2015线性代数辅导讲义 答疑整理【日期更新至5.26】

2015考研数学强化班线性代数讲义第一讲 行列式一、理论强化1．行列式的定义 2n 个数),,2,1,(n j i a j i =排成n 行n 列的方形表)(det )1(212121,,212222111211ij j n j j j j j nnn n n n a D A A a a a a a a a a a a a a nn∆====-=∑τ称为一个n 阶行列式，n 阶行列式是一个数，它等于所有来自不同行，不同列的n 个元素的乘积1211,,,n j j n j a a a ⋅⋅的代数和．其中12,,n j j j 是1,2,n 的一个排列．1=n 时，1111a a =为一阶行列式．2．行列式的性质（1）行列式转置后，其值不变，TD D =（表示行列地位平等）；（2）行列式某行（列）的元素的公因子k ，可以提到行列式符号外；（3）行列式具有分行（列）相加性；例：fe dbf e c af e d c b a +=++； （4）行列式中有两行（列）元素成比例时，其值为0； （5）互换行列式两行（列），行列式变号；（6）把某行（列）的k 倍加到另一行（列）后，行列式值不变． 3．行列式的余子式、代数余子式把j i a 所在的i 行，j 列划去余下来的1-n 阶行列式称为D 的元素j i a 的余子式记为j i M ； 称(1)i j i j i j A M +=-为D 的元素j i a 的代数余子式．*4．行列式展开定理定理1．行列式等于它的任意一行（列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和：),,2,1(),,2,1(11n j A a n i A a D j i ni j i j i n j j i ====∑∑==．定理2．1,,0,,nk j i j j D k i a A k i ==⎧=⎨≠⎩∑ 10,,,.ni k ij i k j a A D k j =≠⎧=⎨=⎩∑5．方阵的行列式 设A 、B 为n 阶方阵，则①11--=AA ； ②Ak kA n =； ③1-*=n AA ；④B A BA AB ==； ⑤ ||||||A B A B +≠+．二、常用结论1．上（下）三角形行列式n n a a a 0*2211＝n n a a a 2211 ，nn a a a *2211＝n n a a a 2211．2． 副对角行列式11(1)2(1)2(1)212(1)3(2)111*(1)0*nnn n n n n n n n n n a a a a a a a a a a -----==-．3．范德蒙行列式)(1111111312112232221321j i j i n n nn n n nnn x x x x x x x x x x x x x x D -∏==≥>≥----． 4．分块行列式①B A BCA B C A ==00 ；② 0(1)0m m m mm n n n n nA CA AB BC B ⨯⨯⨯⨯==-； ③ A BAD BC C D≠-．三、题型强化1．具体行列式的计算 方法一：三角形法（基础题）求4124120233200112D =．（答案：50）． 1234123412341234a x a a a a a x a a D a a a x a a a a a x--=--例：求 a b b b ba b b D bb a b bbba=例：求011211111(0)1n i na a D a a a +=≠．例：求1243411112222(0)33334444i a a D a a a ++=≠++．方法二：展开法-3-2-4-2-2=0-4-2-3λλλ求方程的根方法三：递推法：例：求2100012100200012n D =．方法四：利用范德蒙行列式例：222ab cD a b c b c c a a b=+++222323111122223333n n n nD nn n n =方法五：拆项法例： 已知232311111111124812480. 104150351211x x x x x x x ----+==则 ．方法六：分块法例：设212322212223() 333245354435743x x x x x x x x f x x x x x x x x x --------=-------，则()f x 的根的个数为（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 :题型2．抽象行列式（方阵行列式）的计算 （基础题）设A 是三阶方阵，21=A ，求*--A A 2)3(1． （答案：16/27)- ()()123123122313,,=,,1,=+++A B B αααααααααααα==例：设是三维列向量，记A 且若，，，则例：设,A B 是n 阶方阵，2,A =3,B =1,A B -= 求11A B ---．例：（04-1，2）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100021012A ，矩阵B 满足E A B A B A +=**2 ，则_____B =．3．有关余子式的计算方法：利用行列式展开定理3132331234511122=321462221143150D A A A ++，求30402222=07005322D --，求第四行个元素代数余子式之和第二讲 矩阵§1、矩阵及其运算一、理论强化1 矩阵的概念 ()m n ij m n A a ⨯⨯= （是一个数表）．