初中数学知识点精讲精析 多边形和圆的初步认识

一、圆的知识点总结确定圆的条件1. 圆的确定确定一个圆有两个基本条件：①圆心(定点)，确定圆的位置；②半径(定长)，确定圆的大小．只有当圆心和半径都确定时，圆才能确定．2. 过已知点作圆⑴经过点A的圆：以点A以外的任意一点O为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A的圆，这样的圆有无数个．⑵经过两点A B、的圆：以线段AB中垂线上任意一点O作为圆心，以OA的长为半径，即可作出过点A B、的圆，这样的圆也有无数个．⑶过三点的圆：若这三点A B C、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C、、三点不共线时，圆心是线段AB与BC的中垂线的交点，而这个交点O是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．n≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点⑷过n()4确定的圆的圆心．3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：⑴”不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；⑵”确定”一词的含义是”有且只有”，即”唯一存在”．4. 三角形的外接圆⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．⑵三角形外心的性质：①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处(即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半)；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.（一）圆的基本性质1、圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆．2、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条劣弧（或优弧）、两条弦、两条弦的弦心距得到的四组量中有一组量相等，那么它们所对应的其余三组量也分别相等。

第32讲 多边形和圆的初步认识知识点01 多边形三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.知识点02 多边形的对角线知识点03 角平分线从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC ，∠AOC=∠BOC =∠AOB ．12知识点04圆（1）圆上任意两点A ，B 间的部分叫做圆弧，简称弧，记作 AB ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”；（2）圆的周长公式：r C π2=；圆的面积公式：2r S π=.对于正多边形，下列说法正确的是（）A ．正多边形的边都相等，内角都相等B ．各边相等的多边形是正多边形C ．各角相等的多边形是正多边形D ．由正多边形构成的多边形是正多边形【答案】A【分析】A. 由正多边形的性质可得B. 举反例判断即可C. 举反例判断即可D. 举反例判断即可【详解】A. 由正多边形的性质：各边相等，各角相等，正确B. 菱形不是正方形，错误C. 矩形不是正方形，错误D. 正方形与边长相等的等边三角形拼成的五边形不是正多边形，错误故选：A ．下列图形中，是正多边形的是（）A ．三条边都相等的三角形B ．四个角都是直角的四边C ．四边都相等的四边形D ．六条边都相等的六边形【答案】A【分析】根据正多边形的定义即可解答.【详解】选项A ，三条边都相等的三角形是等边三角形，它的三个角相等，三条边都相等，是正多边形；选项B 、C 、D 不符合正多边形的定义，都不是正多边形.故选A ．下列说法不正确的是（）考点精析考点一 多边形的概念A ．各边相等的多边形是正多边形B ．等边三角形是正多边形C ．正多边形的各个内角都相等D ．正多边形的各条边都相等【答案】A【分析】根据正多边形的定义：各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，除正三边形以外，各边相等，各角相等，两个条件必须同时成立．【详解】A. 各个边相等，各个角相等的多边形是正多边形，故选项A 错误；B. 等边三角形三条边相等，三个角相等，是正多边形，故选项B 正确；C. 正多边形的各个内角都相等，故选项C 正确；D. 正多边形的各条边都相等，故选项D 正确.故选A.关于正多边形的概念，下列说法正确的是（）A ．各边相等的多边形是正多边形B ．各角相等的多边形是正多边形C ．各边相等或各角相等的多边形是正多边形D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形【答案】D【分析】根据正多边形的定义判定即可．【详解】解：A ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；B ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；C ．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；D ．各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意．故选：D ．下列说法错误的是（）A ．多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形B ．四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形C ．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形D ．多边形是三角形，但三角形不一定是多边形【答案】D【分析】根据四边形的定义以及多边形的定义对各小题分析判断即可得解．【详解】解：A ．由不在同一直线上的几条线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫多边形，所以多边形是平面图形，平面图形不一定是多边形，故本选项正确，不符合题意；B ．在同一平面内，由四条线段首尾顺次相接组成的封闭图形是四边形，四边形由四条线段组成，但四条线段组成的图形不一定是四边形，故本选项正确，不符合题意；C ．