天津科技大学线性代数检测题§1.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 行列式1221=______________，111123149=______________. 2. 行列式111n D ==_____________，2100032100430005=______________. 二．选择题1. 线性方程组238521x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为( ).(A) 1, 2x y ==； (B) 1, 2x y =-=； (C) 1, 2x y ==-； (D) 1, 2x y =-=-.三．计算题1. 利用对角线法则计算行列式112150205x x x ---.天津科技大学线性代数检测题§1.2~1.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设三阶行列式111213212223313233a a a a a a D a a a =，则行列式111213313233212223a a a a a a a a a =___________. 2. 已知11123033x x=，则实数x =____________________.3. 设三阶行列式1230450D λλ=-，则元素2的代数余子式12A 的值为________.4. 设,a b 均为实数，则当_________________时，行列式000101a b b a -=--.5. 4阶行列式的221111220000000a b a b c d c d 值为_________________________. 二．选择题1. 下列关于行列式的计算过程，正确的是（ ）.(A) 利用对角线法则，有15261234567873840000000a a a a a a a a a a a a a a a a =-； (B) 2112 2 123021032r r r r ----； (C) 12 2 11012121r r -；(D)34342323001001100 000100100000000000100000000aa a r r c c a a a a a a r r c c a a a↔↔↔↔.三．计算题计算下列行列式的值：(1)120201174724101820-；(2)1111123413610141020.(3)2321010230130101；(4)1234234134124123；(5)3521110513132413------；(6)11111111231401323201320121212121---+.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 线性方程组0()0ax y a x ay +=⎧∈⎨-+=⎩R 的解为x =___________，y =___________. 二．选择题1. 设齐次线性方程组10 (1,2,,)nij j j a x i n ===∑的系数行列式为D ，则0D ≠是该方程组仅有零解的（ ）.(A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充分必要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 问a 、b 满足何条件时，齐次线性方程组1231231230020ax x x x bx x x bx x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解？2. 利用克莱姆法则求解线性方程组230201x y z y z z ++=⎧⎪+=⎨⎪=⎩.专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 当x 满足条件__________________时，行列式3140010xx x≠.2. 行列式的123423413412123234341412++++++++值为__________________.3. 设行列式102141022101521xD -=--，则元素x 的代数余子式的值是____________. 4. 已知三阶行列式D 的第2行元素依次为1, 1, 1-，它们的余子式依次是2, 8, 5-，则D =_________.5. 设行列式1112131421222324313233344244a a a a a a a a D a a a a a a =，ij A 为元素ij a 的代数余子式，则42224424a A a A += __________.6. 4阶行列式5200210000120011=-____________. 7. 行列式=ab acaebd cdde bf cf ef---______________________.二．计算题1.计算三阶行列式：2213 51313xx x -+；2.计算四阶行列式：(1) 1111111111111111------；(2)1234134114211123；(3) 3112513420111533------；(4)10010101010a aaaa.天津科技大学线性代数检测题§2.1~2.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设112110x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则矩阵x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 2. 设2142⎛⎫= ⎪--⎝⎭A ，3162-⎛⎫= ⎪-⎝⎭B ，则=AB _______，=BA ________，2=A ________. 3. 设200010003⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，n 为正整数，则n =A _____________. 4. 设()324235A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，则5A =.5. 