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倒立摆建模

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基于现代控制理论的一级倒立摆的稳定

控制及仿真

摘要：应用牛顿力学定律建立的直线一级倒立摆的，状态空间表达式的数学模型，并分析其稳定性，可控性和可观测性。在此基础上，研究经现代控制方法在一级倒立摆系统中的应用主要是极点配置法和线性二次型最优控制法，并在MATLAB仿真平台上对这些控制算法的效果进行仿真，可以得到不同的控制效果。

关键字：直线一级倒立摆；数学模型；极点配置；最优控制；MATLAB

引言

倒立摆系统是研究控制理论的一种典型的实验装置，具有成本低廉，结构简单，参数和结构易于调整的优点。然而倒立摆系统就有高阶次，不稳定，多变量，非线性和强耦合的特性，是个绝对不稳定的系统。倒立摆实物仿真实验是控制领域中检验某种控制理论及对反馈控制理论就有重要意义。

伴随着控制理论的不断发展，对倒立摆的控制也出现了采用经典控制理论，现代控制和人工智能控制理论等多种控制理论的方案和控制方法。本文首先建立了直线一级倒立摆得数学模型，并设计了极点配置控制器，线性二次最优控制器，最后用MATLAB进行仿真。

1 直线一级倒立摆建模及性能分析

1.1数学模型建立

在忽略了空气阻力和各种摩擦力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和均匀杆组成的系统，如图1所示的倒立摆系统。图1中，倒立摆安装在一个小车上。这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

图 1倒立摆系统

假定倒立摆系统的参数如下。 摆杆的质量：m=0.5kg

摆杆的长度：2l=0.6m

小车的质量：M=0.5kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量：I=0.006kgm2

摆杆的质量在摆杆的中心。

输入量u=F是施加在小车上的外力，是个状态变量分别是小车的坐标x，ẋ，和倒立摆的垂直角度，。输出的被控量分别是小车的坐标x和倒立摆的垂直角度。试根据误差指标J最优意义下的最优控制的规划设计线性最优控制器，和极点配置控制器。满足一下指标

（1） 输出x和的过度时间小于2s；

（2） 输出量x的上升时间小于0.5s；

（3） 输出量的超调小于20%。

其中：

φ 摆杆与垂直向上方向的夹角

θ 摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）

图2是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。

MPFbẋẋxNIẋPθmgN

图2 小车和倒立摆的受力分析

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

NxbFxM

由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： )sin(22lxdtdmN

即：

sincos2mlmlxmN

把这个等式代入式(3-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

FmlmlxbxmMsincos)(2

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

)cos(22ldtdmmgP

cossin2mlmlmgP

力矩平衡方程如下：

INlPlcossin

注意：此方程中力矩的方向，由于sinsin,coscos,，故等式前面有负号。

合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：

cossin)(2xmlmglmlI

设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即1，则可以进行近似处理：0)(,sin,1cos2dtd。用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：

2(+)()ImlmglmlxMmxbxmlu

对式(3-9)进行拉普拉斯变换，得到

)()()()()()()()()(22222sUssmlssbXssXmMssmlXsmglssmlI

注意：推导传递函数时假设初始条件为0。

设系统状态空间方程为：

DuCXyBuAXX

方程组 对,x解代数方程，得到解如下： uMmlmMImlMmlmMImMmglxMmlmMImlbuMmlmMImlIMmlmMIglmxMmlmMIbmlIxxx2222222222)()()()()()()()()(

整理后得到系统状态空间方程：

uMmlmMImlMmlmMImlIxxMmlmMImMmglMmlmMImlbMmlmMIglmMmlmMIbmlIxx2222222222)(0)(00)()()(010000)()()(00010

uxxxy0001000001

代入倒立摆系统的参数。

摆杆的质量：m=0.5kg

摆杆的长度：2l=0.6m

小车的质量：M=0.5kg

重力加速度：g=10/s2

摆杆惯量：I=0.006kgm2

小车的摩擦系数：b=0.1N/m/s

uxxxx2632.505849.100632.5252632.00100008947.717895.000010

uxxxy0001000001

1.2性能分析

1.2.1 判断系统能控性和能观性

在MATLAB中，可以利用ctrb()和obsv()函数直接求出能控性和能观性矩阵

Uc=ctrb(A,B);rc=rank(Uc); n=size(A);

if rc==n

disp('system is controlled.')

elseif rc

disp('system is uncontrolled.')

end

Vo=obsv(A,C);

ro=rank(Vo);

if ro==n

disp('system is observable.')

elseif ro~=n

disp('system is no observable.')

End

运行情况如下：

system is controlled.

system is observable.

