北师大版九年级数学上册第一章达标测评卷(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，则∠AEC＝；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC 交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．5．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△EGF ≌△AGD．6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC 于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若∠DAC＝60°，EF＝4，求四边形AFCE的面积．8．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ ＝DP，连接AP，BQ，PQ．（1）求证：AP＝BQ；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．9．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD是BC边上的中线，过A点作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE交于点O、E，连结EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）设OD＝a，求菱形ADCE的周长．11．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形．14．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC，AC和DE相交于点O．（1）求证：OD＝OC；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．17．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF ∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形．（2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．19．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．20．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连接BE，取BE中点O．（1）如图①，连接AO，MO，试证明∠AOM＝90°；（2）如图②，连接AM，AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠MAN＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，故答案为：55°；（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝ED，∵DC＝ED，∴DC＝AB，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴OD＝OC，∵OF⊥CD，∴DF＝CF＝CD＝＝1，∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，∴OE＝＝＝．3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+CE）•FG＝（5+5）×＝48．4．（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AG＝AC•BD，即5AG＝×6×8，∴AG＝．5．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠GAE＝45°，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AF+BF＝BE+BF，即AB＝EF，∴EF＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS）．6．解：（1）设AB，OE交于F，∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∴AF＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，OD＝OB．∵OE⊥CD，∴OE⊥AB．∴AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE＝OB，∵OD＝OB∴BD＝2AE＝2，∵AD＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AF＝AB＝，∵∠AFE＝∠F AH＝∠AHE＝90°，∴四边形AHEF是矩形，∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，∴DE＝＝＝．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，EO＝FO＝EF＝2，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OA＝EO＝2，∴AC＝2OA＝4，∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×4×4＝8．