多边形是一个封闭图形，但封闭图形不一定是多边形，例如圆，故本选项正确，不符合题意；D ．多边形构成要素：组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形，本选项错误，符合题意；故选：D．过一个多边形的一个顶点可引2021条对角线，则这个多边形的边数为（）A ．2018B ．2019C ．2023D ．2024【答案】D【分析】根据从多边形一个顶点可以引出()3n -条对角线，进行计算即可．【详解】解：由题意得：()3=2021n -，∴2024n =；故选D ．一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（）A ．7B ．8C ．12D ．13【答案】D【分析】根据过n 边形的一个顶点可作（n-3）条对角线，即可解答本题．【详解】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，∴n-3=10，∴n=13，故选：D ．六边形的对角线共有（）条．A ．5B ．9C ．12D ．14【答案】B【分析】根据多边形的对角线有(3)2n n -条，即可求解．【详解】解：六边形的对角线共有()66392´-=条，故选B ．已知从九边形的一个顶点出发，可引出m 条对角线，这些对角线可以把这个九边形分成n 个三角形，则m -n =______；十三边形的共有______条对角线．【答案】 -1 65【分析】根据边数为a 条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的个数为（a-2），分别求出m 、n 的值即可得出m n -；根据边数为a 条边的多边形的对角线条数为()32a a -，求出十三边形对角线条数即可．【详解】解：∵边数为a 条边的多边形的任意一点连其他各点得到的对角线条数为（a-3）；组成的三角形的考点二多边形的对角线个数为（a-2），∴从九边形的一个顶点出发，对角线共有936-=条，分成927-=个三角形，即6m =，7n =，∴671m n -=-=-；十三边形的对角线共有：()13133652´-=（条）．故答案为：-1；65．从（n +5）边形的一个顶点出发可引______条对角线，它们将n 边形分为______个三角形．【答案】 ()2n ＋##（2+n ） ()3n ＋##（3+n ）【分析】根据多边形的对角线的条数，以及对角线分割三角形的个数的计算公式进行计算即可．【详解】解：从n 边形的一个顶点出发有：()3n -条对角线，把n 边形分割成：()2n -个三角形；∴()5n +边形的一个顶点出发可引：()()532n n +-=+条对角线，把n 边形分割成：()()523n n +-=+个三角形；故答案为：()2n ＋；()3n ＋．从五边形的一个顶点出发，可以画出m 条对角线，它们将五边形分成n 个三角形．则m n +=_______．【答案】5【分析】根据多边形的对角线的定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，得出n 边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，进而得出这（n-3）条对角线把多边形分成（n-2）个三角形，从而可求出答案．【详解】解：根据题意：m=5-3=2，n=5-2=3，∴m+n=2+3=5，故答案为：5．夏夏和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中，请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数45678……n从一个顶点出发的对角线的条数12345……①多边形对角线的总条数2591420……②（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n 的代数式将上面的表格填写完整，其中①________；②________.（2）拓展应用：有一个76人的代表团，由于任务需要每两人之间通1次电话（且只通1次电话），他们一共通了多少次电话?【答案】(1)①3n -，②(3)2n n -(2)他们一共通了2850次电话【分析】（1）根据前面5个图形归纳类推出一般规律，由此即可得出答案；（2）将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，再结合（1）的结论即可得．（1）解：多边形的顶点数为4时，从一个顶点出发的对角线的条数为143=-，多边形对角线的总条数为4(43)22´-=，多边形的顶点数为5时，从一个顶点出发的对角线的条数为253=-，多边形对角线的总条数为5(53)52´-=，多边形的顶点数为6时，从一个顶点出发的对角线的条数为363=-，多边形对角线的总条数为6(63)92´-=，多边形的顶点数为7时，从一个顶点出发的对角线的条数为473=-，多边形对角线的总条数为7(73)142´-=，多边形的顶点数为8时，从一个顶点出发的对角线的条数为583=-，多边形对角线的总条数为8(83)202´-=，归纳类推得：当多边形的顶点数为n 时，从一个顶点出发的对角线的条数为3n -，多边形对角线的总条数为(3)2n n -（其中4n ³，且n 为整数），故答案为：3n -，(3)2n n -．（2）解：由题意，将问题转化为一个多边形的顶点数为76个，求这个多边形对角线的总条数与边数之和，则76(763)7628502´-+=，答：他们一共通了2850次电话．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：多边形的顶点数/个45678……n从一个顶点出发的对角线的条数/条12345……①___________多边形对角线的总条数/条2591420……②___________（1）观察探究：请自己观察上面的图形和表格，并用含n 的代数式将上面的表格填写完整，其中①_______________；②_______________；（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？【答案】（1）①3n -；②()132n n -；（2）135个【分析】（1）观察表可知从一个顶点出发的对角线的条数是多边形的顶点数减3，即得n-3，由此可完成①；从一个顶点可以引出n －3条对角线，则n 个顶点可以引出n(n-3)条，其中每一条都重复算了一次，则可完成②；（2）把6个组共18名学生看成18边形的顶点，不同组的两位同学之间打一个电话是这个多边形的对角线，因此问题转化为有多少条对角线的问题，由（1）中结论即可完成。

