苏教版高中数学必修4第三章-三角恒等变换教案【精美整理版】

3.1.2 两角和与差的正弦学习目标 1.了解两角和与差的正弦和两角和与差的余弦间的关系.2.会推导两角和与差的正弦公式，掌握公式的特征.3.能运用公式进行三角函数的有关化简求值．知识点 两角和与差的正弦思考1 如何利用两角差的余弦公式和诱导公式得到两角和的正弦公式？思考2 如何推导两角差的正弦呢？梳理 (1)两角和与差的正弦公式记忆口诀：“正余余正，符号相同”． (2)辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2sin x ＋b a 2＋b 2cos x ，令cos φ＝aa 2＋b2，sin φ＝b a 2＋b2，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(cos φsin x ＋sin φcosx )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba，φ为辅助角．类型一 给角求值例1 (1)化简求值：sin(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(63°－x )·sin(x －18°)．(2)sin 50°－sin 20°cos 30°cos 20°＝________.反思与感悟 (1)解答此类题目一般先要用诱导公式把角化正化小，化切为弦统一函数名称，然后根据角的关系和式子的结构选择公式．(2)解题时应注意观察各角之间的关系，恰当运用拆角、拼角技巧，以达到正负抵消或可以约分的目的，从而使问题得解．跟踪训练1 计算：(1)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (2)sin(54°－x )cos(36°＋x )＋cos(54°－x )sin(36°＋x )．类型二 给值求值 例2 已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35，且0<α<π4<β<3π4，求cos(α＋β)．反思与感悟 (1)给值(式)求值的策略：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式． ②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．跟踪训练2 已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cos 2α与cos 2β的值．类型三 辅助角公式命题角度1 用辅助公式化简例3 将下列各式写成A sin(ωx ＋φ)的形式： (1)3sin x －cos x ； (2)24sin(π4－x )＋64cos(π4－x )．反思与感悟 一般地对于a sin α＋b cos α形式的代数式，可以提取a 2＋b 2，化为A sin(ωx ＋φ)的形式，公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(或a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2cos(α－φ))称为辅助角公式.利用辅助角公式可对代数式进行化简或求值. 跟踪训练3 sin π12－3cos π12＝________.命题角度2 求函数值域最值例4 已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，求函数f (x )的值域．反思与感悟 (1)用辅助角公式化成一角一函数， 即a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ±φ)的形式． (2)根据三角函数的单调性求其值域．跟踪训练4 (1)当函数y ＝sin x －3cos x (0≤x ≤2π)取得最大值时，x ＝________；(2)函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________．1．计算sin 43°cos 13°－cos 43°sin 13°的结果等于________．2．化简：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝________.3．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________. 4．计算2cos π12＋6sin π12的值是________．5．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－3x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋3x .1．公式的推导和记忆 (1)理顺公式间的逻辑关系C (α－β)―――――→以－β代换βC (α＋β)――――→诱导公式S (α＋β)―――――→以－β代换βS (α－β). (2)注意公式的结构特征和符号规律对于公式C (α－β)，C (α＋β)可记为“同名相乘，符号反”； 对于公式S (α－β)，S (α＋β)可记为“异名相乘，符号同”．(3)符号变化是公式应用中易错的地方，特别是公式C (α－β)，C (α＋β)，S (α－β)，且公式sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，角α，β的“地位”不同也要特别注意． 2．应用公式需注意的三点(1)要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正确地找出所给式子与公式右边的异同，并积极创造条件逆用公式．(2)注意拆角、拼角的技巧，将未知角用已知角表示出来，使之能直接运用公式． (3)注意常值代换：用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关公式，其中特别要注意的是“1”的代换，如1＝sin 2α＋cos 2α，1＝sin 90°，12＝cos 60°，32＝sin 60°等，再如：0，12，22，32等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数．答案精析问题导学 知识点思考1 sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－α＋β＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α·cos β＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2－αsin β＝sin αcos β＋cos αsin β.思考2 可以由sin(α－β)＝cos[π2－(α－β)]＝cos[(π2－α)＋β]得到，也可以由sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]得到． 梳理 (1)sin αcos β＋cos αsin β 题型探究 例1 (1)22 (2)12跟踪训练1 解 (1)原式＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝12.(2)原式＝sin[(54°－x )＋(36°＋x )]＝sin 90°＝1. 例2 解 ∵0<α<π4<β<3π4，∴3π4<3π4＋α<π，－π2<π4－β<0. 又∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝513， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋α＝－1213，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝－45. ∴cos(α＋β)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋α＋β＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－β＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－3365. 