设A 、B 为n 阶方阵，则22()()-=+-A B A B A B 的充分必要条件是____________.二．选择题1. 设矩阵012121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，则 ( ).(A) 0242121⎛⎫= ⎪⎝⎭A ； (B)012111⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ； (C) 0242(2)242--⎛⎫-= ⎪---⎝⎭A A ； (D) 1110210021-⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A .2. 设A 、B 为两个矩阵，则下列说法正确的是（ ）.(A) 若=AB O ，则=A O 或=B O ； (B) 若A 、B 为同型矩阵，则=AB BA ； (C) 若=AB O ，=BA O ，则=AB BA ； (D) 若k =A O ，则0k =或=A O . 3. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，下列说法不正确的是( ). (A) ()()++=++A B C A B C ； (B) ()()=AB C A BC ； (C) ()+=+A B C AC BC ；(D) =AB AC ，≠A O ，则=B C .4. 设1243⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，12x y ⎛⎫=⎪⎝⎭B ，则A 、B 相乘可交换的充要条件是( ).(A) 1x y =+； (B) 1x y =-； (C) x y =； (D) 2x y =.三．计算题1. 计算矩阵的乘积：100223101414010⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭.2. 设2()37f x x x =--，1121⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，求()f A .四．证明题若2=A A ，则称A 为幂等矩阵.证明：若A 、B 为幂等矩阵，则+A B 为幂等矩阵的充要条件是=-AB BA .天津科技大学线性代数检测题§2.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵101210-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，101112-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，则2T+=A B ______________.2. 设方阵100210021⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，则行列式2=-A ________.二．选择题1. 设A 、B 为两个n 阶方阵，则（ ）.(A) =AB BA ；(B) T T T T +=+A B B A ； (C) T T T T =A B B A ； (D) ()T T T =A B AB . 2. 设A 、B 为两个n 阶反对称矩阵，则下列说法错误的是（ ）. (A) +A B 是反对称矩阵； (B) k A 是反对称矩阵；(C) T A 是反对称矩阵； (D) AB 是反对称矩阵的充分必要条件是=AB BA .三．计算题已知101214325-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A ，123130052-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求：(1) T AB ；(2) 3-A .天津科技大学线性代数检测题§2.4~2.5一．填空题1. 设三阶方阵≠A O ，13024351t ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 且=AB O ，则常数t =______________. 2. 设*A 是三阶矩阵A 的伴随矩阵，已知4=A ，则12*=A ____________. 3. 设1=A ，A 的伴随矩阵为*A ，则()1T -=A _____________.二．选择题1. 设A 为二阶方阵，且2=A ，则1(3)-=A （ ）. (A)118； (B) 92； (C) 32； (D) 16. 2. 设A 、B 为两个n 阶方阵，其中A 为可逆矩阵，则=B O 是=AB O 的（ ）. (A) 充分条件； (B) 必要条件； (C) 充要条件； (D) 既非充分也非必要条件.三．计算题1. 求下列方阵的逆矩阵：(1) cos sin sin cos αααα⎛⎫⎪-⎝⎭；(2) 001423110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭；(3) 121342541-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.2. 求解矩阵方程=AXB C ，其中1111-⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，100401230⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，012123⎛⎫= ⎪⎝⎭C .四．证明题设方阵A 满足223+-=A A E O ，证明4+A E 可逆，并求其逆矩阵.天津科技大学线性代数检测题§2.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶奇异矩阵，→A B ，则行列式=B _____________.2. 设A 为n 阶方阵，det()D =A ，(,)i j E 为n 阶交换矩阵，则det((,))i j =AE _________.二．选择题1. 