矩形的判定2

矩形的判定（5种题型）

【知识梳理】

一、矩形的判定：

①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；

②有三个角是直角的四边形是矩形；

③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）

要点诠释：

② 证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．

②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．

二．矩形的判定与性质

（1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研

究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有．

在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题．

（2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠

OBC；③点O到三个顶点的距离都相等．

【考点剖析】

题型一：矩形的判定定理的理解

例1．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（ ） A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【解答】解：A．∵▱ABCD中，AB＝AD，

∴▱ABCD是菱形，故选项A不符合题意；

B．∵▱ABCD中，AC⊥BD，

∴▱ABCD是菱形，故选项B不符合题意；

C．▱ABCD中，AB＝AC，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；

D．∵▱ABCD中，AC＝BD，

∴▱ABCD是矩形，故选项D符合题意；

故选：D．

【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定、平行四边形的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和菱形的判

定是解题的关键．

【变式】已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（ ） A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形 B．当ACBD⊥时，四边形ABCD是矩形 C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形 D．当ABDCBD=时，四边形ABCD是矩形 【答案】C

9.4矩形的判定（第二课时）

教学目标：

1.在对矩形定义、性质认识的基础上，理解并掌握矩形的判定方法。

2.经历探索矩形判定方法的过程

3.能利用矩形的定义、判定等知识解决简单的计算题及证明题，学会分析解题思路，规范推理书写的格式，提高学生的思维逻辑能力。

重点：矩形的判定定理

难点：矩形判定定理的证明及灵活使用

教学流程：

A

D

一、知识回顾：

1.矩形的定义

2.矩形的性质及证明： B C

（1）四个内角都是直角

（2）对角线相等

3.图中有几对等腰三角形，并回顾之前遇到的题目，图中的线段或角满足什么条件，就会使得 AOB和 COD是等边三角形，并阐述其证明过程。

二、情境引入

在学习平行四边形的过程中，我们知道除了依据定义判断，还学习了三条定理帮助我们更好地来判断一个四边形是平行四边形。那么判断一个四边形是否是矩形，除了定义，是否还有其他的方法呢？

三、探究新知

1.三个内角是直角的四边形是矩形

2.对角线相等的平行四边形是矩形

四、例题解析

五、当堂反馈

1. 下列各句判定矩形的说法是否正确，正确的打“ ”，错误的打“ ”

（1）有一个角是直角的四边形是矩形。

（2）三个角都相等的四边形是矩形。

（3）有三个角是直角的四边形是矩形。

（4）四个角都相等的四边形是矩形。

矩形定义、性质、判定

• 矩形:

是一种平面图形，矩形的四个角都是直角，同时矩形的对角线相等，而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。

• 矩形的性质：

1．矩形的4个内角都是直角；

2．矩形的对角线相等且互相平分；

3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等；

4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。

5．矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质

6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

• 矩形的判定：

①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

②定理1：有三个角是直角的四边形是矩形

③定理2：对角线相等的平行四边形是矩形

④对角线互相平分且相等的四边形是矩形

矩形的面积：S矩形=长×宽=ab。

• 黄金矩形:

宽与长的比是（√5-1）/2（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形。

黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。

判断矩形的判定方法

矩形是一种常见的几何图形，它具有四条边和四个直角，因此在计算机图形学、计算机视觉等领域中经常需要对矩形进行判定。矩形的判定方法主要包括以下几个方面。

1. 判断四边是否平行于坐标轴

如果矩形的四条边都平行于坐标轴，那么它就是一个“正常”的矩形。在计算机中，可以通过判断矩形的四个顶点的坐标是否满足一定的条件来判断矩形是否平行于坐标轴。例如，如果矩形的左上角顶点的x坐标等于左下角顶点的x坐标，且左上角顶点的y坐标等于右上角顶点的y坐标，那么就可以判断这个矩形是平行于坐标轴的。

2. 判断四边是否相等

如果矩形的四条边长度相等，那么它就是一个正方形。在计算机中，可以通过计算矩形的四条边的长度来判断矩形是否为正方形。如果四条边的长度都相等，那么就可以判断这个矩形是正方形。

3. 判断对角线是否相等

如果矩形的两条对角线长度相等，那么它就是一个“正常”的矩形。在计算机中，可以通过计算矩形的两条对角线的长度来判断矩形是否为“正常”的矩形。如果两条对角线的长度相等，那么就可以判断这个矩形是“正常”的矩形。

4. 判断是否为凸多边形

如果矩形的四个顶点按照顺序排列，那么它就是一个凸多边形。在计算机中，可以通过计算矩形的四个顶点的坐标来判断矩形是否为凸多边形。如果矩形的四个顶点按照顺序排列，并且相邻的三个顶点组成的两个向量的叉积都具有相同的符号，那么就可以判断这个矩形是凸多边形。

5. 判断是否与其他图形相交

在实际应用中，矩形可能会与其他图形相交，因此需要判断矩形是否与其他图形相交。在计算机中，可以通过计算矩形与其他图形的交集来判断矩形是否与其他图形相交。如果矩形与其他图形的交集不为空，那么就可以判断矩形与其他图形相交。

总之，矩形的判定方法主要包括判断四边是否平行于坐标轴、判断四边是否相等、判断对角线是否相等、判断是否为凸多边形和判断是否与其他图形相交等方面。这些方法可以在计算机图形学、计算机视觉等领域中广泛应用，为实现各种图形处理任务提供了基础支持。