

通过建立方程、求解交点、推导关系式等方法，可以得出最终的答案。

5. 实例分析为了更好地理解二次函数等腰三角形两动一定问题的解决方法，我们可以通过实例进行详细分析。

选取一个具体的二次函数和等腰三角形，通过具体计算和推导，来展示问题的解决过程和思路。

第01讲等腰三角形的性质与判定(6类热点题型讲练)1.经历“探索一发现一猜想一证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力.2.进一步了解作为证明基础的几条基本事实的内容，能证明等腰三角形的性质.3.有意识地培养学生对文字语言、符号语言和图形语言的转换能力，关注证明过程及其表达的合理性.知识点01等腰三角形的性质（1）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）（2）等腰三角形性质2：文字：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称：等腰三角的三线合一）图形：如下所示；符号：在ABC ∆中，AB ＝AC ，1212,,;,,;,12.BD CD AD BC AD B BD CD AD BC C BD CD ∠=∠⎧⎪=⊥∠=∠⊥∠=∠⎨⎪⊥⎩==若则若则若，则知识点02等腰三角形的判定（1）等腰三角形的判定方法1：（定义法）有两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）等腰三角形的判定方法2：有两个角相等的三角形是等腰三角形；(简称：等角对等边)题型01根据等腰三角形腰相等求第三边或周长【例题】（2023上·河南商丘·八年级商丘市实验中学校考阶段练习）一个等腰三角形的两条边长分别为8cm 和4cm ，则第三边的长为cm ．【答案】8【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，是解题的关键．【详解】解：①若一腰长为8cm ，则底边为4cm ，则第三边的长为8cm ，488+>，故能组成三角形；②若一腰长为4cm ，则底边为8cm ，则第三边的长为4cm ，448+=，故不能组成三角形．故答案为：8．【变式训练】1．（2023上·甘肃陇南·八年级校考阶段练习）一个等腰三角形有两边分别为3cm 和8cm ，则周长是cm ．【答案】19【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系．等腰三角形两边的长为3cm 和8cm ，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．【详解】解：①当腰是3cm ，底边是8cm 时：338+<，不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是3cm ，腰长是8cm 时，388+>，能构成三角形，则其周长()38819cm =++=．故答案为：19．2．（2023上·山东潍坊·八年级校考阶段练习）若()2450a b -+-=，则以a ，b 为边长的等腰三角形的周长为．【答案】13或14【分析】本题考查了等腰三角形的概念，非负数的性质，以及三角形的三边关系，注意利用分类讨论思想解题．根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a ，b 的值，根据等腰三角形的概念进行分类讨论，可得答案．【详解】解：∵()2450a b -+-=，且()240a -≥，50b -≥，∴40a -=，50b -=，解得：4a =，5b =，当4为等腰三角形的腰长，5为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为44513++=，当5为等腰三角形的腰长，4为等腰三角形的底边时，则等腰三角形的周长为55414++=，故答案为：13或14．题型02根据等腰三角形等边对等角求角的度数题型03根据等腰三角形三线合一进行求解【答案】25【详解】解：如图，作BE ∵AB BC =，∴AE CE =，∵AC CD ⊥，90BAD ∠=︒∴EBA BAE BAE ∠+∠=∠+EBA CAD BAE ∠=∠∠=，【答案】10【详解】解：AB 5BD CD ∴==，210BC BD ∴==，故答案为：10．2．两个同样大小的含(1)求AF 的长．(2)求CD 的长．【详解】（1）解：连接AF ，如下图，根据题意，90BAC ∠=︒，AB ∴222(2)BC AB AC =+=∴190452B ACB ∠=∠=⨯︒=︒，∵F 为BC 中点，题型04根据等腰三角形三线合一进行证明(1)若106BAC DAE ∠∠=︒，(2)求证：BD EC =．【详解】（1）解：∵AB AC =(1180ADE AED ∠=∠=︒∵,AB AC AD AE ==，∴,BF CF DF EF ==，∴BD CE =.【变式训练】1．（2023上·山东威海·七年级校联考期中）如图，已知AB AE ABC AED BC ED =∠=∠=，，，点F 是CD 的中点，连接AF ，请判断AF 与CD 的位置关系．【答案】垂直【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质：连接AC AD ，，证明ABC AED ≌△△，得到AC AD =，根据等腰三角形三线合一的性质得到AF CD ⊥，熟练掌握全等三角形的判定定理及等腰三角形的性质是解题的关键．【详解】答：AF CD⊥连接AC AD，∵AB AE ABC AED BC ED=∠=∠=，，∴ABC AED≌△△∴AC AD=又∵点F 是CD 的中点∴AF CD ⊥．2．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【详解】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，如图所示：=，AD∵AB AC=，∴BD CD∴AD为BC的垂直平分线，∵点E在AD上，=，∴BE CE又∵线段AC的垂直平分线交题型05根据等角对等边证明等腰三角形∠，【例题】（2023上·广西玉林·八年级统考期中）如图，点E在BA的延长线上，已知AD平分CAE ∥．求证：ABCAD BC是等腰三角形．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了等角对等边，平行线的性质与角平分线的定义，先根据平行线的性质得到EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，再由角平分线的定义和等量代换得到B C ∠=∠，即可证明ABC 是等腰三角形．【详解】证明：∵AD BC ∥，∴EAD B CAD C ∠=∠∠=∠，，∵AD 平分CAE ∠，∴EAD CAD ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形．【变式训练】【答案】ABC 是等腰三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，设4ACD x ∠=，3ECD x =∠，由角平分线的定义得到13BEC x ABC =-∠∠，A =∠【答案】证明见解析【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，证明根据角平分线的定义可得，以及直线平行的性质证明题型06等腰三角形的性质和判定综合应用【例题】如图，在ABC 中，AB AC =，D 是BC 边的中点，连接AD ，BE 平分ABC ∠交AC 于点E ．(1)若40C ∠=︒，求BAD ∠的度数；(2)过点E 作EF BC ∥交AB 于点F ，求证：BEF △是等腰三角形．(3)若BE 平分ABC 的周长，AEF △的周长为15，求ABC 的周长．【详解】（1）解：AB AC = ，C ABC ∴∠=∠，∵40C ∠=︒，∴40ABC ∠=︒，AB AC = ，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90BDA ∴∠=︒，∴90904050BAD ABC ︒︒︒︒∠=-∠=-=；（2）证明：BE 平分ABC ∠，ABE EBC ∴∠=∠，又∵EF BC ∥，∴EBC BEF ∠=∠，∴EBF FEB ∠=∠，BF EF ∴=，BEF ∴ 是等腰三角形；（3）解：AEF 的周长为15，15AE AF EF ∴++=，BF EF = ，15AE AF BF ∴++=，即15AE AB +=，BE 平分ABC 的周长，=15AE AB BC CE ∴++=，ABC ∴ 的周长+1515=30AE AB BC CE ++=+．【变式训练】1．