专题一集合、常用逻辑用语、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质1．函数．(1)函数的概念．函数实质上是从非空数集A到非空数集B的一个特殊映射，记作y＝f(x)，x∈A，其中x的取值范围A叫做这个函数的定义域，f(x)的集合C叫函数的值域，B与C的关系是C⊆B，我们将f，A，C叫做函数的三要素，但要注意，函数定义中A，B是两个非空数集，而映射中两个集合A，B是任意的非空集合．(2)函数的表示方法．函数表示方法有图象法、列表法、解析法．2．映射．映射A→B中两集合的元素的关系是一对一或多对一，但不可一对多，且集合B中元素可以没有对应元素，但A中元素在B中必须有唯一确定的对应元素．1．函数的单调性与最值．(1)单调性．对于定义域内某一区间D内任意的x1，x2且x1＜x2(或Δx＝x1－x2＜0)：①若f(x1)＜f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＜0]恒成立，则f(x)在D上单调递增；②若f(x1)＞f(x2)[或Δy＝f(x1)－f(x2)＞0]恒成立，则f(x)在D上单调递减．(2)最值．设函数y＝f(x)的定义域为I：①如果存在实数M满足：对任意的x∈I，都有f(x)≤M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；②如果存在实数M满足：对任意x∈I，都有f(x)≥M且存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最小值．2．函数的奇偶性．(1)定义．对于定义域内的任意x有：①f(－x)＝－f(x)⇔f(x)为奇函数；②f(－x)＝f(x)⇔f(x)为偶函数．(2)性质．①函数y＝f(x)是偶函数⇔y＝f(x)的图象关于y轴对称．函数y＝f(x)是奇函数⇔y＝f(x)的图象关于原点对称．②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，且在x＝0处有定义时必有f(0)＝0，即f(x)的图象过原点．③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．3．周期性．(1)定义．对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)性质．如果T是函数y＝f(x)的周期，则：①kT(k≠0，k∈Z)也是y＝f(x)的周期；②若已知区间[m，n](m＜n)上的图象，则可画出区间[m＋kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象．1．基本初等函数的图象．基本初等函数包括：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数．对于这些函数的图象应非常清楚．2．函数图象的画法．(1)描点法作图．通过列表、描点、连线三个步骤画出函数的图象．(2)图象变换法作图．①平移变换．a．y＝f(x)的图象向左平移a(a＞0)个单位长度得到函数a.y＝f(x＋a)的图象．b ．y ＝f (x －b )(b ＞0)的图象可由y ＝f (x )的图象向b.右平移b 个单位长度得到． 对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减． 而对于上、下平移变换，相比较则容易掌握，原则是：上加下减，但要注意的是加、减指的是在f (x )整体上．②对称变换(在f (－x )有意义的前提下)． a ．y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象a.关于y 轴对称； b ．y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象b.关于x 轴对称； c ．y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象c.关于原点对称；d ．y ＝|f (x )|的图象可将y ＝f (x )的图象在x 轴下方的部分d.关于x 轴旋转180°，其余部分不变；e ．y ＝f (|x |)的图象，可先作出y ＝f (x )当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称，作出e.y ＝f (x )(x ＜0)的图象．③伸缩变换．a ．y ＝Af (x )(A ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上所有点的③a.纵坐标变为原来的A 倍，横坐标不变而得到；b ．y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上所有点的b.横坐标变为原来的1a倍，纵坐标不变而得到．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．(×)(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(×)(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．(×) (4)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(5)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．(√)(6)函数y ＝|x |是R 上的增函数．(×)1．下列说法中，不正确的是(B )A ．函数值域中每一个数都有定义域中的至少一个数与之对应B ．函数的定义域和值域一定是无限集合C ．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了D ．若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素2．(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是(C )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2（x ＋1），得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴ 结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．3．函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如下图所示，下列说法正确的是(C )①函数y ＝f (x )满足f (－x )＝－f (x )； ②函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (－x )； ③函数y ＝f (x )满足f (－x )＝f (x )； ④函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )． A ．①③ B ．②④ C ．①② D．③④解析：由图象可看出，f (x )为周期为4的奇函数，∴①②正确．故选C.4．(2015·安徽卷)函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是(A )A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0，d ＞0B ．a ＞0，b ＜0，c ＜0，d ＞0C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0，d ＞0D ．a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＜0解析：根据函数的图象可知，该函数先增再减，再增，且极值点都大于0，函数图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上．解法一：由图象知f (0)＝d >0.