8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；（2）∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，在△BOE与△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．10．（1）证明：∵AE∥BC，AB∥DE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，又∵AD为Rt△ABC斜边上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝DC，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵DE∥AB，∠BAC＝90°，∴DO⊥OC，∴四边形ADCE为菱形，（2）设OD＝a，∴DE⊥AC，AO＝，在Rt△AOD中，由勾股定理得：＝，∴菱形ADCE的周长为4a．11．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝F A，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．12．解：（1）在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）当时，四边形BCEF是菱形．理由如下：连接BE，交CF与点H，∵AC＝DF，∴AC﹣FC＝DF﹣FC，即AF＝CD，若四边形BCEF是菱形时，∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴．∵，即．在Rt△BCH中，，BC＝3，∴．∴，∴，∴当时，四边形BCEF是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵BD＝2AB，∴AB＝OB，∵AE∥BD，OE∥AB，∴四边形ABOE是平行四边形，∵AB＝OB，∴四边形ABOE是菱形．14．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．15．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS），∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），∴OA＝OC（等角对等边）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．16．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∴∠EAC＝∠ECA，∠F AC＝∠FCA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∵AF＝CF，AE＝CE，∴AE＝EC＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD＝∠CHF＝90°，∵∠D＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝DH＝CD＝1，∵AD＝3，∴AH＝2，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，即x2＝（2﹣x）2+12，解得：x＝，∴AF＝CF＝，∴菱形AECF的周长＝×4＝5．17．（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，在△CFD和△BED中，，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）满足条件AB＝AC时四边形BECF为菱形．理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，∵AD为中线，∴AD⊥BC，即FE⊥BC，由（1）知，△CFD≌△BED，∴BD＝CD，ED＝FD，∴平行四边形BECF为菱形．18．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3．当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，由①得：TH＝3，∴PT＝＝＝3，设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，∴y＝6+2x，∴5y2＝（6+2x）2①，在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，由①②得：（x﹣12）2＝0，∴x＝12，即HR＝12；综上所述，HR为3或12，19．解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF．（2）BF＝GE，证明：过点A作AM∥GE交BC于M，∵EG⊥BF，∴AM⊥BF，∴∠BAM+∠ABF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，在△ABM和△BCF中，∴△ABM≌△BCF（ASA），∴AM＝BF，∵AM∥GE且AD∥BC，∴AM＝GE，∴BF＝GE．20．证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°；∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°；∵点O是BE中点，∴AO＝BE＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA；同理，∠MOE＝2∠OBM，∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2（∠OBA+∠OBM）＝2∠ABD＝90°．（2）DM2+NB2＝MN2，理由如下：如图2，作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，∵∠OEF＝∠OBN，OE＝OB，∠EOF＝∠BON，∴△EOF≌△BON（ASA），∴FE＝NB，OF＝ON，∵OM⊥FN，∴MF＝MN；∵∠DME＝90°，∠MDE＝45°，∴∠MED＝45°，∴∠MDE＝∠MED，∴EM＝DM；∵∠MEF＝∠DME＝90°，∴EM2+FE2＝MF2，∴DM2+NB2＝MN2．。

