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第1节 反比例函数的图像和性质

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第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22(21)m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.6. 反比例函数2k y x-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2；④在函数图像的某一分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形. ⑥一元二次方程x 2—（2k —1）x +k 2—1=0无实数根. 其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y =y 1+y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2. 求y 与x 的函数关系式.3y图26-1-18.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）BACD11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（ ）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .（a ）（b ）图26-1-5A14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k= .16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S=m （m 为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y 轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（ ， ）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（ ， ）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。

（3）拓展：如图26-1-15（d ）所示，点M 、N 在反比例函数()011>=k xk y 的图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别是E 、F ，交反比例函数()022>=k xk y 的图像于点G 、H ，MN 与GH 是否平行？并说明理由.22.(1) (2012∙荆门) 已知：多项式x 2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y=的解析式为（ ）A ．y=B ．y=﹣C ．y=或y=﹣D ．y=或y=﹣(2). （2012•佳木斯）在平面直角坐标系中，反比例函数y=图象的两个分支分别在（ ）23.(2013•江西南昌) 如图26-1-16所示，，直线y=x+a ﹣2与双曲线y=交于A 、B 两点，则当线段24. (2013•北京) 如图26-1-17所示，，在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l ：1--=x t ，双曲线xy =。

在l 上取点A 1，过点A 1作x 轴的垂线交双曲线于点B 1，过点B 1作y 轴的垂线交l 于点A 2，请继续操作并探究：过点A 2作x 轴的垂线交双曲线于点B 2，过点B 2作y 轴的垂线交l 于点A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1，A 2，A 3，…，A n ，…。

记点A n 的横坐标为n a ，若21=a ，则2a =__________，2013a =__________；若要将上述操作无限次地进行下去，则1a 不能取．．．的值是__________25. 如图26-1-18所示，点P 是反比例函数()0<=k xk y 图像上的点,P A 垂直于点A(-1,0),点C 的坐标为(1,0),PC 交y 轴于点B ,连接AB ,已知AB =5.(1)k 的值为 .(2)若点M(a,b)是该反比例函数图像上的点,且满足∠MBA<∠ABC,则a 的取值范围是 .26. 如图26-1-19所示，正方形2111P P B A 的顶点1P 、2P 在反比例函数()02>=x x y 的图像上，顶点1A 、1B 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形2232B A P P ,顶点3P 在反比例函数y=)0(2>x x的图像上，顶点3A 在x 轴的正半轴上，则点3P 的坐标为 .。

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反比例函数的图像和性质

反比例函数的图像和性质

kyx1.2..1反比例函数的图像和性质第1课时教学设计后安中学陈东一、教材内容：人教版九年级下册第二十六章反比例函数的图像与性质第1课时二、教材分析:本节课讲述内容为《反比例函数的图像与性质》的第1课时, 这节是这一章的重点本节课是在理解反比例函数的意义和概念的基础上进一步熟悉其图像和性质的过程第一课时讲解反比例函数的图像要让学生经历列表、描点、画图的过程，从表格中观察函数的变化规律以及判断函数图像与坐标轴是否有交点的活动提前渗透反比例函数的性质为学生下一节课的学习打下基础。

三、教学目标：1. 能画出反比例函数的图像能根据图像和函数表达式探索反比例的性质2. 经历画反比例函数的图像和探索反比例函数性质的过程发展观察、分析、归纳和概括的能力3. 进一步体会数形结合的思想方法四、教学重点:会作反比例函数的图像探索并掌握反比例函数的主要性质教学难点:探索并掌握反比例函数的主要性质五、学情分析:学生在前面已经学习了如何用描点法画一次（正比例）和二次函数的图象，这为本节学习奠定了一定的基础。

通过本节课的学习，要使学生能够描点画出反比例函数的图象，并能结合图象分析反比例函数的性质。

六、教学过程（一）、创设情境我们知道一次函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线，那么我们上节课所学的反比例函数是直线还是抛物线呢？如果不是直线它是怎么样的曲线呢本节课我们就来讨论一般的反比例函数（ k是常数 k ≠0）的图象（二）、探究归纳1.画出函数y=6 /X的图象画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤在反比例函数中自变量x≠0解 :1 列表这个函数中自变量x的取值范围是不等于零的一切实数列出x与y的对应值2.描点用表里各组对应值作为点的坐标在直角坐标系中描出相应各点( 6, 1)、( 3, 2)、( 2, 3)等k y x3.连线 用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来 得到图像的第一个分支 用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来 得到图像的另一个分支 这两个分支合起来 就是反比例函数的图像学生讨论：(1)函数图象分别位于哪几个象限?(2)在每一个象限内，随着x 值的增大，y 的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？(3)反比例函数的图象可能与x 轴相交吗?可能与y 轴相交吗？为什么?设计意图: 回顾复习作函数图象的一般步骤：列表、描点和连线，为反比例函数性质的得出作铺垫。