矩阵150102520062⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭的标准形为（ ）. (A) 100002000060⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (B)100002000002⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 100001000001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (D) 100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 三．计算题1. 用初等变换方法求下列矩阵的逆矩阵(先判断是否可逆，若可逆，求出其逆矩阵)：(1) 121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ； (2) 2311351511⎛⎫⎪=--- ⎪ ⎪⎝⎭B ；(3) 102020103⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C .2. 用初等变换方法求解矩阵方程=AX B ，其中121342541-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A ，012123T⎛⎫= ⎪⎝⎭B .天津科技大学线性代数检测题§2.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设A 为n 阶满秩矩阵，则A 的标准形矩阵为____________.2. 设矩阵131********t --⎛⎫⎪=⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩为2，则t =____________. 二．选择题1. 设A 为m s ⨯阶矩阵，α为s 维非零列向量，0为s 维零列向量，()=B α0，则()r AB ( ).(A) 0=； (B) 1=； (C) 2=； (D) 2<. 2. 设4阶矩阵A 的秩为2，则*()r =A （ ）. (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3. 3. 设A 是任意矩阵，则（ ）.(A) 若A 的所有1r +阶子式全为零，则()r r =A ； (B) 若()m n r n ⨯=A ，则m n ≥；(C) 若A 是n 阶满秩方阵，则22()(())r r =A A ； (D) 若()r r =A ，则没有等于0的1r -阶子式.4. 设A 、B 均为n 阶非零方阵，且=AB O ，则A 、B 的秩( ). (A) 必有一个等于零；(B) 都小于n ；(C) 有一个小于n ；(D) 都等于n .三．计算题1. 用初等变换方法求矩阵121363242-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 的秩.2.求矩阵12321436322101450327--⎛⎫⎪-⎪=⎪-⎪⎝⎭A的秩.3.讨论λ的取值范围，确定矩阵11221511061λλ-⎛⎫⎪=-⎪⎪-⎝⎭A的秩.天津科技大学线性代数第二章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设矩阵151011-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A ，120150-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则2T-=A B ______________.2. 设A 、B 、C 均为n 阶方阵，且=ABC E ，则2()T T -=E BC A ________.3. 设α、β为n 维列向量，则n 阶矩阵T =A αβ的秩为()r =A ____________.二．选择题1. 关于方阵A 、B ，下列说法错误的是( ).(A) 方程组=Ax 0有非零解的充分必要条件是0=A ； (B) 若=A B ，则=A B ； (C) 若=AB E ，则A 可逆； (D) 若2-=A A E ，则-A E 可逆. 2. 设A 为n 阶方阵，2=A A ，则下列结论正确的是( ).(A) =A O ； (B) =A E ； (C) 若A 不可逆，则=A O ； (D) 若A 可逆，则=A E .3. 设矩阵111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，100010101⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Q ，则=PAQ ( ).(A) 212322231113121331333233a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭； (B) 121113222123321231113313a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (C) 212223111213312132223323a a a a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪+++⎝⎭； (D) 212221231112111331323133a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 4. 设A 是43⨯矩阵，且()2r =A 而102020103⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭B ，则AB 的秩为( ). (A) 0； (B) 1； (C) 2； (D) 3.三．计算题1. 求矩阵021112111-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭A 的逆矩阵.2. 