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《一次函数》同步自主基础达标测评（附答案）一、单选题（满分40分）1．关于函数y＝（k－3）x＋k，给出下列结论：①此函数一定是一次函数；②无论k 取什么值，函数图象必经过点（－1，3）；③若图象经过二、三、四象限，则k的取值范围是k＜0；④若函数图象与x轴的交点始终在正半轴可得k＜3，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，一次函数y＝kx+b的图像经过点（2，0）、（0，1），则下列结论正确的是（）A．k＝1 B．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝2C．b＝2 D．关于x的方程kx+b＝0的解是x＝13．将直线y=2x向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得直线的表达式为（）A．y=2x-1 B．y=2x C．y=2x+4 D．y=2x-24．某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系．若23码鞋子的长度为16.5cm，44码鞋子的长度为27cm，则38码鞋子的长度为（）A．23cm B．24cm C．25cm D．26cm5．今年暑假期间，小东外出爬山．他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A．小明中途休息用了20分钟B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米C．小明在上述过程中所走的路程为3800米D．小明休息前爬山的平均速度小于休息后爬山的平均速度6．已知点A（3，y1）和点B（﹣2，y2）是一次函数y＝﹣2x＋3图象上的两点，比较y1与y2的大小关系（）A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定7．如图，观察函数y1=k1x1+b1和y2=k2x2+b2的图案，当x=1，两个函数值的大小为（）．8．如图，在平面直角坐标系中，函数 y ＝2x 和 y ＝﹣x 的图象分别为直线 l 1， l 2，过点（1，0）作 x 轴的垂线交 l 1于点 A 1，过 A 1点作 y 轴的垂线交 l 2于点 A 2，过点 A 2作 x 轴的垂线交 l 1于点 A 3，过点 A 3作 y 轴的垂线交 l 2于点 A 4，… 依次进行下去，则点 A 2021的坐标为（ ）A ．（1012，1016）B ．（-1012，1014）C ．（10102，10112）D ．（10102-，10122-）二、填空题（满分40分）9．若一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0）的图象经过第一、三、四象限，则k 的取值范围是___．10．如图，直线l 是一次函数y kx b =+的图象，填空：（1）当30x =时，y =______；（2）当30y =时，x =______．11．八个边长为2的正方形如图摆放在平面直⻆坐标系中，经过P 点的一条直线l 将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l 的解析式为____．12．如图，过点A （0，3）的一次函数的图象与正比例函数y ＝2x 的图象相交于点B ，这个一次函数的表达式是____．13．若函数y ＝2x +b 的图象与两坐标轴围成的三角形面积为4，那么b ＝_______． 14．如图，在平面直角坐标系中(2,1),(3,4)A B -，连接,,,OA OB AB P 是y 轴上的一个动点，当||PB PA -取最大值时，点P 的坐标为_______．15．小强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家，其中x 表示时间，y 表示小强离家的距离．图象提供的信息，有以下四个说法：①体育场离小强家2.5千米；②在体育场锻炼了15分钟；③体育场离早餐店4千米；④小强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时．其中正确的说法为____ （填正确序号）．16．某周末小明到公园画画写生，小明家到彩云湖公园的路程为3.5km ，小明步行20分钟后，在家的妈妈发现小明画画的工具没有拿，立即通知小明原地等待，把工具送过去，小明妈妈追上小明把工具交给小明后立即以原来的速度返回，同时，小明以原来1.2倍的速度前往目的地．如图是小明与小明妈妈距家的路程（千米）与小明所用时间（分钟）之间的函数图象，根据图象回答下列问题：（1）前20分钟小明的速度为 千米/时．（2）图中A 点的实际意义是 ．（3）小明妈妈的速度是 千米/时．（4）小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早 分钟．三、解答题（满分40分）17．出租车车费计价标准为：3km以内（含3km）7元，超出3km的部分1.4元/km．（1）直接写出车费y（元）与行驶路程x（km）之间的关系式．（其中x≥3）（2）佳佳乘出租车行驶4km，应付车费多少元？（3）佳佳付车费14元，那么出租车行驶了多少千米？18．狗头枣产于陕西省延安市一带，久负盛名，其性味甘平，有润心肺、止咳、补五脏、治虚损的功效，已成为革命圣地延安最为著名的特产．