因为f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝0有两个不相等的正实根，所以a >0，－2b 6a ＝－b3a>0，所以b <0.又f ′(0)＝c >0，所以a >0，b <0，c >0，d >0.解法二：由图象知f (0)＝d ＞0，首先排除选项D ；f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －x 1)(x －x 2)＝3ax 2－3a (x 1＋x 2)x ＋3ax 1x 2，令x 1＜x 2，因为x ∈(－∞，x 1)时，f ′(x )＞0，所以a ＞0，排除C ；又c ＝3ax 1x 2＞0，2b ＝－3a (x 1＋x 2)＜0，所以c ＞0，b ＜0，故选A.一、选择题1．(2015·北京卷)下列函数中为偶函数的是(B )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x|D ．y ＝2－x解析：因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，是非奇非偶函数．2．函数f(x)＝x 3＋sin x ＋1(x∈R)，若f (a )＝2，则f (－a )的值为(B ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 解析：∵f (a )＝2⇒a 3＋sin a ＋1＝2， ∴a 3＋sin a ＝1.∴f (－a )＝－a 3＋sin(－a )＋1＝－(a 3＋sin a )＋1＝－1＋1＝0.3．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝(C )A ．－1 B.14C.12D.32解析：因为－2＜0，所以f (－2)＝2－2＝14＞0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－14＝1－12＝12.4．函数y ＝ln(3x ＋1)(x ＞－1)的反函数是(D ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R)解析：由已知函数可得3x ＋1＝e y (y ∈R)，即3x ＝e y －1，所以x ＝(e y －1)3，x ，y 对调即得原函数的反函数为y ＝(e x－1)3(x ∈R)．故选D.5．(2015·新课标Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝(C ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 解析：∵ －2<1，∴ f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵ log 212>1，∴ f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴ f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.6．(2015·新课标Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为(B )解析：当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan x ，图象不会是直线段，从而排除A ，C.当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝2 2.∵ 22＜1＋5，∴ f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除D ，故选B.二、填空题7．若函数f (x )(x ∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝516．解析：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋176＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫176＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76 ＝－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34－sin 76π＝－316＋12＝516.8．(2015·福建卷)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R)满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于1．解析：因为f (x )＝2|x －a |，所以f (x )的图象关于x ＝a 对称．又由f (1＋x )＝f (1－x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故a ＝1，且f (x )的增区间是[1，＋∞)，由函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，知[m ，＋∞)⊆[1，＋∞)，所以m ≥1，故m 的最小值为1.三、解答题9．已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，a ∈R)．(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数；当a ≠0时，f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)解法一 设x 2＞x 1≥2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋ax 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a ]，由x 2＞x 1≥2，得x 1x 2(x 1＋x 2)＞16，x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0.要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需f (x 1)－f (x 2)＜0，即x 1x 2(x 1＋x 2)－a ＞0恒成立，则a ≤16.故a 的取值范围是(－∞，16]．解法二 f ′(x )＝2x －a x 2，要使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，只需当x ≥2时，f ′(x )≥0恒成立，即2x －a x 2≥0，则a ≤2x 3∈[16，＋∞)恒成立，故当a ≤16时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．故a 的取值范围是(－∞，16]．10．f (x )的定义域为R ，对任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2.(1)证明：f (x )是奇函数；(2)证明：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在区间[－3，3]上的最大值和最小值．解析：(1)函数f (x )的定义域R 关于原点对称，又由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，得f [x ＋(－x )]＝f (x )＋f (－x )，∴f (x )＋f (－x )＝f (0)．又f (0＋0)＝f (0)＋f (0)，∴f (0)＝0.从而有f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )．由于x ∈R，∴f (x )是奇函数．(2)任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)－f [x 1＋(x 2－x 1)]＝f (x 1)－[f (x 1)＋f (x 2－x 1)]＝－f (x 2－x 1)． ∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.