四面体外接球的球心、半径求法

正四面体外接球半径和高的关系

正四面体是一个特殊的三维几何形体，它有四个面，每个面都是一个等边三角形。外接球是指可以完全包围这个四面体的球，而外接球的半径和四面体的高之间存在着一定的关系。

首先，让我们来看一下正四面体的性质。正四面体的高是从其中一个顶点到对立面（底面）的垂直距离，也就是说，从顶点垂直向底面作垂线，垂线的长度就是正四面体的高。

外接球的半径和正四面体的高之间的关系可以通过以下步骤来推导。首先，我们知道正四面体的高可以通过它的边长来表示。设正四面体的边长为 a，那么它的高可以表示为 (a√6)/3。

接下来，我们来求外接球的半径。设外接球的半径为 R。根据正四面体的性质，外接球的半径 R 和正四面体的边长 a 之间存在着以下关系，R = (a√6)/4。

因此，我们可以得出正四面体外接球半径和高的关系为，外接球的半径 R 等于正四面体的高乘以√6再除以4，即 R = (h√6)/4，其中 h 表示正四面体的高。

综上所述，正四面体外接球的半径和高之间的关系可以用公式

R = (h√6)/4 来表示，其中 R 表示外接球的半径，h 表示正四面体的高。这个公式可以帮助我们在已知正四面体高的情况下求得外接球的半径，或者在已知外接球半径的情况下求得正四面体的高。

对棱相等的四面体外接球半径

四面体，这个名字听上去有点复杂，但其实它就像个小玩意儿，简简单单的四个三角形拼起来的玩意儿。如果你想象一下一个金字塔，没错，它就是那样的东西！而说到四面体的外接球半径，哎呀，这可不是一件简单的事情。今天，我们就来聊聊这个话题，顺便轻松一下，不用太认真哦！

1. 什么是四面体？

说到四面体，首先得搞清楚它的结构。就像一杯奶茶，底部是个三角形，然后用三角形的边把它封起来。四面体有四个顶点，六条边，还有四个面。听起来是不是像是在说一个有点奇怪的拼图？而且，最有趣的是，这个四面体的所有边都一样长，这叫做“正四面体”。想象一下，咱们平时用的骰子，正是一个正四面体哦，没想到吧！

1.1 正四面体的性质

正四面体可不是好看而已，它还有很多有趣的性质。首先，所有的面都是等边三角形，想象一下，如果你把它拿在手里，那感觉就像是在握住一块闪闪发亮的宝石，真是美丽极了！而且，它的对称性可强了，每一个面、每一条边都像是在打招呼，真是齐心协力，团结一心。哈哈，说到这里，我忍不住想起了团队合作的重要性，真是一个完美的比喻呢！

1.2 四面体的外接球

好啦，接下来我们聊聊外接球。外接球，顾名思义，就是把这个四面体包裹起来的那个球。你可以想象成，四面体就像个小家伙，外面有个大球把它裹住。这个球的半径，就是我们今天的主角了。外接球的半径，不仅能告诉我们这个四面体有多大，还能帮我们理解它的形状，简直是个好帮手！

2. 外接球半径的计算

好，开始进入正题了，外接球半径到底怎么算呢？这可是有门道的哦！对正四面体来说，计算外接球半径有个简单的公式。记住了，如果你知道正四面体的边长为a，外接球半径R就可以通过公式R = a / √6来计算。哇，听起来是不是很神奇？就像把边长带入公式，瞬间变成了外接球的半径，简直就像魔法一样！

2.1 理解公式背后的道理

如果你仔细想想，这个公式其实很有意思。它告诉我们，外接球的半径和四面体的边长有直接的关系。边长越长，外接球也越大，反之亦然。就像是我们生活中，身边的朋友，如果他越高，拥抱的时候也显得越宽广，让人觉得温暖！所以，外接球半径不仅仅是一个数字，它还传递了四面体的空间信息，真是个妙不可言的概念。

多面体外接球半径常见的5种求法

公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有263,1,2936,384xxxhh．

∴正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.∴外接球的半径221Rrd.43V球.

小结 本题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.

多面体几何性质法

例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是

A.16 B.20 C.24 D.32

解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，则有2416x，解得2x.

∴222222426,6RR　 　.∴这个球的表面积是2424R.选C.

小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法

例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R，则有222223339R.∴294R.

故其外接球的表面积249SR.

小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222Rabc.

练习1 （2003年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）

多面体外接球半径常见的5种求法

若是一个多面体的各个极点都在同一个球面上，那么称那个多面体是球的内接多面体，那个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，而且还要专门注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到相当重要的作用.

公式法

例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的极点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，那么那个球的体积为 .

解 设正六棱柱的底面边长为x，高为h，那么有263,1,2936,384xxxhh．

∴正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.∴外接球的半径221Rrd.43V球.

小结 此题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的经常使用公式.

多面体几何性质法

例2 已知各极点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，那么那个球的表面积是

A.16 B.20 C.24 D.32

解 设正四棱柱的底面边长为x，外接球的半径为R，那么有2416x，解得2x.

∴222222426,6RR　 　.∴那个球的表面积是2424R.选C.

小结 此题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.

补形法

例3 假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，那么其外接球的表面积是 .

解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把那个三棱锥能够补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球确实是三棱锥的外接球.

设其外接球的半径为R，那么有222223339R.∴294R.