1.2.2 判断系统的稳定性

在MATLAB中，可以利用poly( )和roots( )函数求出系统的特征方程，以及特征方程的根，再根据根的是否有正根来判断系统是否稳定。最后解得系统的特根为：P1=0，P2=7.2159，P3=-7.2949，P4=-0.099985；因为系统的特征根P2=7.2159为正值，所以系统不稳定。如图3为系统的脉冲响应。

图3中out（1）为输入u为一个脉冲下小车的位移的变化，out（2）为输入u为一个脉冲下倒立摆垂直角度的变化，从图中容易看出响应是发散的，所以再未加任何控制器时系统是不稳定的。

020406080To: Out(1)00.10.20.30.40.50.60.70.80.910100200300400500To: Out(2)Impulse ResponseTime (sec)Amplitude

如图3 系统的脉冲响应

2 用现代控制法分析直线一阶倒立摆

2.1极点配置法

由1.2.1可知系统是完全能控的，可以通过状态反馈的方法将极点配置到期望的极点上。这里的反馈阵K可由acker(A,B,p)函数得到，其中p为希望的极点。

在设计状态反馈阵时，要使系统的极点p设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定。

最大超调量小于等于20%，调节时间为2S，

运用超调量的计算公式，

%100*21eMp，其中ξ为阻尼系数，有该公式可求得，阻尼系数ξ=0.69011，小于1，是欠阻尼。

wnts3，可以求得nw=2.7604

则极点公式为wnjwnP22.11，得到两个共轭极点为1.9977i -1.9052.1P 配置非主导极点， 153P,154P 则],,,[4321ppppP

在MATLAB的控制系统工具箱中提供了单变量系统极点配置acker(),的K=[-10.076, 0.42694, 67.797, 7.8329];

引入状态反馈阵后闭环系统的状态空间表达式为：

DvxDFCyBvxBFAx)()(

引入状态反馈阵后的响应matlab程序

K=acker(A,B,P11);

Ab=A-B*K;

[num,den]=ss2tf(Ab,B,C,D);

figure;

step(num,den,T);

figure;

impulse(num,den,T)%零极点配置后的响应图（见图二）

如图4为系统加入状态反馈阵后输出响应为

-0.500.511.5To: Out(1)00.511.522.533.544.55-0.0500.050.10.15To: Out(2)Impulse ResponseTime (sec)Amplitude

如图4极点配置后的响应曲线

2.2线性二次型最优控制

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倒立摆

倒立摆

洛阳理工学院毕业设计（论文）

第1章：绪论

1.1 倒立摆的发展历史及现状

控制理论教学领域，开展各种理论教学、控制实验、验证新理论的正确性的理想实验平台就是倒立摆控制系统。对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题，同时兼具多变性、强非线性和自然不稳定性等优点，通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观、结构简单、构件组成参数和形状易于改变、成本低廉，且控制效果可以通过其稳定性直观地体现,也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量其实验效果,直观显著。因而从诞生之日就受到国内外学者的广泛研究。

倒立摆系统的最初研究始于二十世纪50年代末，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器的原理设计出一级倒立摆实验设备。1966年Schaefer和Cannon应用Bang Bang控制理论将一个曲轴稳定于倒置位置，在60年代后期作为一个典型的不稳定严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力受到世界各国许多科学家的重视。而后人们又参照双足机器人控制问题研制出二级倒立摆控制设备，从而提高了检验控制理论或方法的能力，也拓宽了控制理论或方法的检验范围。对倒立摆研究较多的是美国、日本等发达国家，如Kawamoto-Sh.等讨论了有关倒立摆的非线性控制的问题以及倒立摆的模糊控制的稳定性问题为其后的倒立摆模糊控制研究开辟了道路，美国国家航空和宇航局Torres-Pornales,Wilfredo等人研究了从倒立摆的建模、系统分析到非线性控制器设计的一系列问题，比较深入的研究了倒立摆的非线性控制问题并进行了实物仿真;科罗拉多州大学的Hauser. J正在从事基于哈密尔顿函数的倒立摆控制问题的研究;日本东京大学的Sugihara.

Tomorniehi等研究了倒立摆的实时控制问题及其在机器人控制中的应用问题。此外，还有如德国宇航中心的Schreiber等研究了倒立摆的零空间运动控制问题，分析了倒立摆的零空间运动特性与其稳定性之间的联系。

