2018届陕西省安康市高三数学二模试卷(理科)Word版含解析

2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合M ={x|x 2−7x <0}，B ={1, 3, 5, 7}，则M ∩N =( ) A.{1, 3} B.{3, 5} C.{1, 3, 5} D.{1, 3, 5, 7}2. 已知a >0，i 为虚数单位，ai(a +i)的实部与虚部互为相反数，则a =( ) A.4 B.3 C.2 D.13. 已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|<π2，则sin2θ=( )A.8√29B.2√23C.4√29D.2√294. 若抛物线x 2=16y 上一点(x 0,y 0)到焦点的距离是该点到x 轴距离的3倍，则y 0=（ ）A.2B.√2C.1D.125. 《九章算术》中的玉石问题：“今有玉方一寸，重长两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176两），问玉、石重各几何？”其意思为：“宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两，现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，质量是11斤（即176两），问这个正方体中的宝玉和石料各多少两？”如图所示的程序框图给出了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x ，y 分别为（ ）A.90，86B.94，82C.98，78D.102，746. 设x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0，则z =3x −2y 的最大值为（ ）A.−1B.3C.9D.127. 已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间(−∞, 0)上单调递增．若实数a 满足f(32a−1)≥f(−√3)，则a 的最大值是（ ）A.1B.12 C.14 D.348. 为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份有限公司通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2016年1月至2017年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如图的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是（ ）A.2016年各月的仓储指数最大值是在3月份B.2017年1月至7月的仓储指数的中位数为55C.2017年1月与4月的仓储指数的平均数为52D.2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大9. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π，且其图象向右平移2π3等个单位后得到函数g(x)=sinωx 的图象，则φ等于（ ） A.4π9B.2π9C.π6D.π310. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.4B.6C.203D.22311. 过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，D 为虚轴上的一个端点，且△ABD 为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A.(1, √2) B.(√2, √2+√2) C.(√2, 2)D.(1, √2)∪(√2+√2, +∞)12. 已知函数f(x)=e 4x−1,g(x)=12+ln(2x)，若f(m)=g(n)成立，则n −m 的最小值为( ) A.1−ln24 B.1+2ln23C.2ln2−13D.1+ln24二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知单位向量，满足，则向量与的夹角为________．14. 如图，长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2，则异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值是________．15. 两位同学分4本不同的书，每人至少分1本，4本书都分完，则不同的分发方式共有________种．16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，sinA:sinB =1:√3，若c =2cosC =√3，则△ABC 的周长为________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分.17. 已知正项数列{a n }满足a 1=1，a n 2+a n =an+12−a n+1，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n =n 2+a n ．（1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）求数列{1an+1b n}的前n 项和T n ．18. 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动．为了解高三学生课外阅读情况，采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个小组中随机抽取10名学生参加问卷调查．各组人数统计如下：（1）从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名，求这两名学生来自同一个小组的概率；（2）在参加问卷调查的10名学生中，从来自甲、丙两个小组的学生中随机抽取两名，用X 表示抽得甲组学生的人数，求X 的分布列和数学期望．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，△PAD ≅△BAD ，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB =4，PA =PD ，M 在棱PD 上运动．（1）当M 在何处时，PB // 平面MAC ；（2）当PB // 平面MAC 时，求直线PC 与平面MAC 所成角的弦值．20. 已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为M ，若直线MF 1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N ，△F 2MN 的周长为4√2． （1）求椭圆的标准方程；（2）过点F 1的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于P ，Q 两点，点P 在点Q 的上方，若S △F 1NQ =23S △F 1MP ，求直线l 的斜率．21. 已知函数f(x)=x(lnx −ax)，(a ∈R)． （1）若a =0时，求函数f(x)的最小值；（2）若函数f(x)既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =cosℎetay =1+sinℎeta （ℎeta 为参数），曲线C 2的参数方程为{x =2cosarpℎi y =sinarpℎi（arpℎi 为参数） （1）将C 1，C 2的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρ(cosθ−2sinθ)＝4，若C 1上的点P对应的参数为ℎeta =π2，点Q 上在C 2，点M 为PQ 的中点，求点M 到直线l 距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知f(x)＝|x −a 2|+|x +2a +3|． （1）证明：f(x)≥2；（2）若f(−32)<3，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年陕西省榆林市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】 C【考点】交集及其运算 【解析】化简集合M 、根据交集的定义写出M ∩N ． 【解答】集合M ={x|x 2−7x <0}={x|0<x <7}， B ={1, 3, 5, 7}， 则M ∩N ={1, 3, 5}． 2.【答案】 D【考点】 复数的运算 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部互为相反数列式求得a 值． 【解答】∵ ai(a +i)=−a +a 2i 的实部与虚部互为相反数， ∴ a 2=a ，又a >0， ∴ a =1． 3.【答案】 C【考点】二倍角的三角函数 【解析】由已知可求sinθ的值，利用同角三角函数基本关系式可求cosθ的值，根据二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【解答】 ∵ |θ|<π2， ∴ cosθ∈(0, 1]， ∵ cosθsinθ=3cos(2π+θ)，∴cosθsinθ=3cosθ，可得：sinθ=13，∴ cosθ=√1−sin 2θ=2√23， ∴ sin2θ=2sinθcosθ=2×13×2√23=4√29．4.