数的整除性
一、填空题
1. 四位数“ 3AA1”是9的倍数，那么A= _____ .
2. 在“ 25口79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内
应填_____ .
3. 能同时被2、3、5 整除的最大三位数是_____.
4. 能同时被2、5、7 整除的最大五位数是_____.
5. 1 至1 00以内所有不能被3整除的数的和是____ .
6. 所有能被3 整除的两位数的和是 _____ .
7. 已知一个五位数口691 □能被55整除,所有符合题意的五位数是______ .
8. 如果六位数1992口□能被105整除,那么它的最后两位数是_______ .
9. 42 □ 28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是 ______ .
10. 从左向右编号为1 至1991 号的1991 名同学排成一行, 从左向右1 至11报数,报数为11 的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右 1 至1 1报数,报数为1 1的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11 报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_________________ 号.
二、解答题
11. 173 □是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？
12 ．在1992 后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11 整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将1 00张黄油票换成1 00张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1 991张票券？
14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
1. 7
已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1 —定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之.
设3+A+A+1=9,则A=2.5,不合题意.再设3+A+A+1=18,则A=7,符合题意.事实上,377V-9=419.
2. 1
这个数奇数位上数字和与偶数位上数字和之差是0或是11的倍数,那么这个数能被11整除?偶数位上数字和是5+7=12,因而，奇数位上数字和2+口+9应等于12, □内应填12-2-9=1.
3. 990
要同时能被2和5整除,这个三位数的个位一定是0.要能被3整除,又要是最大的三位数,这个数是990.
4. 99960
解法一：能被2、5整除,个位数应为0,其余数位上尽量取9,用7去除999 □ 0,可知方框内应填6.所以,能同时被2、5、7整除的最大五位数是99960.
解法二：或者这样想,2,5,7的最小公倍数是70,而能被70整除的最小六位是100030.它减去70仍然是70的倍数,所以能被2,5,7整除的最大五位数是100030-
70=99960.
5. 3367
先求出1~100这100个数的和，再求100以内所有能被3整除的数的和，以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和.
(1+2+3+ ...+100)- (3+6+9+12+ (99)
=(1+100) 2 100-(3+99) 2 33
=5050-1683
=3367
6. 1665
能被3整除的二位数中最小的是12,最大的是99,所有能被3整除的二位数如下：
12,15,18,21, …，96, 99
这一列数共30个数，其和为
12+15+18+…+96+99
=(12+99) 30 “2
=1665
7. 96910 或46915
五位数A691B能被55整除，即此五位数既能被5整除，又能被11整除.所以
B=0或5.当B=0时，A6910能被11整除,所以(A+9+0)-(6+1)= A+2能被11整除, 因此A=9;当B=5时，同样可求出A=4.所以，所求的五位数是96910或46915.
8. 90
因为105=3 5 7,根据数的整除性质，可知这个六位数能同时被3、5和7整
除。
根据能被5整除的数的特征，可知这个六位数的个位数只能是0或5两种，再根据能被3整除的数的特征，可知这个六位数有如下七个可能：
199200, 199230, 199260, 199290, 199215, 199245, 199275.
最后用7去试除知,199290能被7整除.
所以,199290能被105整除,它的最后两位数是90.
［注］此题也可以这样思考：先把后面两个方框中填上0后的199200除以105,根据余数
的大小来决定最后两个方框内应填什么
199200 “ 105=1897 (15)
105-15=90
如果199200再加上90, 199290便可被105整除，故最后两位数是90.
9. 4316
因为99=9 11,所以42口28□既是9的倍数，又是11的倍数.根据是9的倍数的特点，这个数各位上数字的和是9的倍数.42 □ 28□这个六位数中已知的四个数的和是4+2+2+8=16,因此空格中两个数字的和是2或11.我们把右起第一、三、五位看做奇位，那么奇位上已知两个数字的和是2+2=4,而偶位上已知两个
数字的和是4+8=12,再根据是11的倍数的特点，奇位上数字的和与偶位上数的和之差是0或11的倍数，所以填入空格的两个数应该相差3或相差8.从以上分析可知填入的两个数字的和不可能是2,应该是11.显然它们的差不可能是8,应该是3,符合这两个条件的数字只有7和4.填入空格时要注意7填在偶位上,4填
在奇位上，即原六位数是42［728［￡，又427284“ 99=4316,所以所得的商是4316.
10. 1331
第一次报数后留下的同学最初编号都是11倍数；
第二次报数后留下的同学最初编号都是121的倍数；
第三次报数后留下的同学最初编号都是1331的倍数.
所以最后留下的只有一位同学，他的最初编号是1331.
11. ???能被9整除的四位数的各位数字之和能被9整除，
1+7+3+ □ =11+口
???□内只能填7.
???能被11整除的四位数的个位与百位的数字和减去十位与千位的数字和所得的差能被11整除.
??? (7+ □ )-(1+3)=3+ □能被11 整除,???口内只能填8.
???能被6整除的自然数是偶数，并且数字和能被3整除，
而1+7+3+D=11+口, ???□内只能填 4.
所以,所填三个数字之和是7+8+4=19.
12.
设补上的三个数字组成三位数abc,由这个七位数能被2,5整除，说明c=0;
由这个七位数能被3整除知1+9+9+2+a+b+c=21+a+b+c能被11整除，从而
a+b能被3整除;
由这个七位数又能被11整除，可知(1+9+a+c)-(9+2+ b)=a-b-1能被11整除; 由所组成的七位数应该最小，因而取a+b=3,a- b=1,从而a=2, b=1.
所以这个最小七位数是1992210.
