高中数学人教A版高二选修2-3：课时跟踪检测(十六)_正态分布 含解析

重点一：熟记正态分布的函数表达式及正态曲线的
特点
B
例1、下列函数是正态密度函数的是（ ）
A. f (x)
1
(x )2
e 2 2 , , ( 0)都是实数
2
B.
f (x)
2
x2
e2
2
C. f (x)
1
( x1)2
e4
2 2
D. f (x)
1
x2
e2
2
练习1、若标准正态总体的函数为
1
x2
数的最大值等于 的解析式。 4
1
2
，求该正态分布的概率密度函数
2、如图，是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布 的概率密度函数的解析式， 求出总体随机变量的期望和 方差。
y
1
2
5 10 15 20 25 30 35 x
3、正态曲线的性质
( x)
1
e
(
x )2 2 2
, x (, )
2
y
y
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X 是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X服从正态分布..记作 X~ N（ μ，σ2）
取值的概率只有0.3 ％。 际通( 运常 用3由称当中,于这a就这些只33些情考)时概况之虑正率发内这态,值个 生其总区很为他体间小小区的,（概称 间取一为 取率值值般事3几几不件乎原乎超。总则不取过. 可值5能％于.区 在）实间，

2.答案为：A； 解析：由通项公式得 T7=C610·(－i)6=－C610=－210．
3.答案为：B；
1
解析：T4=C37x4
－ x
3=5，∴x=－1．74.答案为：C；2
解析：∵T5=C4n(
x)n－4·
－ x
4=24·C4nx
n－12
n－12
是常数项，∴ =0，∴n=12．
2
2
5.答案为：A； 1 x
13. x(x 2 )7 的展开式中，x4 的系数是________．(用数字作答) x
14.在 (3 2x 1 )20 的展开式中，系数是有理数的项数为________． 2
三、解答题
15.若二项式 (x a )6 (a＞0)的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，且 B=4A，求 a 的值． x
则
C310a3=15，故
1 a= ．
2
13.答案为：84；
2
2
x－
－
解析：x4 的系数，即
x 7 展开式中 x3 的系数，Tr＋1=Cr7·x7－r· x r=(－2)r·Cr7·x7－2r，
令 7－2r=3 得，r=2，∴所求系数为(－2)2C27=84．
14.答案为：4；
1
2
3
－
－
3
解析：Tr＋1=Cr20( 2x)20－r
=3×
(n≥6)，得 n=7．
6！
9.答案为：D；
1 － 解析：通项 Tr＋1=Crn(x2)n－r x r=(－1)rCrnx2n－3r，常数项是 15，则 2n=3r， 且 Crn=15，验证 n=6 时，r=4 合题意，故选 D．
10.答案为：10；

典题精讲 【例1】下面给出三个正态总体的函数表示式，请找出其均值μ和标准差σ. （1）φμ,σ(x)=2221x e -π（-∞＜x ＜+∞）; （2）φμ,σ(x)=8)1(2221--x e π（-∞＜x ＜+∞）; （3）φμ,σ(x)=2)1(222+-x e π（-∞＜x ＜+∞）. 思路分析:掌握正态曲线的表达式的特征是学习本节的前提，本题只要对照φμ,σ(x)=222)(21σμσπ--x e ，就可以确定均值μ和标准差σ.解:（1）μ=0,σ=1.（2）μ=1,σ=2.（3）μ=-1,σ=21. 绿色通道：通过正态总体的函数表示式判断其均值μ和标准差σ是因为在总体密度曲线的表达式中参数μ，σ分别可用样本均值和样本标准差去估计.当μ=0，σ=1时，总体称为标准正态总体，相应的曲线称为标准正态曲线.黑色陷阱：在记忆正态曲线的表达式φμ,σ(x)=222)(21σμσπ--x e 时，应该注意指数的特征，切不可误记为2222)(2)(σμσμ---x x 或等形式. 变式训练 若某一正态分布的期望和方差分别为2和4，则这一正态曲线的表达式为___________.答案:φμ,σ(x)=8)2(2221--x e π（-∞＜x ＜+∞）【例2】下图分别是甲、乙、丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是( )A.三种品牌的手表日走时误差的均值相等B.日走时误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙C.日走时误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙D.三种品牌手表中甲品牌的质量最好思路解析:只要理解正态曲线中两个参数μ,σ的意义，就不难判断四个命题的真假.从图象中可以看出甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同，所以它们的日走时误差的均值相等，A 是正确的；再根据图象的“瘦高”与“矮胖”情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，这也说明甲、乙、丙三种品牌的手表日走时误差的均值相当，但甲品牌偏离于均值的离散程度较小，所以甲品牌的质量最好，因此C 、D 是正确的，答案应选B.答案:B绿色通道：通过函数的图象研究函数的性质是学习数学的基本方法之一.