2 矩阵的运算（1）线性运算 (+),();ij ij m n ij m n A B a b A ka ⨯⨯+=⎧⎪⎨=⎪⎩加法数乘 k（2）乘法运算 m n m s s n C A B ⨯⨯⨯= (条件：左矩阵列数=右矩阵行数)； 运算性质：（i ）BA AB ≠ 00=⇒/=A AB 或0=B ；（ii ）AC AB C B A +=+)(，CA BA A C B +=+)(；（3）方阵的幂 mA AA A = 满足 ()m n mn A A =，但()m m m AB A B ≠；（4） 转置 设 (),ij m n A a ⨯= 则()T ji n m A a ⨯=．运算性质：（i ）()T T A A =； （ⅱ）()T T kA kA = ；（ⅲ）()T T T A B A B +=+；（ⅳ）()T T T AB B A =．*⑸ 伴随阵 *A(ⅰ)定义 设(),ij n n A a ⨯= 则1121112222*12()n n ji n nnnnn n nA A A A A A A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭为A 的伴随阵． （ⅱ）基本公式 **||A A AA A E ==． *⑹ 可逆阵（非奇异阵）(ⅰ)定义 对于n 阶方阵A ,若存在n 阶方阵B ,使AB BA E ==,则称A 可逆，B 为A 的逆阵，记1A B -=．注 1A -唯一，且11AA A A E --==． (ⅱ) A 可逆的充要条件n 阶方阵A 可逆⇔||0A ≠⇔存在n 阶方阵B 使得AB E =或BA E =⇔()R A n =⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔方程组Ax =0只有零解⇔12s A PP P =（其中i P 为初等方阵）； （ⅲ）逆阵公式 1*1||AA A -=； （ⅳ）性质 ① 11()A A --=； ② 111() (0)kA A k k--=≠； ③11()()T T A A --=； ④ 111()AB B A ---= ； ⑤111()A B A B ---+≠+．3. 分块矩阵（1）概念 将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵，每个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．如123422440002100001000010A A A A A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭例： 100001000010001000121000131110100214010010121A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪==-- ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，则AB= （2）运算性质分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似，但要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与的子块也能运算，即内外都能运算．（3）常用的分块（ⅰ）列分块 ()121,,,m n n n A ⨯⨯=ααα，i α——1⨯n ．（ⅱ）行分块 121m nm m A ⨯⨯⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭βββ，i β——1n ⨯． （ⅲ）A =0x 的分块12121122()n n n n x xA x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪=⇔⇔++= ⎪ ⎪⎝⎭000ααααααx ．（ⅳ）O AB =的分块1212(,,)(0,0,0)(,,)(0,0,0)n n AB A A A A =⇔=⇔=0ββββββ0 (1,2,)i A i n ⇔==β．结论：若O AB =，则B 的列向量i β是方程组A =0x 的解．（V ）分块对角阵 1s A A ⎛⎫ ⎪Λ= ⎪ ⎪⎝⎭．二、常用结论1. 设,αβ为n 维列向量，T A =αβ,则1()n T n A A -=βα．2．① *1||A A A -=； ② ()kA *=1n k-*A ； ③ 1*()A -=*1()A - ；④ ***()AB B A =． 3. 1110000A A B B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1110000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4．1122n n n A A A A ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、题型强化1．求nA ．方法：数学归纳法、拆项法、分块法、利用常用结论1、相似对角化法1013101-120100302-24001002-11-2A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例：()222,,,0n A B B A B A B AB BA ==-=+==阶矩阵满足A 证明：2. 逆阵的计算或证明（具体矩阵、抽象矩阵） 方法一：公式法例：123045002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1()A *-=__________方法二：初等变换法求具体矩阵的逆例：223110121A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1A -例：()1240A A E A E -+-=-若，求例：设T A E =+αβ，其中,αβ是n 维列向量，且2T =αβ，证明：A 是可逆阵，并求1A -．