【答案】 A【考点】 抛物线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：方法一：由题意知抛物线的焦点为(0,4)，则{x 02+(y 0−4)2=9y 02,x 02=16y 0,解得y 0=2或y 0=−1（舍去）. 方法二：由抛物线的定义可知，点(x 0,y 0)到焦点的距离为y 0+4，点(x 0,y 0)到x 轴的距离为y 0，所以y 0+4=3y 0，解得y 0=2. 故选A . 5.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】模拟程序的运行，可得： x ＝86， y ＝90，s =867+906，不满足条件s ＝27，x ＝90，y ＝86，s =907+866， 不满足条件s ＝27，x ＝94，y ＝82，s =947+826， 不满足条件s ＝27，x ＝98，y ＝78，s =987+786=27，满足条件s ＝27，退出循环，输出x 的值为98，y 的值为78． 6.【答案】 C【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义，即可得到结论． 【解答】作出x ，y 满足约束条件{y ≥0x −y +1≥0x +y −3≤0对应的平面区域如图：由z =3x −2y 得y =32x −z2，平移直线y =32x −z2当直线y =32x −z2经过点A 时，直线y =32x −z2的截距最小，此时z 最大． 由{y =0x +y =3，解得A(3, 0)， 此时z max =3×3−2×0=9， 7.【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据f(x)为R 上的偶函数即可得出f(32a−1)=f(−32a−1)，再根据f(x)在(−∞, 0)上单调递增，即可根据条件得出−32a−1≥−312，由此即可解得a ≤34，从而便可得出a 的最大值． 【解答】解：f(x)是R 上的偶函数，在(−∞, 0)上单调递增； ∴ f(32a−1)=f(−32a−1)；∴ 由f(32a−1)≥f(−√3)得f(−32a−1)≥f(−√3)； ∴ −32a−1≥−√3； ∴ 32a−1≤312； ∴ 2a −1≤12； 解得a ≤34； ∴ a 的最大值为34． 故选D . 8.【答案】 D【考点】频率分布折线图、密度曲线 【解析】在A 中，2016年各月的合储指数最大值是在11月份；在B 中，2017年1月至7月的仓储指数的中位数为51；在C 中，2017年1月与4月的仓储指数的平均数为53.75；在D 中，2016年1月至4月的合储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大． 【解答】解：根据该折线图得到：在A 中，2016年各月的仓储指数最大值是在11月份，故A 错误； 在B 中，2017年1月至7月的仓储指数的中位数为51，故B 错误；在C 中，2017年1月与4月的仓储指数的平均数为：14(50+54+55+56)=53.75，故C 错误；在D 中，2016年1月至4月的仓储指数相对于2017年1月至4月，波动性更大，故D 正确． 故选D . 9.【答案】 B【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】直接利用正弦型函数的性质和平移变换求出结果． 【解答】函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为6π， 则：ω=2π6π=13， 则：f(x)=sin(13x +φ)，将函数的图象向右平移2π3等个单位后得到： g(x)=sin[13(x −2π3)+φ]=sin 13x ， 即：φ=2π9．10.【答案】 B【考点】由三视图求面积、体积 【解析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形，则体积可求． 【解答】由三视图还原原几何体如图，该几何体是棱长为2的正方体挖去一个三棱柱，且挖去三棱柱的高为1，底面是腰长为2的等腰直角三角形， ∴ 原几何体的体积V =23−12imes2imes2imes1=6．11.【答案】 D【考点】 双曲线的性质 【解析】设出双曲线的左焦点，令x =−c ，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，讨论∠DAB 为钝角，可得AD →⋅AB →<0，或∠ADB 为钝角，可得DA →⋅DB →<0，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式和范围，即可得到所求范围． 【解答】 设双曲线C:x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点F 1(−c, 0)，令x =−c ，可得y =±√c 2a 2−1=±b 2a ，可得A(−c, b 2a )，B(−c, −b 2a )，又设D(0, b)，可得AD →=(c, b −b 2a)，AB →=(0, −2b 2a)，DB →=(−c, −b −b 2a)，由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD →⋅AB →<0， 即为0−2b 2a⋅(b −b 2a)<0，化为a >b ，即有a 2>b 2=c 2−a 2， 可得c 2<2a 2，即e =ca <√2， 又e >1，可得1<e <√2，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得DA →⋅DB →<0， 即为c 2−(b 2a +b)(b 2a −b)<0，化为c 4−4a 2c 2+2a 4>0， 由e =ca ，可得e 4−4e 2+2>0， 又e >1，可得e >√2+√2．综上可得，e 的范围为(1, √2)∪(√2+√2．+∞)． 12.【答案】 D【考点】函数与方程的综合运用【解析】根据f(m)=g(n)=t 得到m ，n 的关系，利用消元法转化为关于t 的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论． 【解答】解：不妨设f(m)=g(n)=t ，∴ e 4m−1=12+ln(2n)=t ，(t >0)∴ 4m −1=lnt ，即m =14(1+lnt)，n =12e t−12，故n −m =12et−12−14(1+lnt)，(t >0)令ℎ(t)=12e t−12−14(1+lnt)，(t >0)，∴ ℎ′(t)=12e t−12−14t，易知ℎ′(t)在(0, +∞)上是增函数，且ℎ′(12)=0，当t >12时，ℎ′(t)>0， 当0<t <12时，ℎ′(t)<0，即当t =12时，ℎ(t)取得极小值同时也是最小值，此时ℎ(12)=12−14(1+ln 12)=1+ln24，即n −m 的最小值为1+ln24.故选D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.【答案】 60∘（或） 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用向量的数量积与夹角关系，转化求解即可． 【解答】由题单位向量，满足，2−3． 可得，故向量与的夹角为60∘（或写成）． 14.【答案】√3010【考点】异面直线及其所成的角 【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能法出异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值．【解答】∵ 长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面是边长为1的正方形，高为2， ∴ 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴， 建立空间直角坐标系，B(1, 1, 0)，C 1(0, 1, 2)，D(0, 0, 0)， B 1(1, 1, 2)，BC 1→=(−1, 0, 2)，DB 1→=(1, 1, 2)， 设异面直线BC 1与DB 1的夹角为θ， 则cosθ=|BC 1→∗DB 1→||BC 1→|∗|DB 1→|=√5∗√6=√3010． ∴ 异面直线BC 1与DB 1的夹角的余弦值为√3010．15.【答案】 14【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】根据题意，分2类进行分析求解：1、将4本书分为2组，一组2本，2、将书分3本一组，与一本一组，求出分配方法数，然后求和即可． 【解答】根据题意，分2类进行分析：1、将4本书分为2组，一组2本，另一组2本，有C 42∗C 22=6种分组方法；2、将4本不同的书，分2组一组3本，另一组1本，有C 21∗C 41∗C 11=8种情况，则不同的分法有6+8=14种； 16.【答案】 3+2√3 【考点】 正弦定理 【解析】根据题意，由正弦定理可得a:b =1:√3，设a =t ，则b =√3t ，分析可得cosC 的值，由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =4t 2−3t 2=3，解可得t 的值，即可得a 、b 的值，将a 、b 、c 的值相加即可得答案． 【解答】根据题意，△ABC 中，sinA:sinB =1:√3， 则有a:b =1:√3， 设a =t ，则b =√3t ，又由c =2cosC =√3，则c =3，且cosC =√32；由余弦定理可得：c 2=a 2+b 2−2abcosC =4t 2−3t 2=3， 解可得：t =√3， 则a =√3，b =3，则△ABC 的周长l =a +b +c =3+2√3；三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分. 17.