中考数学命题研究 第一编 教材知识梳理篇 第七章 圆 第三节 正多边形与圆有关的计算(精练)试题
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第三节 正多边形与圆有关的计算
1．(2015福建中考)在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是( B )
A．π B．2π C．4π D
．6π
2．(2016成都中考A卷)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则弧BC的长为
( B )
A.310π B.910π C.95π D
.185π
,(第2题图)) ,(第3题图))
3．(2016吉林中考)如图，阴影部分是两个半径为1的扇形，若α＝120°，β＝60°，则大扇形与小扇形的
面积之差为( B )
A.3π B.6π C.35π D
.65π
4．(2016临沂中考)如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AC经过点O，与⊙O分别相交于点D，C.若∠ACB＝
30°，AB＝，则阴影部分的面积是( C )
A.23 B.6π C.23－6π D
.33－6π
,(第4题图)) ,(第6题图))
5．(2016南京中考)已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为( B )
A．1 B. C．2 D
．2
6．(2016深圳中考)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是︵AB的中点，点D在OB上，
点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为( A )
A．2π－4 B
．4π－8
C．2π－8 D
．4π－4
7．(2016长沙中考)如图，扇形OAB的圆心角为120°，半径为3，则该扇形的弧长为__2π__．(结果保留π)
,(第7题图)) ,(第8题图))
8．(2015益阳中考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则︵AB的长为__3π__．
9．(2016宁夏中考)已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆面的半径是__2__．
2
10．(2016泰州中考)如图，⊙O的半径为2，点A，C在⊙O上，线段BD经过圆心O，∠ABD＝∠CDB＝90°，
AB＝1，CD＝，则图中阴影部分的面积为__35π__．
,(第10题图)) ,(第11题图))
11．(2016原创)如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，
则图中阴影部分的面积是__23－6π__．
12．(2016乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与
AB边交于点D，将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为__2－32π__．
13．(2016郴州中考)如图，OA，OD是⊙O的半径，过A作⊙O的切线，交∠AOD的平分线于点C，连接CD，
延长AO交⊙O于点E，交CD的延长线于点B.
(1)求证：直线CD是⊙O的切线；
(2)如果D点是BC的中点，⊙O的半径为3 cm，求︵DE的长度．(结果保留π)
解：(1)∵OC平分∠AOD，∴∠COA＝∠COD，又AO＝OD，OC＝OC，∴△ACO≌△DCO，∴∠CDO＝∠CAO，又AC
是⊙O的切线，∴∠CDO＝∠CAO＝90°，∴直线CD是⊙O的切线；(2)解法一：∵D为BC中点，∴CD＝21CB，又CA
＝CD，∴AC＝21CB.又∠CAO＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOE＝60°，∴︵DE＝18060π×3＝π(cm)．解法二：∵CD＝
BD，∠ODC＝∠ODB＝90°，OD＝OD，∴△COD≌△BOD，∴∠COD＝∠BOD，∴∠BOD＝∠COD＝∠AOC＝60°，∴︵DE＝
18060π×3＝π(cm)．
14．(2016巴中中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，以点O为圆心的圆分别交x轴的正半轴于点M，交y
3
轴的正半轴于点N.劣弧︵MN的长为56π，直线y＝－34x＋4与x轴、y轴分别交于点A，B.
(1)求证：直线AB与⊙O相切；
(2)求图中所示的阴影部分的面积．(结果用π表示)
解：(1)作OD⊥AB于D，如图所示．∵劣弧︵MN的长为56π，∴18090π×OM＝56π，解得OM＝512，即⊙O的半径为
512，∵直线y＝－34x＋4与x轴，y轴分别交于点A，B，当y＝0时，x＝3；当x＝0时，y＝4，∴A(3，0)，B(0，
4)，∴OA＝3，OB＝4，∴AB＝＝5，∵S△AOB＝21AB·OD＝21OA·OB，∴OD＝ABOA×OB＝512＝半径OM，∴直线AB与⊙O
相切；(2)S阴影＝S△AOB－S扇形OMN＝21×3×4－41π×(512)2＝6－2536π.
15．(2016福州中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为︵AD中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，求︵BM的长．
解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴︵AB＝︵CD.∵M为︵AD中点，∴︵AM＝︵DM，∴︵BM＝︵CM，∴BM＝CM；(2)
连接OM，OB，OC.∵︵BM＝︵CM，∴∠BOM＝∠COM.∵正方形ABCD内接于⊙O，∴∠BOC＝4360°＝90°，∴∠BOM＝
135°，由弧长公式，得︵BM的长l＝180135×2×π＝23π.
16．(2016原创)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD∥AB.连接AC，AD，OD，其中AC＝CD.过点B的切线
交CD的延长线于E.
(1)求证：DA平分∠CDO；
(2)若AB＝12，求图中阴影部分的周长之和．(参考数据：π≈3.1，≈1.4，≈1.7)
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解：(1)∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD.又∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠BAD，∴∠ADO＝∠CDA，∴DA平分∠CDO；(2)
连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠CDA.又∵CD∥AB，∴∠CDA＝∠BAD，∴∠CDA＝∠
BAD＝∠CAD，∴︵AC＝︵DC＝︵BD.又∵∠AOB＝180°，∴∠DOB＝60°，∴∠BAD＝21∠DOB＝30°.在△ADB中，∠DAB＝
30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，AB＝12，∴BD＝21×AB＝6.∵︵AC＝︵BD，∴AC＝BD＝6.∵BE切⊙O于B，
∴BE⊥AB，∴∠DBE＝∠ABE－∠ABD＝30°.又∵CD∥AB，∴BE⊥CE，∴DE＝21BD＝3，BE＝BD×cos∠DBE＝6×23＝
3，∴︵BD的长为18060π×6＝2π，又︵AC＝︵BD，∴︵AC的长为2π，∴图中阴影部分周长之和为2π＋6＋2π＋3＋3＝4π
＋9＋3≈4×3.1＋9＋3×1.7＝26.5.