例：设,A B 是n 阶矩阵，E AB -可逆，证明E BA -可逆．例：设0,i a ≠1,2,...i n =，12100000000000n na a A a a -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，求 1A -．*题型3. 解矩阵方程（基础题）设矩阵301110014A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且2AX A X =+，求矩阵X ．（答案：522432223--⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭）例：设矩阵111111111A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，且*11(2)()84A X A X -=+，求矩阵X ．§2、初等变换与矩阵的秩一、理论强化1．初等变换 初等行变换 (i j r r ↔ ， i r k ⨯ (0),k ≠ )i j r ki + 初等列变换 (i j c c ↔ ， i c k ⨯ (0),k ≠ )i j c kc +*2．初等方阵 （1）．定义： 由单位阵经过一次初等变换而得到的矩阵．如： 13312(2)11021010(1,3(2))1001r r c c E E ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)．共三种①11(,) 101E i j ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ （对应 i j r r ↔或i j c c ↔）； ②1(())1E i k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i r k ⨯或 (0)i c k k ⨯≠）； ③11(,())11k E i j k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（对应 i j r kr +或（)j ic kc +）． (3)．性质① 1(,)(,)E i j E i j -=； 11(())(()k E i k E i -=； 1(,())(,())E i j k E i j k -=- 如11102102(1,3(2))010010(1,3(2))001001E E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②初等方阵与初等变换的关系1A B PA B −−−−→⇔=一次行变换，其中1P为相应的初等方阵， A B −−−−→一次列变换A ⇔1Q =B ， 其中1Q 为相应的初等方阵， 如 12110201201110(1,2)123123r r A B E A B ↔⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−−−→=⇔= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． *3．矩阵等价⑴ 概念：若A B −−−−−→有限次初等变换，称A 与B 等价，记A B ． ⑵性质 ①,m n m n A B A B ⨯⨯⇔同型且()()R A R B =⇔∃可逆阵,m n P Q 使m n P AQ B =．②000rE A ⎛⎫⎪⎝⎭，其中()r R A =． *4．矩阵的秩(1)．概念()R A r =⇔至少有一个r 阶子式 0r D ≠ (())R A r ≥，所有1r + 阶子式 1=0r D +(())R A r ≤．如 123401252468A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 110D ∃=≠,()1R A ≥,212=001D ∃≠（()2R A ≥），所有30D =（()2R A ≤）， ()2R A ∴=．(2)．性质 若B A ~，则()()R A R B =．二、常用结论1．00,()10;A R A A =⇔=⎧=⎨≥⇔≠⎩2．设()ij m n A a ⨯=，则()()()min{,}(0)T R A R A R kA m n k ==≤≠； 3．设A 为n 阶矩阵，则||0,()||0;n A R A n A =⇔≠⎧=⎨<⇔=⎩4．()min{(),()}R AB R A R B ≤； 5．()()()R A B R A R B +≤+；6．设0m n n s A B ⨯⨯=，则()()R A R B n +≤；7．(),()1()1,0()1;n R A n R A R A n R A n *⇔=⎧⎪=⇔=-⎨⎪⇔<-⎩8．设,P Q 为可逆阵，则()()()()R A R PA R AQ R PAQ ===．三、题型强化4．初等变换与初等矩阵的关系与应用 例：（2011-1,2,3）设A 是3阶方阵，将A 的第2行加到第1行得矩阵B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C ，记110010001P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则（）. （A ）1C P AP -= （B ）1C PAP -= （C ）T C P AP = （D ）TC PAP =．5．求矩阵的秩方法：基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。