［注］小朋友通常的解法是：根据这个七位数分别能被2,3,5,11整除的条件，这个七位数必定是2,3,5,11 的公倍数，而2,3,5,11 的最小公倍数是2 3 5 1仁330.
这样,1992000 330=6036…120,因此符合题意的七位数应是(6036+1)倍的数,即
1992000+(330-120)=1992210.
12. 不可能.由于瓦夏原有100张票,最后还有100张票,所以他作了多少次“两换三”，那么也就作了多少次“三换两”，因此他一共出手了2k+3k=5k张票,而1991不是5的倍数.
13. 显然,这样的自然数不可能为两位数，因为如果是两位数的话，则必然具
有形式XX,但x ? x = 2x为偶数,与它的各位数字之和等于13矛盾.现设求之数
为三位数xyz.于是由题意x y ^13,且由被11整除的判别法则知x- y ? z 是11的倍数.又由于所求之数为最小，故有x-y ? z=11.两式相减得y = 1.于是
x z =12,由于z< 9,从而x — 3.当x = 3时,z = 9.
所以,所求的最小自然数是319.
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
整除 整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质 性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。 例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定 能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互 质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征 （1）能被2整除的数的特征： 如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征： 如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征： 如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.
专题一数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征
①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的 数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的 数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。 例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数） 解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。 练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数） 练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。 例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。 解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。 例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。 练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。 例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个
数的整除练习题及答案 1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。 2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。 3. 10能被0.5（），10能被5（）。 4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。 5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。 6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。 8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 9. 102分解质因数是（）。 10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。 11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。 12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。 13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。 14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。 15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。 16. 256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加（）个这样的分数单位是最小的合数。 17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。 18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。 19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。 20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（ ）。 22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。 23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。
6、整除及数字整除特征 【数字整除特征】 例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。 设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。 又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。 所以a-b=3。 又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。 从而很容易求出商为427284÷99=4316。 例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。 （1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题） 讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。 而1993000÷2520=790余2200。 于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。 例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。 （上海市第五届小学数学竞赛试题） 讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。 要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。 则有 b-a=8，或者a-b=3。 ①当 b-a=8时，b可取9、8； ②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。 如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。 例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。 即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。 例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。 即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。 例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
第一讲数的整除 学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段 核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。 重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。 【课首沟通】 了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况； 适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征； 引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。 【知识导图】 精准诊查
【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个） 奇数： （ ） 偶数：（ ） 2的倍数：（ ） 3的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 5的倍数：（ ） 既是2又是3的倍数：（ ） 【知识梳理】 能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。 能被5整除的数：个位数是0或5。 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数 导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。 （1）两个奇数的和不一定是偶数。（ ） （2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（ ） 2.填一填。 （1）2的倍数中最小的三位数是（ ）；最大的三位数是（ ）。 （2）5的倍数中最小的两位数是（ ）；最大的两位数是（ ）。 （3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（ ）。 奇数＋奇数＝ 偶数＋偶数＝ 奇数－奇数＝ 奇数＋偶数＝ 奇数×奇数＝ 奇数×偶数＝ 3.选择题 （1）能被5整除的数，个位上是（ ）。
九 进 制 乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。 他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希 特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届 总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参 与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是， 杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔 又是100年。 兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。 他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。 兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。 他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。 课前预习 数论之整除性
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a—b）也能被c整除。 2）如果数a 能被自然数b 整除，自然数b 能被自然数c 整除，则数 a 必能被数c 整除。 3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它 们的积也能被这个数整除。 4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能 被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。 整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数 能被4（或25）整除。 2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3 或9）整除。 4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11 整除，则这个数能被11 整除。 5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的 数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13） 整除。
奇数±奇数 =偶数（ 2）偶数±偶数 =偶数（ 3）奇数 ±偶 奇数X 奇数二奇数（5）偶数X 偶数二偶数（6）奇数X 偶 典型例题】 例 1：一个三位数能被 3 整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是 17 的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 例2: 1?200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个? 奇偶性：（1） 数 =奇数（ 4） 数=偶数（ 7） 奇数一奇数二奇数（8）…
例3 ：任意取出1998 个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？ 例4：有“ 1”，“ 2 ”，“ 3 ”4”四张卡片，每次取出三张组成三位数，其中偶数有多少个？
， 第十二讲 整除问题（一） 在学习整数除法时，我们已经知道： 被除数＝除数×商数＋余数 这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。 如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零 整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。 一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。 一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。
4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。 如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。 由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。 由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。 如判断765432 是否能被8 整除。 因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。 能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。 由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；
四年级奥数第一讲---数的整除问题
第一讲数的整除问题 一、基本概念和知识： 1、整除： 定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数： 如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。 练习： 写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；
5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________； 公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。 如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数： 在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。 （１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。 （２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （３）0和１既不是质数，也不是合数。、
第2讲数的整除特征（二） 知识网络 上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。 （1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。 （2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。 重点·难点 同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。 学法指导 上面数的整除特征可以结合例子来理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。 经典例题 [例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？ 思路剖析 能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。 解答 要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。 如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。 [例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析 对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整 除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。
小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 数的整除 数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。 一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数 例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。 如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。 例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质 性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。 即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。 例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6）， 并且2｜（10—6）。 性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。 性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。 即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。 例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。 性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。 即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。 例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。
数的整除（1）性质、特征、奇偶性 教室：姓名：学号： 【知识要点】： 整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。 （2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。 （4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。 （3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。 （4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。 （5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。 奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】 例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？ 解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？ 解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。
第19讲数论综合 知识点精讲 特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法： 特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题 技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。 三、质数合数 1. 基本定义 【质数】一一 【合数】一一 注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一 【分解质因数】一一 用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。 分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且