跟踪训练2 解 ∵π2<β<α<3π4，∴0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.∴sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12132＝513，cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45.∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)·sin(α－β) ＝－45×1213－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－3365，cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)·sin(α－β) ＝－45×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×513＝－6365.例3 解 (1)3sin x －cos x ＝2(32sin x －12cos x ) ＝2(cos π6sin x －sin π6cos x )＝2sin(x －π6)．(2)原式＝22[12sin(π4－x )＋32cos(π4－x )] ＝22[sin π6sin(π4－x )＋cos π6cos(π4－x )] ＝22cos(π4－x －π6)＝22cos(π12－x )＝22sin(x ＋5π12)． 跟踪训练3 － 2例4 解 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2cos x ＝3sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，因为π2≤x ≤π，所以π3≤x －π6≤5π6.所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6≤1.所以函数f (x )的值域为[1,2]．跟踪训练4 (1)5π6 (2)[－3，3]当堂训练1.122.cos α3.124.25.2－64。

1 ＝sin αsin β－cos αcos β＋cos α＋cos β－ 2
2 2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos α(1－cos β)＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin αsin β＋cos αsin β＋cos β－2
2 2 2 2 2
1 ＝sin β(sin α＋cos α)＋cos β－ 2
2
3．常用角的变换 在和(差)公式中，需分析已知角与已知角、目标角与已知角间 的关系． 常见角的变换有：α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β； 2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(β＋α)－(β－α)； 2α＋β＝(α＋β)＋α；α＋2β＝(α＋β)＋β； α＋β α＋β α＋β＝ 2 ＋ 2 ，
α－β α＋β β α β α ＝α－2－2－β； ＝α＋2－2＋β 2 2
1 1 ＝ (1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋ (1＋cos 2αcos 2β＋ 4 4 1 1 1 1 cos 2α＋cos 2β)－ cos 2αcos 2β＝ ＋ ＝ . 2 4 4 2
法四 原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin β· cos αcos β 1 －2cos 2αcos 2β 1 1 ＝cos (α＋β)＋ sin 2αsin 2β－ cos 2αcos 2β 2 2
4 1 【例 2】 已知 α，β 为锐角，cos α＝ ，tan(α－β)＝－ ，求 5 3 cos β 的值．
π π 解 ∵0＜α＜2，0＜β＜2， π π ∴－2＜α－β＜2， 1 π 又 tan(α－β)＝－3，∴－2＜α－β＜0. 1 sinα－β 由 tan(α－β)＝－ ＝ ， 3 cosα－β

3.1.1 两角和与差的余弦1．能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．(难点)2．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式．(重点) 3．能用两角和与差的余弦公式化简、求值．(重点)[基础·初探]教材整理 两角和与差的余弦公式 阅读教材P 103～P 104完成下列问题． 1．两角差的余弦公式C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 2．两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)α，β∈R 时，cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.( ) (2)cos 105°＝cos 45° cos 60°－sin 45°sin 60°.( ) (3)cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( ) (4)cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2α.( )【解析】 正确运用公式．(1)中加减号错误．(2)(3)(4)正确． 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]已知sin α＝5，α∈⎝ ⎛⎭⎪2，π，cos β＝－13，β是第三象限角，求cos(α－β)的值．【精彩点拨】 由sin α求cos α；由cos β求sin β，套用cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β公式求值．【自主解答】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－35.又β是第三象限角，cos β＝－513，∴sin β＝－1213.∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＝－3365.解决条件求值问题的关键是：找出已知条件与待求式之间的角、运算及函数的差异，一般可适当变换已知条件，求得另外函数式的值，以备应用；同时也要注意变换待求式，便于将已知条件及求得的函数值代入，从而达到解题的目的.[再练一题]1．已知sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3的值．【解】 ∵sin α＝15，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－265.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3 ＝－265×12＋15×32＝3－2610.(2)cos(35°－α)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α)． 【精彩点拨】 从所求式子的形式，角的特点入手，化简求值． 【自主解答】 (1)c os 15°cos 105°＋sin 15°sin 105° ＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝0.(2)原式＝cos(α－35°)cos(25°＋α)＋sin(α－35°)sin(25°＋α) ＝cos[(α－35°)－(25°＋α)] ＝cos(－60°)＝cos 60°＝12.1．两角和与差的余弦公式中，α，β可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体．2．在运用公式化简求值时，要充分利用诱导公式构造两角和与差的余弦结构形式，然后逆用公式求值．[再练一题] 2．求下各式的值(1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195°； (2)cos 24°cos 36°－sin 24°cos 54°. 