设矩阵301110014⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵X 满足2=+AX A X ，求X .四．证明题1. 设A 为n 阶非奇异矩阵，证明：(1) 1n -*=A A ；(2) ()2 (2)n n *-*=≥A A A .2. 证明m n ⨯矩阵A 的秩()1r ≤A 的充分必要条件是存在矩阵()12,,,Tm b b b =B 和()12,,,n c c c =C ，使得=A BC .天津科技大学线性代数检测题§3.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. n 元线性方程组=Ax b 无解的充分必要条件是______________________.2. n 元线性方程组=Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是______________________.3. n 元齐次线性方程组=Ax 0仅有零解的充分必要条件是______________________.4. 若方程组12312112323120x x a x a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭无解，则a =_________.二．选择题1. 线性方程组 0420 0ax y z w x ay z w ax y z w +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩( ).(A) 无解； (B) 仅有零解； (C) 有无穷多组解； (D) 解的情况依a 的值而定. 2. 设线性方程组=Ax b 的增广矩阵为()=A A b ，若A 在初等行变换的过程中有一行变为()001，则该方程组（ ）.(A) 可能有唯一解； (B) 可能有无穷多组解； (C) 无解； (D) 解的情况不能确定.三．计算题1. 求解非齐次线性方程组1232312312330 202 2x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪-=⎪⎨--+=⎪⎪-+=⎩；2. 求解非齐次线性方程组132341234 4 82510 2x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎨⎪+-+=-⎩.3. 求解齐次线性方程组123123202470x x x x x x +-=⎧⎨++=⎩.4. 讨论λ满足什么条件时，方程组12312312300x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩只有零解.天津科技大学线性代数检测题§3.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 维列向量()1100T=ε，()2010T=ε，…，()001Tn =ε，则向量()12Tn a a a =α可由向量组12,,,n εεε线性表示为=α________________.二．选择题1. 向量b 可由矩阵A 的列向量组线性表示的充要条件是线性方程组=Ax b ( ). (A) 有解； (B) 有唯一解； (C) 有无穷多解； (D) 无解.2. 设α、β为n 维列向量，k 是常数，则下列说法不正确的是( ).(A) +=+ααββ； (B)()k k k +=+αβαβ； (C)T T =αββα； (D) T T =αββα.三．计算题下列各题中，向量β能否由向量组123,,ααα线性表示？若能表示，则写出其线性表示式. 1. ()675T=-β，()1111T=-α，()2101T=-α，()3132T=-α.2. ()0,4,2,5=β，()11,2,3,1=α，()22,3,1,2=α，()33,1,2,2=-α.天津科技大学线性代数检测题§3.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若矩阵A 的列向量组线性相关，则齐次线性方程组=Ax 0解的情况是___________.2. 设12,,,m ααα线性无关，则齐次线性方程组1122m m x x x +++=ααα0的通解为=x______________. 3. 设3阶矩阵()123=A ααα，且0≠A ，则向量组123, , 110101⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ααα线性______.4. 若向量组(1, 1, 2), (3, 2, 0), (1, 4, )λ-线性相关，则λ=________________.5. 设向量组12,αα线性无关，11=βα，212=+βαα，且1122k k +=0ββ，则12, k k 应满足____________________.二．选择题1. 关于向量组的线性相关性，下列说法正确的是（ ）. (A) 如果12,,,m ααα线性相关，则向量组中每一个向量都可以用其余1m -个向量线性表示；(B) 如果n 个n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零； (C) 如果12,,,m ααα线性相关，则存在一组全不为零的数12,,,m k k k ，使得1122m m k k k +++=ααα0；(D) 如果n 维向量12,,,m ααα线性无关，则必存在n 维向量β，使得12,,,,m αααβ线性无关.2. 下列向量组中，线性无关的是（ ）.(A) 104203, , 302401⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (B) 121, , 135-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (C)111011, , 00111a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (D) ()()(), , 1,0,1,22,0,2,41,1,1,1.三．计算题判断向量组()11,3,1,4=-α，()22,1,2,5=-α，()34,9,8,7=-α的线性相关性.