点 A， B， C， D， E
内角
多边形相邻两条边 组成的角
∠ EAB， ∠ ABC， ∠ BCD， ∠ CDE， ∠ DEA
对角线
连接多边形不相邻 两个顶点的线段
线段 AC，AD，BE ， BD， CE
知1－讲
图示
感悟新知
知1－讲
4. 正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 .
示 例
顶点在圆心的角叫作圆心角
如∠ AOB
知2－讲
感悟新知
知2－讲
1. 圆心角的度数： 因为一个周角为 360° ，所以将一个圆分 成的几个扇形的圆心角的度数之和等于 360° ，一个扇形 圆心角的度数 =360°× 这个扇形圆心角占周角的百分比 .
2. 扇形的面积： 半径为 R 的圆，其面积 S=π R2，将圆等分为 360 个小扇形，则每个圆心角为 1° 的小扇形的面积是
段组成，那么这个多边形叫作 n 边形 . 如三角形、四边形、
五边形……三角形是最简单的多边形 .
注意： 如无特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，
即多边形总在其任意一条边所在直线的同一侧 .
感悟新知
知1－讲
2. 多边形的表示方法： 先写出多边形的名称，然后写出表示 它的各个顶点的大写字母，可以按顶点顺时针的顺序书写， 也可以按顶点逆时针的顺序书写 .
答案：C
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知1－练
1-1.如图所示的图形中，属于多边形的有( A ) A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个
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1-2.下列图形中一定是正多边形的是( B ) A. 三角形 B. 正方形 C. 长方形 D. 八边形
知1－练
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知识点 2 圆和扇形及其相关概念

5.求图中阴影部分的面积（单位：分米）．
肆 课堂小结
课堂小结
1.你能指出多边形的角、边和对角线吗？ 2.圆的概念是什么？什么是圆心？半径？ 3.怎样求圆心角与扇形面积？
基础题：1.课后习题 第 1,2题。 提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集 整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课 为全班展示。
讲授新课
知识点三 圆的有关概念
讲授新课
知识点四 圆心角和扇形的面积计算 在半径为1的圆内，画一个正六边形ABCDEF，把圆平均分成六个小 扇形，求每个小扇形的圆心角及扇形的面积．
例2 如图所示的一个圆分割成四个扇形，它们的圆心角的度数比 为2：3：4：3． （1）求这四个扇形的圆心角的度数，并画出四个扇形； （2）若圆的半径为2cm，请求出这四个扇形的面积．
新壹 课 导 入
目录
讲贰 授 新 知
当叁 堂 训 练
课肆 堂 小 结
壹 新课导入
请观看图片，图片中哪些是你熟悉的平面图形?
贰 讲授新知
知识点一：多边形的有关概念
观察下列图像你能用自己的语言描述它们的特征吗? 这些图形是由什么样的线按怎样的方式组成的?
知识点一：多边形的有关概念
多边形:平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次 相连组成的封闭平面图形
谢谢
多边形的边:组成多边形的各条线段 多边形的内角:多边形相邻两边组成的角 多边形的顶点:每相邻两条边的公共端点 多边形的对角线:在多边形中,连接不相邻两个顶点的线段
知识点二：正多边形的有关概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
Байду номын сангаас例应用
例1（1）如果从五边形的每个顶点都引出所有对角线，重合的对角 线算作一条，那么五边形共有几条对角线？ （2）如果从每个顶点都引出所有对角线，重合的对角线算作一条， 那么n边形共有几条对角线？

正多边形和圆一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。

二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。

（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。

（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。

24.3正多边形和圆一、填空题1． 在一个圆中，如果︒60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________.2． 正n 边形的中心角的度数是_______.3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________.4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________.二、选择题5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）.（A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）.（A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:37．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ）（A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）41 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）49．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影部分面积为（ ）.（A ）（1-π）a 2 （B ）1-π（C ）44π- （D ）44π-a 21. 3；2. n o360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD。

中考正多边形和圆知识点中考数学中的多边形和圆的知识点主要包括多边形的性质、圆的性质以及相关的计算。

一、多边形的性质：1.多边形是由若干条线段组成的封闭图形，它的每个线段都是相邻两个顶点之间的连接线段，多边形的每个顶点都是两个线段的公共顶点。

2.多边形的顶点个数等于线段的个数，多边形的边数等于线段的长度。

3.多边形中，相邻两条边之间的夹角称为内角，多边形中所有内角的和等于180°×(n-2)，其中n为多边形的边数。

4.多边形中的对角线是多边形内部两个非连续顶点之间的线段，多边形中的对角线的条数D=(n×(n-3))/2，其中n为多边形的边数。

5.正多边形是所有边和角都相等的多边形，正多边形中的所有内角都相等，且每个内角是(2×180°)/(n)，其中n为多边形的边数。

二、圆的性质：1.圆是由所有与圆心的距离相等的点组成的图形。

2.圆心是圆上所有点的中心，圆上的每条线段都通过圆心。

3.圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，圆的直径是经过圆心的两个点之间的距离，直径是半径的2倍。

