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中值定理构造辅助函数.

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……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 1 / 6 微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法 此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点:（１）将要证的结论中的换成x;(2）通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;(3)用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号)，并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数()Fx. 例1:证明柯西中值定理. 分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()fbfafgbgag中令x,得()()'()()()'()fbfafxgbgagx,先变形为()()'()'()()()fbfagxfxgbga

再两边同时积分得

()()()()()()fbfagxfxCgbga,令0C，有()()()()0()()fbfafxgxgbga

故

()()()()()()()fbfaFxfxgxgbga

为所求辅助函数．

例2:若0a,1a，2a，…,na是使得1200231naaaan…的实数．证明方程20120nnaaxaxax…在(0,1）内至少有一实根．

证：由于2231120120()231nnnnaaaaaxaxaxdxaxxxxCn…… 并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设 231120()231nnaaaFxaxxxxn…（取0C),则

1)()Fx在[0,1]上连续 2）()Fx在(0，1)内可导 3)(0)F=0， 120(1)0231naaaFan… 故()Fx满足罗尔定理的条件,由罗尔定理，存在(0,1)使'()0F,即231120()'0231nnxaaaaxxxxn…亦即20120nnaaaa…. ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 2 / 6 这说明方程20120nnaaxaxax…在（0,1）内至少有实根x． 2 积分法 对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数． 例3:设()fx在［1，２］上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f，(2)2f.证明

存在(1,2)使2()'()ff. 分析:结论变形为'()2()0ff,不易凑成'()0xFx．我们将换为x，结论变形为'()20()fxfxx,积分得：2()ln()2lnlnlnfxfxxcx,即2()fxcx,从而可设辅助函数为2()()fxFxx,有1(1)(2)2FF．本题获证. 例４:设函数()fx,()gx在[,]ab上连续,在(,)ab内可微,()()0fafb．证明存在(,)ab，使得：'()()'()0ffg.

证:将'()()'()0ffg变形为'()()'()ffg'()'()()fgf,将换为

x，则'()'()()fxgxfx,两边关于x积分，得： '()'()()fxdxgdxfx1[()][()]ln()()()dfxdgxfxgxCfx,所以

()(())exp(())exp()fxexpgxCgxCexp(())Kgx，其中exp()KC,由()(())fxKexpgx可得()exp(())Kfxgx．由上面积分的推导可知，()exp(())fxgx为一常数K，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的．因而令()()exp(())Fxfxgx，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证. 3 几何直观法 此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5：证明拉格朗日中值定理． ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 3 / 6 分析:通过弦AB两个端点的直线方程为()()()()fbfayfaxaba

,则函数()fx与

直线AB的方程之差即函数()()()()[()()]fbfaFxfxfaxaba

在两

个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例６：若()fx在[,]ab上连续且(),()faafbb．试证在(,)ab内至少有一点，使()f. 分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数()yfx的图形曲线必跨越yx这一条直线,而两者的交点的横坐标，恰满足()f.进而还可由图知道，对[,]ab上的同一自变量值x,这两条曲线纵坐标之差()fxx构成一个新的函数()gx,它满足()ga<０,()gb〉0,因而符合介值定理的条件．当为()gx的一个零点时,()0g恰等价于()f.因此即知证明的关键是构造辅助函数()()gxfxx． 4 常数ｋ值法 此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k. 2）恒等变形使等式一端为a及()fa构成的代数式,另一端为b及()fb构成的代数式. 3)观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为x，相应的函数值改为()fx. ４）端点换变量x的表达式即为辅助函数()Fx. 例7：设()fx在[,]ab上连续,在(,)ab内可导,(0)ab,试证存在一点(,)ab,……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 4 / 6 使等式()()ln'()afbfafb成立． 分析：将结论变形为()()'()lnlnfbfafba，令()()lnlnfbfakba,则有()ln()lnfbkbfaka，令bx,可得辅助函数()()lnFxfxkx． 例8:设''()fx在[,]ab上存在,在acb,试证明存在(,)ab,使得()()()1''()()()()()()()2fafbfcfabacbabccacb