一级倒立摆的建模与控制分析45780

一级倒立摆的建模与控制分析45780

控制工程与仿真课程设计报告

报告题目 直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

组员1专业、班级 14自动化1 班 姓名 朱永远 学号 1405031009

组员1专业、班级 14自动化1 班 姓名 王宪孺 学号 1405031011

组员1专业、班级 14自动化1 班 姓名 孙金红 学号 1405031013

报告评分标准

评分项目 权重 评价内容 评价结果 项目得分

内容 70 设计方案较合理、正确，内容较完整 70-50分

设计方案基本合理、正确，内容基本完整 50-30分

设计方案基本不合理、正确，内容不完整 0-30分

语言组织 15 语言较流顺，标点符号较正确 10-15分

语言基本通顺，标点符号基本正确 5-10分

语言不通顺，有错别字，标点符号混乱 5分以下

格式 15 报告格式较正确，排版较规范美观 10-15分

报告格式基本正确，排版不规范 5-10分

报告格式不正确，排版混乱 5分以下

总 分

直线一级倒立摆建模、分析及控制器的设计

一 状态空间模型的建立

1.1直线一级倒立摆的数学模型

图1.1 直线一级倒立摆系统

本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。

图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1.2 系统中小车的受力分析图

图1.3是系统中摆杆的受力分析图。Fs是摆杆受到的水平方向的干扰力, Fh是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为α的干扰力Fg。

图1.3 摆杆受力分析图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

倒立摆_精品文档

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倒立摆

1. 引言

倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。

在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。

2. 基本原理

倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。

倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：

ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'

其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。

3. 数学建模方法

为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。

然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：

mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)

对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：

ml^2θ'' = u - bθ'

将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。

4. 控制策略

为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。 PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。

模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。

基于MATLAB的一阶倒立摆的建模及仿真

基于MATLAB的一阶倒立摆的建模及仿真

工业技术　Ｉ■　基于ＭＡＴＬＡＢ的一阶倒立摆的建模及仿真　韦忠海　（广西大学电气工程学院南宁５３０００４）　【摘要］倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，建立其数学模型研究其稳定性对于很多工程控制有着重大意义。采用机理建模法对　一阶倒立摆系统进行分析，建立其数学模型，；ｆＪ￣Ｍａｔｌａｂ软件进行仿真验证，仿真时，观察不同的初始条件下倒立摆的运行特性。　［关键词］倒立摆，数学模型，ＭＡＴＬＡＢ软件，仿真　Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ａｎｄ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　０ｆ　ａｎ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ＭＡＴＬＡＢ　Ｗｅｉ　Ｚｈｏｎｇ－ｈａｉ　（ＧＵＡＮＧＸＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　ＣｏＵｅｇｅ　ｏｆ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｎａｎｎｉｎｇ，５３０００４）　［Ａｂｓｔｒａｃｔ］ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ａ　ｔｙｐｉｃａｌ　ｆａｓｔ，ｍｕｌｔｉ　ｖａｒｉａｂｌｅ，ｎｏｎｌｉｎｅａｒ，ｕｎｓｔａｂｌｅ　ｓｙｓｔｅｒｎ，ｓｔｕｄｙ　ｔｈｅ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　１Ｓ　ｏｆ　ｇｒｅａｔ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｆｏｒ　ｍａｎｙ　ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｔｏ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈ　ｉｔｓ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅ１．Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ　ｓｙｓｔｅｍ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｍｅｃｈａｎｉｓｍ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｗａｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ，ｕｓｉｎｇ　Ｍａｔｌａｂ　ｓｏｆｔｗａｒｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，ｓｉｒｅｕｌａｔｉｏｎ，ｏｂｓｅｒｖｅ　ｔｈｅ　ｒｕｎｎｉｎｇ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓ　ｏｆ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｉｎｉｔｉａｌ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ．　［Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ］ｉｎｖｅｒｔｅｄ　ｐｅｎｄｕｌｕｍ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ，ＭＡＴＬＡＢ　ｓｏｆｔｗａｒｅ，ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　中图分类号：ＴＨ１３９　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９－９１４Ｘ（２０１４）１０—００１６－０３　１　倒立摄的简介　图１（ａ）为直线单级倒立摆实际设备，为方便分析，将其抽象这小车与摆杆的　示意图，如图ｌ（ｂ）所示。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移　动可使摆杆维持直立不倒；这和手持木棒使之直立不倒的现象很类似，。设加在　小车上的力为Ｆ，摆杆与垂直向上方向的夹角妒，小车的位置为　，垂直向下　方向的夹角为　（０＝　＋７１：），在空气阻力很小可以忽略　杆是刚性的条件下，　建立数学模型。　２　倒立摄的数学建模　根据Ｎｅｗｔｏｎ经典力学，考虑平动、转动两方面问题，进行分析如下：定义逆　时针转动为正方向，小车向右运动为正方向，建立如图１（ｂ）的坐标系　，　、　ｆ　＝ｘ—ｌｓｉｎ￣ｂ　设摆杆的重心为【　ｇ，　ｇ　Ｊ，则１　ｙ　：１ｃｏｓ　（１）　根据牛顿定律建立系统垂直和水平方向的动力学方程：　（１）摆杆绕其重心转动的动力学方程为：Ｊ　：Ｎｙｌｓｉｎ￣＋Ｎｘｌｃｏｓ￣一　≯（２）　１　１　式中，为摆杆绕其重心的转动惯量：　＝－￣ｇｍＬ２Ｌ＝２１ｉｍｌ　。这里，杆重力