多面体外接球半径常见的5种求法

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB解：由已知建立空间直角坐标系)000(，，A )002(，，B )200(，，D 3，， CD A B S O 1图3A O D B 图4C y设球心坐标为),,(z y x O 则DO CO BO AO ===,由空间两点间距离公式知222222)2(z y x z y x ++-=++ 222222)2(-++=++z y x z y x 222222)3()1(z y x z y x +-+-=++解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。

例谈多面体外接球半径的常见求法湖北省荆州市沙市第五中学张胜言求棱锥、棱柱的外接球半径、表面积、体积的问题在近几年各地的高考模拟题和全国高考试题中经常出现，这是高考的重点，也是学生学习的难点.困难表现在两个方面：一是找不到外接球球心的位置，二是如何采用适当的方法求外接球的半径.下面例谈几类多面体外接球半径的常见求法.方法一：首先构造简单的几何体，如长方体、正方体、三棱柱等，易作出这些简单几何体的外接球，从而求解.定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.一、长方体、正方体外接球的半径1.长方体：因为长方体外接球半径是体对角线长的一半，设长方体长、宽、高分别为c b a ,,，外接球半径为R ，则2222c b a R ++=（如图1）.2.正方体：设正方体棱长为a ，外接球半径为R ，则a R 23=（如图2）.二、三棱柱外接球半径1.底面是直角三角形的直三棱柱：把三棱柱补成长方体，易求（如图3）.设底面三角形两直角边长分别为b a ,，直三棱柱高为c ，则外接球半径为R ，则2222c b a R ++=.2.正三棱柱：（如图4），正三棱柱球心O 在两底面中心21O O ，的中点处，设底面边长为a ，高为h ，外接球半径为R ，构造11OO A Rt ∆，则，，R OA hOO ==112a a D A O A 33233232111=⨯==，22233⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=h a R 三、三棱锥外接球半径c bO a 图1O a图2c b O aACB A 1C 1B 1图3AC BO B 1DC 1A 1O 1O 2a h R 图4AB DC图51.三条棱互相垂直的三棱锥：把它补成以这三条互相垂直的棱为长、宽、高的长方体，易求.（如图5）2.三组相对棱分别相等的三棱锥：（如图6），把它补成以这三组棱分别为面对角线的长方体，设c BD AC b AD BC a CD AB ======,,，设长方体长、宽、高分别为z y x ,,，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+222222222c x z b z y a y x ，2222222c b a z y x ++=++，()422222222c b a z y x R ++=++=.3.正四面体：设棱长为a ，外接球半径为R ，由2易知a R 46=.例题1：如图7，正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分别是BC ，CD 的中点，沿AE ，EF ，FA 折成一个三棱锥AEF B -（使点D C B ,,重合于点B ），则三棱锥AEF B -的外接球半径为.【解】在正方形ABCD 中，︒=∠=∠=∠90EBA FCE ADF ，所以折成三棱锥后，可将其转化为以)(,,DF BF BE AB 为棱的长方体，62224222=++=∴R 练习1：已知四面体ABC P -的四个顶点都在球O 的球面上，若⊥PB 平面ABC ，AC AB ⊥，且1=AC ，2==AB PB ，则球O 的体积为.例题2：已知正三棱柱111C B A ABC -的体积为2,32==AB V ，则该三棱柱外接球的表面积为.【解】如图8，设三棱柱的高为h ，3243S 2111=⨯=∆C B A ，2,332,=∴=∴=h h Sh V 11=∴OO ，3322233232111=⨯⨯==D A O A ，3713322221211=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∴OO O A R ，ππ32842==∴R S 练习2：已知三棱柱111C B A ABC -侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱体积Cc b O a D A B x y z图6AB FE图7（2）ACB 1B O DC 1A 1O 1O 2R 图8︒=∠===602AB ,1,62BAC AC V ，，则该球表面积为.方法二：由定义法求多面体外接球半径.这类问题关键是找出球心O 位置：一般地，先在一个面上找到一点1O 到其余各点距离相等，球心O 就在经过点1O 并垂直于该平面的直线l 上，构造出两个直角三角形，利用勾股定理解方程组求出R .例题3：已知三棱锥ABC S -所有顶点都在球O 的球面上，且⊥SC 平面ABC ，若1===AC AB SC ，︒=∠120BAC ，则球O 的表面积为.【解】如图9，作菱形ABCD ，则︒=∠=∠6021BAC DAC 易得ACD∆为正三角形D ∴为ABC ∆外接圆的圆心，⊥∴OD 平面ABC ，又⊥SC 平面ABC ，SC OD ∥∴，过点O 作SC OE ⊥，垂足为E ，R OS OC ==，设x CE OD ==，则x SE -=1，在OSE Rt OCD Rt ∆∆,中有：()⎩⎨⎧=-+=+222222111R x R x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2521R x 所以球的表面积为πππ5254422=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==R S .练习3：若三棱锥ABC P -的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为（）A.64π B.32π C.16π D.8π方法三：对于一些特殊的图形，利用其特有的性质找到外接球球心，直接求解.例题4：在三棱锥ABC S -中2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，若C B A S ,,,在同一球面上，则该球的表面积是（）A.68 B.π6C π24 D.π6【解】如图10，2==BC AB ，2==SA SC ，6=SB ，在SAB ∆中，由于222SB AB SA =+，故︒=∠90SAB ，同理︒=∠90SCB ，故SB 的中点是三棱锥ABC S -外接球的球心O ，从而半径为26=R ，所以该球的表面积为ππ62642=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=S ，选D.练习4：已知三棱锥ABC -S 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径.若平面⊥SCA 平面SCB ，BC SB AC SA ==，，三棱锥ABC -S 的体积为9，则球O 的表面积为.图9SCRRE BAO D图10AOS CB A FE D CB 图7（1）（附练习题答案：1、29π=V ；2、π36=S ；3、选A ；4、π36）。