∴f (x 2－x 1)＜0.∴－f (x 2－x 1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，从而f (x )在R 上是减函数．(3)由于f (x )在R 上是减函数，故f (x )在[－3，3]上的最大值是f (－3)，最小值是f (3)，由f (1)＝－2，得f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1＋1)＝f (1)＋f (1)＋f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.从而f (x )在区间[－3，3]上的最大值是6，最小值是－6.11．已知函数f (x )＝e x －e －x(x ∈R，且e 为自然对数的底数)．(1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性．(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．解析：(1)∵f (x )＝e x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，且y ＝e x 是增函数， y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 是增函数，∴f (x )是增函数． ∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数和奇函数，由f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对x ∈R 恒成立，则f (x －t )≥f (t 2－x 2)． ∴t 2－x 2≤x －t ⇔x 2＋x ≥t 2＋t 对x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122min 对一切x ∈R 恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122≤0⇔t ＝－12. 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x 都成立．。
专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲 集合与常用逻辑用语考情解读 1．集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．1．集合的概念、关系（1）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验． （2）集合与集合之间的关系：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ，空集是任何集合的子集，含有n 个元素的集合的子集数为2n ，真子集数为2n －1，非空真子集数为2n －2. 2．集合的基本运算（1）交集：A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }． （2）并集：A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }．（3）补集：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }．重要结论：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 3．四种命题及其关系四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理． 4．充分条件与必要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 5．简单的逻辑联结词（1）命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．（2）命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )． 6．全称量词与存在量词“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”.热点一 集合的关系及运算例1 （1）(2014·四川)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B 等于( ) A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0}（2）(2013·广东)设整数n ≥4，集合X ＝{1,2,3，…，n }，令集合S ＝{(x ，y ，z )|x ，y ，z ∈X ，且三条件x <y <z ，y <z <x ，z <x <y 恰有一个成立}．若(x ，y ，z )和(z ，w ，x )都在S 中，则下列选项正确的是( ) A ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∉S B ．(y ，z ，w )∈S ，(x ，y ，w )∈S C ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∈S D ．(y ，z ，w )∉S ，(x ，y ，w )∉S 思维启迪 明确集合的意义，理解集合中元素的性质特征．思维升华 (1)对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．（1）已知集合M ＝{1,2,3}，N ＝{x ∈Z |1<x <4}，则( )A ．M ⊆NB ．N ＝MC ．M ∩N ＝{2,3}D ．M ∪N ＝(1,4)（2）(2013·山东)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 热点二 四种命题与充要条件例2 （1）(2014·天津)设a ，b ∈R ，则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 （2）(2014·江西)下列叙述中正确的是( )A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2＋bx ＋c ≥0”的充分条件是“b 2－4ac ≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2≥cb 2”的充要条件是“a >c ”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是一条直线，α，β是两个不同的平面，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β思维启迪 要明确四种命题的真假关系；充要条件的判断，要准确理解充分条件、必要条件的含义． 思维升华 (1)四种命题中，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；(2)充要条件的判断常用“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，判断一个命题为假可以借助反例．（1）命题“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的逆否命题是________．（2）“log 3M >log 3N ”是“M >N 成立”的________条件．(从“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”中选择一个正确的填写) 热点三 逻辑联结词、量词例3 （1）已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>lg x ，命题q ：∀x ∈R ，sin x <x ，则( )A ．