四．证明题1. 设向量组123, , ααα线性无关，证明向量组123++ααα，1232++ααα，23+αα也线性无关.2. 设n 维列向量组12,,,s ααα线性无关，A 为n 阶可逆矩阵，证明向量组12,,,s A αA αA α也线性无关.天津科技大学线性代数检测题§3.4~3.5专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设列向量组12,,,m ααα的秩为3，矩阵()121m -=A ααα，则矩阵A 的秩()r A 为 ______________. 2. 设向量m α能由121,,,m -ααα线性表示，且表示法唯一，则向量组12,,,m ααα的秩为___________.3. 向量空间2323{(0,,,,)|,,,}n n x x x x x x ==∈V R x ，则dim()=V ___________.4. 设非零向量,αβ线性相关，向量空间{},λμλμ==+∈V R x αβ，则dim()=V ___________.二．选择题1. 设V 是向量空间，,∈V x y ，则（ ）. (A) {|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (B) {()|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (C) 2{|}k k =+∈W R x y 必构成V 的一个子空间； (D) 2{|}k k =∈W R x 必构成V 的一个子空间.三．计算题1. 求向量组1(1,1,2,4)=-α，2(0,3,1,2)=α，3(3,0,7,14)=α， 4(1,1,2,0)=-α，5(2,1,5,6)=α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.2. 求向量组1142⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，2124⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭α，3251⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，4452⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α，5544⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭α的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.3. 已知向量组1(1,1,1,3)T =α，2(1,3,5,1)T =--α，3(2,6,10,)T a =--α，4(4,1,6,10)T a =+α线性相关，求常数a .4. 判断向量组()11,3,5,1=-α，()22,1,3,4=--α，()35,1,1,7=-α，()43,3,1,1=--α的线性相关性，求它的秩和一个极大无关组，并把其余向量表示为该极大无关组的线性组合.天津科技大学线性代数检测题§3.6专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 元齐次线性方程组=Ax 0的解空间的维数是d ，则()r =A ___________.2. 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且()1r n =-A ，则齐次线性方程组=Ax 0的通解为___________________________________.3. 若三阶方阵A 的秩为2，, ξη是非齐次线性方程组=Ax b 的两个不同的解，则该方程组的通解为_________________________________.二．选择题1. 齐次线性方程组1323545 2 0 2 0 0x x x x x x x +=⎧⎪-+=⎨⎪+=⎩的基础解系是( ).(A) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT---； (B) ()()122,2,1,0,00,1,0,1,1TTk k +---； (C) ()(), 2,2,1,0,00,1,0,1,1TT-； (D) ()(), 2,2,0,0,00,1,0,1,0TT---.2. 设齐次线性方程组=Ax 0的解空间是零空间，则对应的非齐次线性方程组（ ）. (A) 无解或有唯一解； (B) 必有解； (C) 无解或有无穷多解； (D) 必有唯一解.三．计算题1. 求齐次线性方程组12341234123432 5 403 4 503514130x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎨⎪+-+=⎩的一个基础解系及通解.2. 应用线性方程组解的结构理论，求线性方程组12341234 24522454x x x x x x x x -++=⎧⎨-+--=-⎩的通解.3. 求非齐次线性方程组132******** 43 133x x x x x x x x x x x +=⎧⎪-+=-⎪⎨++=⎪⎪-++=-⎩的通解.四．证明题设12, αα是某个齐次线性方程组的基础解系，证明12+αα，122-αα也是该齐次线性方程组的基础解系.天津科技大学线性代数检测题§3.7专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设非零向量12,,,s ααα两两正交，则齐次线性方程组1122s s x x x +++=ααα0的解为=x __________.2. 设,αβ为两个n 维单位向量，则它们的夹角余弦cos θ=______________.3. n 维向量组12,,,n ααα为n R 的标准正交基的充分必要条件是对于,1,2,,i j n ∀=，有(),i j =αα_____________________.4. 设向量空间{(,0,)},a b a b ==∈V R x ，写出V 的一个标准正交基：____________________________.5. 