【答案】由a n 2+a n =a n+12−a n+1，∴ a n+1+a n =a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n )，∵ a n >0，∴ a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n =1+n −1=n ，∴ S n =n 2+a n =n 2+n ，① 当n =1时，b 1=S 1=2，当n ≥2时，S n−1=(n −1)2+n −1，②， 由①-②可得b n =2n ， 当n =1时，也成立， ∴ b n =2n ，1a n+1b n=1(n+1)∗2n =12(1n −1n+1)，∴ T n =12(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2n+2【考点】 数列的求和 数列递推式 【解析】（1）a n 2+a n =a n+12−a n+1可得a n+1−a n =1，即数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列，即可求出a n =n ，再根据S n =n 2+n ，即可求出b n =2n ， （2）由1an+1b n=1(n+1)∗2n=12(1n−1n+1)，根据裂项求和即可求出【解答】由a n 2+a n =a n+12−a n+1，∴ a n+1+a n =a n+12−a n 2=(a n+1+a n )(a n+1−a n )，∵ a n >0，∴ a n+1−a n =1，∴ 数列{a n }是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n =1+n −1=n ，∴ S n =n 2+a n =n 2+n ，① 当n =1时，b 1=S 1=2，当n ≥2时，S n−1=(n −1)2+n −1，②， 由①-②可得b n =2n ， 当n =1时，也成立， ∴ b n =2n ，1a n+1b n=1(n+1)∗2n =12(1n −1n+1)，∴ T n =12(1−12+12−13+...+1n −1n+1)=12(1−1n+1)=n2n+2 18.【答案】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，所以这两名学生来自同一个小组的概率P=1045=29．由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C32C52=310．∴X的分布列为：E(X)=0×110+1×35+2×310=65．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，由此能求出这两名学生来自同一个小组的概率．（2）在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】由已知得，问卷调查中，从四个小组中抽取的人数分别为3，4，2，1，从参加问卷调查的10名学生中随机抽取两名的取法共有C102=45种，这两名学生来自同一小组的取法共有C32+C42+C22=10，所以这两名学生来自同一个小组的概率P=1045=29．由（1）知，在参加问卷调查的10名学生中，来自甲、丙两小组的学生人数分别为3，2．X的可能取值为0，1，2，P(X=0)=C22C52=110，P(X=1)=C31C21C52=35，P(X=2)=C32C52=310．∴X的分布列为：E(X)=0×110+1×35+2×310=65．19.【答案】证明：当M为PD中点时，PB // 平面MAC．∵设AC∩BD=N，在△PBD中，MN为中位线，即MN // PB，又PB平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PB // 平面MAC．∵四边形ABCD是菱形，△PAD≅△BAD，PA=PD，∴△PAD，△BAD均为等边三角形．取AD的中点O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(0,2√3,0)，C(−4,2√3,0)，D(−2, 0, 0)，P(0,0,2√3)，M(−1,0,√3)．∴AC→=(−6,2√3,0)，AM→=(−3,0,√3)，PC→=(−4,2√3,−2√3)．设平面MAC的法向量为m→=(x,y,z)，则由m→⊥AC→，m→⊥AM→，得{m→∗AC→=−6x+2√3y=0m→∗AM→=−3x+√3z=0，取x=√3，得m→=(√3,3,3)．记直线PC与平面MAC所成角为θ，则sinθ=m→∗PC→|m→||PC→|=√3+2√3×3+(−2√3)×316+12+12×3+9+9=√7035．【考点】直线与平面平行直线与平面所成的角【解析】（1）证明MN // PB，然后证明PB // 平面MAC．（2）说明△PAD，△BAD均为等边三角形．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面MAC的法向量，记直线PC与平面MAC所成角为θ，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】证明：当M为PD中点时，PB // 平面MAC．∵设AC∩BD=N，在△PBD中，MN为中位线，即MN // PB，又PB平面MAC，MN⊂平面MAC，∴PB // 平面MAC．∵四边形ABCD是菱形，△PAD≅△BAD，PA=PD，∴△PAD，△BAD均为等边三角形．取AD的中点O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD．以O为坐标原点，射线OA，OB，OP分别为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(0,2√3,0)，C(−4,2√3,0)，D(−2, 0, 0)，P(0,0,2√3)，M(−1,0,√3)．∴ AC →=(−6,2√3,0)，AM →=(−3,0,√3)，PC →=(−4,2√3,−2√3)．设平面MAC 的法向量为m →=(x,y,z)，则由m →⊥AC →，m →⊥AM →，得{m →∗AC →=−6x +2√3y =0m →∗AM →=−3x +√3z =0 ，取x =√3，得m →=(√3,3,3)． 记直线PC 与平面MAC 所成角为θ，则sinθ=m →∗PC →|m →||PC →|=√3+2√3×3+(−2√3)×3√16+12+12×√3+9+9=√7035．20.【答案】根据题意，因为△F 1MN 的周长为4√2，所以4a =4√2，即a =√2， 由直线MF 1的斜率1，得bc =1， 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，c =1， 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．由题意可得直线MF 1方程为y =x +1，联立得{y =x +1x 22+y 2=1 ，解得N(−43, −13)， 所以|NF 1||MF 1|=13，因为S △F 1NQ =23S △F 1MP ，即12|NF 1||QF 1|sin∠QF 1N =23(12|MF 1|∗|PF 1|sin∠PF 1M)， 所以|QF 1|=2|PF 1|，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为x =my −1，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由点P 在点Q 的上方，且|y 2|=|2y 1|， 则有y 2=−2y 1， 联立{x =my −1x 22+y 2=1，所以(m 2+2)y 2−2my −1=0，所以y 1+y 2=2mm 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，消去y 2得{y 1=−2mm 2+22y 12=1m 2+2，所以8m 2(m 2+2)2=1m 2+2，得m 2=27,m =±√147， 又由画图可知m =√147不符合题意，所以m =−√147，故直线l 的斜率为1m =−√142．【考点】 椭圆的性质 【解析】（1）根据题意，由椭圆的定义分析可得4a =4√2，又由直线的斜率分析可得b 、c 的值，将a 、b 的值代入椭圆方程即可得答案；（2）根据题意，联立直线与椭圆的方程，解可得N 的坐标，由S △F 1NQ =23S △F 1MP 分析可得|QF 1|=2|PF 1|，按直线的斜率存在与否分2种情况讨论，分析求出m 的值，综合即可得答案． 【解答】根据题意，因为△F 1MN 的周长为4√2，所以4a =4√2，即a =√2，由直线MF 1的斜率1，得bc =1， 因为a 2=b 2+c 2，所以b =1，c =1， 所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1．由题意可得直线MF 1方程为y =x +1，联立得{y =x +1x 22+y 2=1，解得N(−43, −13)， 所以|NF 1||MF 1|=13，因为S △F 1NQ =23S △F 1MP ，即12|NF 1||QF 1|sin∠QF 1N =23(12|MF 1|∗|PF 1|sin∠PF 1M)， 所以|QF 1|=2|PF 1|，当直线l 的斜率为0时，不符合题意，故设直线l 的方程为x =my −1，P(x 1, y 1)，Q(x 2, y 2)， 由点P 在点Q 的上方，且|y 2|=|2y 1|， 则有y 2=−2y 1， 联立{x =my −1x 22+y 2=1，所以(m 2+2)y 2−2my −1=0，所以y 1+y 2=2m m 2+2,y 1y 2=−1m 2+2，消去y 2得{y 1=−2mm 2+22y 12=1m 2+2，所以8m 2(m 2+2)2=1m 2+2，得m 2=27,m =±√147， 又由画图可知m =√147不符合题意，所以m =−√147，故直线l 的斜率为1m =−√142． 