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．(1)求证：ADF △是等腰三角形(2)若6,3,4AD BE EF ===，求线段AB 的长．(1)试判断折叠后重叠部分△的面积．(2)求重叠部分AFC△【详解】（1）解：AFC∵四边形ABCD是长方形，∥，∴AD BC一、单选题1．（2023上·河南许昌·八年级统考期中）等腰三角形的一个底角为80︒，则这个等腰三角形的顶角为（）．A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．20︒或100︒【答案】A【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据“等腰三角形两底角相等”，即可求解．【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为80︒，∴等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒．故选：A2．（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在ABC 中，,AB AC AD =为BC 边上的中线，30B ∠=︒，则CAD ∠的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】B【解析】略3．（2023上·广东珠海·八年级校考阶段练习）下列条件中，可以判定ABC 是等腰三角形的是（）A ．40B ∠=︒，80C ∠=︒B ．123A BC ∠∠∠=::::C ．2A B C∠=∠+∠D ．三个角的度数之比是2:2:1【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．利用三角形内角和定理，等腰三角形的判定，进行计算并逐一判断即可解答．【详解】解：A ．∵40B ∠=︒，80C ∠=︒，A ．16【答案】A 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题关键是掌握并会运用全等三角形的判定与性质、等腰三角形性质定理．先得出ABD ACF ∠=∠，进而得到AF 长，求出AB 出即可．【详解】CE BD ⊥ ，90BEF ∴∠=︒，90BAC ∠=︒ ，90CAF ∴∠=︒，90FAC BAD ∴∠=∠=︒ABD ACF ∴∠=∠．在ABD △和ACF △中【答案】10︒，80︒，140︒或20︒【详解】本题考查了等腰三角形的性质，先利用三角形内角和定理可得：AP AB =时；当AP AB =时；当BA BP =解：∵130ABC ∠=︒，30ACB ∠=︒，+∵BAC ∠是ABP 的一个外角，∴20BAC APB ABP ∠=∠+∠=︒，∵AB AP =，∵AB AP=，20BAP∠=︒，∴180802BAPABP APB︒-∠∠=∠==︒；当BA BP=时，如图：∵BA BP=，∴20BAP BPA∠=∠=︒，∴180140ABP BAP BPA∠=︒-∠-∠=︒；当PA PB=时，如图：∵PA PB=，∴20BAP ABP∠=∠=︒；综上所述：当ABP是等腰三角形时，故答案为：10︒，80︒，140︒或20︒．11．（2023上·广东汕尾·八年级校联考阶段练习）用一条长为21cm的细绳围成一个等腰三角形．(1)如果腰长是底边长的3倍，那么各边的长是多少?(2)能围成有一边的长为5cm的等腰三角形吗?如果能，请求出另两边长．【答案】(1)三角形的三边分别为3cm9cm9cm、、(2)能围成一个底边是5cm，腰长是8cm的等腰三角形【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的周长，难点在于要分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．（1）设底边长为x cm，表示出腰长，然后根据周长列出方程求解即可；(1)求BD的长．(2)求BE的长．【答案】(1)4 (2)5，AE CD ⊥Q ，AD AC =，AE ∴平分CAD ∠，CAE DAE ∴∠=∠，在CAE V 和DAE 中，AC AD CAE DAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()SAS CAE DAE ∴ ≌，CE DE ∴=，90ADE ACE ∠=∠=︒，设BE x =，则8CE DE x ==-，由勾股定理可得：222DE BD BE +=，()22284x x ∴-+=，解得：5x =，5BE ∴=．14．（2023上·浙江宁波·八年级统考期末）如图，在ABC 中，AB AC =，ED AB ∥，分别交BC 、AC 于点D 、E ，点F 在BC 的延长线上，且CF DE =，(1)求证：CEF △是等腰三角形；(2)连接AD ，当AD BC ⊥，8BC =，CEF △的周长为16时，求DEF 的周长．【答案】(1)证明见解析(2)20【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的性质，等腰三角形的三线合一，是解答本题的关键．（1）利用等腰三角形的性质得到B ACB ∠=∠，然后推出EDC ECD ∠=∠，DE EC =，结合已知条件，得到结论．当AD BC ⊥时，AB AC =，∴142BD CD BC ===， DEF 的周长DE DF EF =++，∴DEF 的周长CE EF CD =+++15．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）的平分线，DF AB 交AE 的延长线于(1)若120BAC ∠=︒，求BAD ∠(2)求证：ADF △是等腰三角形．【答案】(1)60度(2)见解析(1)求证：BD CE =；(2)若BD AD =，B DAE ∠=∠，求【答案】(1)见解析(2)108BAC ∠=︒【答案】（1）等腰；（2）3；（3）12；（4）30；（5）5cm【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，对角对等边．（1）平行线的性质结合角平分线平分角，得到B C ∠=∠，即可得出结果；（2）平行线的性质结合角平分线平分角，得到A ABC CB =∠∠，进而得到AB AC =即可；（3）同法（2）可得：BD DE =，利用AB AD BD =+，求解即可；（5）同法（2）得到,PD BD PE CE ==，推出PDE △的周长等于BC 的长即可．掌握平行线加角平分线往往存在等腰三角形，是解题的关键．【详解】解：（1）∵AE BC ∥，∴,DAE B CAE C ∠=∠∠=∠，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∴B C ∠=∠，∴ABC 是等腰三角形；故答案为：等腰；（2）∵BC 平分ABD ∠，AC BD ∥，∴,ABC DBC ACB DBC ∠=∠∠=∠，∴A ABC CB =∠∠，∴3AB AC ==；故答案为：3；（3）同法（2）可得：7BD DE ==，∴5712AB AD BD =+=+=；故答案为：12；（4）同法（2）可得：,FD BD CE EF ==，∴ADE V 的周长30AD AE DE AD AE DF EF AD AE BD CE AB AC =++=+++=+++=+=；故答案为：30；（5）同法（2）可得：,PD BD PE CE ==，∴PDE △的周长5cm PD PE DE BD CE DE BC =++=++==；故答案为：5cm ．18．（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．（3）当ACD 是等腰三角形，DA DC =时，如图，则50ACD A ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒∴100ACB ACD BCD ∠=∠+=︒∠；当ACD 是等腰三角形，DA AC =时，如图，则65ACD ADC ∠=∠=︒，50BCD A ∠=∠=︒，∴5065115ACB ∠=︒+︒=︒；当ACD 是等腰三角形，CD AC =的情况不存在；当BCD △是等腰三角形，DC BD =时，如图，则1803ACD BCD B ︒-∠=∠=∠=∴2603ACB ACD BCD ∠=+=∠∠当BCD △是等腰三角形，DB =则BDC BCD ∠=∠，设BDC BCD x ∠=∠=，则B ∠=则1802ACD B x ∠=∠=︒-，由题意得，180250x x ︒-+︒=，解得，2303x ︒=，∴8018023ACD x ︒∠=︒-=，∴3103ACB ︒∠=，综上所述：ACB ∠的度数为100。

