高中数学 2.1.3 超几何分布学案 新人教B版选修23

1 2.1.3 超几何分布

1.理解超几何分布及其推导过程.(重点、难点)

2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 超几何分布

阅读教材P44～P45例1以上部分，完成下列问题.

设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为P(X＝m)＝CmMCn－mN－MCnN(0≤m≤l，l为n和M中较小的一个)，则称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N，M，n的超几何分布.

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)超几何分布的模型是不放回抽样.(√)

(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.(×)

(3)超几何分布中的参数是N，M，n.(√)

(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(√)

2.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C23C37C510表示( )

A.5件产品中有3件次品的概率

B.5件产品中有2件次品的概率

C.5件产品中有2件正品的概率

D.5件产品中至少有2件次品的概率

【解析】 根据超几何分布的定义可知C23表示从3件次品中任选2件，C37表示从7件正品中任选3件，故选B.

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 2 疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

超几何分布概率公式的应用

从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率.

【精彩点拨】

摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.

【自主解答】 设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N＝25，M＝10，n＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X＝2)＝C210C315C525≈0.385，

即恰好得7分的概率约为0.385.

1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.

2.注意公式中M，N，n的含义.

[再练一题]

1.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X的分布列.

【解】 X的可能取值是1,2,3.

P(X＝1)＝C16·C22C38＝328；

P(X＝2)＝C26·C12C38＝1528；

P(X＝3)＝C36·C02C38＝514. 3 故X的分布列为

X

1

2

3

P 328 1528 514

超几何分布的分布列

袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.

(1)求得分X的分布列；

(2)求得分大于6分的概率.

【精彩点拨】 写出X的可能值→求出每个X对应的概率→写出分布列

【自主解答】 (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X的可能取值为5,6,7,8.

P(X＝5)＝C14C33C47＝435，

P(X＝6)＝C24C23C47＝1835，

P(X＝7)＝C34C13C47＝1235，

P(X＝8)＝C44C47＝135.

故所求分布列为

X 5 6 7 8

P 435 1835 1235 135

(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝1235＋135＝1335.

求超几何分布的分布列时，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清其公式中M，N，n的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.

[再练一题]

2.在本例中，设X1为取得红球的分数之和，X2为取得黑球的分数之和，X＝|X1－X2|，求X的分布列. 4 【解】 从袋中任取4个球的情况为：

1红3黑，X1＝2，X2＝3，X＝1；

2红2黑，X1＝4，X2＝2，X＝2；

3红1黑，X1＝6，X2＝1，X＝5；

4红，X1＝8，X2＝0，X＝8.

P(X＝1)＝C14C33C47＝435，P(X＝2)＝C24C23C47＝1835，

P(X＝5)＝C34C13C47＝1235，P(X＝8)＝C44C47＝135.

故所求的分布列为：

X 1 2 5

8

P 435 1835 1235 135

[探究共研型]

超几何分布的综合应用

探究 从含有5件次品的100件产品中任取3件.这100件产品可分几类？取到的次品数X的取值有哪些？求次品数X＝2的概率.

【提示】 产品分两类：次品和非次品；X取值为：0,1,2,3；P(X＝2)＝C25C195C3100.

在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；

(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，

①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.

【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布.

【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况.

P(X＝1)＝C14C110＝410＝25，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－25＝35.

因此X的分布列为

X 0 1 5 P

35

25

(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.

故所求概率P＝C14C16＋C24C06C210＝3045＝23.

②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且

P(Y＝0)＝C04C26C210＝1545＝13，P(Y＝10)＝C13C16C210＝1845＝25，

P(Y＝20)＝C23C06C210＝345＝115，P(Y＝50)＝C11C16C210＝645＝215，

P(Y＝60)＝C11C13C210＝345＝115.

因此随机变量Y的分布列为

Y 0 10 20 50 60

P 13 25 115 215 115

解决超几何分布问题的两个关键点

(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.

(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列.

[再练一题]

3.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列.

【解】 设所得金额为X，X的可能取值为3,7,11.

P(X＝3)＝C38C310＝715，P(X＝7)＝C28C12C310＝715，

P(X＝11)＝C18·C22C310＝115.

故X的分布列为

X 3 7 11

P 715 715 115 6 [构建·体系]

1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的概率为( )

A.C35C350 B.C12＋C25＋C35C350

C.1－C345C350 D.C15C25＋C25C145C350

【解析】 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C345C350，故答案为1－C345C350.

【答案】 C

2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )

【导学号：62980038】

A.2845 B.1645

C.1145 D.1745

【解析】 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P(X＝1)＝C12C18C210＝1645.

【答案】 B

3.一个盒子里装有大小相同的红球，白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为C126C14＋C24C230的事件是( )

A.没有白球

B.至少有一个白球

C.至少有一个红球

D.至多有一个白球

【解析】 C126C14＋C24C230＝C126C14C230＋C24C230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概 7 率，即至少有一个白球的概率.

【答案】 B

4.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.

【解析】 P(X＝3)＝C35C15C410＝521.

【答案】 521

5.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X的分布列，并求该考生合格的概率.

【解】 X可以取1,2,3.P(X＝1)＝C18·C22C310＝115，

P(X＝2)＝C28·C12C310＝715，P(X＝3)＝C38·C02C310＝715.

所以X的分布列为：

X＝k 1 2

3

P(X＝k) 115 715 715

该考生合格的概率为P(X≥2)＝P(X＝2)＋

P(X＝3)＝715＋715＝1415.

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X表示取出的最大号码；

②X表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；

④X表示取出的黑球个数.

这四种变量中服从超几何分布的是( )

A.①② B.③④

C.①②④ D.①②③④

【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B.