4.圆的周长是圆的边界的长度，周长等于2π乘以半径，或π乘以直径。

5.圆的面积是圆内部的平面区域，面积等于π乘以半径的平方。

6.弧是圆上的一段弧线，它是圆上两个点之间的连线所对应的圆心角所夹的弧，它的长度等于圆的周长乘以圆心角所占的比例。

7.扇形是圆心和圆上的两个点所围成的图形，扇形的面积是圆的面积乘以圆心角所占的比例。

8.弦是圆上的两个点之间的线段，它的长度可以通过圆心角的正弦、余弦等函数关系进行计算。

三、相关计算：1.根据多边形的边数和边长计算多边形的周长。

2.根据多边形的边数和一个内角的度数计算多边形的内角和。

3.根据圆的半径或直径计算圆的周长和面积。

4.根据圆周角的度数计算弧长和扇形的面积。

5.根据圆心角的度数计算弧长和扇形的面积。

以上就是中考数学中多边形和圆的相关知识点，掌握了这些知识点，同学们就能够正确理解多边形和圆的性质，能够运用相关公式进行计算和解题。

多边形和圆的初步1.认识多边形，知道球多边形的对角线数量。

2.认识圆弧和圆心角。

3.掌握探究多边形的边、顶点、对角线之间的关系。

教学建议：从生活中所见到过的多边形、结合三角形的定义引入多边形的概念。

知识点一：多边形1．定义：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形是多边形．2．分类：根据组成多边形的条数将其分为三角形、四边形、五边形、六边形……例1如图，下面图形是多边形的有____（填序号）．分析：根据多边形的定义及特征判断，①②⑤都有一部分曲线，不符合定义；⑥不是由线段首尾相连组成；⑦不是封闭图形．解：③④拓展一些常见的多边形：变式训练1.下列图形：①正方形；②三角形；③圆锥；④线段；⑤棱柱；⑥圆；⑦球；⑧长方形；⑨圆柱；⑩梯形．其中，是平面图形的有；是多边形的有____．（只填序号）答案：⑧④①②⑧④知识点二：多边形的分割1．三角形是特殊的多边形，其边数最少，也是生活中最常见的平面图形．2．利用三角形研究多边形最常用的方法是将多边形进行分割，从而把多边形的问题转化成三角形来处理．3．若多边形的边数为n（n≥3），从这个多边形的一个顶点出发，能把这个多边形分割成（n-2）个三角形．例2在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．请你先画一画、数一数，如果从四边形、五边形、六边形的一个顶点引对角线各有多少条？如果从每个顶点都引又各有对角线多少条？n 边形（n ,≥4，n 是整数）共有多少条对角线？分析：可以实际动手画一画，再数一数，然后从特殊到一般，找出多边形对角线的规律． 解：如下图所示：从一个顶点出发，四边形的一个顶点可引4 -3 =1（条）对角线；五边形的一个顶点可引5 -3 =2（条）对角线；六边形的一个顶点可引6-3 =3（条）对角线……∴n 边形的一个顶点可引（n -3）条对角线．如果从每个顶点都引对角线，四边形有4个顶点，每个顶点引4 -3 =1条，四个顶点共可引4条．但在此过程中，从顶点引过去，然后又从另一顶点引回来，故这四条对角线是两两重复的，结果实际上：四边形有224)34(=⨯-（条）对角线； 五边形有525)35(=⨯-（条）对角线；六边形有926)36(=⨯-（条）对角线；∴n 边形有2)3(nn ⨯-条对角线．如下图所示：拓展(1)从一个顶点出发，连接不相邻的顶点，此时可将n 边形分割成（n -2）个三角形．(2)从多边形一边上的一点出发，连接各顶点，此时可将n 边形分割成（n -1）个三角形．(3)从多边形内部的一点出发，连接各顶点， 此时可将n 边形分割成n 个三角形，变式训练1．(1)若在n 边形内部任意取一点P ，将P 与各顶点连接起来，则可将多边形分割成 ________个三角形． (2)若点P 取在多边形的一条边上（不是顶点），将P 与n 边形各顶点连接起来，则可将多边形分割成____个三角形．2．（黑龙江牡丹江）用大小相同的实心点摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆成的第n 个图案中，共有实心点的个数为____答案：1.n n -1 2．292nn +提示：2)2)(1(2)1(3++++-n n n 292nn +=知识点三：弧和扇形1．圆：(1)静态定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆.(2)描述性定义：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．定点叫做圆心，定长叫做半径2．弧：圆上两点A 、B 之间的部分叫做圆弧，简称弧．记作AB ，读作“圆弧AB ”或“弧AB ”． 3．扇形：由一条弧AB 和经过这条弧的端点的两条半径OA 、08所组成的图形叫做扇形。