．

分析：令()()()()()()()()()fafbfckabacbabccacb,于是有()()()()()()()()()bcfaabfccafbkabacbc，上式为关于a，b，c三点的轮换对称式,令bx（oｒ:cx,or:ax),则得辅助函数()()()()()()()()()()Fxxcfaaxfccafxkaxacxc． ５ 分析法 分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论． 例9：设函数()Fx在[0,１]上连续,在（0,1）内可导，证明在(0,1）内存在一点C，使得1(1)(0)()'()ccFFeeFC. 分析：所要证的结论可变形为:11(1)(0)()'()'()ccceFFeeFcFce,即(1)(0)'()1cFFFcee

,因此可构造函数()xGxe,则对()Fx与()Gx在[0,１]上应用柯西

中值定理即可得到证明. 例10：设函数()fx在[0,１]上连续,在(0,1)内可导,且(0)f=0,对任意(0,1)x有

()0fx．证明存在一点(0,1)使'()'(1)()(1)nffff（n为自然数)成立． 分析:欲证其成立,只需证'()(1)'(1)()0nffff由于对任意(0,1)x有()0fx，故只需证：1(())'()(1)'(1)(())0nnnfffff即'[(())(1)]0nxfxfx，于是引入辅助函数()(())(1)nFxfxfx(n为自然数）． ……………………………………………………………最新资料推荐………………………………………………… 5 / 6 例11：设函数()fx在区间[0,+］上可导，且有n个不同零点：120nxxx….试证()'()afxfx在[０，＋]内至少有1n个不同零点.(其中，a为任意实数) 证明：欲证()'()afxfx在[０,＋）内至少有1n个不同零点，只需证方程()'()afxfx=０在[０,+]内至少有1n个不同实根. 因为,[0,+)x,axe0,故只需证方程axe[()'()]0afxfx在[0,+)内至少有1n个不同实根． 引入辅助函数()()axFxefx,易验证()Fx在区间[12,xx],［23,xx],…，[1,nnxx]上满足罗尔定理的条件,所以,分别在这1n个区间上应用罗尔定理，得121'()'()'()0nFFF…，其中11222311(,),(,),(,)nnnxxxxxx…且

1210n… 以上说明方程'()0Fx在［12,xx][23,xx］…[1,nnxx][0,+］内至少有1n个不同实根,从而证明了方程()'()afxfx=0在[0,+]内至少有1n个不同实根． 6 待定系数法 在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为M,再将等式中一个端点的值b换成变量x，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x,这样首先可以保证()b=0,而由等式关系()a=0自然满足，从而保证()x满足罗尔定理条件,再应用罗尔定理最终得到待定常数M与'()f之间的关系． 例１2：设()fx是[,]ab上的正值可微函数，试证存在(,)ab,使()'()ln()()()fbfbafaf．

证明：设()ln()()fbMbafa,令()()ln()()fxxMxafa容易验证()x在[,]ab 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)ab使'()0,解得'()()fMf,故