某经销商购进了一批狗头枣，根据以往的销售经验，每天的售价与销售量之间有如下关系：当单价为38元/千克时，每天可以销售50千克，单价每下调1元，销量就会增加2千克，若设单价下调了x元/千克，销售量为y千克．（1）y与x之间的关系式为；（2）当售价为28元/千克，这天的销售量是多少？（3）如果这批狗头枣的进价是20元/千克，某天的售价定为30元/千克，则这天的销售利润是多少元？19．一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），如图中的折线表示）与x 之间的函数关系．根据图象进行以下探究：[信息读取]（1）甲，乙两地相距______千米，两车出发后______小时相遇；（2）普通列车到达终点共需______小时，普通列车的速度是______千米/小时：[解决问题]（3）求动车的速度：（4）求点C的坐标．20．如图，直线y=kx +6与x 轴、y 轴分别相交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点 A 的坐标为（-6，0），点P （x ，y ））是第二象限内的直线上的一个动点，（1）求k 的值；（2）在点 P 的运动过程中，写出△OPA 的面积S 与x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究，当点P 运动到什么位置（求P 的坐标）时，△OPA 的面积是27421．已知，一次函数()()20y kx k k =+-≠，k 取不同数值时，可得不同直线．探究；这些直线的共同特征．（1）当k ＝______时，一次函数()2y kx k =+-是正比例函数：（2）当k ＝1时，一次函数()2y kx k =+-的关系式为______，画出它的图象直线1I ；当1k =-时，一次函数()2y kx k =+-的关系式为______．请画出它的图象直线2I ； （3）观察图象，猜想：直线()2y kx k =+-必经过定点（___，___）：证明你的猜想．22．如图，直线l1：y1=-x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P(m，3)为直线l 1上x+b过点P．一点，另一直线l2：y2=12（1）求点P坐标和b的值；（2）若点C是直线l2与x轴的交点，动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动至A，设点Q的运动时间为t秒．①请写出当点Q在运动过程中，APQ的面积S与t的函数关系式；②是否存在t的值，使APQ面积为APC的一半？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．③是否存在t的值，使APQ为以AQ为底的等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．B解：①当k ﹣3≠0时，函数是一次函数；当k ﹣3＝0时，该函数是y ＝3，此时是常数函数，故①不符合题；②y ＝（k ﹣3）x +k ＝k （x +1）﹣3x ，当x ＝﹣1时，y ＝3，过函数过点（﹣1，3），故②符合题意；③函数y ＝（k ﹣3）x +k 经过二，三，四象限，则300k k -<⎧⎨<⎩，解得：k ＜0，故③符合题意； ④当k ﹣3＝0时，y ＝3，与x 轴无交点；当k ≠3时，函数图象与x 轴的交点始终在正半轴，即﹣03k k >-，解得：0＜k ＜3，故④不符合题； 故正确的有：②③，共2个故选B2．B解：一次函数y kx b =+图象经过点()2,0、()0,1点，可得：021k b b =+⎧⎨=⎩， 解得：121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数112y x =-+， ∴A 、C 选项错误；根据一次函数与方程的关系可得：0kx b +=的解为：2x =，故D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．3．A解：取直线y =2x 上点（0，0），它向右平移1个单位，再向上平移1个单位后变为点(1,1) 设平移后的直线解析式为y =2x +b由题意，点(1,1)在直线y =2x +b 上，则有2+b =1解得：b =－1故y =2x －1故选：A4．B解：设y kx b =+，分别将()23,16.5和()44,27代入可得：16.5232744k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得125k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ， ∴152y x =+， 当38x =时，138524cm 2y =⨯+=，故选：B ．5．D解：A 、小明中途休息用了60−40＝20分钟，正确，不符合题意；B 、小明休息前爬山的速度为2800÷40＝70（米/分钟），正确，不符合题意；C 、小明在上述过程中所走的路程为3800米，正确，不符合题意；D 、小明休息前爬山的速度为2800÷40＝70（米/分钟），小明休息后爬山的速度是（3800−2800）÷（100−60）＝25（米/分钟），小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，错误，符合题意；故选：D ．6．C解：∵20-<，∴y 随x 的增大而减小，又∵32>-，∴12y y <；故选C ．7．D解：如图所示，∵直线x =1与直线y 2=k 2x 2+b 2的交点在上方，∴y 1 <y 2；故选：D ．8．