设向量(2,5,4)-与向量(1,1,)t t -正交，则t =___________.二．选择题1. 设()12n =A ααα为n 阶正交矩阵，则 ( ).(A) 0 (,1,2,,)T i j i j s ==αα；(B) (,1,2,,)T j i i j s ==ααO ；(C) det()1=A ；(D) 1T -=A A .2. 设x 为n 维单位列向量，矩阵2T =-H E xx ，则下列说法错误的是（ ）. (A) 1-=H H ； (B) T =H H ； (C) 2=H H ； (D) 1T -=H H .3. 下列所给矩阵中为正交矩阵的是（ ）.(A) 111231112211132⎛⎫-⎪ ⎪⎪-⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭；(B) 100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；(C) 0211⎫-⎪⎪⎪⎪-⎭；(D)111011001-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.三．计算题1. 用Schmidt 正交化方法将向量组()10,1,1=α，()21,0,1=α，()31,1,0=α规范正交化.2. 设1210-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，2201⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭p ，用Schmidt 正交化方法求一个与12, p p 等价的标准正交向量组.3. 已知1T⎫=⎪⎭α，2T⎫=⎪⎭α，3T⎛= ⎝α，4T⎛= ⎝α是4R 的一组标准正交基，试将向量()1,2,3,4T =β表示为这组基的线性组合.天津科技大学线性代数第三章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设向量1(1,2,1)=-α，2(2,5,3)=α，3(1,3,4)=α，312(32)=+-βααα，则=β ____________.2. 设方程组=Ax β有解，12,,,n ααα为A 的列向量组，则向量组12,,,,n αααβ线性________.(填“相关”或“无关”，3、4题同)3. 设方程组=Ax β有唯一解，则A 的列向量组线性________.4. 设由m 个方程组成的方程组=Ax 0有非零解，12,,,n ααα为A 的列向量组，β为任意m 维向量，则向量组12,,,,n αααβ线性___________.5. 已知向量组(1,2,)c =α，(2,,1)c =β，(7,4,1)=-γ线性无关，则数c 的取值范围是_______________.二．选择题1. n 维向量组12,,,(3)s s n ≤≤ααα线性无关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中任何两个向量都线性无关；(B) 存在不全为零的s 个数12,,,s k k k ，使得1122s s k k k +++≠ααα0；(C) 12,,,s ααα中任何一个向量都不能用其余向量线性表示； (D) 12,,,s ααα中存在一个向量不能用其余向量线性表示.2. 向量组12,,,s ααα线性相关的充要条件是 ( ).(A) 12,,,s ααα中有一个零向量；(B) 12,,,s ααα中任意两个向量的分量对应成比例； (C) 12,,,s ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合； (D) 12,,,s ααα中任意一个向量都是其余向量的线性组合.3. 若向量组,,αβγ线性无关，向量组,,αβδ线性相关，则( ).(A) α必可由向量组,,βγδ线性表示； (B) β必不可由向量组,,αγδ线性表示； (C) δ必可由向量组,,αβγ线性表示； (D) δ必不可由向量组,,αβγ线性表示.三．计算题1. 求线性方程组12341234220220x x x x x x x x +++=⎧⎨++-=⎩的基础解系，并将该基础解系标准正交化.2. 设()11,2,1T=-α，()22,2,1T=α，()31,1,3T=-α，验证123,,ααα是3R 的一个基，并求向量(1,0,1)T =β关于这个基的表达式.四．证明题设η是非齐次线性方程组=Ax b 的一个解，12,,,n r -ξξξ是对应的齐次线性方程组的一个基础解系. 证明：12,,,,n r -ηξξξ线性无关.天津科技大学线性代数检测题§4.1专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 矩阵135022003-⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值为_____________. 2. 设n 阶方阵A 满足2=A E ，则A 的所有可能的特征值是______________.3. 设3阶矩阵A 的特征值为0、1、2，则矩阵2(2)-A E 的特征值为_______________.二．选择题1. 设A 为n 阶方阵，则 ( ).(A) A 的全部特征向量构成向量空间； (B) A 有n 个线性无关的特征向量；(C) A 的全部特征值的和为tr()A ； (D) A 的全部特征值的积为tr()A .2. 矩阵11113111b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值可能是（ ）. (A) 1，4，0； (B) 1，3，0； (C) 2，4，0； (D) 2，4，1-.三．计算题1. 求矩阵001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 的特征值与特征向量.2.求矩阵211020413-⎛⎫⎪= ⎪⎪-⎝⎭A的特征值和特征向量.3.设A是n阶方阵，111,,,242nλ=是A的n个特征值，求行列式13--A E的值.