线性代数知识点总结第一章 行列式二三阶行列式N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和n nn nj j j j j j j j j nij a a a a ...)1(21212121)..(∑-=τ（奇偶）排列、逆序数、对换行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。

（转置行列式TD D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。

推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。

③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。

推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。

④行列式具有分行（列）可加性⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1(定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。

克莱姆法则：非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j DD x j j ⋯⋯==、齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式：①转置行列式：332313322212312111333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a =③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零④三线性行列式:333122211312110a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。

化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式:行列式运算常用方法（主要）行列式定义法（二三阶或零元素多的） 化零法（比例）化三角形行列式法、降阶法、升阶法、归纳法、第二章 矩阵n （零矩阵、负矩阵、行矩阵、列矩阵、n 阶方阵、相等矩阵) ---------交换、结合律 数乘n m ij ka kA *)(=---------分配、结合律乘法nm lkj ik n l kj l m ik b a b a B A *1**)()(*)(*∑==注意什么时候有意义一般AB=BA ，不满足消去律；由AB=0，不能得A=0或B=0 转置A A T T =)( TT T B A B A +=+)( T T kA kA =)( TT T A B AB =)((反序定理) 方幂：2121k k k kA AA +=2121)(k k k k A A +=对角矩阵：若AB 都是N 阶对角阵，k 是数，则kA 、A+B 、 数量矩阵：相当于一个数（若……）单位矩阵、上（下）三角形矩阵（若……） 对称矩阵 反对称矩阵阶梯型矩阵：每一非零行左数第一个非零元素所在列的下方 注：把分出来的小块矩阵看成是元素N 阶方阵，若存在N 阶矩阵B 的AB=BA=I 则称A 是可逆的，|A|=0、伴随矩阵)2.、非零k 乘某一行（列）3、将某行（列）的K 初等变换不改变矩阵的可逆性 初等矩阵都可逆倍乘阵 倍加阵） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O OO I D rr矩阵的秩r(A)：满秩矩阵 降秩矩阵 若A 可逆，则满秩 若A 是非奇异矩阵，则r （AB ）=r （B ） 初等变换不改变矩阵的秩求法：1定义2转化为标准式或阶梯形矩阵与行列式的联系与区别：都是数表；行列式行数列数一样，矩阵不一样；行列式最终是一个数，只要值相等，就相等，矩阵是一个数表，对应元素相等才相等；矩阵n ij n ij a k ka )()(=，行列式nij n n ij a k ka =逆矩阵注：①AB=BA=I 则A 与B 一定是方阵 ②BA=AB=I 则A 与B 一定互逆； ③不是所有的方阵都存在逆矩阵；④若A 可逆，则其逆矩阵是唯一的。

第一章 行列式一．行列式的定义和性质1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义例1行列式0111101111011110------第二行第一列元素的代数余子式21A =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2测试点 余子式和代数余子式的概念解析 0111101111011110------,212121111111(1)1010121110001A M +--=-=--=--=---答案 B2．行列式按一行或一列展开的公式 1）11,1,2,;(,1,2,)nnijij ij ijij ij nni j A a a A j n A a a A i n ========∑∑2）11 ;00nn ij ik ij kj i j k j k i A Aa A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .测试点 行列式按行(列)展开的定理 解 212223212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-34310=---=-例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点 行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.解 因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+=所以1x =-3．行列式的性质1）.TA A =2）用数k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的k 倍.推论 3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数. 推论 4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为0. 5）行列式可以按任一行（列）拆开.6）行列式的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等.例4 已知1112132122233132333a a a a a a a a a =，那么111213212223313233222222a a a a a a a a a =---（ ） A.24- B.12- C.6-D. 12测试点 行列式的性质解析 1112131112132122232122233132333132332222(2)12.222a a a a a a a a a a a a a a a a a a =⨯-=---- 答案 B 例5设行列式2211b a b a =1，2211c a c a =2，则222111c b a c b a ++=（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．3测试点 行列式的性质 解111111122222223a b c a b a c a b c a b a c +=+=+故应选 D 答案 D二．行列式的计算1．二阶行列式和三角形行列式的计算.2.对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算.3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开.4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型. 5.范德蒙行列式的计算公式 例6求4阶行列式1111112113114111的值. 测试点 行列式的计算解111411140231131002302103(3)6121101031000311110003--==-=-=---例7计算3阶行列式 .767367949249323123解 (1)(1)(2)(2)(1)(3)1232331002331002032494992004992004090.367677300677300607+-+-=== 例8 计算行列式：x a a a a x a aa a x a a a a x测试点 各行元素之和为常数的行列式的计算技巧.解 33300030003000x a a a x a a a a x a aa a a x a a x a x a a x a D a a x a x a a x a x a a a a x x a a a x x a+++-====+-+-3(3)().x a x a =+-例9计算行列式0000000000 000000n a b a b a D a b b a=测试点 行列式中有一行只有两个元素不为零的行列式的计算和三角形行列式的计算例10计算行列式60001002005006000D =解 36(1)(6)(2)(5)(3)(4)0001100000200200(1)6!0500005060000006D ↔↔↔==-=- 例11设2311248()13927141664x x x D x =问（1）()D x 中，3x 项的系数＝？（2）方程()0D x =有几个根？试写出所有的根。

2015考研数学线性代数基础讲义第一章 行列式一．基本内容1．排列与逆序定义 ：由 n 个自然数1, 2,3,..., n 组成的无重复有序实数组 称为一个 n 级排列。

