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人教版高中数学选修2-2教学案2.3数学归纳法(教师版)

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第1页/共16页 数学归纳法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________

1、数学归纳法的原理及应用. 2、数学归纳法的思想实质及在归纳推理中发现具体问题的递推关系.

一、数学归纳法： 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法，在高等数学中有着重要的用途，因而成为高考的热点之一。近几年的高考试题，不但要求能用数学归纳法去证明现代的结论，而且加强了对于不完全归纳法应用的考查，既要求归纳发现结论，又要求能证明结论的正确性，因此，初步形成“观察—－归纳—－猜想—－证明”的思维模式，就显得特别重要。

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n = n 0时命题成立；

（2）（归纳递推）假设n=k（）时命题成立，证明当时命题也成立。 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立。上述证明方法叫做数学归纳法。 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。

题型一、用数学归纳法证明恒等式 第2页/共16页

例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3=41 n2（n＋1）2

证明：① 当n=1时，左边=13=1，右边=11114122，

故等式成立． ② 假设n=k（Nk，且k≥1）时等式成立。 即13＋23＋33＋…＋k 3＋=41k2(k+1)2成立． 则当n=k＋1时，13＋23＋33＋…＋k 3＋(k+1)3

=322)1()1(41kkk =)1(4)1(4122kkk221141kk



221)1(141kk

．

即当n=k＋1 时等式也成立． 综合①，②，对一切Nn，等式都成立． 题型二、用数学归纳法证明不等式

例2、归纳法证明312111nnn…n31＞10

9

（n＞1，且Nn）． 证明：① n=2时，左边=20196151413

1＞109=右边，不等式成立.

② 假设n=k（Nk， k≥2）时不等式成立， 即2111kk…k31＞109成立． 则当 n=k＋1时， 3121kk…k31131k331231kk

=（2111kk…k31）＋（131k331231kk－11k）＞10

9＋

（131k331231kk－11k） ＞109＋（331k331331kk－11k） =10

9即当n=k＋1时不等式也成立．

综合①，②，对一切大于1的自然数n，不等式都成立． 题型三、用数学归纳法证明几何问题 例4．平面内有n)(*

Nn

个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求

证:这n个圆把平面分成22

nn个部分. 第3页/共16页

题型四、用数学归纳法证明整除问题 例4、 用数学归纳法证明32n＋2－8 n－9Nn能被64整除． 证明：① 当n=1时，32＋2－8×1－9=64 显然能被64整除，命题成立． ② 假设n=k（ k≥1，Nk）时命题成立． 即32k＋2－8k－9能被64整除．则当n=k＋1时， 32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9=9·32k＋2－8 k－8－9 =9（32k＋2－8 k－9）＋64 k＋64． ∵ 32k＋2－8 k－9与64均能被64整除， ∴ 32（k＋1）＋2－8（ k＋1）－9能被64整除． 即当n=k＋1时命题也成立． 综合①，②，对一切Nn，32n＋2－8n－9能被64整除． 题型五 归纳、猜想、证明 例8：是否存在常数a，b，c使等式

对一切自然数n都成立，并证明你的结论。 分析：可先把条件式对分别列出方程，试求a，b，c值，再用数学归纳法证明。 解：假设存在a，b，c使题设等式成立，那么令得到下面方程组：

解得 下面用数学归纳法证明当时，题设等式成立，即有：

① （1）当时，①式成立 （2）假设成立，即：

那么当时 第4页/共16页

故当时①式成立。 综上，可知当时，等式成立。

一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－1*，n>1)时，第一步应验证不等式( )

A．1＋12<2 B．1＋12＋13＜2

C．1＋12＋13＜3

D．1＋12＋13＋14＜3

[答案] B [解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( ) A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案] B [解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B. 第5页/共16页

3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( ) A.12n＋1 B.12n＋2 C.12n＋1＋12n＋2 D.12n＋1－12n＋2 [答案] D [解析] f(n＋1)－f(n)

＝

1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋1

2(n＋1)

－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1

＝12n＋1－12n＋2.

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( ) A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C [解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C. 6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 第6页/共16页

D．f(n)＋n－2 [答案] C [解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C. 7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( ) A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 [答案] D [解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2， 当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4⇔k2－2k－3≥0 ⇔(k＋1)(k－3)≥0⇒k≥3，因此需要验证n＝1，2，3时命题成立．故应选D. 8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( ) A．30 B．26 C．36 D．6 [答案] C [解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36. 9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( ) A.2(n＋1)2

B.2n(n＋1) C.22n－1 D.22n－1 [答案] B

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人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件