外接球半径求法引言外接球是指一个球恰好能够包围住一个多面体的球体，外接球半径是指该球体的半径。

在几何学中，求解外接球半径是一个重要的问题，它在计算机图形学、物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍外接球半径的求解方法。

三维多面体三维多面体是由多个平面围成的立体图形，它的面可以是三角形、四边形或其他多边形。

在讨论外接球半径的问题时，我们假设多面体是凸多面体，即没有凹角的多面体。

外接球的性质在求解外接球半径之前，我们首先了解一下外接球的性质。

对于一个凸多面体，它的外接球的圆心与多面体的顶点、棱或面上的某一点共线。

这个共线性质为我们求解外接球半径提供了线索。

外接球半径求解方法方法一：通过顶点求解1.遍历多面体的顶点，计算每个顶点与其他所有顶点之间的距离。

2.找出距离最大的两个顶点，它们构成了外接球的直径。

3.外接球的半径等于直径的一半。

方法二：通过棱求解1.遍历多面体的棱，计算每条棱的中点与其他所有棱的中点之间的距离。

2.找出距离最大的两个中点，它们构成了外接球的直径。

3.外接球的半径等于直径的一半。

方法三：通过面求解1.遍历多面体的面，计算每个面的重心与其他所有面的重心之间的距离。

2.找出距离最大的两个重心，它们构成了外接球的直径。

3.外接球的半径等于直径的一半。

方法四：通过几何中心求解1.计算多面体的几何中心，即所有顶点坐标的平均值。

2.遍历多面体的顶点，计算每个顶点与几何中心之间的距离。

3.找出距离最大的顶点，它与几何中心构成了外接球的直径。

4.外接球的半径等于直径的一半。

求解示例以一个四面体为例，来演示以上四种方法的求解过程。

顶点法1.计算四个顶点两两之间的距离，得到距离列表：[a, b, c, d, e, f]。

2.找出距离最大的两个顶点，假设为顶点A和顶点B。

3.外接球的半径r = AB / 2。

棱法1.计算六条棱的中点两两之间的距离，得到距离列表：[g, h, i, j, k, l]。

数学复习：多面体外接球半径的求法近年来，求多面体的外接球半径成为全国各地高考的热点问题，是考察学生空间想象能力、画图能力和分析问题能力的一类综合题型，难度中等偏上。

因此，这类问题也是学生失分的重灾区，主要存在以下难点：一不能选择恰当的角度认识多面体；二不能准确分析几何体的线面关系找到球心。

这两个困难让学生对此类问题无从下手，渐渐地对此类问题失去信心。

本文从“画法”到“算法”，简单归纳出几类多面体的外接球半径的典型求法，试图突破此类问题在高三复习中的教学难点。

1通过补形直接求半径若多面体的每个顶点都落在长方体（或直三棱柱）的顶点上，那么该多面体的外接球也是该长方体（或直三棱柱）的外接球。

直三棱柱的外接球球心是上下底面外心连线的中点。

已知直三棱柱111C B A ABC -，设其上下底面的外接圆半径为r，三棱柱的高为h，则其外接球半径222r h R +⎪⎭⎫ ⎝⎛=。

长方体的外接球球心是体对角线的中点。

设长方体的长宽高分别为c b a ,,，则其外接球半径2222c b a R ++=。

1.1墙角锥若在一个三棱锥中，共顶点的三条棱两两垂直，那么我们可以把它补形成一个长方体。

例1.三棱锥P－ABC 的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22、32、62，则该三棱锥的外接球的体积是A．23B．8236π6π分析：如图（1），由题可以把三棱锥看成是以P 为墙角的墙角锥，易得，，3,21===c b a π6262222=∴=++=∴V c b a R 1.2三对对棱分别相等的四面体若一个三棱锥的三对对棱分别相等，那么我们可以把这个三棱锥看成是由一个长方体的六个面对角线构成的。