定义 ：在一个 n 级排列中，如果一个较大数排在一个较小数前面，我们就称这两个数构成一个逆序。

对于逆序，我们感兴趣的是一个 n 级排列中逆序的总数，称为 n 级排列的逆序数，记作。

2. 行列式的定义个数 （ ）排成的行列的方形表称为一个n 阶行列式。

它表示所有取自不同行不同列的个元素乘积的代数和。

3.行列式的性质（1）转置不改变行列式的值（2）行列式某行（列）元素的公因子可以提到行列式之外（3）行列式的分行（列）可加性（4）行列式两行（列）元素成比例，则行列式值为0（5）互换行列式的某两行（列）行列式的值改变符号（6）行列式某行（列）的倍加到另外一行（列），行列式值不变4.行列式的余子式、代数余子式划去元素 所在的行、列，剩下的元素按照原来的顺序排成的n-1阶行列式称为 的余子式，记为 ，称 为 的代数余子式。

5.行列式的展开（1）展开定理（2）行列式某一行（列）每个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积的和等于0 。

二.基本结论（1）（2）12,,n i i i 12,,n i i i ()12,,n i i i τ2n ij a ,1,2,,i j n =⋅⋅⋅1212121112121222(,,,)12,,,12(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∑ij a ij a ij M (1)i j ij ij A M +=-ij a 1122i i i i in in D a A a A a A =++1,2,,i n =1122j j j j nj nj a A a A a A =++1,2,,j n =11220k i k i kn in a A a A a A ++=k i≠11220k i k i nk ni a A a A a A ++=k i ≠1122nn a a a =11112222******nn nn a a a a a a ==1112(1)2(1)2(1)111******n n n n n n n n n a a a a a a a a a ---===三. 基本题型与基本方法题型1：行列式的计算：行列式基本方法：利用性质及展开具体方法：方法一 ：三角法（利用性质将行列式化为三角型行列式）例方法二：降阶法（利用展开降阶）例第二章 矩阵第一节 矩阵及其运算一. 基本内容1．矩阵概念1）定义2）特殊矩阵：（1）零矩阵：（2）阶方阵：（3）行矩阵（向量）、列矩阵（向量）：（4）对角矩阵、单位矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵：（5）对称矩阵、反对称矩阵：2．矩阵的运算1）线性运算：加法与数乘2）乘法：（1）乘法法则：（2）运算律：3）方阵的运算（1）方阵的幂及其运算律：（2）方阵的行列式4）转置：性质5）伴随矩阵性质：二、基本结论1．伴随矩阵的相关结论2．分块矩阵的逆 4124120233200112D =0111111n n a a D a +=12344000000a x a a a x x D x x x x +-=--()111212122212n n ij m n m m mn a a a a a a A a a a a ⨯⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪== ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭第二节 可逆矩阵一、基本内容1．可逆的定义：2．阶矩阵可逆的充要条件：3．性质：二、基本题型与基本方法题型1：逆矩阵的计算与证明（具体矩阵、抽象矩阵）方法一：公式法求逆方法二：初等变换求逆：方法：例方法四：利用定义，求（证明）逆矩（抽象矩阵的情形中常见）例：n 阶矩阵满足 求第三节 矩阵的初等变换与秩一、基本内容1．初等变换的定义：2．初等矩阵（1）定义：由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵（2）三种初等矩阵：（3）性质：初等矩阵都是可逆的，其逆仍是初等矩阵3．初等变换的本质（初等变换与初等矩阵的关系）4．矩阵等价1）定义：2）性质：5．矩阵的秩（1）定义：（2）性质：初等变换不改变矩阵的秩二、基本题型与基本方法题型：求矩阵的秩基本方法：初等变换法对矩阵作初等行变换，化为阶梯形，阶梯形中非零行的个数即为矩阵的秩。