6.2反比例函数的图象与性质(一)

6.2反比例函数的图象与性质(一)

第六章反比例函数2.反比例函数的图象与性质（一）山东省青岛市第五中学郝萍一、学生知识状况分析学生在学习本节课之前已经学习过一次函数，具备了研究函数的基本技能，了解了研究函数的一般过程。

一次函数的图象是线性的，并且是无间断连续的，学生在本节课将遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，需要考虑自变量的取值范围，在理解上有一定的困难。

二、教学任务分析本节课的内容是反比例函数的图象与性质，旨在进一步熟悉作函数图象需要注意的问题。

理解函数的三种表示方法及相互转换，逐步明确研究函数的一般要求，反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的直观工具，通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，在相互交流中锻炼从图象中获取信息的能力，同时可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的主要性质.（一）知识目标：1.进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作反比例函数的图象.2.体会函数的三种表示方法的互相转换.对函数进行认识上的整合.3.逐步提高从函数图象中获取信息的能力，探索并掌握反比例函数的主要性质.（二）能力训练目标通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力；通过观察图象，概括反比例函数的有关性质，训练学生的概括、总结能力.（三）情感与价值观目标让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.教学重点：画反比例函数的图象；并从函数图象中获取信息，探索并研究反比例函数的主要性质.教学难点：反比例函数的图象特点及性质的探究.教学方法：引导发现法、讨论法.教具准备：多媒体课件、幻灯片三、教学过程分析本节课设计了八个教学环节：第一环节：设疑激思复习引入；第二环节：合作探究发现问题；第三环节：巩固新知夯实基础；第四环节：观察思考再探新知；第五环节活学活用巩固提高；第六环节挑战自我能力提升；第七环节分层达标课后延伸；第八环节归纳总结纳入系统.第一环节：设疑激思复习引入教师幻灯片展示下列问题：1.当初我们从哪些方面研究了一次函数？2.画一次函数图象的步骤是什么？3.借助图象我们研究了一次函数的哪些性质？目的：通过对上面问题的回答，使学生回顾研究一次函数的过程，类比研究一次函数的思路，来研究反比例函数.效果：通过对问题的回答，激起学生对函数研究的兴趣.第二环节：合作探究发现问题教师引导学生类比着画一次函数图象的过程来尝试画出反比例函数4的图象.yx教学策略：小组内交流：教师在巡视过程中，当发现大部分学生完成时，让同学们先在小组内进行互查、互批，让小组长汇总各小组出现的问题或不足；全班交流：小组代表发言，谈一下各小组内在画图过程中存在哪些问题，教师组织、指导学生对各组情况和问题进行汇总。

反比例函数的图像与性质说课稿2

反比例函数的图像与性质说课稿2

《反比例函数的图象和性质》说课稿一教材分析（一）教学内容分析《反比例函数的图象和性质》是人教版数学八年级下册第十七章第一单元第二节第一课时。

本节课是在学习了一次函数的图象、性质和反比例函数概念的基础上，并掌握了研究函数的一般方法后，来研究反比例函数的图象和性质。

它的研究方法更具有一般性和代表性，可为以后学习二次函数及其它函数打下坚实的基础，为进一步深刻领会函数的内涵提供了一个平台。

所以，本节课在整个教材中有承上启下的作用。

（二）教学对象分析本节课的教学对象是聋校九年级、普校八年级学生。

学生曾在八年级上册学习过“一次函数”的内容，对函数已经有了初步的认识，在此基础上讨论反比例函数及其性质对后继学习产生积极影响，学生可以结合实例经历列表、描点、作图等活动，理解函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动空间，可以使学生更牢固地掌握由他们自己发现的反比例函数的性质。

（三）教学环境分析根据本节课的教学内容、学生情况以及学校的实际情况，选择了多媒体教室环境。

二教学目标基于对本节内容的理解，结合八年级学生现有的知识结构和认知特点，制定了以下教学目标和重点难点：（一）知识与技能目标：1．进一步熟悉作函数图象的步骤，会作反比例函数的图象，并由图象归纳概括出反比例函数的性质。

2．体会函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，提升学生对数形结合思想和由特殊—一般—特殊的认识规律的感悟。

（二）过程与方法目标：培养与发展学生的探究能力，提高从图形中提取有效信息的能力，训练观察与分析、归纳与概括的能力。

（三）情感态度与价值观目标：通过对反比例函数图象的探究，体现数学的直观形象美，积极参与探索活动，注意多和同伴交流看法，激发学生兴趣，增强学生对数学学习的好奇心和求知欲。