【解】 (1)cos 75°cos 15°－sin 75°sin 195° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝c os(75°－15°)＝cos 60°＝12.(2)原式＝cos 24°cos 36°－sin 24°·sin 36° ＝cos(24°＋36°)＝cos 60°＝12.[探究共研型]探究1 角“α【提示】 α＋β＝α＋β；α＝(α＋β)－β；β＝(α＋β)－α. 探究2 已知cos(α＋β)和sin β的值，如何求cos α的值？【提示】 由α＝(α＋β)－β可知，cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β，故可先求出sin(α＋β)及cos β的值，代入上式求得cos α的值．已知α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝1213，求cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.【导学号：06460069】【精彩点拨】 已知α＋β，β－π4的正弦值，可用同角三角函数的基本关系式，结合α，β的范围求其余弦值，所以可利用角变换α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4来求值． 【自主解答】 ∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴(α＋β)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π. ∴cos(α＋β)＝1－sin2α＋β＝45. 又⎝⎛⎭⎪⎫β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－513. ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝cos(α＋β)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＋sin(α＋β)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1213＝－5665.1．利用和(差)角的余弦公式求值时，不能机械地从表面去套公式，而要变通地从本质上使用公式，即把所求的角分解成某两个角的和(差)，并且这两个角的正、余弦函数值是已知的或可求的，再代入公式即可求解．2．在将所求角分解成某两角的和(差)时，应注意如下变换：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝[(α＋β)＋(α－β)]，2α＝[(β＋α)－(β－α)]等．[再练一题]3．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cos α的值．【解】 ∵α，β为锐角，∴0＜α＋β＜π. 又∵cos(α＋β)＝1213，∴0＜α＋β＜π2，∴0＜2α＋β＜π.又∵cos(2α＋β)＝35，∴0＜2α＋β＜π2，∴sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，∴cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. [构建·体系]1．cos 75°＝________；cos 15°＝________.【解析】 cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝6－24. cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 30°sin 45°＝6＋24.【答案】6－24 6＋242．cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°的值为________．【解析】 cos 45°cos 15°＋sin 15°sin 45°＝cos(45°－15°)＝cos 30°＝32. 【答案】323．化简cos 7°－sin 15°sin 8°cos 8°＝________.【解析】 原式＝－－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°＋sin 15°sin 8°－sin 15°sin 8°cos 8°＝cos 15°cos 8°cos 8°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝22×32＋22×12＝6＋24. 【答案】6＋244．若sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________. 【导学号：06460070】【解析】 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，∴cos α＝－45.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋22×35＝－210. 【答案】 －2105．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜π2，求cos α. 【解】 由于0＜α－π6＜π3，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1213，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝513. 所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6·sin π6＝1213×32－513×12＝123－526.我还有这些不足：(1) (2)我的课下提升方案： (1) (2)学业分层测评(二十四) 两角和与差的余弦(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．cos(x ＋27°)cos(18°－x )－sin(18°－x )sin(x ＋27°)等于________． 【解析】 原式＝cos(x ＋27°＋18°－x )＝cos 45°＝22. 【答案】222．若x ∈[0，π]，sin x 3sin 2x 3＝cos x 3cos 2x3，则x 的值是________．【解析】 ∵cos x 3cos 2x 3－sin x 3sin 2x3＝0，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋2x 3＝0，∴cos x ＝0，∵x ∈[0，π]∴x ＝π2.【答案】π23．已知cos(α＋β)＝45，cos(α－β)＝－45，则cos αcos β的值为________．【解析】 cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－45∴2cos αcos β＝0. ∴cos αcos β＝0. 【答案】 04．(2016·苏州高一检测)已知cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin β＝－1213，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是________. 【导学号：06460071】【解析】 ∵cos α＝－35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝1－cos 2α＝45.又sin β＝－1213，β是第三象限角，∴cos β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12132＝－513.cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝1565－4865＝－3365. 【答案】 －33655．在△ABC 中，若sin A sin B ＜cos A cos B ，则△ABC 一定为________三角形． 【解析】 由sin A sin B ＜cos A cos B 得 cos(A ＋B )＞0， ∴cos C ＜0.∴∠C ＞90°，∴△ABC 为钝角三角形． 【答案】 钝角6．化简2cos 10°－sin 20°cos 20°＝________.