2015年考研数学线性代数第一章和第二章复习方法指导在考试大纲中，数一、数二、数三对线性代数的要求基本相同，只有数一的要求多了解向量空间的相关知识。

在历年考题中，数一、数二、数三的线性代数的题目基本相同，所以同学们在复习线性代数时它的要求是相同的，复习难度也是相同的。

线性代数的题型是非常固定的，尤其是解答题。

其中一道解答题考查的是向量或者线性方程组，另外一道解答题是矩阵的特征值、特征向量或者二次型。

所以同学们在复习线性代数时，一定要花大量时间来复习这些内容。

今天我先来介绍第一章行列式和第二章矩阵的复习方法.第一章行列式是整个线性代数的基础。

复习行列式时，同学们主要掌握行列式的性质和展开定理，会熟练计算行列式。

对于行列式的定义，考试大纲要求了解，但是在考试中没有考查过它的定义，所以同学们了解定义即可。

有的同学说，我看不明白，那可以不看。

计算行列式是，主要是掌握行列式的性质和展开定理.对于行列式的性质，同学们要熟练利用，它的证明同学们不用看。

在复习展开定理时，要掌握定理本身和它的推论，同时要区分余子式和代数余子式。

关于代数余子式，在伴随矩阵中还会涉及。

考题中涉及到代数余子式，考虑展开定理或者伴随矩阵。

行列式的计算分为数值型行列式的计算和抽象型行列式的计算。

数值型行列式主要考查四种类型的行列式：行和（或者列和）相等的行列式，三对角行列式，两对角线一边的行列式，爪型行列式。

其中行和（或者列和）相等的行列式考试频率最高。

计算数值型行列式，同学们不但要会，而且要熟练掌握它们相应的方法。

数值型行列式的计算主要是结合线性方程组、矩阵的特征值来考查。

例如2012年在解答题第（I ）问中直接计算四阶行列式，第（II ）问考查线性方程组。

2014年以选择题的形式考查了四阶行列式的计算。

抽象型行列式的计算涉及的知识点较多，经常结合矩阵的性质、特征值、相似等等考查，所以需要同学们随着学习的不断深入要不断总结。

抽象型行列式的计算主要是以客观题的形式来考查，在2010年，2012年，2013年都以客观题的形式考查。

线性代数练习题（答案）一、填空题：1. 五阶行列式中，项a 21 a 32 a 53 a 15a 44 的符号为 负 。

2. 行列式某两行（列）元对应成比例，则行列式的值 0 。

3. 已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=162131A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则AB 等于 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--42146 . 4. 若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t A 31322013,且秩(A)=2,则t = 6 .5. 已知方阵A 满足02=++cE bA aA (c b a ,,为常数0≠c ),则=-1A c bE aA )(+6.4阶行列式4713482475010532--中（3，2）元素的代数余子式A 32是 -223 . 7.向量组（Ⅰ）α1 , α 2 ,…, αr 与向量组（Ⅱ）β1，β2，…, βs 等价，且组（Ⅰ）线性无关，则r 与s 的大小关系为 s r ≤ .8. 设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡500030201，A *为A 的伴随矩阵，则| A *|= 225 .9. 排列4 6 7 1 5 2 3的逆序数是 13 .10.四阶行列式44434241343332312423222114131211a a a a a a a a a a a a a a a a D =是 24 项的代数和，其中含11a 的项共 6项。

11. 任意一个数域都包含 有理 数域.12. 设λ1, λ 2 ,…, λn 是矩阵A 的n 个特征值，则λ1 λ2…λn= | A| 。

13. 设矩阵A =100220340⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，那么矩阵A 的列向量组的秩为 2 .14．设向量α=（1，2，3，4），则α的单位化向量为 30)4,3,2,1( .15．设A ，B 均为三阶方阵，且｜A ｜= -3，｜B ｜=6，则｜AB ｜= 18 ． 16. 设)0,1,1(),1,1,0(),1,0,1(321===βββ是3F 的一个基,则3F 的自然基321,,εεε到321,,βββ的过渡矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛011110101 .16. 在欧氏空间4R 中，()1,0,0,1=α，()0,1,0,1=β，则α与β的夹角等于3π. 17．已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=710321A ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4113095B ,则A-2B 等于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---12163209 . 18. 与矩阵101032120-⎛⎫⎪=- ⎪⎪-⎝⎭A 对应的二次型是x x x x x x x x x f 32312221321423),,(-++-= ．19. 二次型f(x 1,x 2,x 3)=323121232221x x 4x x x x 4x 3x 2x +--+-的对称矩阵为___⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---322220201_____ . 20. 若二次型f(x 1,x 2,x 3, x 4)的正惯性指数为3，符号差为2，则f(x 1,x 2,x 3 ,x 4)的规范型为yy y y 24232221-++二、单项选择题：1. 设2阶方阵A 可逆，且A=⎪⎭⎫ ⎝⎛--2173，则A -1=（ A ）。