C解：当1x =时，y 2=，∴点1A 的坐标为()1,2；当2y x =-=时，2x =-，∴点2A 的坐标为()2,2-；同理可得：()32,4--A ，()44,4A -，()54,8A ，()68,8A -，()78,16A --，()816,16A -，()916,32A ，⋯，∴()221412,2n n n A ++，()2121422,2n n n A +++-，()2122432,2n n n A +++--，()2222442,2(n n n A n +++-为自然数) 202150541=⨯+，∴点2021A 的坐标为()5052505212,2⨯⨯+，即()101010112,2. 故选C ．9．k >0解：∵一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，k ≠0）的图象经过第一、三、四象限， ∴k ＞0．故答案为：k ＞0．10．18- 42-解：（1）由函数图像可知一次函数y kx b =+经过点（0，2），（3，0）， ∴302k b b +=⎧⎨=⎩， ∴232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴一次函数解析式为223y x =-+， 当30x =时，2302183y =-⨯+=-，故答案为：-18；（2）∵一次函数解析式为223y x =-+， ∴当30y =时，22303x -+=， ∴42x =-，故答案为：-42．11．58y x =+ 解： 过P 作PB ⊥OB 于B ，设直线l 与y 轴的交点为D ∵，∴OBPB =∴(P∵经过P 点的一条直线l 将这8个正方形分成面积相等的两部分， ∴两边面积都为分别是8，∴△PBA 的面积为10， ∴1102BP AB ⋅=，∴AB =∴OA OB AB =-==∴A ⎛ ⎝⎭设直线l 的解析式为y kx b =+∴b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得58k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴直线l的解析式为58y x =故答案为：58y x =．12．y ＝−x ＋3y =3-x解：由图可知：A （0，3），x B ＝1．∵点B 在直线y ＝2x 上，∴y B ＝2×1＝2，∴点B 的坐标为（1，2），设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有：32b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为y ＝−x ＋3；故答案为：y ＝−x ＋3．13．±4解：∵当y ＝0时，0＝2x +b ， ∴2b x =-； 当x ＝0时，y ＝b ，∴一次函数y ＝2x +b 的图象与坐标轴所围成的三角形面积：1422b b ⨯-⨯=， 解得4b =±，故答案为：4±．14．（0，-5）解：如图，作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于一点，即为点P ，此时||PB PA -值最大，∵A （-2,1），∴N （2,1），设直线BN 的解析式为y=kx +b ，将N （2,1），B （3,4）代入，得2134k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得35k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BN 的解析式为35y x =-，当x =0时，y =-5，∴P （0，-5），故答案为：（0，-5）．15．①②解：①由纵坐标看出，体育场离张强家2.5千米，故①正确；②由横坐标看出，30-15=15分钟，张强在体育场锻炼了15分钟，故②正确； ③由纵坐标看出，2.5-1.5=1千米，体育场离早餐店1千米，故③错误；④由纵坐标看出早餐店离家1.5千米，由横坐标看出从早餐店回家用了100-65=35分钟=3576012=小时，7181.5127÷=（千米/小时），故④错误； 故答案为①②．16．（1）4.2；（2）小明妈妈追上小明（3）5.6；（4）10解：（1）由图象知，小明前20分钟行驶了1.4千米而20分钟=13小时 则前20分钟小明的速度为：11.4 4.23÷=（千米/时） 故答案为：4.2（2）A 点的实际意义：小明妈妈追上小明故答案为：小明妈妈追上小明（3）由图象知，小明妈妈从家到追上小明用时15分钟，行驶了1.4千米而而15分钟=14小时则小明妈妈的速度为：11.4 5.64÷=（千米/时） 故答案为：5.6 （4）因小明妈妈原速返回，时间仍为15分钟，小明拿到工具后离目的地的距离为3.5－1.4=2.1（千米），小明此时的速度为：1.2 4.2 5.04⨯=（千米/时） 则小明拿到工具后到达目的地要行驶的时间为：52.1 5.0412÷=（小时） 而512小时=25分钟 25-15=10（分钟）即小明妈妈返回家的时间比小明到达目的地早10分钟故答案为：1017．（1）y ＝1.4x +2.8．（2）8.4元；（3）8km ；解：（1）由题意可得，当x ≥3时，y ＝7+1.4（x ﹣3）＝1.4x +2.8，即应收费y （元）与出租车行驶路程x （km ）之间的函数表达式是：y ＝1.4x +2.8． （2）佳佳乘出租车行驶4km ，应付车费为：y ＝1.4x +2.8＝8.4（元）；答：佳佳乘出租车行驶4km ，应付车费8.4元；（3）佳佳付车费14元，肯定超过3km ，把y =14代入关系式，14＝1.4x +2.8，解得：x ＝8，答：佳佳付车费14元，那么出租车行驶了8km ；18．（1）502y x =+；（2）79千克；（3）这天销售利润是660元解：（1）由题意得：502y x =+．（2）当售价为28元/千克时，则单价下调了10元，∴当10x =时，销售量5021070y =+⨯=（千克）；（3）当售价定为30元/千克时，则38308x =-=，∴502866y =+⨯=，66(3020)660⨯-=（元）．答：这天销售利润是660元．19．