【解析】2cos 10°－sin 20°cos 20°＝－－sin 20°cos 20°＝3cos 20°＋s in 20°－sin 20°cos 20°＝ 3.【答案】37．已知向量a ＝(cos 75°，sin 75°)，b ＝(cos 15°，sin 15°)，则|a －b |＝________. 【解析】 |a |＝1，|b |＝1，a ·b ＝cos 75° cos 15°＋sin 75° sin 15°＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝12.∴|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋1＝1.【答案】 18．(2016·南京高一检测)若sin α－sin β＝1－32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为________．【解析】 ∵(sin α－sin β)2＋(cos α－cos β)2＝2－2cos(α－β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴cos(α－β)＝32.【答案】32二、解答题9．设cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，其中α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求cos α＋β2的值．【解】 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－181＝459， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－49＝53. ∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－19×53＋459×23＝7527.10．若cos(α－β)＝55，cos 2α＝1010，并且α，β均为锐角且α＜β，求α＋β的值．【解】 ∵α＜β，cos(α－β)＝55， ∴sin(α－β)＝－255.∵α为锐角，cos 2α＝1010， ∴sin 2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)] ＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β) ＝1010×55＋31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255 ＝－22. ∵0＜α，β＜π2，∴0＜α＋β＜π.∴α＋β＝3π4.[能力提升]1．已知点P (1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝________. 【解析】 由已知sin α＝63，cos α＝33， cos(30°－α)＝cos 30° cos α＋sin 30°sin α＝32×33＋12×63＝3＋66. 【答案】3＋662. (2016·南通高一检测)如图3­1­1，在平面直角坐标系中，锐角α，β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，如果点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则cos(α－β)＝________.图3­1­1【解析】 易知sin α＝35，cos β＝513，又因为α，β为锐角，∴cos α＝45，sin β＝1213，∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝45×513＋35×1213＝5665. 【答案】 56653．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝14，则cos α＋3sin α＝________. 【解析】 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos π3cos α＋sin π3sin α ＝12cos α＋32sin α ＝12(cos α＋3sin α)＝14∴cos α＋3sin α＝12. 【答案】 124．已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，求cos(α＋β)的值． 【解】 (1)∵f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，ω＞0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫15x ＋π6， 而α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＝－65，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5β－5π6＝1617，∴2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5α＋5π3＋π6＝－65， 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15⎝⎛⎭⎪⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.。

第1课时 §3.1.1 两角和与差的余弦【教学目标】一、知识与技能：1．掌握两点间的距离公式及其推导；2．掌握两角和的余弦公式的推导；3．能初步运用公式()C αβ±来解决一些有关的简单的问题二、过程与方法经历用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，体验和感受数学发现和创造的过程，体会向量和三角函数间的联系；三、情感态度价值观：用余弦的差角公式推出余弦的和角公式，理解化归思想在三角变换中的作用教学重点难点：两点间的距离公式及两角和的余弦公式的推导【教学过程】一．复习回顾1．数轴两点间的距离公式：12MN x x =-．2．点(,)P x y 是α终边与单位圆的交点，则sin ,cos y x αα==．二、新课讲解：1．两点间的距离公式及其推导设111222(,),(,)P x y P x y 是坐标平面内的任意两点，从点12,P P 分别作x 轴的垂线1122,P M P M ，与x 轴交于点1122(,0),(,0)M x M x ；再从点12,P P 分别作y 轴的垂线1122,PN P N ，与y 轴交于点1122(0,),(0,)N y N y ．直线11PN 与22P M 相交于点Q ，那么 11221PQ M M x x ==-， 21221QP N N y y ==-．由勾股定理，可得2221212PP PQ QP =+222121x x y y =-+- 222121()()x x y y =-+-∴12PP =2．两角和的余弦公式的推导在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作角,αβ与β-，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点1P ，终边交⊙O 于点2P ；角β的始边为2OP ，终边交⊙O 于点3P ；角β-的始边为1OP ，终边交⊙O 于点4P ，则点1234,,,P P P P 的坐标分别是1(1,0)P，2(cos ,sin )P αα， 3(cos(),sin())P αβαβ++，4(cos(),sin())Pββ--， 1324PP P P =，∴22[cos()1]sin ()αβαβ+-++22[cos()cos ][sin()sin ]βαβα=--+--得：22cos()αβ-+22(cos cos sin sin )αβαβ=--∴cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-．（()C αβ+）3．两角差的余弦公式在公式()C αβ+中用β-代替β，就得到cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （C αβ-）说明：公式()C αβ±对于任意的,αβ都成立。