21.【答案】当a =0时，f(x)=xlnx ，定义域为(0, +∞)．f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)=0，可得x =1e ． 列表：所以，函数f(x)的最小值为f(1e )=−1e ．f(x)=x(lnx −ax)，定义域为(0, +∞)，f ′(x)=lnx −2ax +1． 记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x −2a ，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=f ′(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f ′(x)在(0, +∞)上至多有一个零点，此时，函数f(x)在(0, +∞)上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； ②当a >0时，令ℎ′(x)=0，可得x =12a ，列表：若ℎ(12a )≤0，即a ≥12，ℎ(x)≤ℎ(12a )≤0，即f ′(x)≤0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值，与题意不符， 若ℎ(12a )>0，即0<a <12时， 由于12a >1>1e ，且ℎ(1e )=ln 1e −2a e+1=−2a e<0，故存在x 1∈(1e ,12a )，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(0, x 1)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递减；当x ∈(x 1,12a )时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递增，函数f(x)在x =x 1处取极小值． 由于12a <1a ，且ℎ(1a )=ln 1a −2a +1=−2lna −2a +1<0（事实上，令μ(a)=−2lna −2a +1，μ′(a)=−2a +2a 2=2(1−a)a 2>0，故μ(a)在(0, 1)上单调递增，所以μ(a)<μ(1)=−1<0）．故存在x 2∈(12a ,1a 2)，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(12a ,x 2)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(12a ,x 2)上单调递增；当x ∈(x 2, +∞)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(x 2, +∞)上单调递减，函数f(x)在x =x 2处取极大值． 综上所述，当0<a <12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值． 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】（1）化简函数的解析式求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最小值即可． （2））求出定义域，导函数f ′(x)=lnx −2ax +1．记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x−2a ，通过①当a ≤0时，求解极值，②当a >0时，求解导函数的符号，函数的单调性以及函数的极值，推出当0<a <12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值． 【解答】当a =0时，f(x)=xlnx ，定义域为(0, +∞)．f ′(x)=lnx +1，令f ′(x)=0，可得x =1e ． 列表：所以，函数f(x)的最小值为f(1e )=−1e ．f(x)=x(lnx −ax)，定义域为(0, +∞)，f ′(x)=lnx −2ax +1． 记ℎ(x)=f ′(x)=lnx −2ax +1，x ∈(0, +∞)，ℎ′(x)=1x −2a ，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=f ′(x)在(0, +∞)上单调递增， 故f ′(x)在(0, +∞)上至多有一个零点，此时，函数f(x)在(0, +∞)上至多存在一个极小值，不存在极大值，不符题意； ②当a >0时，令ℎ′(x)=0，可得x =12a ，列表：若ℎ(12a )≤0，即a ≥12，ℎ(x)≤ℎ(12a )≤0，即f ′(x)≤0，故函数f(x)在(0, +∞)上单调递减，函数f(x)在(0, +∞)上不存在极值，与题意不符， 若ℎ(12a )>0，即0<a <12时， 由于12a >1>1e ，且ℎ(1e )=ln 1e −2a e+1=−2a e<0，故存在x 1∈(1e ,12a )，使得ℎ(x)=0，即f ′(x)=0，且当x ∈(0, x 1)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递减；当x ∈(x 1,12a )时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0, x 1)上单调递增，函数f(x)在x =x 1处取极小值． 由于12a <1a 2，且ℎ(1a 2)=ln 1a 2−2a +1=−2lna −2a +1<0（事实上，令μ(a)=−2lna −2a +1，μ′(a)=−2a +2a 2=2(1−a)a 2>0，故μ(a)在(0, 1)上单调递增，所以μ(a)<μ(1)=−1<0）．故存在x2∈(12a ,1a2)，使得ℎ(x)=0，即f′(x)=0，且当x∈(12a ,x2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(12a,x2)上单调递增；当x∈(x2, +∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(x2, +∞)上单调递减，函数f(x)在x=x2处取极大值．综上所述，当0<a<12时，函数f(x)在(0, +∞)上既有极大值又有极小值．选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.【答案】∵曲线C1的参数方程为{x=cosℎetay=1+sinℎeta（ℎeta为参数），∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+(y−1)2＝1，它表示以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为{x=2cosarpℎiy=sinarpℎi（arpℎi为参数），∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为x24+y2=1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．由已知得P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，所以6√5−√105≤d≤√10+6√56，故M到直线l的距离的最小值为6√5−√105．【考点】参数方程化成普通方程【解析】（1）曲线C1的参数方程消去参数θ，能求出C1的普通方程及其表示的曲线；曲线C2的参数方程消去参数φ，能求出C2的普通方程及其表求的曲线．（2）P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，由此能求出M到直线l的距离的最小值．【解答】∵曲线C1的参数方程为{x=cosℎetay=1+sinℎeta（ℎeta为参数），∴曲线C1消去参数θ，得到C1的普通方程为x2+(y−1)2＝1，它表示以(0, 1)为圆心，1为半径的圆，∵曲线C2的参数方程为{x=2cosarpℎiy=sinarpℎi（arpℎi为参数），∴曲线C2消去参数φ，能求出C2的普通方程为x24+y2=1，它表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆．由已知得P(0, 2)，设Q(2cosθ, sinθ)，则M(cosℎeta,1+12sinℎeta)，直线l:x−2y−4＝0，点M到直线l的距离为d=√5=|√2sin(ℎeta+π4)−6|√5，所以6√5−√105≤d≤√10+6√56，故M到直线l的距离的最小值为6√5−√105．[选修4-5：不等式选讲]23.【答案】证明：f(x)＝|x−a2|+|x+2a+3|≥|x−a2−x−2a−3|＝|a2+2a+3|＝(a+1)2+2≥2；若f(−32)<3，则|−32−a2|+|−32+2a+3|<3，故a2+32+|2a+32|<3，故{a≥−34a2+2a0或{a−34a2−2a−30，解得：−1<a<0．【考点】绝对值三角不等式绝对值不等式的解法【解析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；（2）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．【解答】证明：f(x)＝|x−a2|+|x+2a+3|≥|x−a2−x−2a−3|＝|a2+2a+3|＝(a+1)2+2≥2；若f(−32)<3，则|−32−a2|+|−32+2a+3|<3，故a2+32+|2a+32|<3，故{a≥−34a2+2a0或{a−34a2−2a−30，解得：−1<a<0．。