（1）1800；4；（2）12；150；（3）300km/h ；（4）()6,900解：（1）由图像可知，甲地与乙地相距1800千米，两车出发后4小时相遇； 故答案为：1800，4；（2）由函数图像可知，普通列车12小时到达，则速度为1800÷12=150千米/小时 故答案为：12；150；.（3）由题意得：动车的速度为：180********÷-= （km/h ）；（4）18003006÷=，∴6m =，1506900n =⨯=，∴点C 的坐标为()6,900．20．（1）34k =；（2）S 918(80)4x x =+-<<；（3）点P 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA 的面积是274． 解：（1）点E 的坐标为()8,0-，且在直线6y kx =+上，∴860k -+=， 解得，34k =； （2）如图所示：点(),P x y 是第二象限内的直线上的一个动点，∴364y x =+， ∴136624S x ⎛⎫=⨯⨯+ ⎪⎝⎭918(80)4x x =+-<<． （3）由题意得，9271844x +=， 解得，5x =-，则：39(5)644y =⨯-+=．∴点P 的坐标为95,4⎛⎫- ⎪⎝⎭时，OPA 的面积是274． 21．（1）2；（2）1y x =+，3y x =-+；（3）()1,2解：（1）根据正比例函数的标准形式为：()0y kx k =≠可得： 20k -=，解得：2k =，故答案为：2；（2）当1k =时，代入函数解析式为：1y x =+，当1k =-时，代入函数解析式为：3y x =-+故答案为：1y x =+；3y x =-+；作出图象如下图所示：（3）()1,2证明： 由()2y kx k =+-得：2y kx k -=-，即()21y k x -=-， 因为0k ≠，且直线经过定点与k 的取值无关，所以10x -=，且20y -=，所以1x =，2y =，∴直线()2y kx k =+-必经过定点()1,2．22．（1）P (1-，3)，72b =；（2）①32722S t =-+；②存在，92t =；③存在，3t = 解：（1）∵点P (m ，3)为直线l 1上一点，∴32m =-+，解得：1m =-，∴P (1-，3)，∵y 2=12x +b 过点P ， ∴13(1)2b =⨯-+， 解得：72b =； （2）①由（1）得：y 2=12x +72， 点20y =时，17022x =+， 解得：7x =-，∴点(7,0)C -， 当10y =时，02x =-+，解得2x =，∴点(2,0)A ，根据题意：点(70)Q t -+，∴2(7)9AQ t t =--+=-， ∴112733(9)32222APQ S AQ t t =⨯=⨯-⨯=-， 即32722S t =-+； ②()11273273222APC S AC ⎡⎤=⨯⨯=⨯--⨯=⎣⎦, ∴3271272222S t =-+=⨯ 解得：92t =， ∴92t =时，APQ 面积为APC 的一半； ③根据题意可知AP PQ =，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，∵P(1-，3)，(2,0)A，AD=，∴3∴3DQ=，AQ=,∴6∴963=-=-=,CQ AC AQ∴33t==，1t=时，APQ为以AQ为底的等腰三角形．∴当3。

北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。

2022年春北师大版九年级数学中考一轮复习《分式》能力达标测评（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．在代数式，，xy+x2，中分式有（）个．A．1B．2C．3D．42．若分式有意义，则a的取值范围是（）A．a＝1且a＝﹣1B．a≠1且a≠﹣1C．a≠1D．a≥13．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．＝B．﹣＝a﹣1C．1÷x•＝D．3x2+＝x55．方程（x2+x﹣1）x+2020＝1的整数解的个数是（）A．2B．3C．4D．56．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且，则△ABC一定是（）A．等边三角形B．腰长为a的等腰三角形C．底边长为a的等腰三角形D．等腰直角三角形7．已知关于x的分式方程＝1的解是非正数，则m的取值范围是（）A．m≤3B．m≤3且m≠2C．m＜3D．m＜3且m≠2 8．若分式方程无解，则a的值为（）A．5B．4C．3D．0二．填空题（共8小题，满分40分）9．若分式的值为零，则x的值是．10．如果x+＝3，则的值等于11．已知，则＝．12．计算：（+）÷（）＝．13．一艘轮船在静水中的速度为a千米/时，若A、B两个港口之间的距离为50千米，水流的速度为b千米/时，轮船往返两个港口之间一次需小时．14．若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围为．15．关于x的分式方程+＝1的解为非正数，则k的取值范围是．16．甲、乙两个绿化小组，甲组在a天内可种树x棵，乙组在b天内可种树y棵，两组同时种树，种m棵需要天．三．解答题（共5小题，满分40分）17．计算：（1）（2）先化简，再求值：﹣（），其中x＝﹣．18．解下列分式方程：（1）+4＝；（2）﹣1＝．19．“杂交水稻之父”袁隆平团队示范基地的“水稻1号”的试验田是边长为a米（a＞1）的正方形去掉一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的部分，“水稻2号”的试验田是边长为（a﹣1）米的正方形，两块试验田的水稻都收获了1000千克．（1）试说明哪种水稻的单位面积产量高？（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？20．