专题05 二次函数与实际应用（图形动态问题）1．（2021—2022江苏苏州九年级月考）如图所示，已知ABC 中，12BC =，BC 边上的高6h =，D 为BC 上一点，//EF BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，设点E 到边BC 的距离为x ，则DEF 的面积y 关于x 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】可过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，所以根据相似三角形的性质可求出EF ，进而求出函数关系式，由此即可求出答案．【详解】解：如图，过点A 向BC 作AH ⊥BC 于点H ，∵//EF BC ，∴△AEF ∽△ABC ， ∴EF h x BC h -=，即6126EF x -=， ∴()26EF x =-，∴y =12×2（6-x ）x =-x 2+6x （0＜x ＜6），∴该函数图象是抛物线y =-x 2+6x （0＜x ＜6）的部分，故选：D ．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是综合运用相关知识解题．2．（2021·山东邹城·中考二模）如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 是射线AB 上的动点（点E 不与点A ，点B 重合），点F 在线段DA 的延长线上，且AF AE =，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒得到EG ，连接,,EF FB BG ．设AE x =，四边形EFBG 的面积为y ，下列图象能正确反映出y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD 是边长为1的正方形，∴∠DAB =90°，AD =AB ，在△ADE 和△ABF 中，AD AB DAE BAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ABF （SAS ），∴∠ADE =∠ABF ，DE =BF ，∵∠DEG =90°，∴∠ADE +∠AED =∠AED +∠BEG ，∴∠BEG =∠ADE ，∴∠BEG =∠ABF ，∴EG //BF ，∵DE =BF ，DE =GE ，∴EG =BF ，∴四边形BFEG 是平行四边形，∴四边形EFBG 的面积=2△BEF 的面积=2⨯12BE •AF ，设AE =x ，四边形EFBG 的面积为y ，当0≤x ≤1时，y =（1-x ）•x =-x 2+x ；当x ＞1时，y =（x -1）•x =x 2-x ；综上可知，当0≤x ≤1时，函数图象是开口向下的抛物线；当x ＞1时，函数图象是开口向上的抛物线，符合上述特征的只有B ，故选：B ．【点睛】本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的关键．3．（2021·山东威海·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2cm AB =，60D ∠=︒，点P ，Q 同时从点A 出发，点P 以1cm /s 的速度沿A ﹣C ﹣D 的方向运动，点Q 以2cm /s 的速度沿A﹣B ﹣C ﹣D 的方向运动，当其中一点到达D 点时，两点停止运动．设运动时间为x （s ），APQ的面积为y （cm 2），则下列图象中能大致反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先证明∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°，再分0≤x ≤1、1＜x ≤2、2＜x ≤3三种情况画出图形，求出函数解析式，根据二次函数、一次函数图象与性质逐项排除即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB =BC =CD =AD ，∠B =∠D =60°，∴△ABC ，ACD 都是等边三角形，∴∠CAB =∠ACB =∠ACD =60°．如图1，当0≤x ≤1时，AQ =2x ，AP =x ，作PE ⊥AB 于E ，∴sin PE AP PAE x =∠=， ∴21332222y x x =⨯=， 故D 选项不正确；如图2，当1＜x ≤2时，CP =2-x ，CQ =4-2x ，BQ =2x -2，作PF ⊥BC 与F ，作QH ⊥AB 于H ，∴)sin 2PF CP PCF x =∠=-，))sin 221QH BQ B x x =∠=-=-，∴)()()22113221422222y x x x x =-⨯--⨯--=， 故B 选项不正确；当2＜x ≤3时，CP =x -2，CQ =2x -4，∴PQ =x -2，作AG ⊥CD 于G ，∴sin 2AG AC ACD =∠==∴()132322y x x =⨯-= 故C 不正确．故选：A【点睛】本题考查了菱形性质，等边三角形性质，二次函数、一次函数图象与性质，利用三角函数解三角形等知识，根据题意分类讨论列出函数解析式是解题关键．4．（2021—2022福建厦门市九年级期中）如图，将矩形OABC 置于平面直角坐标系xOy 中，A ，(0,2)C ．抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点B ，C ，顶点为D ．将矩形OABC 绕原点顺时针旋转一个角度θ（0°＜θ＜360°），得到矩形OA 'B 'C '，记A 'C '的中点E ，连结DE ，线段DE 的长度最大值为 ___．【答案】2##【分析】由A 0)，(0,2)C ，得B ，2)，用待定系数法可得抛物线解析式为22y x =-++，即得顶点D 5)，可得27OD ，根据E 为A C ''的中点，得11222OE A C AC ''===，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，此时2DE OD OE =+=． 【详解】 解：如图：四边形OABC 是矩形，A 0)，(0,2)C ，B ∴2)，4AC =，将B ，2)，(0,2)C 代入2y x bx c =-++得：2122c c ⎧=-++⎪⎨=⎪⎩，解得2b c ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴抛物线解析式为22y x =-++，∴顶点D 5)，OD ∴=E 为A C ''的中点，11222OE A C AC ''∴===，在DOE ∆中，DE OD OE <+，∴当D 、O 、E 构成三角形时，2DE <，当D 、O 、E 不构成三角形，即E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大，如图：此时2DE OD OE =+=，故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形的性质、三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握E 在DO 的延长线上时，DE 的长度最大．5．（2021·浙江·温州市实验中学九年级月考）如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝10，CD ＝P 从点A 沿着A －B －C 运动，同时点Q 从点D 沿着D －A 运动，它们同时到达终点，设点P 运动的路程为x ，AQ 的长度为y ，且2163y x =-+． （1）求AD ，BC 的长和四边形ABCD 的面积．（2）连接PQ ，设△APQ 的面积为S ，在P ，Q 的运动过程中，S 是否存在最大值，若存在，求出S 的最大值；若不存在，请说明理由．（3）当PQ与四边形ABCD其中一边垂直时，求所有满足要求的x的值．【答案】（1）120；（2）存在，最大值为1123；（3）24043x=或487x=或12x=【分析】（1）当x＝0时，当y＝0时，分别求解得出对应线段的长度，过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，求出高，即可求解；（2）分情况讨论（点P在线段AB上、当P在BC上时），得出△APQ的面积的函数表达式，根据函数性质求解即可；（3）分三种情况讨论，利用三角形相似的性质求解即可．【详解】解（1）：由题意：∵P，Q两点同时到达终点，所以，当x＝0时，y＝16，即AD＝16；当y＝0时，x＝24，所以BC＝14过点B作BM⊥AD，过点D作DN⊥BC，如下图：又∵AD∥BC，可知四边形BMDN为矩形设AM＝m，∴MD＝16－m，即BN＝16－m，∴CN＝m－2，根据BM＝DN，可得：102－m2＝2－（m－2）2，解得m＝6．