初一数学《多边形和圆的初步认识》知识点精讲知识点总结1.平面及平面的特征一一平整性和无限延展性。

2.平面图形是由同-一个平面内的点、线构成的图形。

3.多边形及多边形的特征一由一些不在同一-条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。

4.圆上A、B两点之间的部分叫做弧，由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

5.圆可以分割成若干个扇形。

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形(polygon).如果一个多边形由 n 条线段组成，那么这个多边形就叫做 n 边形.多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在直线，整个多边形都在这条直线的同一侧，这样的多边形叫做凸多边形，在这条直线的两侧，这样的多边形叫做凹多边形.【正多边形】各个角都相等，各边都相等的多边形叫做正多边形(regular polygon).平面镶嵌(密铺)1.平面图形的镶嵌(密铺)概念：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌(密铺)。

2.理解平面图形的密铺：(1)要用几个形状、大小完全相同的图形不留空隙、不重叠地密铺一个平面，需使得拼接点处的各角之和为360°。

(2)单一多边形密铺：任意三角形(6个)、四边形(4个)、正六边形(3个)可以密铺;(3)单一正n边形密铺的条件：如果360°除以正n边形的一个内角等于整数，则可以单独用它密铺;就是说：正多边形的一个内角度数能整除360°。

(4)多种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件：a. n个正多边形中的一个内角的倍数的和是360°;b. n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的整数倍。

导学案多边形和圆的初步认识【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2．在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3．能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．要点二、圆及扇形1.圆的定义如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形. 要点诠释：圆可以分割成若干个扇形.（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A出发,可以画出条对角线，分别用字母表示出来为；（2）这些对角线把六边形分割成个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC、线段AD、线段AE；（2）4.【总结升华】(1) n边形有n个顶点,n条边,n个内角.(2) 过n边形的每一个顶点有(n－3)条对角线,n边形总共条对角线.(3) n边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（－2）个三角形.举一反三：【变式】从一个边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个边形分割成三角形个数是（）A．3个 B．（﹣1）个 C．5个 D．（﹣2）个【答案】D2．同学们在平时的数学活动中会遇到这样一个问题：把正方形纸片截去一个角后，还剩多少角，余下的图形是几边形，亲爱的同学们，你知道吗?【答案与解析】解：这个问题，我们可以用图来说明．按图(1)所示方式去截，不经过点B和D，还剩五个角，即得到一个五边形．按图(2)所示方式去截，经过点D(或点B)．不经过点B(或点D)，还剩4个角，即得到一个四边形．按图(3)所示方式去截，经过点D、点B，则剩下3个角，即得到三角形．答：余下的图形是五边形或四边形或三角形．【总结升华】一个n边形剪去一个角后，可能是(n+1)边形，也可能是n 边形，也可能是(n-1)边形，利用它我们可以解决一些具体问题．举一反三：【变式】一个多边形共有20条对角线，则多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C3．如图是对称中心为点的正六边形．如果用一个含角的直角三角板的角，借助点（使角的顶点落在点处），把这个正六边形的面积等分，那么的所有可能的值是 ___________ __ .【答案】根据圆内接正多边形的性质可知，只要把此正六边形再化为正多边形即可，即可知：360÷30=12；360÷60=6；360÷90=4；360÷120=3；360÷180=2．故n的所有可能的值是2，3，4，6，12．类型二、圆4．如图，MN为⊙O的弦，∠M=50°，则∠MON等于．【思路点拨】利用等腰三角形的性质可得∠N的度数，根据三角形的内角和定理可得所求角的度数．【答案】80°．【解析】解：∵OM=ON，∴∠N=∠M=50°，∴∠MON=180°﹣∠M﹣∠N=80°，故答案为80°．【总结升华】考查圆的认识；利用圆的半径相等这个知识点是解决本题的突破点．【变式】如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊,请画出羊的活动区域.【答案】类型三、扇形5．将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比，即：S圆＝n：360，几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比．6．一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r就是这个正方形的边长，即r2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则，则：扇形的面积为：（平方厘米）.答：这个扇形的面积为16.75平方厘米．【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的面积的计算方法．图文导学。