例2，在三棱锥A BCD -中，2AB CD ==5AD BC AC BD ====，则三棱锥A BCD -外接球的半径为________。

分析：如图（2），易得2,1,1===c b a 262222=++=∴c b a R 1.3四个面都是直角三角形的三棱锥利用长方体的线面关系，可将四个面都是直角三角形的三棱锥放在长方体内。

多面体外接球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是.解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =.故其外接球的表面积249S R ππ==.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面. 又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上. ∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=. ∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正C DA B S O 1图3棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径5R OA ==.故34125V R ππ==球.选C. CA O DB 图4。

外接球半径求法
外接球半径是指一个几何体的外接球的半径，它可以通过该几何体的某些特征来求解。

以下是几种常见的求解方法：
1. 对于正四面体、正六面体、正八面体等正多面体，其外接球半径可以直接通过公式计算得出。

例如，对于正四面体，其外接球半径R等于边长a乘以根号2除以4，即R=a√2/4。

2. 对于任意三角形ABC，其外接圆的半径R可以通过三角形的三边长度a、b、c来计算。

具体而言，可以使用海伦公式计算三角形的面积S，然后通过公式R=abc/4S求解外接圆半径R。

其中a、b、c分别为三角形的三边长度。

3. 对于任意四面体ABCD，其外接球半径可以通过四个顶点之间的距离来计算。

具体而言，假设四个顶点分别为A、B、C和D，则可以先计算出任意两个顶点之间的距离（如AB、AC等），然后使用这些距离来计算四面体各个侧面上三角形的面积，并使用这些面积来计算四面体总表面积S。

最后使用公式R=abc/4S求解出外接球半径R。

以上是几种常见的求解外接球半径的方法，不同的几何体可能需要使
用不同的方法来求解。

在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来计算外接球半径。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有263,1,296,8x x x h h =⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎩ ∴正六棱柱的底面圆的半径12r =，球心到底面的距离d =.∴外接球的半径1R ==.43V π∴=球. 小结 本题是运用公式222R r d =+求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A.16πB.20πC.24πD.32π解 设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有2416x =，解得2x =.∴2R R ==∴= .∴这个球的表面积是2424R ππ=.选C. 小结 本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的.补形法例3 若三棱锥的三个侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为.设其外接球的半径为R ，则有()222229R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2R =寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD -S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图3所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由2SA SC AC ===，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt . ∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球. 小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，则四面体ABCD 的外接球的体积为 A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：已知在三棱锥BCD A -中，ABC AD 面⊥，︒=∠120BAC ，2===AC AD AB 解：由已知建立空间直角坐标系3，，设球心坐BO 知222222)2(z y x z y x ++-=++CD A B S O 1图3A O D B 图4C y解得 1331===z y x 所以半径为3211331222=++=）（R 【结论】：空间两点间距离公式：221221221)()()(z z y y x x PQ -+-+-=四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为a 46。

立体几何专题：多面体外接球的半径求法引理：点O 为多边形E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅的外接圆的圆心，过点O 作一条直线l 垂直平面E ABCD ⋅⋅⋅⋅⋅，则l 上的任意一点P 到多边形的顶点的距离相等。

确定多面体外接球的球心方法：先确定一个三角形，找出此三角形外接圆的圆心，过圆心作此三角形所在平面的垂线1l ；再确定另一则外接球的半径h R R h r R 2)(222=⇒-+= 八、三棱锥BCD A -中，若AB ＝CD ＝a ，AC ＝BD ＝b ，AD ＝BC ＝c ，则外接球的半径R 221222c b a ++= 方法：构造长方体，c b a ,,为长方体面对角线的长，设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,。

则)(21222222222222222c b a z y x c x z b z y a y x ++=++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+，∴外接球的半径R 221222c b a ++= 附：三角形ABC 的外接圆半径r 的求法： 设Cc B b A a r a BC b AC c AB sin 2sin 2sin 2,,,===⇒===（由正弦定理） S Sabc r (4=表示⊿ABC 的面积）①。

②例2 1 2球 3球4 A π26 B π36 C π6 D π125、三棱锥BCD A -，,5,90=︒=∠=∠AC ADC ABC 则三棱锥BCD A -外接球的体积为 。