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中值及相关定理-连续函数的介值定理-零点定理-费马引理

中值及相关定理-连续函数的介值定理-零点定理-费马引理

中值及相关定理：连续函数的介值定理，零点定理，费马引理 Cauthy Lagrange Rolle ,,注意要点：1.验证定理条件2.构造辅助函数中值定理条件：1）在闭区间[],a b 上连续 2）在开区间(),a b 内可导 罗尔定理：1）+2）+3）()()()()(),,,'0.f a f b a b a b f ξξξ=⇒<<=有一点使得 拉格朗日：1）+2）=有一点()()()(),'.f b f a a b f b aξξξ-<<=-使得 柯西：1）+2）+3）()()()()()()()''0.'f b f a f F x F b F a F ξξ-≠⇒=-例题：1若)(x f 在),(b a 可导且)()(b f a f =，则存在什么样的点属于),(b a ，使0)('=ξf 2一些构造函数+中值定理的题：[])(')()()(222ξξf a b a f b f -=-.2211sin '()tan '()2cos a b f f ξξξξ+= 3设R x x f ∈>,0)("，任取),(,b a c x ∈且c x ≠， 求证：)()()()()()())(('a f a x ab a f b f x fc f c x c f +---<<+-，即曲线介于切线与割线之间.3.2洛必达 4求极限：211000lim .x x e x -→ 5设函数()f x 具有一阶连续导数，且 ()()()201cos 00,'02,lim tan x f x f f x→-=== 3.3泰勒公式： 6.一些类似的taylor 展开题：1.)(x f 在),(b a 上连续，在),(b a 内有二阶导，若|)("|4)(|)()(|,0)(')('2ξf a b a f b f b f a f -≤-==2.)(x f 在[]1,0有二阶导，b a b x f a x f ,,|)("|,|)(|≤≤非负，)1,0(∈c ，求证：.22|)('|b a c f +≤ 3.)(x f 在()+∞∞-,上具有二阶导数，且220)("|,|)(|M x f M x f ≤≤，求证：202|)('|M M x f ≤4. 设在[]0,a 上有()()'',f x M f x ≤在()0,a 内存在最大值， 证明：()()'0'f f a aM +≤。

罗尔定理构造辅助函数万能公式

罗尔定理构造辅助函数万能公式

罗尔定理构造辅助函数万能公式郭元春陈思源马晓燕1.西安思源学院基础部陕西西安 710038；2.西安思源学院高等教育营销研究中心陕西西安 710038微分中值定理在微积分学中占有十分重要的地位，是用函数局部性质推断整体性质的有力工具。

罗尔定理是微分中值定理中最为基础的一个，定理内容：若函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式f′(ξ)=0。

利用罗尔定理证明中值等式问题的难点就是辅助函数的构造。

刘文武、张军、肖俊等人[1-3]采用逆向思维法对该类问题做了相应的研究。

逆向思维法是从结果出发分析中值等式的特点，选择适当的方法构造辅助函数。

微分中值等式问题常见的形式是：已知函数f(x)满足在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f(x)满足某些附加条件，求证存在某个中值ξ∈(a，b)，使得等式F(ξ，f(ξ)，f′(ξ))=0。

该等式左边看作是某个函数g(x)在点ξ处的导数，即g′(ξ)=0。

由拉格朗日中值定理可知，g(x)=C 是满足该等式的最简单的函数。

显然这个隐函数是原微分方程的通解，因此，在微分中值问题中，一般把通解中的积分常数令为辅助函数。

本文采用逆向思维法，对微分中值问题中构造辅助函数的常见题型作归纳和总结。

一、利用分离变量法构造辅助函数(一)证明的等式是关于ξ，f(ξ)，f′(ξ)的微分方程例1[4]:设函数f(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，证明：在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

证明：令F(x)=f(x)sinx，显然，F(x)在闭区间[0，π]上连续，在开区间(0，π)内可导，且F(0)=F(π)，故由罗尔定理知，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得F′(ξ)=0，而F′(ξ)=f′(ξ)sinξ+f(ξ)cosξ，也就是说，在开区间(0，π)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)sinξ=-f(ξ)cosξ。