哈尔滨市第九中学2018届高三第二次模拟数学试卷（理科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知i 是虚数单位，复数z 满足()11z i i -=+，则z 的共轭复数是 A. 1 B. -1 C. i D.i -2.设非空集合,P Q 满足PQ P =，则A. ,x Q x P ∀∈∈B. ,x Q x P ∀∉∉ . 00,x Q x P ∃∉∈ D.00,x P x P ∃∈∉3.若221x y+=，则x y +的取值范围是A. []0,2 B. []2,0- C. [)2,-+∞ D.(],2-∞-4.若2sin 3sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan θ=A. 2-B. 5C. 3D.5.从12,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为 A.34 B. 58 C. 78 D. 126.以坐标原点为对称中心，两条坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为3π，则双曲线的离心率为A. 2B. 2C.D.2 7.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 16B. 32C. 48D. 144 8.函数()ln cos f x x x =+的图象为9.已知过球面上A,B,C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面的面积为 A.169π B. 83π C. 619πD.4π10.若实数,x y 满31x y -≤≤足，则2x yz x y+=+的最小值是 A.53 B. 2 C. 35 D.1211.已知抛物线2:8C y x =的焦为F,准线l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则QF = A.72 B. 52C. 3D. 2 12.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”.该表由若干数字组成，从第二行起，每一行的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行今有一个数，则这个数为A. 201620172⨯B. 201820172⨯C. 201720162⨯D.201820162⨯二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量()()1,2,4,3a b ==，且()a tab ⊥+，则实数t = .14. 已知12nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中前三项的系数依次成等差数列，则展开式中4x 的系数为 .15. 2018年1月27日，哈尔滨地铁3号线一期开通运营，甲、乙、丙、丁四位同学决定乘坐地铁去城乡路、哈西站和哈尔滨大街。