第二篇 线性代数第一讲 行列式考纲要求1.了解行列式的定义，掌握行列式的性质.2.会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式. 问题1 何谓行列式？行列式在线性代数中有哪些应用？答 行列式是方阵的元素按一定规则运算得到的一个数，它在线性代数中有广泛应用： 设A 为阶方阵，则下列命题等价： n ⑴0A ≠（A 非奇异）； ⑵A 可逆；⑶存在方阵B ，使得AB E =； ⑷（()r A n =A 满秩）；⑸A 的特征值全不为零；⑹A 的行（列）向量组线性无关； ⑺只有零解； 0Ax =⑻有惟一解. Ax b =问题2 何谓余子式、代数余子式？答 余子式、代数余子式的定义见教材，由定义知，代数余子式ij A 与第i 行、第j 列的元素的取值无关.例设4521011130112101−−=D ，求41424344A A A A +++；41424344.M M M M +++【】 1;5−−问题3 行列式有哪些性质？ 答 行列式的性质有⑴行列互换，行列式不变； ⑵两行互换，行列式反号； ⑶一行的公因子可以提出来； ⑷两行成比例，行列式为零；⑸行列式可以按一行拆分为两个行列式之和；⑹一行的倍数加到另一行，行列式不变. 注 行列式对行成立的性质，对列也成立. 问题4 写出行列式按行（列）展开公式.答 1122i i i i in in A a A a A a A =+++L （按第i 行展开）1122j j j j nj nj A a A a A a A =+++L （按第j 列展开）▲一行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零，即11220()i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠L问题5 如何计算数字、字母型行列式？ 答 数字、字母型行列式的计算方法有 ⑴化三角形法； ⑵展开降阶法； ⑶展开递推法； ⑷归纳法；⑸公式法.常用公式有公式1 上（下）三角形行列式112212************n n na a a a a a a a a ==L OO . 公式2 关于副对角线的上（下）三角形行列式11(1)22212******(1)******n n n n na a a a a a a a a −==−L N N . 公式3 范德蒙德行列式12111112111()ni j j i nn n n nx x x x x x x x ≤<≤−−−=−ΠL LM MM L . 计算行列式时，根据行列式的特点（例如行和相等、爪形、可化为爪形、三对角等），采用适当的变形方法，可以简化运算.常用变形方法⑴把某一行（列）的倍数加到其余各行（列）； ⑵把每行（列）的倍数加到某一行（列）；⑶逐行（列）相加. 例1.设方阵，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=3241223k kA 0A E λ−=，求λ的值.【1231,1λλλ==−=】 2.求方程0347534453542333322212223212=−−−−−−−−−−−−−−−x x x x x x x x x x x x x x x x 的根.【0,1x x ==】3.设63121024221421)(++−−=x x xx xxx f ，证明0)(=′x f 有小于1的正根.【用罗尔定理】4.计算1111111111111111−−+−−−+−−−=x x x x D 【】 4x 解 【行和相等，首先将第2、3、4列加到第1列】12341111111111111111111111111c c c c 111x xx x x x D x x x x x +++−−−−−+−−+−==−−−−+−−−−213141411111*********111110011111000c c c cc c x x x x x xx x x +−+−−−+−==−−−−=.5.计算432101001001111a a a a D =，其中0432≠a a a .【)111(4321432a a a a a a a −−−】 【爪形行列式，将第2、3、4列的适当倍数加到第1列，化为上三角】6.计算43214321432143214321++++=a a a a a a a a a a a a a a a a D 【32414!(1)234a a aa ++++】【特点：除对角元素外，各列元素相同，只要将第2、3、4行减去第1行，就化为爪形】7.计算a a a a a a a a a D −−−−−−−−−=110001100011000110001【三对角行列式，展开、递推，】 23451a a a a a −+−+−8.计算22221111000000c d a b d c b a D =【特点：多零，按第一行展开， 】12121212()(a a b b c c d d −−)9. 计算12564271625169454321111=D【利用行列式性质和范德蒙德行列式，】4−10.计算ab b b a bb b a D n L M M M L L =【特点：各行元素之和相等，各列加到第一列，1[(1)]()n a n b a b −+−−】问题6 如何计算抽象行列式？答 计算抽象行列式，除了掌握行列式的性质，还必须熟记关于矩阵行列式的结论： ⑴若A 为n 阶矩阵，则nkA kA =.⑵若A 为n 阶矩阵，则TAA =，1*n A A−=.⑶若A 为n 阶可逆矩阵，则11A A −−=.