命题p ∨q 是假命题B ．命题p ∧q 是真命题C ．命题p ∧(綈q )是真命题D ．命题p ∨(綈q )是假命题（2）(2013·四川)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∈B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∃x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B 思维启迪 （1）先判断命题p 、q 的真假，再利用真值表判断含逻辑联结词命题的真假；（2）含量词的命题的否定既要否定量词，还要否定判断词．思维升华 （1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；（2）判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．（1）已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假 D ．“p ∧q ”为真（2）已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R ，20x ＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤2或1≤a ≤2C ．a >1D ．－2≤a ≤11．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和Venn 图加以解决．2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.真题感悟1．(2014·浙江)设全集U ＝{x ∈N |x ≥2}，集合A ＝{x ∈N |x 2≥5}，则∁U A 等于( ) A ．∅ B ．{2} C ．{5} D ．{2,5}2．(2014·重庆)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．綈p ∧綈q C ．綈p ∧q D ．p ∧綈q 押题精练1．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)2．若命题p ：函数y ＝x 2－2x 的单调递增区间是[1，＋∞)，命题q ：函数y ＝x －1x 的单调递增区间是[1，＋∞)，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－2x ＋a ，x ≤0有且只有一个零点的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．0<a <12 C.12<a <1 D ．a ≤0或a>1(推荐时间：40分钟)一、选择题1．(2014·陕西)设集合M ＝{x |x ≥0，x ∈R }，N ＝{x |x 2<1，x ∈R }，则M ∩N 等于( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．(0,1] D ．(0,1)2．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{5,6,7}，C ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x ＋y ∈B }，则C 中所含元素的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．12 D ．133．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x －x 2－6}，B ＝{x ∈Z |－1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为()A ．3B ．4C ．7D ．8 4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知命题p ：∃x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x ，则该命题的否定是( )A ．∃x ∈(0，π2)，使得cos x >xB ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≥xC ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x >xD ．∀x ∈(0，π2)，使得cos x ≤x6．在△ABC 中，“A ＝60°”是“cos A ＝12”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．(2013·湖北)已知全集为R ，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |(12)x ≤1，B ＝{}x |x 2－6x ＋8≤0，则A ∩∁R B 等于( )A ．{x |x ≤0}B ．{x |0≤x <2或x >4}C ．{x |2≤x ≤4}D ．{x |0<x ≤2或x ≥4}8．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈R }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ，y ∈R }，则集合A ∩B 的元素个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称．则下列判断正确的是( )A ．p 为真B ．綈q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真10．已知p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0，q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1>0，若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2]D ．[－1,1] 二、填空题11．已知集合P ＝{x |x (x －1)≥0}，Q ＝{x |y ＝ln(x －1)}，则P ∩Q ＝__________.12．已知集合A ＝{x |x >2或x <－1}，B ＝{x |a ≤x ≤b }，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝{x |2<x ≤4}，则ba ＝________.13．由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a 的值是________． 14．给出下列四个命题：①命题“若α＝β，则cos α＝cos β”的逆否命题；②“∃x 0∈R ，使得20x －x 0>0”的否定是：“∀x ∈R ，均有x 2－x <0”；③命题“x 2＝4”是“x ＝－2”的充分不必要条件；④p ：a ∈{a ，b ，c }，q ：{a }⊆{a ，b ，c }，p 且q 为真命题． 其中真命题的序号是________．(填写所有真命题的序号)15．已知集合M 为点集，记性质P 为“对∀(x ，y )∈M ，k ∈(0,1)，均有(kx ，ky )∈M ”．给出下列集合：①{(x ，y )|x 2≥y }，②{(x ，y )|2x 2＋y 2<1}，③{(x ，y )|x 2＋y 2＋x ＋2y ＝0}，④{(x ，y )|x 3＋y 3－x 2y ＝0}，其中具有性质P 的点集序号是________．例1 (1)A (2)B 变式训练 (1)C (2)C例2 (1)C (2)D 变式训练2 (1)若a ＋b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数 (2)充分不必要 例3(1)C (2)D 变式训练3 (1)C (2)C BD BDA BDCBC CBCCA11．(1，＋∞) 12．－4 13．1 14．①④ 15．②④。