即BM＝8，4CN=∴四边形ABCD 的面积为：（16＋14）×8÷2＝120（2）当点P 在线段AB 上时，010x <≤，作PE AD ⊥，如下图，则//PE BM ，∴APE ABM △∽△ ∴AP PE AE AB BM AM ==，即45PE x =，35AE x = 21124432(16)2235155APQ S AQ PE x x x x =⨯=-+⨯=-+△ 对称轴为12x =，0a <又∵010x <≤∴10x =时，APQ S 最大，为1123当P 在BC 上时，1024x ≤≤， 186423APQ S AQ BM x =⨯=-+△ 0k <，APQ S 随x 的增大而减小，综上所述，APQ S 的最大值为1123（3）当PQ AB ⊥时，如下图：∴APQ AMB △∽△ ∴AP AQ AM AB =，即2163610x x -+=，解得487x = 当PQ BC ⊥时，可得BP MQ =，即2101663x x -=-+- 解得12x =当PQ CD ⊥时，如下图：∵//AD BC ，∴C QDH ∠=∠又∵90H CND PEQ ∠=∠=∠=︒，PQE DQH ∠=∠∴PEQ DHQ CND △∽△∽△ ∴PE CN EQ DN= 由（1）（2）得45PE x =，35AE x =，4CN =，8DN = ∴231635EQ x x =-+- ∴4452381635x x x =-+-，解得24043x = 综上所得24043x =或487x =或12x = 【点睛】 本题考查了一次函数图象和性质，二次函数最值问题，三角形面积，勾股定理，相似三角形的判定和性质等，是一道关于四边形的综合题，解题关键是熟练掌握并运用二次函数性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，并应用数形结合思想、方程思想和分类讨论思想解决问题．6．（2021·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，3cm AB =，AD =．动点P 从点A 出发沿折线AB BC -向终点C 运动，在边AB 上以1cm/s 的速度运动；在边BC的速度运动，过点P 作线段PQ 与射线DC 相交于点Q ，且60PQD ∠=︒，连接PD ，BD ．设点P 的运动时间为()s x ，DPQ 与DBC △重合部分图形的面积为()2cm y ．（1）当点P 与点A 重合时，直接写出DQ 的长；（2）当点P 在边BC 上运动时，直接写出BP 的长（用含x 的代数式表示）； （3）求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．【答案】（1）1；（2）)3PB x =-；（3）222)3)(34)x x y x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩ 【分析】（1）在Rt PDQ中，由tan 60ADDQ︒== （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=，则点P 在BC上时)3PB x -．（3）分类讨论①：点P 在AB 上，点Q 在CD 上；②：点P 在AB 上，点Q 在DC 延长线上；③：点P 在BC 上． 【详解】 解：（1）如图，在Rt PDQ中，AD =60PQD ∠=︒，∴tan 60ADDQ︒==∴1DQ AD ==． （2）点P 在AB 上运动时间为()313s ÷=， ∴点P 在BC上时：)3PB x -．（3）当03x ≤≤时，点P 在AB 上，作PM CD ⊥于点M ，PQ 交AB 于点E ，作EN CD ⊥于点N ，同（1）可得1MQ AD ==． ∴1DQ DM MQ AP MQ x =+=+=+， 当13x +=时2x =，①∴02x ≤≤时，点Q 在DC 上，∵tan BC BDC CD ∠==∴30DBC ∠=︒， ∵60PQD ∠=︒， ∴90DEQ ∠=°． ∵1sin 302EQ DQ ︒==， ∴1122x EQ DQ +==，∵sin 60EN EQ ︒==，∴)1EN x ==+，∴()))21111122y DQ EN x x x =⋅=++=+)202x x =≤≤．②当23x <≤时，点Q 在DC 延长线上，PQ 交BC 于点F ，如图， ∵132CQ DQ DC x x =-=+-=-，tan 60CFCQ︒=，∴)tan 602CF CQ x =⋅︒-，∴211(2)2)22CQF S CQ CF x x =⋅=--=-+△∴22DEQ CQF y S S =-=+-+⎝△△23)x x x =<≤．③当34x <≤时，点P 在BC 上，如图，∵3)CP CB BP x =--=，∴11(34)22y DC CP x x =⋅=⨯=<≤．综上所述：222)3)(34)x x y x x x x ≤≤⎪⎪⎪=<≤⎨⎪⎪<≤⎪⎪⎩． 【点睛】题目主要考察运用三角函数解三角形求出相应边的长度，然后利用三角形面积公式确定函数解析式，同时也对二次函数在几何动点问题进行考察，难点是在进行分类讨论时，作出对应图形并作出相应辅助线，同时确定相应的自变量范围．7．（2021·湖北天门·中考真题）如图1，已知45RPQ ∠=︒，ABC 中90ACB ∠=︒，动点P 从点A出发，以的速度在线段AC 上向点C 运动，,PQ PR 分别与射线AB 交于E ，F 两点，且PE AB ⊥，当点P 与点C 重合时停止运动，如图2，设点P 的运动时间为s x ，RPQ ∠与ABC 的重叠部分面积为2cm y ，y 与x 的函数关系由15(0)C x <≤和2()5C x n <≤两段不同的图象组成．（1）填空：①当5s x =时，EF =______cm ； ②sin A =______；（2）求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当236cm y ≥时，请直接写出．．．．x 的取值范围．【答案】（1）①10；（2）222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩；（3）6x ≤≤． 【分析】（1）①先根据等腰直角三角形的判定与性质可得EF PE =，再根据5x =时，50y =即可得； ②先根据运动速度和时间求出AP 的长，再根据正弦三角函数的定义即可得；（2）先求出当点P 与点C 重合时，n 的值，再分05x <≤和5x n <≤两种情况，解直角三角形求出PE 的长，然后利用三角形的面积公式即可得；（3）分05x <≤和56x <≤两种情况，分别利用二次函数的性质即可得． 【详解】解：（1）①,45PE AB RPQ ∠=︒⊥，Rt EFP ∴是等腰直角三角形， EF PE ∴=，由图可知，当5x =时，2115022y EF PE EF =⋅==， 解得10EF =或10EF =-（不符题意，舍去）， 故答案为：10；②由题意得：当5x =时，5AP ==则sinPE EF A AP AP ==（2）由函数图象可知，当5x =时，点F 与点B 重合，如图所示：10cm AP PE EF ===，20cm AE ∴=，30cm AB AE BE AE EF ∴=+=+=，在Rt ABC 中，sin BC AB A =⋅=，AC ∴=，则当点P 与点C 重合时，6()n s ==，①当05x <≤时，cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=， 则2211222RtEFPy S EF PE EF x ==⋅==； ②当56x <≤时，如图，设PR 交BC 于点N ，过点F 作FM AC ⊥，交AC 延长线于点M ，连接BP ，2cm AP =，sin 2cm EF PE AP A x ==⋅=，4cm AE x ∴==，)cm CP AC AP =-=， (304)cm BE AB AE x ∴=-=-，6cm AF EF AE x =+=，在Rt AFM △中，sin cm FM AF A x =⋅=，cm AM ∴，cm PM AM AP ∴=-=， ,90FM AC ACB ∠=︒⊥，//BC FM ∴， PCN PMF ∴~，CN CP FM PM ∴==，解得(cm)CN =，BN BC CN ∴=-=-，则1122BNP BEPy SSBN CP BE PE =+=⋅+⋅，11)(304)222x x =-+-⋅， 234360900x x =-+-，综上，222(05)34360900(56)x x y x x x ⎧<≤=⎨-+-<≤⎩； （3）①当05x <≤时，22y x =，令2236x =，解得x =x =-， 在05x <≤内，y 随x 的增大而增大，∴当36y ≥时，5x ≤；②当56x <≤时，234360900x x y =-+-， 此二次函数的对称轴为3609034217x =-=-⨯，则由二次函数的性质可知，当90517x <≤时，y 随x 的增大而增大；当90617x <≤时，y 随x 的增大而减小，当5x =时，2345360590050y -⨯+⨯-==， 当6x =时，234636069003650y -⨯+⨯-=<=， 则当6x =时，y 取得最小值，最小值为36， 即在56x<≤内，都有36y ≥，综上，当236cm y ≥时，x 的取值范围为6x ≤． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况讨论，并通过作辅助线，构造相似三角形和直角三角形是解题关键．8．（2021·内蒙古·包头市第四十八中学九年级月考）在矩形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm /s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm /s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．（1）填空：BQ ＝ ，PB ＝ （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于26cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．（4）是否存在t 的值，使△BPQ 的面积最大，若存在，请直接写出此时t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2t ，(5)t -；（2）2；（3）存在．1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ；（4）存在， 52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可；（2）利用勾股定理得到方程222(5)(2)5t t -+=，求解即可得到结果；（3）根据长方形ABCD 的面积减去PBQ ∆的面积等于五边形APQCD 的面积，列出方程，然后求解即可得到结果；（4）根据（3）可知PBQ ∆的面积为252524t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，据此求解即可．【详解】解：（1）由题意：2BQ t = cm ，(5)PB t cm =-， 故答案为2t ，(5)t -．（2）由题意得：222(5)(2)5t t -+=， 解得10t =（不合题意，舍去），22t =， ∴当t=2秒时，PQ 的长度等于5cm ． （3）存在．理由如下：长方形ABCD 的面积是：25630()cm ⨯=，使得五边形APQCD 的面积等于26 2cm ， 则PBQ ∆的面积为230264()cm -=， 即有：11(5)2422PB BQ t t =-=， 解得14t =，21t =．当4t =时，28BQ t BC ==>，不合题意，舍去， 即当1t =时，使得五边形APQCD 的面积等于262cm ． （4）存在，理由如下：由（3）可知PBQ ∆的面积为2211525(5)252224PB BQ t t t t t ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，即当52t =时，使得PBQ ∆的面积最大，等于2542cm ．【点睛】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，最值等知识，利用参数构建方程解决问题是解题的关键．9．（2021·广东佛山·九年级月考）如图1，在Rt △ABC 中，∠C =90º，AC =4cm ，BC =3cm ，点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，速度为1cm /s ；点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，速度为2cm /s ；连结PQ ．若设运动时间为t （s ）（0<t <2），解答下列问题： （1）当t 为何值时？PQ //BC ？（2）设△APQ 的面积为y （cm 2），求y 与t 之间的函数关系？（3）是否存在某一时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的周长和面积同时平分？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．（4）如图2，连结PC ，并把△PQC 沿AC 翻折，得到四边形PQP 'C ，那么是否存在某一时刻t ，使四边形PQP 'C 为菱形？若存在求出此时t 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）t =107；（2）y =-235t +3t （0<t <2）；（3）不存在，理由见解析；（4）存在，t =109【分析】（1）当PQ ∥BC 时，我们可得出△APQ 和△ABC 相似，那么可得出关于AP ，AB ，AQ ，AC 的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值．（2）过点P作PD⊥AC于D，则有△APD∽△ABC，由相似三角形的性质构建二次函数即可解决问题．（3）如果将△ABC的周长和面积平分，那么AP＋AQ＝BP＋BC＋CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是△ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻．（4）过P作PD⊥AC于点D，若QD=CD，则PQ=PC，四边形PQP'C就为菱形，同（2）的方法求出AD的表达式，再根据QD=CD即可求出t的值．【详解】解：（1）连接PQ，4,3,90,AC BC C==∠=︒5,AB∴==若APAB=AQAC时，PQ//BC，即55t-=24t，∴t=10 7（2）过P作PD⊥AC于点D，则有APAB=PDBC，即55t-=3PD，∴PD=35（5-t）∴y=12·2t·35（5-t）=-235t+3t（0<t<2）（3）若平分周长则有：AP+AQ=12（AB+AC+BC），即：5－t +2t =6， ∴t =1当t =1时，y =3.4；而三角形ABC 的面积为6，显然不存在．（4）过P 作PD ⊥AC 于点D ，若QD =CD ，则PQ =PC ，四边形PQP 'C 就为菱形．同（2）方法可求AD =45（5-t ），所以： 45（5-t ）-2t =4-45（5-t ）； 解之得：t =109． 即t =109时，四边形PQP 'C 为菱形．【点睛】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会由参数构建方程解决问题． 10．（2021·天津·中考真题）在平面直角坐标系中，O 为原点，OAB 是等腰直角三角形，90,OBA BO BA ∠=︒=，顶点()4,0A ，点B 在第一象限，矩形OCDE 的顶点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点C 在y 轴的正半轴上，点D 在第二象限，射线DC 经过点B ．（Ⅰ）如图①，求点B 的坐标；（Ⅰ）将矩形OCDE 沿x 轴向右平移，得到矩形O C D E ''''，点O ，C ，D ，E 的对应点分别为O '，C '，D ，E '，设OO t '=，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积为S ．①如图②，当点E '在x 轴正半轴上，且矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为四边形时，D E ''与OB 相交于点F ，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围； ②当5922t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（Ⅰ）点B 的坐标为()2,2；（Ⅰ）①21717228S t t =-+-， t 的取值范围是1142t ≤<；②2363816S ≤≤． 【分析】(I )过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ，由等腰三角形的“三线合一”性质得到122OH OA ==，再由∠BOH =45°得到△OBH 为等腰直角三角形，进而2BH OH ==，由此求得B 点坐标； (II )①由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==，进而得到72FE OE t '==-'，再由重叠部分面积OABFOE S S S'=-即可求解；②画出不同情况下重叠部分的图形，分5722t ≤≤和7922t <≤两种情况，将重叠部分的面积表示成关于t 的二次函数，再结合二次函数的最值问题求解． 【详解】解：(I )如图，过点B 作BH OA ⊥，垂足为H ．由点()4,0A ，得4OA =． ∵,90BO BA OBA =∠=︒，∴122OH OA ==．