导数的概念及导数的几何意义
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导数的概念及导数的几何
意义
The final edition was revised on December 14th, 2020.
导数的概念及导数的几何意义
一．知识梳理
1、导数的概念及意义
求函数()y f x =在0x 处的导数的步骤：
（1）求函数的改变量()()00y f x x f x ∆=+∆-；
（2）求平均变化率=∆∆x
y ； （3）取极限，得导数y '= . 特别提醒：)(0/x f 的定义式并不唯一，=')(0x f 0lim
→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00，也可以写成0
0000)()(lim ,)()(lim 0x x x f x f x x x f x f x x x --∆∆--→→∆等形式. 特别提醒：注意)(x f '与)(0x f '的区别与联系 曲线)(:x f y C =在点（x 0，y 0）处的导数的几何意义是)(x f 在该点处的切线
的 ，即=k .切线方程为 . 物理意义:设物体运动规律是),(t s s =则 表示物体在t =t 0时刻的瞬时速度；设)(t v v =是速度函数，则 表示物体在t =t 0时刻的加速度.
2.常用导数公式
3.导数的运算法则 .
例1.用导数的定义求函数2231y x x =+-在3x =处的导数. 例2.求下列函数的导数：
（1）3
1sin 3y x x =+- ； （2）)23)(12(++=x x y （3）x y tan = ； （4）x e y x ln = （5）1x
e y x =+ 例3. 已知曲线y=.3
4313+x （1）求曲线在点（2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.巩固练习
1.知,)(2x x f -=则x
f x f x ∆-∆+→∆)3()3(lim 0的值是________． 2.函数3x y =在1=x 处的导数为_______;
3.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a ________．
4.若曲线4x y =的一条切线l 与直线084=-+y x 垂直,则直线l 的方程为________．
5.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，，则点P 横坐标的取值范围为________． 6.函数)(x f y =的图像在点M ))1(,1(f 处的切线方程是22
1+=
x y ,)1()1(/f f += . 7. 直线y = kx 与曲线2e x y =相切，则实数k = ． 8.已知函数.ln x x y =
（1） 求这个函数的导数；（2）这个函数在点1=x 处的切线方程.
5. 求双曲线1y x =过点1(2,)2
的切线方程。
6.已知函数()bx ax x x f 3323+-=在1=x 处的切线为0112=-+y x ，求函数()x f 的解析式．。