2018年陕西省渭南市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x﹣3≤0}，B＝f{x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则集合A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）4．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣a）2＝相切，则该双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．5．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x+cos x＞”发生的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．0B．C．D．7．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．3D．68．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2+bc＝c2+ac，则的值为（）A．B．C．D．9．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110B．100C．900D．80010．（5分）下列说法中正确的是（）①“∀x＞0，都有x2﹣x+1≥0”的否定是“∃x0≤0，使x02﹣x0+1＜0”②已知{a n}是等比数列，S n是其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也成等比数列．③“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件．④已知变量x，y的回归方程是＝200﹣10x，则变量x，y具有负线性相关关系．A．①④B．②③C．②④D．③④11．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π12．（5分）函数，若∃x0∈（﹣∞，a]，使得∀x1∈（a，+∞）都有f（x1）≤f（x0），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，0），＝（1，1），若（+λ）⊥（λ为实数），则| |＝．14．（5分）设，则二项式展开式中的常数项为．15．（5分）若＝sin2θ，则sin2θ＝．16．（5分）“解方程（）x+（）x＝1”有如下思路；设f（x）＝（）x+（）x，则f （x）在R上单调递减，且f（2）＝1，故原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝S3+7a4，a5＝32（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（n+1）a n}的前n项和T n18．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．19．（12分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动．界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）ξ∈（2，4.5）的人数（结果四舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元．求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望．附：若随机变量服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826则，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.954420．（12分）已知点P（，）在椭圆E：＝1（a＞b＞0）上，F为右焦点，PF 垂直于x轴．A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O（1）求椭圆E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），满足•＝5y1y2，判断k AB+k BC的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x•（lnx+ax+1）﹣ax+1（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围（Ⅱ）若f（x）的最大值为2，求实数a的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴x轴非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，圆C的参数方程为（α为参数）．（1）求直线被圆所截得的弦长；（2）若过P（0，﹣2）的直线m与圆相交于不同的两点A，B，求[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式﹣2＜f（x）＜0的解集A；（2）若m，n∈A，证明：|1﹣4mn|＞2|m﹣n|．2018年陕西省渭南市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x∈N|x﹣3≤0}，B＝f{x∈Z|x2+x﹣2≤0}，则集合A∩B＝（）A．{1}B．{0，1}C．{0，1，2}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{x∈N|x﹣3≤0}＝{0，1，2，3}，B＝f{x∈Z|x2+x﹣2≤0}＝{﹣2，﹣1，0，1}，则集合A∩B＝{0，1}．故选：B．2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由．知复数的实部为，虚部为．所以，复数对应的点位于第二象限．故选：B．3．（5分）若x、y满足约束条件，则z＝x+2y的取值范围是（）A．[0，6]B．[0，4]C．[6，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图：目标函数z＝x+2y经过C点时，函数取得最小值，由解得C（2，1），目标函数的最小值为：4目标函数的范围是[4，+∞）．故选：D．4．（5分）若双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与圆x2+（y﹣a）2＝相切，则该双曲线的离心率为（）A．3B．C．D．【解答】解：根据圆的方程知，圆心为（0，a），半径为；根据双曲线方程得，渐近线方程为；据题意知，圆心到渐近线的距离为，则：；∴；∴；解得．故选：D．5．（5分）在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sin x+cos x＞”发生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由sin x+cos x＝，由sin x+cos x＞，得＞，即sin（x+）＞，∵x∈[0，π]，∴x+∈[]．∴x+∈[，]，即x∈[，]．∴事件“sin x+cos x＞”发生的概率为．故选：C．6．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．0B．C．D．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图是计算并输出T＝cos+cos+…+cos的值．由于T＝cos+cos+…+cos＝（cos+cos+…+cos）+（cos+…+cos）+…+（cos+cos）＝0+0+…++0＝．故选：B．7．（5分）祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与如图所示的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（）A．B．C．3D．6【解答】解：三棱锥的直观图如图所示：其中SD⊥平面ABC，BD⊥AC，由三视图可知AC＝5，BD＝，SD＝＝，∴三棱锥的体积为＝．由祖暅原理可知不规则几何体的体积为．故选：A．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2＝ac，a2+bc＝c2+ac，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵b2＝ac，a2+bc＝c2+ac，∴bc＝c2+b2﹣a2，∴cos A＝＝＝，∵A∈（0，π），可得：sin A＝，∵b2＝ac，∴，可得＝，∴由正弦定理可得：＝＝＝．故选：D．9．（5分）某单位员工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为20的样本，已知C组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为（）A．110B．100C．900D．800【解答】解：∵工按年龄分为A，B，C三组，其人数之比为5：4：1，∴从中抽取一个容量为20的样本，则抽取的C组数为，设C单位员工总数为m，则甲、乙二人均被抽到的概率为，即m（m﹣1）＝90，解得m＝10．设总体中员工总数为x，则由，可得x＝100，故选：B．10．（5分）下列说法中正确的是（）①“∀x＞0，都有x2﹣x+1≥0”的否定是“∃x0≤0，使x02﹣x0+1＜0”②已知{a n}是等比数列，S n是其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n也成等比数列．③“事件A与事件B对立”是“事件A与事件B互斥”的充分不必要条件．④已知变量x，y的回归方程是＝200﹣10x，则变量x，y具有负线性相关关系．A．①④B．②③C．②④D．③④【解答】解：对于①，“∀x＞0，都有x2﹣x+1≥0”的否定是“∃x0＞0，使x02﹣x0+1＜0”，∴①错误；对于②，{a n}是等比数列，S n是其前n项和，则S n，S2n﹣S n，S3n﹣S2n不一定成等比数列，如数列1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，1，﹣1，…，n＝2时不成立，②错误；对于③，“事件A与事件B对立”，则“事件A与事件B互斥”，充分性成立；“事件A与事件B互斥”，则“事件A与事件B不一定对立”，必要性不成立；是充分不必要条件，③正确；对于④，变量x，y的回归方程是＝200﹣10x，＝﹣10＜0，则变量x，y具有负线性相关关系，④正确；综上，正确的命题序号是③④．故选：D．11．（5分）已知如图所示的三棱锥D﹣ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在平面相互垂直，AB＝3，AC＝，BC＝CD＝BD＝2，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．36π【解答】解：∵AB＝3，AC＝，BC＝2，∴AB2+AC2＝BC2，∴AC⊥AB，∴△ABC的外接圆的半径为，∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，∴球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为h，则h2+3＝R2＝（﹣h）2，∴h＝1，R＝2，∴球O的表面积为4πR2＝16π．故选：C．12．（5分）函数，若∃x0∈（﹣∞，a]，使得∀x1∈（a，+∞）都有f（x1）≤f（x0），则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[1，+∞）C．（﹣∞，2]D．