傅里叶变换分析

傅里叶变换在信号处理中的应用
傅里叶变换在通信系统有着久远的历史和宽阔的范围，现代通信系统的发展处处伴随着傅立叶变换方法的尽心精心应用。

尤其在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和相位分量。

目前，在信号处理与通讯领域里，使用最活跃的当属MATLAB 其在数学类科技应用软件中在数值计算方面首屈一指，而当前傅里叶变换在通信领域中的应用又是基于这一数学软件上，做快速傅里叶变换，并且除了数字信号处理之外，出色的图形处理功能使其在数字图像处理技术上解决了傅里叶变换在这些应用领域内的特定类型的问题，使傅里叶变换在通信中得以更好的应用与发展。

滤波、调制和抽样，将模拟信号数字化；对信号进行处理改善信号性能，产生新的较理想信号。

另外通过调制，使不同频率，不同时域信号可同时发送，从而达到节省频带的目的，即所谓时分复用、频分复用。

电话，电视等也都涉及到傅里叶的变换。

傅里分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。

傅里叶变换在不同的领域都充当着重要的角色，诸如现代声学，语音通讯，声纳，地震，核科学，乃至生物医学工程等信号的研究发挥着重要的作用。

当今傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。

傅立叶变换是在傅立叶级数正交函数展开的基础上发展而产生的。

傅立叶分析的研究与应用至今已经历了一百余年。

1822年法国数学家傅立叶(J ．Fourier,1768—1830)．提出并证明了将周期函数展开为正弦函数的原理，奠定了傅立叶变换的理论基础。

进入20世纪以后。

人们认识到，在通信与控制系统的理论研究和实际应用之中，采用频率域(频域)的分析方法较之经典的时间域(时域)方法有许多突出的优点傅立叶变换不仅应用于电力工程、通信和控制领域之中．而且在力学、光学、量子物理和各种线性系统分析等许多有关效学、物理和工程技术领域中得到广泛普遍的应用。

傅里叶分析方法的建立经历了一段漫长的历史，涉及到许多人的工作和许多物理现象的研究。

当今，傅里叶分析法已经成为信号分析与系统不可缺少的重要工具。

傅里叶变换定义
若)(t f 在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且)(t f 在（－∞，＋∞）上绝对可积（如下积分收敛），即：
⎰∞
∞-∞<dt t f )( （1）
则有下式的傅立叶变换成立：
dt e t f F t j ωω-∞∞
-⎰=)()( （2） 傅里叶逆变换：
ωωπ
ωd e F t f t j ⎰∞∞-=)(21)( （3） 其中，F(ω)称为)(t f 的象函数，)(t f 称作F (ω)的原函数。

傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：一般情况下,若“傅立叶变换”一词的前面未加任何限定语，则指的是“连续傅里叶变换”。

“连续傅里叶变换”将平方可积的函数f(t) 表示成复指数函数的积分或级数形式。

该式其实表示的是连续傅里叶变换，即将时间域的函数f(t)表示为频率域的函数F(ω)的积分。

反过来,其正变换恰好是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f(t)的积分形式。

一般可称函数f(t)为原函数,而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数,原函数和像函数构成一个傅立叶变换对。

一种对连续傅里叶变换的推广称为分数傅里叶变换，当f(t)为奇函数(或偶函数)时,其余弦(或正弦)分量将消亡,而可以称这时的变换为余弦转换或 正弦转换。

另一个值得注意的性质是,当f(t) 为纯实函数时,F(−ω) = F(ω)成立。

傅里叶级数：连续形式的傅里叶变换其实是傅里叶级数 (Fourier series)的推广，因为积分其实是一种极限形式的求和算子而已。

对于周期函数，其傅里叶级数是存在的：
（4） 其中为复振幅。

对于实值函数，函数的傅里叶级数可以写成：
（5）
其中a n 和b n 是实频率分量的振幅。

离散时间傅里叶变换：离散傅里叶变换是离散时间傅里叶变换（DTFT ）的特例（有时作为后者的近似）。

DTFT 在时域上离散，在频域上则是周期的。

DTFT 可以被看作是傅里叶级数的逆转换。

离散傅里叶变换：为了在科学计算和数字信号处理等领域使用计算机进行傅里叶变换，必须将函数x(n) 定义在离散点而非连续域内，且须满足有限性或周期性条件。

这种情况下, 使用离散傅里叶变换，将函数x(n)表示为下面的求和形式：
10,)(1)(2-≤≤=∑∞-∞=-N n k X N n x k nk N j e π （6） 其中X(k)是离散傅里叶变换。

直接使用这个公式计算，而快速傅里叶变换（FFT ）可以将复杂度大大降低。

计算复杂度的降低以及数字电路计算能力的发展使得DFT 成为在信号处理领域十分实用且重要的方法。

傅里叶变换应用实例
1.傅里叶变换在滤波技术中的应用
利用电路容抗或感抗随频率变化的特性，对不同频率的输入信号产生不同的响应，让需要的某一频率的信号顺利的通过，而抑制不需要的其他频率信号，这一过程即为滤波，实现该过程的系统称为滤波器。

设滤波器的输入()x t ，输出()y t ，则有滤波器系统的输入关系如下：
()()()x t h t y t *= (7)
由时域卷积定理知，式7可转换为
()()()
X H Y ωωω= (8) 其中：()()C F T xt X ω−−−→，()()C F T yt Y ω−−−→，()()C F T
h t H ω−−−→ 由式8知，借助傅里叶变换不仅使运算得到简化，而且为从频域上对信号进行研究，进行频谱分析提供了可能。

又由式8知
()()/()H Y X ωωω
= (9) 其中()H ω称为系统函数，可完全表征系统的性质和特征。

因此，若已知输入()x t 及要求的输出()y t ，
对其分别进行傅里叶变换后，便可根据需要设计出适当的滤波系统，从而满足适当地满足实际需要。

2.傅里叶变换在抽样技术中的应用
抽样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值表示。

这些样本值包含了该连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。

可以说，抽样定理在连续时间信号与离散时间信号之间架起了一座桥梁。

由于离散时间信号（数字信号)的处理更为灵活、方便，在许多实际应用（如数字通信系统等），首先将连续信号转换为相应的离散信号，并进行加工处理，然后再将处理后的离散信号转换为连续信号。

取样定理为连续信号与离散信号的互相转换提供了理论依据。

通过傅里叶变换可以知道：一定条件下，一个连续时间信号或离散序列均可惟一地用其等间隔的样本值来表示，这种表示是完全和充分的。

换言之，这组等间隔的样本值包含了原信号或序列的全部信息，且原信号可以由这组样本值完全恢复出来。

总结
傅里叶变换是一种特殊的积分变换。

通过傅里叶变换把信号的从时域变换到频域研究，采用频域法较之经典时域的方法有很多突出的优点。

虽然傅里叶分析不是信息科学与技术领域中唯一的变换域方法，但是不得不承认，在此领域中，傅里叶变换分析始终有着极其广泛的应用。

通过傅里叶变换实现信号的滤波，调制，抽样是傅里叶变换在通信中最主要的应用。

通过对信号的调制可以将信号的低频成分调制到高频，实现频谱搬移，减少码间串扰，提高抗噪声新能，有利于信号的远距离传输。

另外，对信号采样可以使连续信号离散化，有利于用计算机对信号进行处理。

总之，傅里叶变换在通信系统中有着非常重要的作用，学习傅里叶变换是学习其它频域变换的基础。