专题70 瓜豆原理中动点轨迹圆或圆弧型最值问题(解析版)

最值问题之瓜豆原理

题型一、直线型轨迹

思路：寻找特殊点，两点确定一条直线

（一） 旋转类型

例1、如图，在等边△ABC 中，AB=10，BD=4，BE=2，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连接 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边△DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F运动的路径长是__________________

例2、如图,在△ABC中,∠B=45°,AB=2√2,BC=6,等腰直角△DAE中,∠DAE=90°，且点D是边BC上一点。

(1)当点D从点B向点C运动时，求点E到BC的距离的最大值。

(2)当DE=CE时，求BD

例3、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，∠A＝30º，BC＝2，D 是 AB 上一动点，以 DC

为斜边向右侧作等腰 Rt △DCE，使∠CED＝90º，连接 BE，则线段 BE 的最小值为___________

例4、如图，在RtABC△中，90C，3AC，4BC，点D为AB上一点，且1ADBDn，点E为AC上一动点，连接ED，过点D作DFDE，交直线BC于点F，点G为EF的中点，当点E从点A运动到点C，点G的运动路径长为______ ．（用含n的式子表示）

例5、如图，在△ABC中，AC=2AB，点D为直线BC上一点，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接ED交AC于F，∠BAC=120°，AB=√7，作点E关于直线BC的对称点E’ ，连接BE'、AE'、CE'，当BE'最小时，则△ACE‘的面积为____________

（二） 垂直平分线

例6、在矩形 ABCD 中，AB＝2，点 P 在 AD 上，AP＝1．将一直角尺的直角顶点放在点 P 处，直角尺的两边恰好分别经过点 B、C．现将直角尺绕点 P

顺时针旋转，直角尺的两边分别交 AB、BC 于点 E、F，当点 E 和点 A 重合时停止旋转．则在整个旋转过程中线段 EF的中点经过的路线长为___________．

1

最值系列之瓜豆原理

在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值．

本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值，为常规思路．

一、轨迹之圆篇

引例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

AOPQ

【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？

考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．

QPOAM

【小结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，

由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，

由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．

Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．

根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；

根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．

2

引例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．

考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？

OPQA

【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．

考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．

即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．

MAQPO

引例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？

OPQA

【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；

考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．

瓜豆原理——主从动点问题

涉及的知识和方法：

知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。

方法：第一步：找主动点的轨迹 ；

第二步：找从动点与主动点的关系；

第三步：找主动点的起点和终点；

第四步：通过相似确定从动点的轨迹；

第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值。

类型1.求轨迹解析式

例1．如图，△ABO为等腰直角三角形，A（﹣4，0），直角顶点B在第二象限．点C在y轴上移动，以BC为斜边作等腰直角△BCD，我们发现直角顶点D点随着C点的移动也在一条直线上移动，这条直线的函数表达式是_____．

类型2.求经过的路径长

例2.已知：如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿着A﹣B﹣C的方向以每秒钟1个单位长度的速度匀速运动，当点E到达点C时运动停止．联结DE，以DE为边作正方形DEFG．设运动的时间为x秒．

（1）如图①，当点E在边AB上时，联结CG，求证：AE＝CG；

（2）如图②，当点E在边BC上时，设正方形ABCD与正方形DEFG重叠部分的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；

（3）直接写出，在点E的运动过程中，对应的点F的运动路径的长．

例3．在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点E、F运动时间为t秒．回答下列问题：

（1）如图1，当t为多少时，EF的长等于4√5cm？

（2）如图2，在点E、F运动过程中，

①求证：点A、B、F、P在同一个圆（⊙O）上；

②是否存在这样的t值，使得问题①中的⊙O与正方形ABCD的一边相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；

③请直接写出问题①中，圆心O的运动的路径长为_______．

“⽠⾖原理”·2.3轨迹为圆·旋转位似

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【⽠⾖原理】

古语云：“种⽠得⽠，种⾖得⾖”。对于语⽂不怎么好的我来说，也只能这样理解了：如果你种西

⽠呢就会收获西⽠，种⾖⼦呢就会收获⾖⼦。这个道理运⽤到我们数学当中就是我们今天所要

说的——“⽠⾖原理”。

⽠⾖原理主要解决某些动点的运动轨迹问题。即“从随主动”的问题。“从随主动”指在⼀个定⾓

（⾓度可为0°）的两个“端点”中，其中⼀个“端点”在运动的过程中，另⼀个“端点”也随着这个“端

点”的变化⽽变化的情况。

其中主动变化的“端点”我们习惯称之为“主动点”；

跟随变化的“端点”我们习惯称之为“从动点”；

⾓的顶点我们习惯称之为“定点”。

定点到主动点的距离⽐定点到从动点的距离之⽐我们习惯称之为“定⽐”。

主动点的与从动点这两个动点的运动轨迹所形成的图形相似，相似⽐为定⽐。

满⾜“从随主动”且定点到主动点的距离⽐定点到从动点的距离之⽐为“定⽐”。此类问题我们可以

⽤⽠⾖原理去解决。主要涉及的题型分为以下⼏种：

【1.1】从动点运动轨迹为直线——旋转；

【1.2】从动点运动轨迹为直线——位似；

【1.3】从动点运动轨迹为直线——旋转位似；

【2.1】从动点运动轨迹为圆——旋转；

【2.2】从动点运动轨迹为圆——位似；

【2.3】从动点运动轨迹为圆——旋转位似；

【注】 ① 本⽂只介绍动点运动轨迹为直线与圆的情况。

② 本⽂中提到⾓的“端点”这⼀问题，在这边加以说明。我们学过的⾓的概念：“具有公共端点的

两条不重合的射线组成的图形”，这边的“端点”可以理解为分别在⾓的两条射线上不与⾓的顶点

重合的两个点。

【2.3·动点轨迹为圆·旋转位似】

【模型】

【例题】

【练习】