6、三棱锥BCD A -，,2,3,90===︒=∠=∠=∠BD CB AB CBD ABD ABC 则三棱锥BCD A -外接球的表面积为 。

7、点D C B A ,,,在同一球面上，,2,2===AC BC AB 若球的表面积为425π，则四面体ABCD 体积的最大值为 。

多面体外接球、内切球的半径的求法第一部分外接球方法一、公式法例1 一个六棱柱的底面是正六边形，苴侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同—个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体和为8 ---------------------------------6x = 3<9 A VT 2 ——6 x —x ■解设正六棱柱的底面边长为x ,高为力，则有8 4二正六棱柱的底面圆的半径r 球心到底面的距离rf = —. /■外接球的半径R= J尸二护=1 .3小结君题是运网公式用=r:+d‘求球的半径旳,该公式是求球的半径的営同公式.方法二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积是A. 16^-B. 20^C. 24^D. 32穴解设正四棱柱的底面边长为工，外接球的半径为则有4x:=16.解得x = 2.•:= +2,+ 4’ =2忆二7?=亦…••这个球的表面积是亠了尺‘ =24^ •选C.小结本题是运同-正四技炷的朱对角线的长等于其外接球的宜径^这一性熨来求解的. 方法三、补行法例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为,则其外接球的表面积是解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直…•.把这个三棱锥可以补成一个棱长为d的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设苴外接球的半径为Q 则有(2尺)‘ =(>/1「+丨\/7「+(\/7「=9.二疋二?故其外接球的表面和S = 4^R: =9兀・小结一般地.若一个三陵锥的三条例祓两两垂直，且其良覽分别为队亠—则就牙以特这个三谡维补成一令枚方体.于是长方俸的依对筒贱的悅就是该三谡维的外接球的直徑设其外接球的半桎为乩则有2应二J/ +F +F .方法四、寻求轴截面半径法例4正四棱锥S-ABCD的底面边长利各侧棱长都为JT,点S、A, B y C. D都在同一球面上•则此球的体和为 _______ .解设正四棱锥的底面中心为O：,外接球的球心为O,如图3 所示•二由球的截面的性质，可得06丄平.又SO：丄平面/1ECD,二球心O必在SQ所在的直线上.■■- 4SC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ZUSC 中，由血= SC = Q AC = 2, ^SA2 +SC；= AC2r二AJSC是以JQ为斜边的RM■ ■ —= 1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故4 =也*2 3小结檢拇题意、我们可以遶择聂佳商叟找出含有正愎锥超•圧元董的外接球的一个轴耘习王’二是该圜旳半径弐是斫文旳外茯球旳半逐,轧题炭厲蓟这呻退路是袄求三梭红歼接球半経的通解通法，该方法的实质就是逸过寻我外接球的一个轴截霽圆，从而把立体几何问瑟转化为平厨几何问题来研究.这釉竽价转化的数学魁想方法值得我们学习.方法五、确定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB = 4,BC = i r沿卫C将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积为125 125 125A.——広B.——広C*——才12 9 6D求该棱锥的外接球半径求该棱锥的外接球半径 ZDD((W)C(-bv5,0) 由平面知识得 B禅潯所以半径为R选+ (Zl_Z2)【例题】：已知在三A -BCD 中，貝Q 丄®4BCW ：由已知建立空间直角坐标系设球心坐标为O(x.y.z)则AO = BO = CO = DO :生空间两点间臣离公式知X 2+ v 2 +Z =(x-l): +O - 石)‘ +Z ^(0,0,0) 5(2,0,0) 根据勾股定瑾知.假设正四面体的边长为。

多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球•有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是 高考考查的一个热点•研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知 识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系 ，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用公式法多面体几何性质法解 设正四棱柱的底面边长为 x ,外接球的半径为 R ,则有4x 2 16 ,解得x 2.•2R J 22 22 42 2 46,R 76 •/这个球的表面积是 4 R 2 24 .选C.小结本题是运用正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的补形法例i 一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在9同一个球面上，且该六棱柱的体积为 - 底面周长为3,则这个球的体积为解设正六棱柱的底面边长为x ,高为h ,则有986x 3,1x -, 翻2h2T xh, h .3.•'正六棱柱的底面圆的半径-,球心到底面的距离 2舟••外接球的半径R r 2d 2 1. V 球—3小结 本题是运用公式R 22 2r d 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4 ,体积为16 ,则这个球的表面积是A.16B.20C.24D.32例3若三棱锥的三个侧棱两两垂直 ，且侧棱长均为讣3 ,则其外接球的表面积是 ___ .解 据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直 ，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球2L 2l 2 l 22 9设其外接球的半径为 R ，则有2R .3 .39；.R 2 -.4故其外接球的表面积 S 4 R 29 .小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a 、b 、c ,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体 ，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的 直径.设其外接球的半径为 R ，则有2R . a 2 b 2 c 2 .寻求轴截面圆半径法小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何例4正四棱锥S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为2，点 S 、A B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的体积为 _________ :解设正四棱锥的底面中心为 01,外接球的球心为 0 ,如图3 所示.•••由球的截面的性质，可得001 平面ABCD .又SO i 平面ABCD ，•球心0必在SO 所在的直线上.• ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆 ，外接圆的半径就是外接球的半径 在 ASC 中，由 SA SC 「2, AC 2，得 SA 2 SC 2 AC 2.ASC 是以AC 为斜边的Rt .AC21是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球C问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习确定球心位置法例5 在矩形ABCD 中，AB 4,BC 3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B ACD ，则四面体ABCD 的外接球的体积为解得 x 1A.竺12125B.-9 125C.-6 125D.-3解设矩形对角线的交点为 O ,则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ./点0到四面体的四个顶点 A 、B 、C 、D 的距离相等, 即点0为四面体的外接球的球心 ，如图2所示.•••外接球的半径R 0A54 3 125.故V 球 R.选C.出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解设球心坐标为0(x, y, z)则AO BO CO DO ,由空间两点间距离公式知(x2)2 2 2 2 2 2 2x y z x y (z 2)x 2 y 2 z 2(x1)2 (y 、3)2 z 2C(3)正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上，如图5，以对角面AA 1作截面图得，圆0为矩形AA i C i C 的外接圆，易得 R A i OD1C1D1.1 H < T所以半径为R 1( 33))12专结论】：空间两点间距离公式：PQ(X i X 2)2 (y i y 2)2 (z i Z 2)2四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点 ，J 6根据勾股定理知，假设正四面体的边长为a 时，它的外接球半径为 一a4内切球的半径正方体的内切球设正方体的棱长为 a ，求(1)内切球半径；(2)外接球半径；(3)与棱相切的球 半径。