这个六边形分割成三角形的个数是( )
A．4
B．5
C．6
D．7
答案：A
3．从一个多边形的某个顶点出发引出的对角线将这个多
边形划分成3个三角形，则这个多边形的边数和对角
线的条数分别为( )
A．5，6
B．6，5
C．5，5
D．6，6
答案：C
4．以点O为圆心作圆，可以作( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
答案：(1)n (2)n－1
导学2 圆 (1)确定圆的条件有两个：圆心和半径，圆心确定圆 的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．圆是指圆 周，而不是指圆面．
(2)圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以 A， ︵
B 为端点的弧记作AB，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”．
(3)扇形是由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径 所组成的，圆心角的顶点在圆心．
答案：D
5．在半径为6 cm的圆中，圆心角为270°的扇形的面积为
()
A．36π cm2
B．18π cm2
C．12π cm2
D．27π cm2
答案：D
6．(1)从八边形的一个顶点出发的所有对角线将八边形分
成________个三角形；(2)七边形共有________条对
角线；(3)从正六边形的一个顶点出发可以引出
周，另一个端点形成的图形叫做圆，固定的端点称为 _圆__心__，圆上任意两点间的部分叫做_圆__弧__，简称_弧__．
4．一条弧和经过这条弧的端点的两条_半__径__所组成的 图形叫做扇形；顶点在_圆__心__的角叫做圆心角.
名 师导 学
1．你对多边形了解多少呢？ 2．你对圆了解多少呢？

多边形和圆的初步认识知识点总结多边形和圆的初步认识是几何学中的基本概念，以下是关于这两个概念的知识点总结：多边形的初步认识：1. 多边形的定义：由至少三条线段依次连接形成的闭合二维图形称为多边形。

2. 多边形的边数：多边形的边数可以是从三个到无数个不等，通常用字母n 表示多边形的边数。

3. 多边形的内角：多边形内部相邻两边之间的夹角称为内角。

所有内角之和为（n-2） 180度。

4. 多边形的外角：多边形的每一边与其外部的线之间的夹角称为外角。

所有外角之和为360度。

5. 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段称为对角线。

一个n边形有（n-3）条对角线。

6. 等边形：所有内角都相等的多边形称为等边形。

7. 正多边形：所有边和所有内角都相等的多边形称为正多边形。

圆的初步认识：1. 圆的定义：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。

其中，线段OA叫做半径，端点O叫做圆心，线段OA叫做弦。

2. 圆的基本性质：圆心到圆上任一点的距离（半径）都相等。

直径是圆中最长的弦，通过圆心的弦是直径。

弦中直径垂直平分弦，反过来，垂直平分弦的弦是直径。

3. 圆的周长：圆的周长C与半径r的关系为C = 2πr，其中π是一个常数（约等于）。

4. 圆的面积：圆的面积A与半径r的关系为A = πr^2。

5. 圆与圆的位置关系：根据两圆圆心距与两圆半径之和、差的关系，可以判断两圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）。

6. 圆的对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心；同时，圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

以上就是关于多边形和圆的初步认识的知识点总结，希望对你有所帮助。

B
C
O
A
新知探究
(1)将一个圆分成三个大小相同的扇形，你能算出它们的 圆心角的度数吗？你知道每个扇形的面积和整个圆的面积 的关系吗？
新知探究
(2)画一个半径是2 cm的圆，并在其中画一个圆心角为60°的扇形，你会计算 这个扇形的面积吗？
随堂练习
1．下列说法不正确的是( A )
A．各边都相等的多边形是正多边形
提示：我们平常所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在 直线的同一侧.
新知探究
如图，在多边形ABCDE中，点A、点B等是多边形的顶点；线段AB、线段BC等 是多边形的边；∠EAB、∠B等是多边形的内角(简称多边形的角)；如线段AC、线 段AD是多边形的对角线．
E
A
D
B
C
你还能画出图中 其他的对角线吗 ？
它们都是由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平 面图形。
新知探究
多边形的相关概念
由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭平面图形叫做多边形． 组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角. 在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
本课小结
多边形 和圆的 初步认 识
多边形
多边形的对角线 正多边形
圆心角 圆
扇形面积
n边形的对角线 分割三角形
随堂练习
7.将一个圆分割成3个扇形，它们的圆心角的度数比是1∶3∶5，求这3个扇形的圆 心角的度数．
随堂练习
8.如图，把一个圆分成四个扇形，若该圆的半径为4 cm，你能求出它们的面积吗？
解：因为圆的面积为：π×42＝16π(cm2)． 所以S扇形OAB＝16π×45%＝7.2π(cm2)； S扇形OBC＝16π×10%＝1.6π(cm2)； S扇形OCD＝16π×25%＝4π(cm2)； S扇形OAD＝16π×30%＝4.8π(cm2)．

