2019—2020年苏教版高中数学必修一《函数的零点》课时练习及解析.docx
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（新课标）2018-2019学年度苏教版高中数学必修一
§3.4 函数的应用
3.4.1 函数与方程
第1课时 函数的零点
课时目标 1.能够结合二次函数的图象判断一元二次方程根的存在性及根的个数，理解二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系.2.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的联系.3.掌握函数零点的存在性定理．
1．函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点和相应的ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的关系
函数图象
判别式 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
与x轴交
点个数
方程的根 无解
2.函数的零点
一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的______．
3．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的______．
4．方程f(x)＝0有实数根 ⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有______
⇔函数y＝f(x)有______．
函数零点的存在性的判断方法
若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．
一、填空题
1．二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a·c<0，则函数的零点个数是________．
2．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，则下列说法不正确的是________．(填序号)
①若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
②若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
③若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0；
④若f(a)f(b)<0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0.
3．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．
4．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，则这个函数的零点至少有________个．
5．函数f(x)＝ x2＋2x－3， x≤0，－2＋ln x， x>0零点的个数为________．
6．已知函数y＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则实数b的取值范围是________．
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有______个零点，这几个零点的和等于______．
8．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数为________．
9．根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个实根所在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k的值为________.
x －1 0 1 2 3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4 5
二、解答题
10．证明：方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
11．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
能力提升
12．设函数f(x)＝ x2＋bx＋c，x≤0，2， x>0，若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则方程f(x)＝x的解的个数是_______________________．
13．若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．
1．方程的根与方程所对应函数的零点的关系
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．
(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．并不是所有的函数都有零点，如函数y＝1x.
3．对于任意的一个函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然当它通过零点时函数值没有变号．
§2.5 函数与方程
2．5.1 函数的零点
知识梳理
1．2个 1个 0个 2个 1个 2.零点 3.实数根 横坐标
4．交点 零点
作业设计
1．2个
解析 方程ax2＋bx＋c＝0中，∵ac<0，∴a≠0，
∴Δ＝b2－4ac>0，
即方程ax2＋bx＋c＝0有2个不同实数根，
则对应函数的零点个数为2个．
2．①②④ 解析 对于①，可能存在根；
对于②，必存在但不一定唯一；
④显然不成立．
3．0，－12
解析 ∵a≠0,2a＋b＝0，
∴b≠0，ab＝－12.
令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝ab＝－12.
4．4
解析 由图象可知，当x>0时，函数至少有2个零点，因为偶函数的图象关于y轴对称，故此函数的零点至少有4个．
5．2
解析 x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3.
x>0时，f(x)＝ln x－2在(0，＋∞)上递增，
f(1)＝－2<0，f(e3)＝1>0，∴f(1)f(e3)<0，
∴f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．
综上，f(x)在R上有2个零点．
6．(－∞，0)
解析 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d，则由f(0)＝0可得d＝0，f(x)＝x(ax2＋bx＋c)＝ax(x－1)(x－2)⇒b＝－3a，又由x∈(0,1)时f(x)>0，可得a>0，∴b<0.
7．3 0
解析 ∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0，又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，由奇函数的对称性可知，f(x)在(－∞，0)上也单调递增，由f(2)＝－f(－2)＝0.因此在(0，＋∞)上只有一个零点，综上f(x)在R上共有3个零点，其和为－2＋0＋2＝0. 8．2
解析 该函数零点的个数就是函数y＝ln x与y＝x－2图象的交点个数．在同一坐标系中作出y＝ln x与y＝x－2的图象如下图：
由图象可知，两个函数图象有2个交点，即函数f(x)＝ln x－x＋2有2个零点．
9．1
解析 设f(x)＝e2－(x＋2)，由题意知f(－1)<0，f(0)<0，f(1)<0，f(2)>0，所以方程的一个实根在区间(1,2)内，即k＝1.
10．证明 设f(x)＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．
因为f(－1)＝3>0，f(0)＝－2<0，f(2)＝6>0.
所以在(－1,0)，(0,2)内都有实数解．
从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．
11．解 令f(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14.
依题意得 m>0f4<0或 m<0f4>0，
即 m>026m＋38<0或 m<026m＋38>0，解得－1913 12．3 解析 由已知 16－4b＋c＝c，4－2b＋c＝－2，得 b＝4，c＝2. ∴f(x)＝ x2＋4x＋2，x≤0，2， x>0. 当x≤0时，方程为x2＋4x＋2＝x， 即x2＋3x＋2＝0， ∴x＝－1或x＝－2； 当x>0时，方程为x＝2， ∴方程f(x)＝x有3个解． 13．解 设f(x)＝x2＋(k－2)x＋2k－1. ∵方程f(x)＝0的两根中，一根在(0,1)内，一根在(1,2)内， ∴ f0>0f1<0f2>0，即 2k－1>01＋k－2＋2k－1<04＋2k－4＋2k－1>0 ∴12
