22正态样本统计量的抽样分布

志存高远，顽强拼搏
（四）t分布表的使用
▪ 左列表示自由度。 ▪ 最上一行表示不同自由度下t分布两端的概率之和，
即在某t值时， t分布两端的概率之和，又称显著 性水平。 ▪ 中间数字：某一自由度和某一显著性水平t的临界 值。
志存高远，顽强拼搏
不管是正态分布，还是 在t分布，都存在标准误问题. 标准误的含义：某种统计量在抽样分布上的标准差,符号
自由度的变化而变化。 ▪ 联系：当自由度趋于无穷大时， t分布接近标准正态分布。
志存高远，顽强拼搏
（三）自由度
▪ 指总体参数估计量中变量值自由变化的个数，用符号df表 示。
▪ 任何变量中可以自由变化的数目 。 ▪ 自由度(degree of freedom, df)在数学中能够自由取值的变
量个数，如有3个变量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由 度等于2。在统计学中，自由度指的是计算某一统计量时， 取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本含量， k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用 到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。
在以笔名"Student"发表的一篇论文中推导的一种分布。
志存高远，Hale Waihona Puke 强拼搏（二） t分布的特征
▪ 1. t分布的平均值为0。 ▪ 2. t分布是以过平均值0的垂线为轴的对称分布,分布左侧t
为负值,分布右侧t为正值。 ▪ 3. t变量取值在--∞—+∞之间。 ▪ 4. 当样本容量趋于+∞时,t分布为正态分布。 ▪ 5.t分布的形态随自由度的变化而变化，呈一簇分布形态
▪ （三）无限多个n个随机变量平方和或标准分数 的平方和的分布,称为χ2分布。χ2分布是正偏态分 布；卡方值都是正值；卡方分布的和也是卡方分 布；χ2分布是连续型分布。

抽样与抽样分布在统计学中，抽样是一种常用的数据收集方法，通过从总体中选择一部分样本来进行研究和分析。

抽样的目的是通过样本来推断总体的特征和性质。

在进行抽样时，我们需要了解抽样的方法和抽样分布的概念。

一、抽样方法1. 无偏抽样无偏抽样是指所有样本有相同被选中的机会。

这样可以确保样本的代表性，从而减小样本估计值和总体真值之间的误差。

常见的无偏抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。

2. 有偏抽样有偏抽样是指样本的选择并不具有相等的机会。

这样可能导致样本的代表性不足，从而产生较大的估计误差。

有时，有偏抽样也可以用于特定的研究目的，但需要明确地说明和分析偏差带来的影响。

二、抽样分布1. 抽样分布的概念抽样分布是指统计量在各个可能样本上的取值分布。

统计量可以是样本均值、样本方差等。

抽样分布的性质对于进行统计推断和假设检验非常重要。

2. 样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布在中心极限定理的条件下近似服从正态分布。

中心极限定理指出，当样本容量足够大时，无论总体分布如何，样本均值的抽样分布都会接近正态分布。

3. 样本比例的抽样分布样本比例的抽样分布在满足一些条件的情况下也近似服从正态分布。

这些条件包括样本容量足够大、总体比例接近0.5以及样本与总体之间的独立性等。

4. 样本方差的抽样分布样本方差的抽样分布不服从正态分布。

通常情况下，样本方差的抽样分布呈右偏态，即偏度大于0。

为了得到样本方差的抽样分布，可以使用抽样分布的近似分布，如卡方分布。

三、应用案例抽样与抽样分布的方法和理论在实际统计学中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用案例：1. 调查研究在进行调查研究时，我们经常需要从总体中选择一部分样本进行问卷调查或面访。

通过利用抽样与抽样分布的方法，我们可以将样本的调查结果推广到总体中，从而得到总体的特征和性质。

2. 假设检验假设检验是统计学中常用的推断方法之一。

通过比较样本统计量与假设的总体参数值，我们可以判断假设的合理性。

2 最小，其中c为任意给定常数。 ( x x ) i
样本均值的抽样分布 (例题分析)
【例】设一个总体含有4 个个体，分别为X1=1、X2=2、 X3=3 、X4=4 。总体的均值、方差及分布如下。
总体均值和方差

总体的频数分布
X
i 1
N
i
N
N
2.5
2
2 ( X ) i i 1
0.02 0 2 1 0.1
21 Φ0.2
0.8414
(4) 样本 k 阶(原点)矩
1 n k Ak X i , k 1, 2, ; n i 1
1 n k 其观察值 k x i , k 1, 2, . n i 1
n n 1 2 1 2 2 E( S ) E X i nX (Xi X ) E n 1 i 1 n 1 i 1
2
1 n 2 2 E ( X i ) nE ( X ) n 1 i 1 2 1 n 2 2 2 ( ) n 2 n 1 i 1 n
n

k 1
n
2

2
n
,
定理 设总体X的期望E(X) = ,方差D(X) = 2，X1， X2，…，Xn为总体X的样本， X，S2分别为样本均值 和样本方差，则
E( X ) E( X )
D( X ) 2 D( X ) n n
E( S 2 ) D( X ) 2
思考：在分组样本场合，样本均值如何计算？ 二者结果相同吗？
x1 f1 x n f n 其中 x n

S
n
（3）总体非正态分布条件下平均数的显著性检验
① 当 n≥30 时，尽管总体分布非正态，对于平均数的显 著性检验仍可用Z 检验。
Z
X
0（σ
已知）或
Z
X 0（ σ 未知）
S
n
n
② 当 n＜30 时，若总体分布非正态，对于平均数的显著 性检验不符合近似 Z 检验的条件，严格讲此时也不符合t 检验 的条件。
计算其置信区间：
X t SX （其X 中 t SX
2
2
）
SX
S n
小样本的情况
例如，从某小学二年级随机抽取12名学生，其阅读能 力得分为28、32、36、22、34、30、33、25、31、33、 29、26.试估计该校二年级阅读能力总体平均数95%和 99%的置信区间。
X 29.917 , S 4.100 , X 3.926
三、样本平均数与总体平均数离差统计量的形态
从正态总体中随机抽取样本容量为n的一切可 能样本平均数以总体平均数为中心呈正态分布。
当总体标准差已知时：
Z
X
X
X
n
当总体标准差未知时：
N (0,1)
总体标准差 的无偏估计量为
S (X X )2 n 1
S S X
X 2 ( X )2 / n
抽样分布是统计推断的理论依据。实际中只能抽取一个 随机样本根据一定的概率来推断总体的参数。即使是抽取一 切可能样本，计算出的某种统计量与总体相应参数的真值， 大多也是不相同的，这是由于抽样误差的缘故。抽样误差用 抽样分布的标准差来表示。因此，某种统计量在抽样分布上 的标准差称为该种统计量的标准误。
标准误越小，表明样本统计量与总体参数的值越接近， 样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠 度越大，所以标准误是统计推断可靠性的指标。