多面体外接球半径常见的几种求法多面体外接球半径常见的几种求法如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球. 有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例 1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周8长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x ，高为h，则有6x3,x 1 ,96 3 x2 h,2h ．843∴正六棱柱的底面圆的半径 r 1，球心到底面的距离 d322. ∴外接球的半径 Rr2d21.V球4.3小结本题是运用公式 R2r 2 d 2求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式 .多面体几何性质法例2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是A. 16B.20C.24D.32解设正四棱柱的底面边长为x ，外接球的半径为R ，则有4x216 ，解得x 2 .∴ 2R222242 2 6,R6 .∴这个球的表面积是4 R224. 选 C.小结本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来求解的 .补形法例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球 .2222设其外接球的半径为 R ，则有2R3339 .∴R29 .4故其外接球的表面积 S 4 R29.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c ，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径. 设其外接球的半径为R ，则有 2Ra2b2c2.寻求轴截面圆半径法例4 正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为S、A、B、C、 D 都在同一球面上，则此球的体积为.2，点S解设正四棱锥的底面中心为 O1，外接球的球DC 心为 O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得O1BA图3OO1平面 ABCD .又SO平面 ABCD ，∴球心O必在SO所在的直线上.11∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径 .在ASC中，由SA SC2， AC 2 ，得 SA2SC2AC 2.∴ASC是以 AC为斜边的 Rt .∴AC1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故 V 球4. 23小结根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径. 本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 . 这种等价转化的数学思想方法值得我们学习 .确定球心位置法例 5在矩形ABCD中，AB4, BC 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角 B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为A. 125B.125129C.125D.125D63解设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线CA O互相平分，可知OA OB OC OD .∴点 O 到四面体的图 4B四个顶点 A、 B、 C、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图 2 所示 . ∴外接球的半径R OA 5 . 故4125. 选 C.2V 球R336出现两个垂直关系，利用直角三角形结论【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。

设正多面体外接球、内切球得半径得求法第一部分外接球方法一、公式法例1—个六棱柱的底面是正六边形，其側棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同9—个球面上，且该六棱柱的体和为二，底面周长为了，则这个球的休积为8一正六棱柱的底面圆的半径F =±球心到底面的距离巾二二外接球的半径R— J 厂亠二一1. “--------- .3小结■轧题是运円公式尺二十用术球的半径的，该公式是求球的半径的兽円公式. 方法二、多面体几何性质法例2已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4体积为16,则这个球的表面和是扎16 龙 B.20T C. 24/r D.32 疔解设正四棱柱的底面边长为匚外接球的半径为尺，则有4,? =16,解得v = 2.A 2R・VFZFTF二ls/6匸R二离*二这个球的表面积是4疗7?6二21选C.小结本題是运用••正四陵柱的体苦角线的长茅于其外接球的宜径粹这一性质来求錢的.方法三、补行法例3若三稜锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为41・则其外接球的表面积是例5在矩/宓9中，二 二沿解 据題意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，二把这个三棱锥可以补成一个棱长为 的正方体•于是 正方体的外接球就是三棱锥的肺接球.设其外接球的半径为则有（2町二（同十阿+ （旬=9・• •庆斗 故其外接球的表面积5 =曲耳『小结一般地，若一个三祓惟的三条便檢两两垂宜，且共悅度分别为z b 、。