黑色陷阱：对于正态分布密度曲线，易将两个参数μ,σ混淆，如本题常会误认为B 正确. 变式训练 下图是正态分布N(0,σ2)的曲线，则阴影部分所表示的区域( )A.范围无界，面积为1B.范围有界，面积与σ有关C.范围有界，面积为1D.范围无界，面积与σ有关答案:A【例3】正态分布密度函数的表示式是f(x)=2)1(222+-x e π（-∞＜x ＜+∞).（1）求f （x ）的最大值；（2）利用指数函数性质说明其单调区间及曲线的对称轴.解:（1）因为e>1，所以要使f(x)最大，则-2(x+1)2最大，即x=-1时，f(x)有最大值π22.（2）由于指数函数y=e x 是增函数，故当x ∈（-∞,-1）时，函数为增函数；当x ∈［-1,+∞）时，函数为减函数.其对称轴为直线x=-1.黑色陷阱：本题容易忽视e 的值对单调性和最值的影响.变式训练 由正态分布N(1,8)对应曲线可知，当x____________=时，函数f(x)有最大值__________.思路解析:画出N(1,8)的图象,由图象可直观得出答案.答案:1 π41问题探究问题：正态分布在实际生活中有什么重要意义（或有哪些应用）？你能举例说明吗？导思：理解正态分布在实际生活中的应用有助于更好地学习这一部分内容，同时可感受到数理统计在我们生活、生产、军事等领域的作用.探究：在实际生产与生活中，大量的随机现象都服从或近似服从正态分布.如生产上的产品的质量、使用寿命、农作物的亩产量等，测量上如测量的误差、群体的身高、群体的智商，军事上如射击命中点与靶心距离的偏差、炮弹的落点等等都可认为是服从正态分布的随机变量.正态分布在概率与统计中占有重要地位，这也是我们要学习正态分布的原因.。

2．4正态分布复习引入：总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．总体密度曲线b 单位O 频率/组距a它反映了总体在各个X 围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b )内取值的概率等于总体密度曲线，直线x =a ，x =b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,1(),(,)2x x e x μσμσϕπσ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．讲解新课：一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()ba P a X B x dx μσϕ<≤=⎰, 则称 X 的分布为正态分布（normal distribution ) ．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．例如，高尔顿板试验中，小球在下落过程中要与众多小木块发生碰撞，每次碰撞的结果使得小球随机地向左或向右下落，因此小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标 X 是众多随机碰撞的结果，所以它近似服从正态分布．在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布．例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布．因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中．正态分布在概率和统计中占有重要的地位．说明:1参数μ是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去佑计；σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计．2.早在 1733 年，法国数学家棣莫弗就用n ！的近似公式得到了正态分布．之后，德国数学家高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它，并研究了它的性质，因此，人们也称正态分布为高斯分布．2．正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响3．通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 讲课时教师可以应用几何画板，形象、美观地画出三条正态曲线的图形，结合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质4．正态曲线的性质：（1）曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交（2）曲线关于直线x=μ对称（3）当x=μ时，曲线位于最高点（4）当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学5．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x e x f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题讲解X 例：例1．给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ（１）),(,21)(22+∞-∞∈=-x e x f x π（２）),(,221)(8)1(2+∞-∞∈=--x e x f x π（３）22(1)(),(,)x f x x -+=∈-∞+∞ 例2求标准正态总体在（-1，2）内取值的概率．