武汉市某一工程，若甲工程队单独施工，刚好如期完成；若乙工程队单独施工，要比甲工程队多用16天才能完工．若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独做也正好能如期完成．（1）甲、乙两队单独完成该工程各需多少天？（2）若甲队施工一天，工程款为1.2万元；乙队施工一天，工程款为0.5万元．①若甲队单独完成这项工程，总工程款为万元；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为万元．②实际施工中，甲、乙两队合作m天后，余下的工程乙队单独又做了n天完成．已知整个工期小于15天，总工程款不超过18.2万元，求m和n的值．（m、n均为正整数）21．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：＝＝1﹣；再如：＝＝＝x+1+．解决下列问题：（1）分式是分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）假分式可化为带分式的形式；（3）如果分式的值为整数，那么x的整数值为．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：这1个式子分母中含有字母，因此是分式．其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．故选：A．2．解：由题意得：得a2﹣1≠0，解得：a≠1且a≠﹣1，故选：B．3．解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；B、，原变形不符合分式的运算法则，原变形错误，故此选项不符合题意；C、，原变形不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；D、，原变形正确，故此选项符合题意；故选：D．4．解：∵＝，∴选项A不符合题意；∵﹣＝+＝，∴选项B不符合题意；∵1÷x•＝＝，∴选项C符合题意；∵，∴选项D不符合题意；故选：C．5．解：由题意可得，当x+2020＝0且x2+x﹣1≠0，解得：x＝﹣2020，当x2+x﹣1＝1，解得：x＝1或﹣2，当x2+x﹣1＝﹣1且x+2020是偶数，解得：x＝0，综上所述：x的值有4个．故选：C．6．解：将化简ab+ac﹣a2﹣bc＝0（ab﹣a2）+（ac﹣bc）＝0（b﹣a）（c﹣a）＝0可解得a＝b或a＝c由已知a，b，c分别是△ABC的三边长，所以△ABC是腰长为a的等腰三角形．故选：B．7．解：分式方程去分母得：m﹣2＝x+1，解得：x＝m﹣3，由分式方程的解为非正数，得到m﹣3≤0，且m﹣3≠﹣1，解得：m≤3且m≠2，故选：B．8．解：∵，∴＝2，∴x＝9﹣a，由于方程无解，∴x﹣4＝0，∴9﹣a﹣4＝0，∴a＝5，故选：A．二．填空题（共8小题，满分40分）9．解：依题意得：，解得x＝﹣2．故答案是：﹣2．10．解：∵x+＝3，∴（x+）2＝9，即x2+2+＝9，则x2+＝7，∵x≠0，∴原式＝＝＝＝，故答案为：．11．解：已知，则x+y＝6xy，∴＝＝＝．故答案为．12．解：原式＝[﹣]÷＝•＝﹣．故答案为：﹣．13．解：由题意可得，假设A到B顺流，则B到A逆流，轮船往返两个港口之间需要的时间为：＝小时，故答案为：．14．解：方法一、∵当Δ＝b2﹣4ac＜0时，x2+4x+m＝0无解，即42﹣4m＜0，解得m＞4，∴当m＞4时，不论x取何实数，分式总有意义．方法二、∵x2+4x+m＝x2+4x+4﹣4+m＝（x+2）2﹣4+m，∴当﹣4+m＞0时，分式不论x取何实数总有意义，∴m＞4，故答案为m＞4．15．解：去分母得：x+k+2x＝x+1，解得：x＝，由分式方程的解为非正数，得到≤0，且≠﹣1，解得：k≥1且k≠3，故答案为：k≥1且k≠316．解：两组同时种树，种m棵需要的天数＝m÷（+）＝．三．解答题（共5小题，满分40分）17．解：（1）原式＝••，＝﹣2；（2）解：﹣（），＝﹣．＝﹣．＝．当x＝﹣时，原式＝＝﹣．18．解：（1）去分母得：2﹣x+4（x﹣3）＝﹣1，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：x﹣3＝0，∴x＝3是增根，分式方程无解；（2）去分母得：x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）＝1，解得：x＝﹣，检验：把x＝﹣代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝﹣．19．解：（1）“水稻1号”试验田的面积是（a2﹣1）米2，单位面积产量是千克/米2；“水稻2号”试验田的面积是（a﹣1）2米2，单位面积产量是千克/米2；∵a＞1，∴（a﹣1）2＞0，a2﹣1＞0．∵a2﹣1﹣（a﹣1）2＝2a＞0，∴a2﹣1＞（a﹣1）2．∴＜．所以，“水稻2号”的单位面积产量高．（2）÷＝×＝＝．所以，“水稻2号”的单位面积产量是“水稻1号”的单位面积产量的倍．20．解：（1）设甲队单独完成该工程需x天，则乙队单独完成该工程需（x+16）天，由题意得：+＝1，解得：x＝16，经检验，x＝16是原方程的解，且符合题意，则x+16＝32，答：甲队单独完成该工程需16天，则乙队单独完成该工程需32天；（2）①若甲队单独完成这项工程，总工程款为1.2×16＝19.2（万元）；若甲、乙两队合作8天，余下的工程由乙队单独完成，总工程款为1.2×8+0.5×32＝25.6（万元），故答案为：19.2；25.6；②由题意得：+＝1，∴3m+n＝32，∵m+n＜15，m、n均为正整数，∴或，∵1.2m+0.5（m+n）≤18.2，∴17m+5n≤182，∴与均符合，∴或．21．解：（1）分式是真分式；（2）假分式＝1﹣；（3）＝＝2﹣．所以当x+1＝3或﹣3或1或﹣1时，分式的值为整数．解得x＝2或x＝﹣4或x＝0或x＝﹣2．故答案为：（1）真；（2）1﹣；（3）0，﹣2，2，﹣4．。