三教学重点、难点基于本节教学目标的定位，我特地把教学重点与难点设为：教学重点：反比例函数的图象和性质教学难点：反比例函数的图象和性质的探究四教学方法、过程及整合点过程：（一）教学方法针对八年级学生的心理特点和年龄特征及现有的知识水平，本节课我准备采用学案导学，小组合作交流探究，点拨释疑的教学方式，充分体现学生的主体地位和老师的主导作用。

第一节反比例函数的图象和性质(好题整理)

第一节反比例函数的图象和性质(好题整理)

第1节 反比例函数的图象和性质基础演练1.已知y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，则y 是x 的（ C ）A.正比例函数B.一次函数C.反比例函数D.不能确定2.若反比例函数2-2)1-2(mx m y =的图象位于第二、四象限，则（ D ） A. m 可取大于21的任意实数 B.1±=m C. m 可取小于21的任意实数 D. 1-=m3.如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的各边均平行于坐标轴，点C 在反比例函数)0(＞k xk y =的图象上．若点A 的坐标是（-5，-6），则k 的值是（ D ） A. 5 B. 6 C ．15 D ．304.定义：若双曲线)0(＞k xk y =与它的一条对称轴y=x 交于A 、B 两点，则线段AB 的长度 叫做双曲线)0(＞k x k y =的对径，如图所示．若双曲线)0(＞k x k y =的对径等于20，则k=____50_______．能力提升1.根据图1所示的程序，得到图2所示的y 关于x 的函数图象，过y 轴正半轴上一点M 作PQ ∥x 轴，交图象于P 、Q ，连接OP 、OQ ，有以下结论：①当x ＜0时，xy 2=；②△OPQ 的面积为定值；③当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ=2PM 始终成立；⑤∠POQ 可以等于90°.其中正确的个数是（ C ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．42.正比例函数x k y 1=和反比例函数x k y 2=的一个交点的坐标是（2，-3），则另一个交点的坐标是____（-2，3）_______.3.直线)0(＞a ax y =与双曲线xy 3=交于A )(11y x ，、B )(22y x ，两点，则12213-4y x y x =____-3_______.4.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在坐标原点，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数)0(＞k xk y =的图象与正方形的一个交点.若图中阴影部分的面积等于9，则k= 3 .5.如图，A 、B 是直线y=mx 与双曲线)0(＞k xk y =的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，连接AD 、BC ，则四边形ACBD 的面积是____2k_______.（用含m 、k 的代数式表示）6.如图，双曲线)0(＞k xk y =经过Rt △OAB 的斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于点C ． 若△OBC 的面积等于6，则k=_____4_____．7.如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数)00(＜，＞x k xk y =的图象上．R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别是M 、N ，记矩形OMRN 与正方形OABC 不重合部分的面积为S.若S=m(m 为常数，且0＜m ＜4)时，则点R 的坐标是_______________(用含m 的代数式表示)答案：（，）或（，）8.如图，□AOBC 的对角线交于E ，双曲线)0(＞k xk y =经过A 、E 两点，若□AOBC 的面积是24，则k 的值是（ B ）A ．6B ．8C ．12 C ．16中考链接1.在直角坐标系中，反比例函数xa a y 1-2+=的图象位于（ A ） A.第一、三象限 B.第一、二象限 C.第二、四象限 D.第二、三象限2.如图，在直角坐标系中，已知直线l ：y=-x-1和双曲线xy 1=.在l 上取一点A 1，过A 1作x 轴的垂线交双曲线于B 1，过B 1作y 轴的垂线交l 于A 2，过A 2作x 轴的垂线交双曲线于B 2，过B 2作y 轴的垂线交l 于A 3，…，这样依次得到l 上的点A 1、A 2、A 3、…、A n 、….记点A n 的横坐标为a n .（1）若a 1=2，则a 2=___________，a 2013=___________；（2）若上述操作能无限次地进行下去，则a 1不能取的值是____________.答案：31-23-，；-1和0巅峰突破1.如图，P 在反比例函数)0(＜k xk y =的图象上，PA ⊥x 轴于点A （－1，0），点C 的 坐标是（1，0），PC 交y 轴于点B ，已知AB=5.（1）k 的值是 ；（2）若点M （a ，b ）在该反比例函数的图象上，且满足∠MBA ＜∠ABC ，则a 的取值范 围是 .答案：-4；20＜＜a 或23311-233-11-+＜＜a2.如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数)0(2＞x xy =的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上.在正方形A 1B 1P 1P 2右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，使P 3在该反比例函数 的图象上，A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标是____)1-313(，+__________．。