则就 可以將这个三按 维社成一个长方农于是戋方体钓本对角线的戈就是该三擁锥的外接球的車径.设其外接球的半衽为R, 则有2?二十方：十/ .方法四、寻求轴截面半径法例4正四棱锥5 ■宓9的底面边长和各侧棱长都为JT ,点5•儿及6 D 都在同一球面上，则此球的体和为 _____________解设正四棱锥的福面中心为外接球的球心为O,如图3所示…由球的截面的性质，可得00:丄平面月QCQ •又S3丄平面乩?CQ,二球心O 必在S6所在的直线上的外接圖就是外接球的一个轴截面圆，外接圜的半径就是外接球的半径.在&LSC 中•由 S£ 二 SC 二 JI 二2 , A SA +SC 2=AC\ ・'・AJSC 是以JC 为斜边的RtA ・ACIiT-—二1呈外接圆的半径，也是外接球的半径■故卩人二一・ 2 3小结框拇题意，我们可以选择壷佳角覽找出舍肓正唆链蚌爼元畫的外接球的一个抽截Sr 圆、于 是该圜的半径就是所求的外接球的半径•本题提供的这种思■路是探求正棱锥外接球半桎的逸塀逸 法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个軸截笛園，从而把虫体几何问题 特化为平石几■何问题 来研究•这释等价转化的数学思想方去位得我們翅方法五、确定球心位置法B-AC-D，贝叮四面他⑦的外接球的体积为125 —n 12 B.125C ■——圧125D.——+ Gi — JJ+ （可一可）解设拒形对角线的交点2则由矩形对角线互相平分，可知0A = OB = 0C =0D,点0到四面体的四个顶点4 B, C.刀的 距离相等，即点O 为四面体的外 接球的掠心，如图2所示二外接球的半径R - 0A=二•故几一TJ7—丄二 才•选CL 2 3 6方法六、出现多个垂直尖系时建立空间直角坐标系 ，利用向量只就是求解 【洌題】：己知在三棱锥不如?中，且。