又∠BOH =45°，∴△OBH 为等腰直角三角形，∴2BH OH ==． ∴点B 的坐标为()2,2．(II )①由点7,02E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，得72OE =．由平移知，四边形O C D E ''''是矩形，得790,2O E D O E OE '''''∠=︒==． ∴72OE OO O E t '''='=--，90FE O ∠='︒．∵BO BA =，90OBA ∠=︒， ∴45BOA BAO ∠=∠=︒． ∴9045OFE BOA ∠=︒-∠='︒ ∴FOE OFE ∠=∠''． ∴72FE OE t '==-'． ∴2117222FOE SOE FE t '⎛⎫=⋅=- ⎪⎝'⎭'． ∴211742222OABFOE S S St '⎛⎫=-=⨯⨯-- ⎪⎝⎭． 整理后得到：21717228S t t =-+-．当'O 与A 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分刚开始为四边形，如下图(1)所示：此时4OO t '==，当'D 与B 重合时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分为三角形，接下来往右平移时重叠部分一直为三角形直到'E 与A 点重合，如下图(2)所示：此时''711222t OO DD ===+=， ∴t 的取值范围是1142t ≤<， 故答案为：21717228S t t =-+-，其中：1142t ≤<；②当5722t ≤≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图3所示：此时'4AO t =-，∠BAO =45°，'AO F 为等腰直角三角形， ∴''4AO FO t ， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， ∴重叠部分面积22'114(48)4422AOBAO FS SSt t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为4t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 故将72t =代入， 得到最大值217731()442228S ， 将52t =代入， 得到最小值215523()442228S， 当7922t <≤时，矩形O C D E ''''与OAB 重叠部分的面积如下图4所示：此时''4'AO OA OO t FO =-=-=，7'''2OE EE EO t ME =-=-= 'AO F 和'OE M 均为等腰直角三角形， ∴22'111''(4)48222AO FSAO FO t t t ， 22'1171749''()222228OE MSOE ME t t t ， ∴重叠部分面积222''1174915814(48)()222828AOBOE MAO FS SSSt t t t t t ， ∴S 是关于t 的二次函数，且对称轴为154t =，且开口向下， 故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小，故将154t =代入，得到最大值21515158163()424816S ， 将92t =代入， 得到最小值291598127()22288S ， ∵272388，6331168， ∴S 的最小值为238，最大值为6316， 故答案为：2363816S ≤≤． 【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、平移的性质、直角三角形的性质、二次函数的最值等问题，属于综合题，需要画出动点不同状态下的图形求解，本题难度较大，需要分类讨论． 11．（2021·安徽·中考一模）如图，直线443y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，过点()40C ，的直线恰好与y 轴交于点B ，点P 为线段AC 上的一动点（点P 与点A ，C 不重合），过点P 作//PQ BC 交AB 于点Q ，点A 关于PQ 的对称点为点D ，连接PD QD BD ，，．（1）当点D 恰好落在BC 上时，求点P 的坐标；（2）设点P 的坐标为()0m ,，若PDQ 和ABC 重叠部分的面积S 与点P 的横坐标m 之间的函数解析式为221(3)326161 4772a m m S m bm m ⎧⎛⎫+-<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-++<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，其图象如图②所示，请结合图①、②，求出a ，b 的值；（3）当BDQ △为直角三角形时，求出点P 的坐标．【答案】（1）1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）27a =，207b =；（3）点P 的坐标为3,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或4,07⎛⎫⎪⎝⎭【分析】（1）由直线AB 与y 轴交于点B ，即可得出()04B ，，再由()40C ，，易得直线BC 的解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，，由题意可知4OB OC PQ BC ==，∥，即可求出290APD QPA ∠=∠=︒，所以可知点D 的坐标为()4x x -+，，最后由AP PD =，即可得出34x x +=-+，解x 即可得出点P 的坐标；（2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，即得y x m =-+．联立443y x y x m⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可求出Q 点坐标为31241277m m -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， 即PQDAPQS SS==，即可列出等式，求出a ．再由函数图象可知点3227⎛⎫⎪⎝⎭，在267671m S bm ++=-的图象上，即3261642777b =-⨯++，解出b 即可． （3）由（2）可知312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．由于BQD ∠不可能为90︒，所以分类讨论①当BDQ ∠为直角时，过点Q ，B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M ，N ，连接BD ．由余角的性质可推出MDQ NBD ∠=∠，即tan tan MDQ NBD ∠=∠，所以MQ NDMD BN=，由题意可知3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，即41217397m m m m+-=+，解出m 即可求出P 点坐标．②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，即3344m m +=-+，解出m即可求出P 点坐标． 【详解】 （1）对于直线443y x =+，令x =0，则y =4；令y =0，则x =-3． ∴B 点坐标为()04，，A 点坐标为()30-，． 设经过点B 、C 的直线解析式为y kx b =+，则404bk b =⎧⎨=+⎩，解得：14k b =-⎧⎨=⎩，∴设经过点B 、C 的直线解析式为4y x =-+．设点P 的坐标为()0x ，， ∵4OB OC PQ BC ==，∥， ∴45QPA BCO ∠=∠=︒， ∴290APD QPA ∠=∠=︒，∴点D 的坐标为()4x x -+，， ∵AP PD =，∴34x x --=-+（）， 解得12x =， ∴点P 的坐标为102⎛⎫⎪⎝⎭，； （2）设直线PQ 的解析式为y x n =-+，将点()0P m ，代入得直线PQ 的解析式的得：y x m =-+， 联立443y x y x m ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得31274127m x m y -⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．∴31241277m m Q -+⎛⎫⎪⎝⎭，．当231m -<≤时，点D 在ABC 内， ∴重叠部分的面积即为PQD △的面积， ∴[]()()221133224122(3)77PQDAPQQ S S SAP y m a m m m +-===⋅=+=-⋅=+， ∴27a =， ∵由函数图象可得，当2m =时，327S =， ∴将3227⎛⎫⎪⎝⎭，代入267671m S bm ++=-，得3261642777b =-⨯++， 解得207b =． （3）由（2）得，312412(04)(3)77m m B D m m Q -+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，，，．