从一个八边形的某个顶点出发的对角线，可以把八边形分 割成( 6 )个三角形.
从十边形的一个顶点出发可以画出（ 7 ）条对角线， 这些对角线将十边形分割成（ 8 ）个 三角形.
探究新知
知识点 2
4.5 多边形和圆的初步认识
正多边形
下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角也相等 的多边形叫做正多边形.
三角形.能有一定的规律吗？
…
多边形的边数 4 5 6 7 三角形的个数 2 3 4 _5_
8…n… _6__ … n_－__2_ …
你能看出什么规律吗？ 每个n边形都可以分割成__n__－__2___个三角形.
巩固练习
4.5 多边形和圆的初步认识
若一个多边形有12个内角，则这个多边形（十二）边形， 若一个多边形有20个顶点，则这个多边形为（二十）边形.
因此，最大扇形的圆心角为120°.
连接中考
4.5 多边形和圆的初步认识
1. 下列图形为正多边形的是（ D ）
A.
B.
C.
D.
2. 一个扇形的半径是6，圆心角是120°，该扇形的面积是（ C ）
A. 2π B. 4π
C. 12π
D.24π
课堂检测
4.5 多边形和圆的初步认识
基础巩固题
1. 如图所示的图形中，属于多边形的有几个( A )
六边形被分成了6个三角形； (2)以这种方式分割，n边形被分成了n个三角形．
课堂小结
多 边 形 多边形 和圆
圆
4.5 多边形和圆的初步认识 平面内,由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连 组成的封闭平面图形 n边形有n个顶点，n条边，n个内角， 过一个顶点 有 （n-3）条对角线,分割（n-2）个三角形

04
总结与回顾
重点回顾
多边形的定义和特性
多边形是由三条或更多直线段构成的封闭图形，这些直线段 的端点被称为顶点。多边形可以按边数分类为三角形、四边 形、五边形等。
圆的定义和特性
圆是一个由一条曲线包围的区域，其中到某个点（称为圆心 ）的距离相等的所有点都在圆上。圆具有无边界、对称性和 滚动性等特性。
艺术创作
艺术家可以利用多边形和圆的性质来创作出丰富多彩的艺术作品。例如，利用多边形的线 条来表现物体的轮廓，利用圆的性质来创作出柔和的曲线。
多边形和圆在生活中的应用
建筑设计
在日常生活中，我们所见到的建筑物大多数都是利用多边形和圆的性质设计出来的。例如，摩天大楼的外观设计需要利用多 边形的对称性和稳定性，而旋转餐厅的设计则需要利用圆的性质来提供全方位的视野。
02
圆的初步认识
圆的概念及特点
1
圆是一个由一条曲线和定点形成的封闭图形， 其中定点称为圆心，曲线称为圆的半径。
2
圆的特点包括：圆心到圆上任意一点的距离相 等，任意两条半径都相等。
3
圆在生活中的应用非常广泛，如钟表、车轮、 机器零件等。
圆的分类及命名
根据半径的大小，圆可以分为大圆、中圆和小圆 。
由三条线段组成的闭合图形。
四边形
由四条线段组成的闭合图形。
五边形
由五条线段组成的闭合图形。
六边形
由六条线段组成的闭合图形。
七边形
由七条线段组成的闭合图形。
八边形
由八条线段组成的闭合图形。
多边形的内角和定理
定理
n边形的内角和等于（n-2）×180°。
证明方法
通过将n边形划分为若干个三角形，然后利用三角形的内角和定理进行证明。

情境引入
观察图片，你能发现哪些熟悉的平面图形？与同伴进 行交流。
能发现圆、三角形、四边形、五边形、六边形等
探究新知
探究点1 多边形的初步认识
问题1 三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。这些图 形是由什么样的线按怎样的方式组成的？如何对多边形进 行定义？
由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成 的封闭平面图形叫作多边形
圆心：固定的端点O
O
半径：线段OA
弧有两个端点，是一条曲线 圆弧：圆上任意两点 A，B 间的部
分叫做圆弧，简称弧，记作AB ，
读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”
扇形：由一条弧 AB 和经过这条弧 B
的端点的两条半径 OA，OB 所组成 的图形
圆心角：顶点在圆心的角
A
O
圆心角
例 将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度 数比为1:2:3，求这三个扇形的圆心角的度数。【教材 P129例题】
数关系 都是60° 都是90° 都是108° 都是120°都是135°
两个条件缺一不可 各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形
正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 （正方形）
【对应训练】
【教材 P130随堂练习第1题】
现实生活中有许多正多边形的实例，试举出两例。
解：如在生活中用正六边形的地板砖铺地面，六角 螺母的上下两个底面外轮廓是正六边形或用正多边 形设计图案。
四边形被分成两 五边形被分成三 六边形被分成四
个三角形
个三角形
个三角形
n边形可以分割成（n-2）个三角形
【对应训练】 如图，将多边形分割成三角形，图①中可分割出2个
三角形，图②中可分割出3个三角形，图③中可分割出4 个三角形……按照这种分割方式，n边形可以分割出多少 个三角形？