解：利用等式)()(12x x p Φ-Φ=有)([]}{11)2()1()2(--Φ--Φ=-Φ-Φ=p=1)1()2(-Φ+Φ=0.9772＋0.8413－1=0.8151．1.标准正态总体的概率问题:对于标准正态总体N （0，1），)(0x Φ是总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，其中00>x ，图中阴影部分的面积表示为概率0()P x x <只要有标准正态分布表即可查表解决.从图中不难发现:当00<x 时，)(1)(00x x -Φ-=Φ；而当00=x 时，Φ（0）=标准正态总体)1,0(N 在正态总体的研究中有非常重要的地位，为此专门制作了“标准正态分布表”．在这个表中，对应于0x 的值)(0x Φ是指总体取值小于0x 的概率，即 )()(00x x P x <=Φ，)0(0≥x ．若00<x ，则)(1)(00x x -Φ-=Φ．利用标准正态分布表，可以求出标准正态总体在任意区间),(21x x 内取值的概率，即直线1x x =，2x x =与正态曲线、x 轴所围成的曲边梯形的面积1221()()()P x x x x x <<=Φ-Φ．3．非标准正态总体在某区间内取值的概率:可以通过)()(σμ-Φ=x x F 转化成标准正态总体，然后查标准正态分布表即可 在这里重点掌握如何转化 首先要掌握正态总体的均值和标准差，然后进行相应的转化发生概率一般不超过5％的事件，即事件在一次试验中几乎不可能发生 假设检验方法的基本思想:首先，假设总体应是或近似为正态总体，然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析假设检验方法的操作程序，即“三步曲”一是提出统计假设，教科书中的统计假设总体是正态总体；二是确定一次试验中的a 值是否落入(μ-3σ，μ+3σ)；三是作出判断讲解X 例：例1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-2.32<x <1.2)；(2)P (x >2).解：(1)P (-2.32<x <1.2)=Φ(1.2)-Φ(-2.32)=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228.例2．利用标准正态分布表，求标准正态总体在下面区间取值的概率：(1)在N(1,4)下，求3(F（2）在N （μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；Ｆ（μσ，μσ）；Ｆ（μ－2σ，μ＋2σ）；Ｆ（μ－3σ，μ＋3σ） 解：（１）)3(F ＝)213(-Φ＝Φ （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σμσμ-+Φ＝Φ Ｆ（μ－σ）＝)(σμσμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σＦ（μσ，μσ）＝Ｆ（μσ）－Ｆ（μσＦ（μ－2σ，μ＋2σ）＝Ｆ（μ＋2σ）－Ｆ（μ－2σＦ（μ－3σ，μ＋3σ）＝Ｆ（μ＋3σ）－Ｆ（μ－3σ对于正态总体),(2σμN 取值的概率：在区间（μ-σ，μ+σ）、（μ-2σ，μ+2σ）、（μ-3σ，μ+3σ）内取值的概率分别为68.3%、95.4%、99.7%因此我们时常只在区间（μ-3σ，μ+3σ）内研究正态总体分布情况，而忽略其中很小的一部分例3．某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为π21，求总体落入区间（－1.2，0.2）之间的概率 解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(222)(+∞-∞∈=--x e x f x σμσπ，它是偶函数，说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σπ21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ- 巩固练习：书本第74页 1,2,3课后作业： 书本第75页 习题2. 4 A 组 1 , 2 B 组1 , 2教学反思： 1．在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布 在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布 布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布2．正态分布是可以用函数形式来表述的 其密度函数可写成： 22()2(),(,)x f x x μσ--=∈-∞+∞， （σ＞0）由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的 常把它记为),(2σμN 3．从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值 从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x 轴，但永不与x 轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x 轴为渐近线的4．通过三组正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。