天津科技大学线性代数检测题§4.2专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设n 阶方阵A 有个特征值0，1，2，…，1n -，且方阵B 相似于A ，则=+E B _______. 2. 设方阵A 相似于数量矩阵k E ，则=A _______________.3. 对于n 阶矩阵A ，具有n 个不同的特征值是A 可以对角化的___________条件，具有n 个线性无关的特征向量是A 可以对角化的___________条件.4. 设矩阵11124233a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A 与20002000b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B 相似，则a =_______，b =_______.二．选择题1. 与矩阵1203⎛⎫= ⎪⎝⎭A 不相似的矩阵是（ ）. (A) 1023⎛⎫ ⎪⎝⎭； (B) 3501⎛⎫ ⎪⎝⎭； (C) 1133⎛⎫ ⎪⎝⎭； (D) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭. 2. 设A 、B 、C 为n 阶方阵，~A B ，~B C ，则A 、C 的关系不正确的是( ).(A) ~A C ； (B) →A C ； (C) =C A ； (D) =A C .三．证明题1. 设A 为3阶方阵，如果矩阵-E A 、3-E A 、+E A 均不可逆，证明A 可以对角化.2. 设A 、B 为方阵，A 可逆，证明~AB BA .四．计算题1.设121000000-⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.2.设3113-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求可逆矩阵P，使得1-P AP成为对角矩阵.天津科技大学线性代数检测题§4.3专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 设λ为n 阶实对称矩阵A 的k 重特征值，则()r λ-=E A __________.2. n 阶实对称矩阵的线性无关的特征向量的个数为_______________.3. 设A 为n 阶实对称矩阵，12, p p 分别是矩阵A 属于不同特征值12, λλ的特征向量，则内积12(, )=p p __________.二．选择题1. 设A 为n 阶实对称正交矩阵，且1为A 的2重特征值，则与A 相似的一个对角矩阵为（ ）.(A) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭； (B) 1100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； (C) 1111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭； (D) 条件不足，不能确定上述矩阵是否与A 相似.三．计算题1. 设矩阵1331⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 为对角矩阵.2.设1111-⎛⎫= ⎪-⎝⎭A，求矩阵2012()ϕ=A A.天津科技大学线性代数第四章自测题专业、班级_______________学号_______________姓名_______________一．填空题1. 若方阵A 有一个特征值是1，则=-E A ___________.2. 已知4阶矩阵~A B ，A 的特征值为2、3、4、5，E 为4阶单位矩阵，则=-B E ________.二．选择题1. 设2λ=是非奇异矩阵A 的一个特征值，则矩阵1213-⎛⎫ ⎪⎝⎭A 有一个特征值等于 ( ). (A) 43； (B) 34； (C) 12； (D) 14. 2. 设001010100⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B ，~A B ，则()r -=A E ( ).(A) 3； (B) 2； (C) 1； (D) 0.三．证明题1. 设x 、y 是矩阵A 属于不同特征值1λ、2λ的特征向量，证明a b +x y (a 、b 为常数，且0ab ≠)必不是A 的特征向量.2. 设A 是n 阶方阵，证明：(1) 若k =A O (k 是正整数)，则A 的特征值全为0；(2) 若k =A O (k 是正整数)，但≠A O ，则A 不能相似于对角矩阵.四．计算题1. 设矩阵2125312a b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭A 有一个特征向量111⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭η，求a 、b 和η对应的特征值λ.2. 设204060402⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求正交矩阵P ，使得1-P AP 成为对角矩阵.。
天津工业大学（2015—2016 学年第2学期） 《线性代数模拟试卷》(2016.6理学院)
一、填空，每空4分，共40分。 1、设BA,均为3阶方阵，*A为A的伴随矩阵，且2A，1 B，则行列式
*13)41(AA4
，34BA=16.
2、 设矩阵300023,00xAxxx若6A，则1A
解：1x，1101313022001A 3、 已知3维向量321,,,, 且行列式),,(321=2011,则行列式12132(,5,)mk= 。
答案：2011k 4、已知0232EAA ，则 1(2)______AE
答案： 4AE
5、 设三阶方阵42111112kkA，若3)(AR，则常数k12或，又设B是三阶可逆阵，则)(ABR2. 6、 已知12,(2,1,2),,1PQAPQ则2016_____A20152122424212 7、 已知3阶矩阵有特征值1,1,2，则2A的特征值为 ，EAAA*12212 .