分析题目可知BQD ∠不可能为90︒，∴①当BDQ ∠为直角时，过点Q 、B 作PD 的垂线，分别交PD 及其延长线于点M 、N ，连接BD ．∵9090NDB NBD NDB MDQ ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴MDQ NBD ∠=∠， ∴tan tan MDQ NBD ∠=∠，即MQ NDMD BN=， ∵3124124123934(3)17777m m m m MQ m MD m BN m ND m m -+++=-==+-===-+=-，，，，∴41217397m m m m+-=+，解得37m =或3m =-（舍去），∴点P 的坐标为307⎛⎫⎪⎝⎭，； ②当QBD ∠为直角时，即BD QB ⊥，由此可得直线BD 的解析式为344y x =-+，将()3D m m +，代入，得3344m m +=-+，解得：47=m ， ∴407P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 综上，当BDQ △为直角三角形时，点P 的坐标为307⎛⎫ ⎪⎝⎭，或407⎛⎫⎪⎝⎭，． 【点睛】本题为一次函数与二次函数综合题．考查利用待定系数法求解析式，平行线的性质，两直线的交点问题，解直角三角形，两垂直直线的比例系数的关系，综合性强，很难．正确的作出辅助线和利用分类讨论的思想是解答本题的关键．12．（2021·江苏·淮安市中考模拟预测）如图1，已知在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是矩形，点,A C 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，连接,3,30AC OA OAC =∠=︒，点D 是BC 的中点．（1）OC =_________；点D 的坐标为_________；（2）若在矩形边BC 上存在点E 满足2CE =，如图2，动点P 从点C 出发，沿C O A --以每秒1个单位长度匀速运动，到达点A 后停止运动．点P 在运动过程中，记点C 关于直线PE 的对称点为点C '，求当t 为何值时，点C '落在矩形的一边上．（3）过,,O B D 三点的抛物线记为1C ，点F 为直线OB 上方的抛物线1C 上一点，已知点()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<①当FBO BAD ∠=∠时，求点F 的坐标；②过点O 作OG BF ⊥交直线BF 于点G ，记m =，若直线y mx =与抛物线2C 恰好有3个交点，请直接写出实数a 的值．【答案】（132⎛ ⎝；（2),1s ；（3）①⎛ ⎝；②91,.22-- 【分析】（1）由四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，利用锐角三角函数与中点的含义可得答案；（2）分两种情况讨论，如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥ 再表示32CP OC tOC CE '== 再由勾股定理列方程)222,t t=+⎝⎭解方程可得答案，如图，当P 在AO 上时，3,t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-= 而(222,PC t =+ 再列方程解方程可得答案；（3）①先求解过,,O B D 抛物线的解析式为：2,y = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA 当//,DP OB 证明,BHD BAD FBO ∠=∠=∠则满足条件，再求解DP 为y = P 的坐标为15,8P ⎛ ⎝⎭同理可得：BP 的解析式为：y = 再解方程组可得答案；②由()1,1M ，点()3,1N ，求解抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T 再求解OG ==可得3,m === 正比例函数为：3y x =或3,y x =- 显然：3y x =-与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线记为()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，从而可得答案．【详解】解：（1）四边形OABC 是矩形，3,30OA OAC =∠=︒，113tan 30,222OC OA CD BC OA ∴=︒=== 3.2D ⎛∴ ⎝（2）如图，当P 在CO 上时，则0t ≤≤ 由,C C '关于PE 对称，则,,,PC PC t OP t CC PE ''===⊥90,PCC CPE CPE CEP '∴∠+∠=︒=∠+∠ ,PCC CEP '∴∠=∠ tan tan ,PCC CEP '∴∠=∠,CP OC CE OC'∴= 32CP OC tOC CE '∴==)222,t t∴=+⎝⎭(30,t t ∴--=解得：t =t =，如图，当P 在AO 3,t ≤ 由,C C '关于PE 对称， 则2,CE C E '== 此时,A C '重合，同理可得：(3,OP t PC PA t PC '===-=而(222,PC t =+((2233,t t ⎡⎤∴+=-⎣⎦66,t ∴=1,t ∴=综上：当t =或)1t s =时，点C '落在矩形的一边上．（3）①设过()(30,0,,2O B D ⎛ ⎝的抛物线为2,y ax bx =+939342a b a b ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩解得：a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为：2,y x = 如图，作DAB 的外接圆K ，过D 作//,DP OB 与外接圆交于点,P 连接BP 与抛物线的交点为,F 外接圆与OB 交于,H 连接,,,DH FH DA当//,DP OB 则,DPH PHB ∠=∠∴ ,DH BP = ,BD PH ∴=,BHD BAD FBO ∴∠=∠=∠满足条件，设OB 为,y kx =则3k =k ∴=∴ 设DP为,y b + 3,3,2D ⎛⎝b = b ∴= ∴DP 为y x = ()390,,3,0,2ABD D A ⎛∠=︒⎝9,44K DK AK ⎛∴=== ⎝⎭设,P x ⎛ ⎝⎭由PK DK =可得，2229,4x ⎫⎛⎫∴-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()815230,x x ∴--=12153,,82x x ∴== 当158x =时，158y =15,8P ⎛∴ ⎝⎭同理可得：BP的解析式为：y =2,y y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩解得：2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ ()3,3,B.F ⎛∴ ⎝ ②由()1,1M ，点()3,1N ，过,M N 两点的抛物线记为()22:0C y ax bx c a =++<1931a b c a b c ++=⎧∴⎨++=⎩可得：431b a c a =-⎧⎨=+⎩ ∴ 抛物线为()22:4310C y ax ax a a =-++<如图，延长BF 交y 轴于,Q 过O 作OG BF ⊥于,G 过G 作GT y ⊥轴于,T90,QGT OGT TOG OGT ∴∠+∠=︒=∠+∠,QGT TOG ∴∠=∠tan tan ,QGT TOG ∴∠=∠,QT TG TG TO∴= 则2,TG QT TO =:BF y = 则,Q ⎛ ⎝⎭ 设,,G x x ⎛ ⎝⎭2,x ⎛∴= ⎝⎭G 在第一象限，则x ＞0,3,7x ∴= 则OG =3,m ∴=== 3,m ∴=±∴ 正比例函数为：3y x =或3,y x =-显然：3y x =-与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<有两个交点，所以：3y x =与抛物线()22:4310C y ax ax a a =-++<只有一个交点，∴ 24313ax ax a x -++=有两个相等的实数根，()243310ax a x a ∴-+++=时，=0,242090,a a ∴++=1291,,22a a ∴=-=- 【点睛】本题考查的矩形与二次函数的综合题，考查了矩形与折叠，锐角三角函数的应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，难度大，灵活选择解题方法是解题的关键．。