多面体外接球半径常见求法定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球. 常用性质：1．外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.2.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.如图13.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面； 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心； 过球的小圆圆心作垂直于小圆所在平面的直线必经过. 正棱锥的外接球球心在底面上的高所在的直线上.如图1，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ， 球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =-，或22r R d =-. 4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.如图2 5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.方法一：长（正）方体的外接球利用性质5：球的内接长方体的对角线等于该球直径求出球的半径.例1 （2006年全国卷I ）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ）.A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π答案：C解析：正四棱柱也是长方体.由长方体的体积16及高4可以求出长方体的底面边长为2，因此，长方体的长、宽、高分别为2，2，4，于是可求出球的半径，进而求出球的表面积，答案C.方法二：可以补成长方体的三棱锥的外接球问题只要四面体四顶点与长方体某四个顶点重合，则四面体就与长方体拥有共同的外接球，我们不妨称这个四面体内接于长方体，称长方体的内接四面体.长方体内接四面体可分四类：①四个面都是锐角三角形且对棱相等（如图一）.对棱的长度相等（分别为长方体面对角线）.②四个面都是直角三角形（如图二）.它们有一条最长棱，这条最长的棱就是长方体的体对角线，图2图一 图二图三 图四③ 有三个面都是直角三角形，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图三）.两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高④有三个面都是直角三角形，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图四）.它们有一条最长棱，这个最的棱就是长方体的体对角线.类型一：对棱相等例 2.1 （20032，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）A. 3πB. 4πC. 33πD. 6π解析：一般解法，需设出球心，作出高线，构造直角三角形，再计算球的半径.在此，由于所有棱长都相等，我们联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体A BDE -满足条件，即AB=AD=AE=BD=DE 2BE ==体的棱长为1，3，3，所以此球的表面积便可求得，故选A. (如图2)变式练习1 （2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，0DAB=60∠，E 为AB 的中点，将ADE ∆与BEC ∆分布沿ED 、EC 向上折起，使A B 、重合于点P ，则三棱锥P-DCE 的外接球的体积为（ ）.A.B.C.D.答案：A解析：折起后的图形是棱长为1的正四面体，将其放在正方体中，其直观图如图所示．它可以看作是一个棱长为22的正方体被截去四个角后得到的几何体，可求得该几何体的外接球的半径为12×12＋12＋12＝64，故所求球的体积为4π3×⎝⎛⎭⎫643＝6π8. 变式练习2 A ，B ，C ，D 且AC=BD=5，AD=BC=41，AB=CD ，则三棱锥D-ABC 的体积是____ __. 答案：20类型二：例2.2 （2008年浙江高考题）已知球O 的面上四点A 、B 、C 、D ，DA ABC⊥平面，AB BC ⊥，O 的体积等于 .解析：本题同样用一般方法时，需要找出球心，求出球的半径.而利用长方体模型很快便可找到球的直径，由于DA ABC ⊥平面，AB BC⊥，联想长方体中的相应线段关系，构造如图4所示的长方体，又因为CD 长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O 的体积等于92π.（如图4）图4例2.3 已知点A 、B 、C 、D 在同一个球面上，B BCD A ⊥平面，BC DC ⊥，若6,AC=213,AD=8AB =，则球的体积是 .答案：2563π解析：首先可联想到例8，构造下面的长方体，于是AD 为球的直径，O 为球心，OB=OC=4为半径，3425633V R ππ∴==类型三：有三条棱两两垂直例2.4 （2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______________.解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径.而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，如图1，则AC=BC=CD 3=，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的体对角线，设其外接球的半径为R ，则有()()()()222223339R =++=.∴294R =. 故其外接球的表面积249S R ππ==.小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c 、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有2222R a b c =++.出现“墙角”结构利用补形知识，补成长方体.变式1 在四面体中，共顶点的三条棱两两垂直，其长度分别为，若该四面体的四个顶点在一个球面上，求这个球的表面积.解：因为：长方体外接球的直径为长方体的体对角线长所以：四面体外接球的直径为的长 即：所以球的表面积为变式2：在正三棱锥S －ABC 中，M ，N 分别是SC ，BC 的中点，且MN ⊥AM ，若侧棱SA ＝23，则正CBO图5三棱锥S －ABC 外接球的表面积是________． 答案 36 π解析 由MN ⊥AM 且MN 是△BSC 的中位线得BS ⊥AM ， 又由正三棱锥的性质得BS ⊥AC ，∴BS ⊥面ASC .即正三棱锥S －ABC 的三侧棱SA 、SB 、SC 两两垂直，外接球直径为3SA ＝6. ∴球的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.方法三：寻求轴截面圆半径法常用于求正棱锥、正棱柱（正四棱柱属长方体）、圆锥、圆柱的外接球； 依据：性质3、4例3 （2010年新课标理10）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(A) 2a π (B)273a π (C)2113a π (D) 25a π 解析：如图222222274312a a R OB OE BE a ==+=+= 22743S a a ππ∴==命题意图：考察球与多面体的接切问题及球的表面积公式变式练习1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为 . 答案：43π变式练习2 正四棱锥S ABCD -的底面边长和各侧棱长都为2，S A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的体积为 .解 设正四棱锥的底面中心为1O ，外接球的球心为O ，如图1所示.∴由球的截面的性质，可得1OO ABCD ⊥平面.又1SO ABCD ⊥平面，∴球心O 必在1SO 所在的直线上.∴ASC ∆的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC ∆中，由22SA SC AC ===，，得222SA SC AC +=.∴ASC AC ∆∆是以为斜边的Rt .∴12AC =是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V π=球.变式练习3 （2009年全国Ⅰ）直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 .CD ABSO 1图3B也可以把这个问题看成直三棱柱的外接圆柱的外接球问题，如图所示.变式练习 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若1263,2,,3AB AC AA ===060BAC ∠=，则它的这个外接球的表面积为 . 答案：12π小结 根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.方法四：建系求球心的坐标例4.1 在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，o120BAC ∠=，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为1040..7 .11 .33A B C D ππππ 答案：D解析：如图所示，以A 为原点建系，则A 1AC 1CBB 1O 2O13C(2,0,0),B(,,0)22-设球心为O(1,y,1)，则OB=OC=R即2223311()()122y y ++=+-+，解得23y =从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=解法2（方法三） 由余弦定理得22o 21221cos1207BC =+-⨯⨯⨯=，故由正弦定理ABC∆的外接圆直径为o2772,sin12033BC r r ===，故22402(2)23R r =+=，如图所示， 从而外接球表面积210404433S R πππ==⨯=.变式练习 (2015·江西八校联考)正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的距离为3，则四面体ABCD 外接球的表面积为( )A ．7πB ．19π C.767π D.19619π【解析】 由题意可知四面体ABCD 中，BD ＝CD ＝1，AB ＝AC ＝2，AD ＝3，BC ＝3，∠BDC ＝120°，易得AD ⊥BD ，AD ⊥CD ，∴AD ⊥平面BCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫－12，32，0，D (0，0，0)，设球心为O (x ，y ，z )，由OA ＝OB ＝OC ＝OD ，可知O ⎝⎛⎭⎫12，32，32，球的半径r ＝72，∴表面积S ＝4πr 2＝7π.【答案】 A方法五：利用外接球球心到多面体各顶点的距离均相等确定球心求之例5 在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --，SACBO 2O则四面体ABCD 的外接球的体积为A.12512π B.1259π C.1256π D.1253π 解 设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知OA OB OC OD ===.∴点O 到四面体的四个顶点A B C D 、、、的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球心，如图2所示.∴外接球的半径52R OA ==.故3412536V R ππ==球.选C. 出现两个垂直关系，利用直角三角形结论.【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半.球心为直角三角形斜边中点.方法六：过两个不平行的截面圆的圆心分别作两截面圆的垂线确定球心方法类比：三角形外接圆圆心为分别作三角形 任意两条边的垂直平分线的交点，如图所示： 方法依据：性质3方法实操：如图，过两个不平行的截面圆的圆心分别 作两截面圆的垂线其交点即为球心.例6.1 已知在四面体ABCD 中, 2AB AD BC CD BD =====，平面ABD ⊥平面BDC ,则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）A. 20π3B. 6πC.22π3D. 8π 【解析】∵2AB AD BC CD BD =====， 所以△ABD 与△BDC 均为正三角形.分别过正三角形BDC 的中心1O 作1OO ⊥平面BDC ， 正三角形ABD 的中心O 2作2OO ⊥平面BDC ， 并设12OO OO O =（则O 为四面体ABCD 的外接球的球心）.设M 为BD 的中点，外接球的半径为R ，连接OB ，则OB =R ，因为平面ABD ⊥平面BDC ,所以12OO OO ⊥，11OO O M ⊥，22OO O M ⊥，12O M O M ⊥，且12O M O M =，四边形12OO MO 为正方形，.∵323MA ==，∴123O M O M ==1BM =，∴2222335()13R =++=，∴ 四面体ABCD 的外接球的表面积220π4π3S R ==.故选A. O 1 O 2O O 1O 2OB D A CM例6.2 在三棱锥P ABC -中，22,4,3,5PA PB AB BC AC =====，若平面PAB ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为_______．【答案】25π【解析】取AB 的中点O '，AC 的中点O ，连接O O '，因为222PA PB AB +=，所以PAB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，从而点O '为PAB ∆外接圆的圆心， 又222AB BC AC +=，所以ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形，从而点O 为ABC ∆外接圆的圆心， 又因为O O BC '∥，所以O O AB '⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以O O '⊥平面PAB ， 所以点O 为三棱锥P ABC -外接球的球心，所以外接球的半径2521===AC OA R ， 故外接球的表面积2425S R ππ==．例6.3 已知半径为4的球面上有两点A ，B ，42AB =O ，若球面上的动点C 满足二面角C -AB -O 的大小为60︒，则四面体OABC 的外接球的半径为 . 【解析】由已知42AB =4OA OB ==，所以△OAB 为直角三角形.如图，平面OAB 截球O 得小圆M ， 其中点M 直角三角形△OAB 外接圆圆心，线段AB 的中点 平面ABC 截球O 得小圆E ，点C 为小圆E 上的动点不妨设CA CB =，则点E 在线段CM 上，CM AB ⊥，OM AB ⊥ CMO ∠为二面角C -AB -O 的平面角，连接OE ，则OE ⊥平面ABC ， 作1l ⊥平面OAB 并与OE 的延长线交于点F ， 则点F 为四面体OABC 的外接球的球心，OF 为半径， 如图，OF 2246==所以，四面体OABC 46。