解：1,1,4 ，135 8、 设矩阵18121321841812132baA为正交矩阵，则a ，b . 答案：0,3/1ba 9、当A 时，111213113112321333212223212223313233313233333aaaaaaaaaAaaaaaaaaaaaa
答案： 103010001A 10、设rvvv,,,21是0Ax的基础解系，为0Ax的一个解向量，则()RA ，向量组 12,,,,rvvv必线性 ；
2016年下半年线性代数第一次作业（涉及一、二章内容）一、选择题1. 设A 、B 均为n 阶矩阵，满足O AB =，则必有（ D ）A .0=+B AB .））B r A r ((=C .O A =或O B =D .0=A 或0=B2.若A 为n 阶可逆方阵，且 |A|＝a ，则 1||kA - ＝（ C ） A 、1k a -； B 、1n k a -； C 、n ka -； D 、1k a -+3. 3756412的逆序数是B . A.14 B.15 C.16 D.134. 若矩阵A 有可逆矩阵，则下列说法不正确的是（ B ）A 、矩阵A 必是方阵B 、0=AC 、AA A*1=- ,其中*A 为A 的伴随矩阵 D 、矩阵A 经过初等变换一定能化为单位矩阵5. 若122211211=a a a a ，则=16030322211211a a a a A A.3 B.9 C.-3 D.-9 二、填空题1. 如果行列式2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=---------333231232221131211222222222a a a a a a a a a -16。
2、1则,且有,4012,1102-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A E ACB C B =。
3、向量组1a ＝（－1，－1，1），2a ＝（2，1，0），3a =(1，0，1)的秩是2 .4、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02013210021021。
5. 设A 为n 阶矩阵满足23n A A I O ++=，n I 为n 阶单位矩阵,则1A -=（）三、简答题⎪⎪⎭⎫⎝⎛5824⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211071、设2326219321862131-=D ，则=+++42322212A A A A ？ 解：=+++42322212A A A A 0；2、计算行列式941321111的值。
《线性代数与空间解析几何》期末考试试卷A 答案一、填空题（6小题，每空3分，共18分）1.设向量（1，-3，5）与向量（-2，6，a ）线性相关，则a= -10 .2. 在算式()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321333231232221131211321x x x a a a a a a a a a x x x 中，21x x 的系数为2112a a +. 3.过点M(4,-1,3)且平行于直线x-3y 1=215z -=的直线方程为 4+13=215x y z --=. 4. 设三阶矩阵A 的特征值为1，-1，3，若224B A A E =-+，求B 的特征值为 5,7,7 .5. 已知二次型yz z xz y xy x z y x f 4244),,(222+++++=，则二次型对应的矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121242121.6. 向量空间V=},,,|)0,,,,({121121R x x x x x x n T n ∈=-- α的维数为 n-1 。
二、单项选择题（5小题，每小题3分，共15分）7. 转置也是一种运算，下列不是转置运算律的为（D ）(A ) (A T )T ＝A ； (B ) (A+B )T ＝A T +B T ；(C ) (λA )T ＝λA T ； (D ) (AB )T ＝A T B T .8. 已知A 、B 是同阶矩阵，下列运算正确的是 ------------ ( B ）;2)()(222B AB A B A A +-=- ;)()(T T A B B A B +=+T;)()(T T B A AB C =T .)()(111---=B A AB D9. 4阶行列式4433221100000000a b a b b a b a 的值等于---------------- （ D ） (A ) 43214321b b b b a a a a -； (B ) 43214321b b b b a a a a + ；(C ) ))((43432121b b a a b b a a --； (D ) ))((41413232b b a a b b a a --.10. 设矩阵A 的秩为r ，则下列结论正确的是（ C ）。