等腰三角形的动点问题数学题就像一场找不到终点的旅行。

你从一个点出发，沿着复杂的路径走，最后不知道自己到底走到了哪里。

今天我们就来聊聊等腰三角形的动点问题。

这个题目听上去挺深奥的，实际上它的背后藏着不少有趣的小秘密，只要你敢跟我一起去探索，保准你能一笑而过，轻松搞定。

咱们得弄清楚什么叫“等腰三角形”。

说白了，就是两个边长一样的三角形，像什么呢？就像一把弯弯的弓，或者是你吃过的那种蘋果派，上下两侧都是对称的。

你看着它，觉得它仿佛能站得稳，能做个大跳跃，不管你怎么摆弄它，左右两边始终如一，这就叫做等腰。

是不是感觉有点像朋友之间的默契，心有灵犀一点通，彼此不言而喻？但如果把问题复杂化一点，假设这个等腰三角形的某个点可以自由移动，这个点能左右自如地跑，那么问题就来了。

动点的位置会随着它的运动而变化。

你是不是已经开始脑补自己在画图纸，手握圆规，试图画出那条完美的弧线？嘿，别急，咱们先来一步步搞清楚。

想象一下，你站在等腰三角形的底边上，而底边的两端分别叫做点A和点B。

你就在这条底边上找了个地方，选个地方蹲下来。

你的任务是让你蹲的地方能够移动，往左往右，一下子又到了点C。

那你猜猜，点C移动之后，会发生什么？是不是整个三角形看起来有点“变形”？对，就是这么神奇！你想，底边上某个点的每一次变动，都能影响这个等腰三角形的形状，像是给这个三角形施了魔法一样，它的对称性也会随之发生微妙的变化。

是不是觉得有点复杂了？别急，听我慢慢给你道来。

动点在底边上跑，大家最关心的应该是它的位置对三角形对称性的影响。

你看，如果点C在底边上偏左，那三角形的“腰”就会相应变得不对称；但如果它正好站在底边的正中间呢？哇塞，这时候你会发现，整个三角形变得更加对称了。

嗯，就像有些情侣，你知道他们总是能巧妙地让彼此的步伐同步，简直是天作之合。

再往下想，等腰三角形的动点究竟能跑到哪里？有没有什么规律？是不是动点的每一步都能让你摸到点窍门？嗯，真是的，这问题不简单啊！不过说实话，如果你仔细观察，就会发现它其实有点像一个自我约束的个体。