多面体外接球半径的几种求法《普通高中数学课程标准》中对立体几何初步的学习提出了基本要求：“在立体几何初步部分，学生将先从对空间几何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，直观认识和理解空间点、线、面的位置关系；一一。

”由此可见，长方体模型是学习立体几何的基础，掌握长方体模型，对于学生理解立体几何的有关问题起着非常重要的作用。

有关外接球的立体几何问题是近年各省高考试题的热点之一，这与学生的空间想象能力以及化归能力有关，本文通过近年来部分高考试题中外接球的问题谈几种解法。

一、直接法（一）与长方体的外接球的有关问题例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ________ 。

解析：关键是求出球的半径，因为长方体内接于球，所以它的体对角线正好是球的直径。

长方体体对角线长为■，故球的表面积为14n。

（二）与棱柱的外接球的有关问题例2、一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为■，底面周长为3，则这个球的体积为 ________________ 。

解析：设正六棱柱的底面边长为x，高为h,则有6x=36X・x2h=・，二x=・h=・二正六棱柱的底面园的半径r= ■，球心到底面的距离d=・二外接球的半径R* =1，/-V球=■小结：以上题型是运用公式R2=r2+d2求球半径的，该公式是求球半径的常用公式。

二、构造法（一）构造正方体例3、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为■，则其外接球的表面积是 ______________解析：此题用一般解法，需要作出棱锥的高，然后再设出球心，利用直角三角形计算球的半径，而作为填空题，我们更想使用较为便捷的方法，所以三条侧棱两两垂直，使我们很快联想到长方体的一个角，马上构造长方体，且侧棱长均相等，所以可构造正方体模型，那么三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线长，故所求表面积是9n。