微分中值问题辅助函数的构造方法

微分中值问题辅助函数的构造方法


到一个微分方程 （ 方程 的右端为 ０ ， ）通过观察 ， 可以 凑出方程左端 函数表 达式 的一个原 函数 Ｆ ， （ ） 对
Ｆ（ ） 应 用罗 尔定 理． ｚ 再 导 ， ｎ＜ ｂ证 明 ： ０＜ ．
．
导， Ｆ ｎ 且 （）一 Ｆ ６ ， （）则
∈ （ ，）使得 ｎ６ ，
例 １ 设 ｆ ｘ 在［ ， 上连续 ， （ ，）内可 ｉ ） ｎ 在 ｎ６ ∈ （ ，）使 得 ｎ６，
Ｌ
（ 一 （ 厂 ０ ） ０ ， （ ．
证 明 由于 ｕｘ， （ ）一 Ｃ是 方 程 Ｙ 一 （ ， Ｉ ） ｚ
的通 解 ， 以 ＋ Ｕｙ 所 ｙ 一 ０ 得 Ｙ ， 一一 ／ ， 而 从
Ｙ 一 （ ）一一 ／ ， ．
厂 ６ 一 ． ｎ ＝ａｎ旦 ・ （ （ ） 厂 ）＝ （ ０
（ 一Ｏ 即有 （） ０ ， ６ 一 （） ａ 口 一 ｎ旦 （ ９．
“
需要强调的是 ， 微分中值定理 以及大 多数微分
些方法大都是针对具体某种形式的微分 中值问题给 出辅助函数的具体构造形式 ， 缺乏一般性．鉴 于此 ， 本文从整体 、 系统、 逻辑的角度出发 ， 介绍构造辅助
函数 的一般 方法 ， 分 挖 掘 罗 尔 定 理 、 函数 、 分 充 原 微 方程 、 化归思想等数学知识和思想方法的教育价值 ， 以开 阔视野 和思路 ， 培养 创造 性 思维 能 力．
１ 利用凑原 函数构造辅 助 函数
这 种方 法是 指把 要证 明的 结论 中的 换 为 －， ｚ 得
２ 利用微分方程 的通解构 造辅 助 函数
定 理 １ 设 ｕｘ， 一 Ｃ是 方程 Ｙ 一 （ ， 的 （ ） Ｉ ） ｚ 通解 ， Ｆ（ 令 ）一 ｕ ｘ （ ） 若 ．（ （ ， ） ， 厂 ）在 （ ，）可 口６
构造法在微分中值定理等方面的运用

构造法在微分中值定理等方面的运用

鲽塑嫠凰构造法在微分中值定理等方面的运用孙凤忠吴丽崇(衡水职业技术学院，河北衡水053000)Ⅲ，‘’j，411?…；。

j …～}7哺要】构遣J A C ．At 学中常用的方法。

构造函教法是构造法的产物在数学领域中被广泛地采用着。

构造函数尽管不是善坝存在，是人为的’j7主观出现，但在数学发展史上的独到作用是不容忽视的。

他们所起的作用就是桥梁，是由此瓦彼的作用，有些甚至趋到无法替代的作用。

下i ／i ，面就构造法在微分中值定理等几方面加以讨论。

．：：』／既罐词】构造函数法；微分中值7k ?j??i i ～??。

．．…j ……。

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i 1j jIt 2≈{}|{i Ii ，r 4f —lI ．}：。

l ，t ；1，；；㈦、{，：／j ；／J h r ，j一、微分中靛理中的应用成(’)式o㈠求原函数法求原函数法构造辅助函数的步骤为：(i )将欲证结论中的§换以拉格朗日及柯西中值定理为例讲述其辅助函数F ∞的作法。

成x ：(i i )通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式(或称之例1(拉格朗日中值定理)若函数f 满足如下条件：(j )f 在闭为易积分形式)；(i )用观察法或积分法求出原函数(即不含导数符区间b ，bLF_连续；(j i )f 在开区间(a ，b)内可导，则在(a ，b)内号的式子)，为简便积分常数取作琴：(i v)移项使一边为O ，则另一至少存在—点§，使得f (§)：盟垒)二!址。

(-)边即为所求辅助函数F()()o。

b —a㈡常数k 值法(此法适用于常数已分离出的命题)分析拉格朗日中值定理的结论：下面西过例题来讲述用常数值法来构造辅助函数的作法。

掣-f ．㈣(令§=x)=》掣=fI(x)(积分)专盟掣二盟x-f(X )+C (令C =O ，并移项)=》f(x)一D -a驰幽韭×：00D -a所以令Fb()_-f ∞一地尝业上×，即F()()笥仅)一f (a)一山些：业上(x-a)。