[2，+∞）【解答】解：∃x0∈（﹣∞，a]，使得∀x1∈（a，+∞）都有f（x1）≤f（x0），则f（x1）max≤f（x0）max，当x＞a时，，f′（x）＝，∵又f（x0）max＝f（a）＝﹣k﹣a，∴﹣e a+1≤﹣k﹣a，⇒k≤e a+1﹣a，令h（a）＝e a+1﹣a，h′（a）＝e a+1﹣1＝0，可得a＝1，可得h（a）min＝h（﹣1）＝2，∴k≤2．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量＝（1，0），＝（1，1），若（+λ）⊥（λ为实数），则||＝．【解答】解：根据题意，向量＝（1，0），＝（1，1），则+λ＝（1+λ，λ），若（+λ）⊥，则有（+λ）•＝（1+λ）×1+λ×1＝1+2λ＝0，解可得：λ＝﹣，则+λ＝（，﹣），则|+λ|＝；故答案为：．14．（5分）设，则二项式展开式中的常数项为15．【解答】解：＝＝1，则二项式＝的展开式中的通项公式：T r+1＝（x2）6﹣r＝（﹣1）r x12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴常数项＝＝15．故答案为：15．15．（5分）若＝sin2θ，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵＝sin2θ，∴＝2（cosθ+sinθ）＝sin2θ，∴平方可得：4（1+sin2θ）＝3sin22θ，整理可得：3sin22θ﹣4sin2θ﹣4＝0，∴解得：sin2θ＝﹣，或2（舍去）．故答案为：﹣．16．（5分）“解方程（）x+（）x＝1”有如下思路；设f（x）＝（）x+（）x，则f （x）在R上单调递减，且f（2）＝1，故原方程有唯一解x＝2，类比上述解题思路，不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：不等式x6﹣（x+2）＞（x+2）3﹣x2变形为，x6+x2＞（x+2）3+（x+2）；令u＝x2，v＝x+2，则x6+x2＞（x+2）3+（x+2）⇔u3+u＞v3+v；考察函数f（x）＝x3+x，知f（x）在R上为增函数，∴f（u）＞f（v），∴u＞v；不等式x6+x2＞（x+2）3+（x+2）可化为x2＞x+2，解得x＜﹣1或x＞2；∴不等式的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝S3+7a4，a5＝32（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{（n+1）a n}的前n项和T n【解答】解：（1）正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S6＝S3+7a4，a5＝32，设首项为a1，公比为q，则：，整理得：，解得：q＝2或﹣3（舍去），则：a1＝2．所以：，（2）数列b n＝（n+1）2n，则：T n＝b1+b2+b3+…+b n，＝2•21+3•22+4•23+…+（n+1）•2n①，所以：2T n＝2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1②①﹣②得：，解得：，＝n•2n+1．18．（12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，△ACD与△ACB是边长为2的等边三角形，BE＝2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．（Ⅰ）求证：DE∥平面ABC；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意知，△ABC，△ACD都是边长为2的等边三角形，取AC中点O，连接BO，DO，则BO⊥AC，DO⊥AC，…（2分）又∵平面ACD⊥平面ABC，∴DO⊥平面ABC，作EF⊥平面ABC，那么EF∥DO，根据题意，点F落在BO上，∵BE和平面ABC所成的角为60°，∴∠EBF＝60°，∵BE＝2，∴，…（4分）∴四边形DEFO是平行四边形，∴DE∥OF，∵DE不包含于平面ABC，OF⊂平面ABC，∴DE∥平面ABC．…（6分）（Ⅱ）解法一：作FG⊥BC，垂足为G，连接EG，∵EF⊥平面ABC，∴EF⊥BC，又EF∩FG＝F，∴BC⊥平面EFG，∴EG⊥BC，∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角．…（9分）Rt△EFG中，，，．∴．即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）解法二：建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，，），∴＝（﹣1，﹣，0），＝（0，﹣1，），平面ABC的一个法向量为设平面BCE的一个法向量为则，∴，∴．…（9分）所以，又由图知，所求二面角的平面角是锐角，二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．…（12分）19．（12分）习近平总书记在党的十九大工作报告中提出，永远把人民对美好生活的向往作为奋斗目标．在这一号召的引领下，全国人民积极工作，健康生活当前，“日行万步”正成为健康生活的代名词．某学校工会积极组织该校教职工参与“日行万步”活动．界定日行步数不足4千步的人为“不健康生活方式者”，不少于10千步的人为“超健康生活方式者”，其他为“一般生活方式者”．某日，学校工会随机抽取了该校400名教职工，统计他们的日行步数，按步数分组，得到频率分布直方图如图所示：（1）求400名教职工日行步数（千步）的样本平均数（结果四舍五入保留整数）；（2）由直方图可以认为该校教职工的日行步数（千步）服从正态分布N（μ，σ2），其中μ为样本平均数，标准差σ的近似值为2.5，求该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）ξ∈（2，4.5）的人数（结果四舍五入保留整数）；（3）用样本估计总体，将频率视为概率．若工会从该校教职工中随机抽取2人作为“日行万步”活动的慰问奖励对象，规定：“不健康生活方式者”给予精神鼓励，奖励金额每人0元；“一般生活方式者”奖励金额每人100元；“超健康生活方式者”奖励金额每人200元．求工会慰问奖励金额X的分布列和数学期望．附：若随机变量服从正态分布N（μ，σ2），P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826则，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544【解答】解：（1）＝0.02×2×1+0.04×2×3+0.08×2×5+0.22×2×7+0.08×2×9+0.05×2×11+0.01×2×13＝6.96≈7（千步）．（2）∵ξ～N（7，2.52），∴P（4.5＜ξ＜7）＝×0.6826＝0.3413，P（2＜ξ＜7）＝0.9544＝0.4772，∴P（2＜ξ＜4.5）＝0.4772﹣0.3413＝0.1359，∴该校被抽取的400名教职工中日行步数（千步）ξ∈（2，4.5）的人数约为400×0.1359≈54（人）．（3）400名教职工中，不健康生活方式者有400×0.02×2+400×0.04×2＝48人，超健康生活方式者有400×0.05×2+400×0.01×2＝48人，一般生活方式者有400﹣48﹣48＝304人，∴P（X＝0）＝＝，P（X＝100）＝＝，P（X＝200）＝＝，P（X＝300）＝＝，P（X＝400）＝＝，∴X的分布列为：∴X的数学期望是E（X）＝0×+100×+200×+300×+400×＝200．20．（12分）已知点P（，）在椭圆E：＝1（a＞b＞0）上，F为右焦点，PF 垂直于x轴．A，B，C，D为椭圆上四个动点，且AC，BD交于原点O（1）求椭圆E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），满足•＝5y1y2，判断k AB+k BC的值是否为定值，若是，求出此定值，并求出四边形ABCD面积的最大值，否则请说明理由．【解答】解：（1）由题意可知：PF垂直于x轴，则c＝，＝，即a＝2b2，a2﹣b2＝c2＝3，则a＝2，b＝1，∴椭圆的标准方程：；（2）∵由•＝x1x2+y1y2＝5y1y2，则4y1y2＝x1x2，若直线AB的斜率不存在（或AB的斜率为0时），不满足4y1y2＝x1x2；直线AB的斜率存在且不为0时，设直线方程为y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）＝0．△＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝16（4k2﹣m2+1）＞0，①x1+x2＝﹣，x1x2＝．∵4y1y2＝x1x2，又y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∴（4k2﹣1）x1x2+4km （x1+x2）+4m2＝0，即（4k2﹣1）+4km（﹣）+4m2＝0．整理得：k＝±．∵A、B、C、D的位置可以轮换，∴AB、BC的斜率一个是，另一个就是﹣．∴k AB+k BC＝﹣＝0，是定值．不妨设k AB＝﹣，则x1+x2＝2m，x1x2＝2（m2﹣1）．设原点到直线AB的距离为d，则S△AOB＝|AB|•d＝|x1﹣x2|•＝＝≤1．当m2＝1时满足①取等号．∴S四边形ABCD＝4S△AOB≤4，即四边形ABCD面积的最大值为4．∴四边形ABCD面积的最大值为4．21．（12分）已知函数f（x）＝x•（lnx+ax+1）﹣ax+1（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围（Ⅱ）若f（x）的最大值为2，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上是减函数，则f′（x）≤0在[1，+∞）恒成立，f′（x）＝lnx+2ax+2﹣a≤0，∴a≤﹣，设g（x）＝﹣，则g′（x）＝，∵x≥1，∴g′（x）≥0，g（x）递增，又g（1）＝﹣2，故a≤﹣2；（Ⅱ）由f（1）＝2，要使f（x）max＝2，故f（x）的递减区间是[1，+∞），递增区间是（0，1），∴f′（1）＝0，即ln1+2a+2﹣a＝0，∴a＝﹣2．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴x轴非负半轴重合，直线l 的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，圆C的参数方程为（α为参数）．（1）求直线被圆所截得的弦长；（2）若过P（0，﹣2）的直线m与圆相交于不同的两点A，B，求【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为3ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，转换为直角坐标方程为：3x+y﹣6＝0．圆C的参数方程为（α为参数）．转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝5，则：圆心（0，1）到直线3x+y﹣6＝0的距离d＝，则：直线被圆所截得的弦长2l＝．（2）设经过点P（0，﹣2）的直线方程为：（t为参数），代入圆的方程得到：（cosθt）2+（﹣2+sinθt﹣1）2＝5，整理得：t2﹣6sinθt+4＝0，故：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|．（1）求不等式﹣2＜f（x）＜0的解集A；（2）若m，n∈A，证明：|1﹣4mn|＞2|m﹣n|．【解答】（1）解：依题意，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得，故；（2）证明：m，n∈A，由（1）可知，；因为|1﹣4mn|2﹣4|m﹣n|2＝（1﹣8mn+16m2n2）﹣4（m2﹣2mn+n2）＝（4m2﹣1）（4n2﹣1）＞0，故|1﹣4mn|2＞4|m﹣n|2，故|1﹣4mn|＞2|m﹣n|．。