多边形和圆的初步认识（基础）知识讲解【学习目标】1．经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，感受图形世界的丰富多彩；2. 在具体情景中认识多边形、正多边形、圆、扇形；3. 能根据扇形和圆的关系求扇形的圆心角的度数；4．在丰富的活动中发展有条理的思考和表达能力.【要点梳理】要点一、多边形及正多边形1．定义：多边形是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形．其中，各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．如下图：要点诠释：正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；2．相关概念：顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角（可简称为多边形的角），一个n 边形有n个内角.外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．要点诠释：(1)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为(3)2n n．(2)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．3. 多边形的分类:（1）凸多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，如下图．要点诠释：①如果没有特别说明，平时所说的多边形都是凸多边形．②凸多边形按边数的不同又可分为三角形、四边形、五边形、六边形等．（2）凹多边形：画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如下图：要点二、圆及扇形1.圆的定义(1)动态：如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．要点诠释：①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可.②圆是一条封闭曲线.(2)静态：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合.要点诠释：①定点为圆心，定长为半径.②圆指的是圆周，而不是圆面.③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面.④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆.等圆：圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.2.扇形（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作»AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的凸多边形凹多边形图形叫做扇形.要点诠释：（1）圆可以分割成若干个扇形.（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB 是⊙O 的一个圆心角，也是扇形OAB 的圆心角.（3）与扇形有关的计算半径为R 的圆中：n °的圆心角所对的扇形面积公式：； n °的圆心角所对的扇形弧长公式：180n Rl π=. 要点诠释：在扇形中，扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角n °，扇形的弧长l 这四个量知道其中的两个量就可以求出其他量.【典型例题】类型一、多边形及正多边形1．如图，（1）从正六边形的顶点A 出发,可以画出 条对角线，分别用字母表示出来为 ；（2）这些对角线把六边形分割成 个三角形.【思路点拨】画出对角线，并按一定规律数出对角线的条数及分割成的三角形的个数即可.【答案】（1）3，线段AC 、线段AD 、线段AE ；（2）4.【解析】如下图，很容易得出答案.【总结升华】(1) n 边形有n 个顶点,n 条边,n 个内角.(2) 过n 边形的每一个顶点有(n －3)条对角线,n 边形总共(3)2n n -条对角线. (3) n 边形从一个顶点出发,分别连接这个顶点和其余各顶点,可以分割（n －2）个三角形. 举一反三：【变式】过某个多边形的一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形,这个多边形E A B CF D是 边形，它的对角线共 条.【答案】七，14.类型二、圆2．在下列说法中：①圆心决定圆的位置；②半径决定圆的大小；③半径相等的圆是同心圆；④两个半径相等且圆心不同的圆是等圆，你认为正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C.【解析】对照圆的定义及同心圆、等圆的概念进行判断.显然①②④正确，③不正确.【总结升华】考查确定圆的条件，同心圆、等圆的定义.举一反三：【变式】下列命题中，正确的个数是（ ）⑴各边都相等的多边形是正多边形； ⑵半圆是弧，但弧不一定是半圆； ⑶半径相等且圆心不同的两个圆是等圆 ； ⑷顶点在圆周上的角叫圆心角.A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B 提示：⑵、⑶正确.类型三、扇形3. 将一个半径为3的圆形草坪分割成三个扇形，分别种植三种花草，他们的圆心角的度数之比为2：3：4，求这三个圆心角的度数，并尝试求他们的面积，你还能求他们的面积之比吗，你发现了什么【思路点拨】考查扇形面积及圆心角的概念．【答案与解析】解：这三个圆心角的度数分别为：°°236080234⨯=++；°°3360120234⨯=++；°°4360160234⨯=++. 圆的面积29r ππ=，这三个圆心角的面积分别为：8092360ππ⨯=；12093360ππ⨯=；16094360ππ⨯=．这三个圆心角的面积之比为：2:3:4πππ=2：3：4． 发现：扇形的面积之比等于圆心角之比．【总结升华】一个扇形的面积与对应圆的面积比等于扇形圆心角的度数n 与360的比， 即S 扇：S 圆＝n ：360， 几个半径相等的扇形的面积比等于这几个扇形的圆心角的比． 举一反三：【变式】若扇形的半径为6，面积为10π，则扇形的圆心角的度数为 ．【答案】100°4.一个扇形圆心角120°，以扇形的半径为边长画一个正方形，这个正方形的面积是16平方厘米．这个扇形的面积及周长分别为多少？【思路点拨】由题意可知，这个扇形所在的圆的半径r 就是这个正方形的边长，即r 2＝边长2＝120平方厘米．【答案与解析】解：设扇形所在圆的半径为r，则216r=，则：扇形的面积为：1203.141616.75360⨯⨯≈（平方厘米）4r=（厘米）扇形的弧长为：1203.1488.37360⨯⨯≈（厘米）扇形的周长为：弧长＋2r＝16.37 （厘米）答：这个扇形的面积为16.75平方厘米，周长为16.37厘米．【总结升华】此题在求面积时用到了整体代换，此外注意扇形的周长等于扇形的弧长与直径的和．举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．。