贵州大学2018年硕士研究生招生入学考试试题A
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4．（10 分）设有矩阵
0 0 0 0 − a0
1
0
0
0
− a1
0 A=
1
0
0
− a2
0 0
0 0
0 0
0 1
− −
an−2 an−1
计算| xE − A | .
2 2 −2
5.(20 分)设= 矩阵 A
2
5
−
4
.
−2 − 4 5
(1)求矩阵的全部特征值及相应的特征向量；
2.(10 分)设 A, B 为 n 阶方阵，证明：若 AB = 0 ,则 R( A) + R(B) ≤ n . 这里 R( A) 表示 矩阵 A 的秩.
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3.(14 分)设向量α1 + α2 , α2 + α3, α3 + α1 线性无关，证明:α1,α2,α3 线性无关.
4.(20 分)设 M n (F ) 表示数域 F 上所有 n 阶方阵关于矩阵加法和数乘矩阵构成的线
构成一个线性空间；W2 为起点在原点，终点在直线 y = x 上的实向量集，它按照向量的
加法和数乘向量也构成一个线性空间；则W1 +W2 = ○4 .
5.设 Fn[x] 表示数域 F 上次数小于等于 n 的多项式空间, 对任意 f (x) ∈ Fn[x] 定义微分
{ } 线性变换 Df (x) = f '(x) , 则变换 D 在 Fn[x] 的一个基 1, x, x2,, xn 下的矩阵为 ○5 .
(2)求正交矩阵 Q 和对角矩阵 D ，使得 QT AQ=D .这里 QT 表示 Q 的转置.
四、证明题（54 分）
1.(10 分)设 p(x) 是数域 F 上的次数大于零的多项式. 若对于 F[x] 中任意多项式
f (x) ,必有 p(x) | f (x) 或 ( f (x), p(x)) = 1, 则 p(x) 为不可约多项式.
6. 设 复 对 称 矩 阵
A
的等价标准型为
Er
0
பைடு நூலகம்
0
0
,
则复二次型 f ( X ) = X T AX 的规范形
为 ○6 .
二、判断题（判断下列命题正确与否，正确的给出证明，错误的举出反例. 每小题 4
分，共 16 分) 1．若次数大于零的有理系数多项式 f (x) 在有理数域 Q 上没有有理根，则 f (x) 在 Q 上
( f (x), g(x)) = ○1 .这里 R[x] 表示实数域上的多项式空间.
2．若 n 阶方阵 A 满足 A2 − A + E =O , 则 (E − A)−1 = ○2 .
3．设 3 阶方阵 A 的特征值为 1,2,3, 则| 2A−1 | = ○3 .
4．W1 为起点在原点，终点在直线 y = 0 上的实向量集，它按照向量的加法和数乘向量
贵州大学 2018 年硕士研究生招生入学考试试题 A
（所有试题答案必须答在专用答题纸上，否则答案无效）
考试科目代码： 818
考试科目名称： 高等代数
一、填空题(每空 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸上)
1．设 f (x), g(x) ∈ R[x] , 若有 u(x), v(x) ∈ R[x] , 使得 u(x) f (x) − 2 0 v1(x7)g(x) = 1, 则
{ } 性空间，W1 = A | A∈ M n (F ), AT = − A , 这里 AT 表示 A 的转置.
(1) 证明：W1 是 M n (F ) 的线性子空间; (2) 求 M n (F ) 的线性子空间W2 ，使得 M n (F=) W1 ⊕W2 .
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1 −1 1 1 1 −3
2.（10
分）设
X
1
1 −1 = 1 1
1
,
求矩阵 X
.
−1 1 1 −2 2 0
3.（10 分）已知线性方程
x1 + 2x2 −x3 = 1
−
x1
+
x2
+
4 x3
=5
2x1 + ax2 + bx3 = −4
至少有两个不同的解，求 a 与 b 的值，并解线性方程组.（要求：将解写成齐次方程基础 解系的线性组合加上一个特解的形式）
不可约. 2. 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若| A |> 0 , 则 A 是正定矩阵.
3. 若向量α 不能由向量 β1, β2，, βr 线性表示，则向量组α , β1, β2，, βr 线性无关. 4. 若 A 可逆，则 AB 与 BA 相似.
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三、计算题 (56 分)
1．（6 分）求多项式 f (x) = 2x4 − x3 + 2x2 − 5x + 2 的有理根.