第 1 页 共 14 页 陕西省安康市数学高三文数二模试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 单选题 (共12题；共24分)

1. （2分） (2019高二下·吉林期末) 复数 等于（ ） A .

B . C . 0 D . 2. （2分） (2016高一上·苏州期中) 已知集合A={1，2，3，4}，B={0，1，3，5}，则A∩B等于（ ） A . {1，3} B . {2，4} C . {0，5} D . {0，1，2，3，4，5}

3. （2分） (2016高三上·德州期中) 已知x，y满足约束条件 ，目标函数z=x2+y2的最小值为（ ）

A . 13

B . C . D . 4. （2分） 某三棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为 ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 第 2 页 共 14 页

A . B . C . D . 5. （2分） (2020·阜阳模拟) 某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）

A . B . C . D . 6. （2分） 函数是（ ） 第 3 页 共 14 页

A . 周期为的奇函数 B . 周期为的偶函数 C . 周期为的偶函数 D . 周期为的奇函数 7. （2分） (2020高一下·应城期中) 已知 的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ）

A . B . C . D . 8. （2分） 已知偶函数在区间单调递增，则满足的x取值范围是（ ） A . B . C . D . 9. （2分） 曲线5x2-ky2=5的焦距为4，那么k的值为（ ）

A . B . C . 或-1 第 4 页 共 14 页

D . 或 10. （2分） 已知函数 ， 则其图象的下列结论中，正确的是（ ） A . 关于点中心对称 B . 关于直线轴对称 C . 向左平移后得到奇函数 D . 向左平移后得到偶函数 11. （2分） (2018高二上·武邑月考) 下列四个结论中不正确的是（ ） A . 经过定点P1(x1 ， y1)的直线都可以用方程y－y1＝k(x－x1)表示 B . 经过任意不同两点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可以用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示