人教a版数学【选修2-2】2.3《数学归纳法》ppt课件


数学归纳法 温故知新 回顾复习归纳推理的定义、步骤及其所得结论的正确性如何 ．

新知导学 1．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取__________________时命题成立． 第一个值n0(n0 ∈N*) ②(归纳递推)假设___________________ 时命题成立，证明当 n＝k＋1时命题也成立． n＝k(k≥n0，k∈N*)
牛刀小试 1．用数学归纳法证明1＋2＋„＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时 ，在验证n＝1成立时，左边所得的代数式是( ) A．1 B．1＋3 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 [答案] C [解析] 当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，所以左边为1＋2＋ 3.故应选C.
[ 解析 ]
自变量的取值依次为 2,4 ＝ 22,8 ＝ 23,16 ＝ 24,32 ＝
25，„故为 2n.右边分母全为 2，分子依次为 3,4,5,6,7，„，故 n＋2 n n＋2 右边为 2 ，即 f(2 )> 2 .
典例探究学案
数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证 明恒等式
1 1 1 证明： ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 2n－12n＋1 n .(n∈N*) 2n＋1
1 1 1 1 n 2．用数学归纳法证明1· 2＋2· 3＋3· 4＋„＋nn＋1＝n＋1(n ∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增添的项是 ( ) 1 A． kk＋1 1 C． k k ＋2 1 1 B． ＋ kk＋1 k＋1k＋2 1 D． k＋1k＋2
1 1 1 127 而 1＋2＋4＋„＋ 8－1> 64 ，故应选 B. 2
1 1 1 4．(2013· 华池一中高二期中)已知 f(n)＝1＋2＋3＋„＋n(n 3 5 7 ∈N )，计算得 f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，由
2022年人教A版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 导学案

2022年人教A版高中数学选修2-2 2.3 数学归纳法 导学案

2.3数学归纳法 导学案【学习目标】学问与技能： 理解数学归纳法的概念，把握数学归纳法的步骤；过程与方法： 经受观看、思考、分析、抽象、概括出数学归纳法的两个步骤，初步形成归纳、猜想和发觉的力量； 情感态度价值观：通过数学归纳法的学习初步形成严谨务实的科学态度和严谨的数学思维品质与数学理性精神。

【重点】 理解数学归纳法的实质意义，把握数学归纳法的证题步骤。

【难点】 运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发觉具体问题的递推关系。

【学习过程】学问链接：对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能状况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。

它包括完全归纳法和不完全归纳法 探究一、创设问题情境，启动同学思维（A 级） 问题1：已知数列{}n a 的通项公式为22)55(+-=n n a n（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想肯定是正确的吗？问题2：已知数列{}n a 的通项公式为nnn a a a a +==+1,111 （1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想肯定是正确的吗？通过对上述两个状况的探究可以发觉什么问题探究二、搜寻生活实例，激发学习爱好（B 级）问题：在“多米诺骨牌”玩耍中,能使骨牌全部倒下的条件是什么?条件②的作用是什么：类比“多米诺骨牌”的原理来验证问题2中对于通项公式na n 1=的猜想。

（同学探讨后呈现）数学归纳法的概念（呈现）探究三、巩固认知结构，充实认知过程（C 级） 例1.用数学归纳法证明6)12)(1(3212222++=++++n n n n小结：通过该例题你认为用数学归纳法应留意哪些事项? （先由同学完成，老师再加以补充强调）练习：用数学归纳法证明：1+3+5+…+（2n-1）=2n例2：已知数列,)1(1,,431,321,211+⨯⨯⨯n n 设S n 为数列前n 项和，计算S 1, S 2 ,S 3 ,S 4,依据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明。

江苏省苏州市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

江苏省苏州市高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法教学设计 新人教A版选修22

数学归纳法【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。

2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。

（2）会证明简单的与正整数有关的命题。

2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。

3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。

【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。

【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。

（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体呈现多米诺骨牌等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：创设问题情境，启动学生思维情境1、法国数学家费马观察到：6553712,25712,1712,5124232212=+=+=+=+ 归纳猜想：任何形如122+n（n ∈*N ）的数都是质数，这就是著名的费马猜想。

半个世纪以后，数学家欧拉发现，第5个费马数670041764112525⨯=+=F 不是质数,从而推翻了费马的猜想。

高中数学选修2-2精品课件10：2.3 数学归纳法

高中数学选修2-2精品课件10：2.3 数学归纳法


即b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1＝32·54·67·…·2k2＋k 1> k＋1成立． 则当 n＝k＋1 时，左边＝b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bkb＋k 1·bkb＋k1＋＋1 1 ＝32·54·76·…·2k2＋k 1·22kk＋ ＋32
> k＋1·22kk＋ ＋32＝
小结 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑 归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、 综合法、分析法都可选用．
跟踪训练 1 用数学归纳法证明212＋312＋412＋…＋n12< 1－1n(n≥2，n∈N*)． 证明：当 n＝2 时，左式＝212＝41，右式＝1－21＝21， 因为41<21，所以不等式成立．
题型二 利用数学归纳法证明整除问题 例 2 求证：an＋1＋(a＋1)2n－1 能被 a2＋a＋1 整除，n∈N*. 证明：(1)当 n＝1 时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1， 命题显然成立． (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，ak＋1＋(a＋1)2k－1 能被 a2＋a＋1 整除，则 当 n＝k＋1 时，
题型探究 题型一 用数学归纳法证明不等式 问题 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？ 答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由 n＝k 到 n ＝k＋1 时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放 缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明 n＝k＋1 时的结论．
例 1 已知数列{bn}的通项公式为 bn＝2n，求证：对任意
3．用数学归纳法证明 3n≥n3(n≥3，n∈N*)第一步应 验证_n_＝__3_时__是__否__成__立___．
【解析】n 的最小值为 3， 所以第一步验证 n＝3 时是否成立．
4．用数学归纳法证明 1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n ＋1)时，从“n＝k”到“n＝k＋1”，左边需增添的代数式是 (_2_k_＋__2_)＋__(_2_k_＋__3_) ． 【解析】当 n＝k 时，左边是共有 2k＋1 个连续自然数相加， 即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 所以当 n＝k＋1 时，左边共有 2k＋3 个连续自然数相加， 即 1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)． 所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).