⑷若A ，B 为阶矩阵，则n AB A B =⋅.⑸若A 为n 阶矩阵，(1,2,,i i )n A 的特征值，则12n A λλλ=L .=λL 是⑹设A ，B 分别为阶，阶矩阵，则m n A C A O A B O B C B ==⋅，(1)mn C A O AA B B O B C==−⋅.例1.设γβααα,,,,321都是4维列向量，且a =βααα,,,321，b =+123,,,αααγβ，=321,,,2αααγ .【2()a b −】2.设123,,2ααα=，则112123,2,23αααααα+++= .【12】3.设A 为3阶方阵，且2=A ，则=−−*1)2(A A . 【2716−】 4.设，矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100021012A B 满足E BA ABA +=**2，则B = .【19B =】5.设A 为3阶方阵，且E A E A E A +−−2,2,均不可逆，则=A .【】 1−6.设A ,B ,C 都是行列式为2的3阶方阵，求CB A O1)32(−−.【278】第二讲 矩阵及其运算考纲要求1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质.2.掌握矩阵的线性运算、乘法、转置以及它们的运算规律，了解方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.3.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵.4.理解矩阵初等变换的概念，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法.5.了解分块矩阵及其运算. 问题1 关于矩阵的运算. 答 相关内容有：1.矩阵的概念（零矩阵、单位矩阵、数量矩阵、三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵）2.矩阵的运算（加法、数乘、乘法、方阵的幂、转置）3.矩阵的运算律矩阵的加法和数乘满足下列运算律：设A ，B ，C 是同型矩阵，λ，μ是数，则 ⑴A B B A +=+；⑵()()A B C A B C ++=++； ⑶()()A A λμλμ=； ⑷()A A A λμλμ+=+； ⑸()A B A B λλλ+=+. 矩阵的乘法满足如下运算律：设A ，B ，C 都是矩阵，λ是数，且下列运算都是可行的，则 ⑴()()AB C A BC =；（结合律） ⑵()A B C AB AC +=+；（左分配律） ⑶()B C A BA CA +=+；（右分配律） ⑷()()()A B A B AB λλλ==；（结合律） ⑸AE EA A ==.（单位矩阵的性质） 方阵的幂满足klk lA A A+=，()，但不满足.k l kl A A =()k k AB A B =k矩阵的转置满足下列运算律：假设下面的矩阵运算是可行的，则 ⑴；TT()A A =⑵；TT ()A B A B +=+T T ⑶； TT ()A A λλ=⑷.TT ()AB B A =▲关于矩阵的运算，一是可行性，二是运算律. 特别，矩阵的乘法不满足交换律，消去律和零因子律，即一般情形下，AB BA ≠；,AB AC A O =≠不能推出B C =；AB O =不能推出A O =或者B O =.例1.设维向量n ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=21,0,,0,21L α，T A E αα=−，T 2B E αα=+，则=AB .【E 】2.下列关于矩阵的命题中哪些是错误的（假设运算都是可行的）： ⑴BA AB =；⑵若，则O AB =O A =或O B =； ⑶若，则AC AB =C B =； ⑷；TT ()AB A B =T ⎞⎟⎠⑸； kkkB A AB =)(⑹；111)(−−−=B A AB ⑺；))((22B A B A B A −+=−⑻，其中TA B A C C D B D ⎛⎞⎛=⎜⎟⎜⎝⎠⎝A ，均为方阵；D ⑼B A AB =； ⑽B A B A +=+； ⑾A k kA =；⑿若为同阶对称阵，则B A ,AB 为对称阵.▲只有⑼对；若可交换，⑴⑷⑸⑹⑺⑿也是对的，且所有乘法公式（平方差、立方差、立方和、二项式定理等 ）对矩阵成立.B A ,问题2 如何求方阵的幂？ 答 求方阵A 的幂的方法有⑴归纳法 依次求出A ，等，找出规律，写出； 2A nA ⑵对角化法 若1P AP Λ−=，则1A P P Λ−=，1nnA P P Λ−=； ⑶将矩阵分解为列向量与行向量的乘积，再用结合律；⑷将矩阵分解为数量矩阵与幂零矩阵的和，再用二项式定理； ⑸利用分块矩阵求幂.▲求方阵的幂时，常常运用矩阵乘法的结合律. 例1.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=321α⎟⎠⎞⎜⎝⎛=31211β，αβ=A ，求.【nA 111123232133312n −⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】2.设矩阵，求.111121A −⎛⎞=⎜⎟⎝⎠T ()nA A 【】 11111111111111111136326363263463263632636n n n n n n n n n n n n n n n n n n −−−−−−−−−−−−−−−−−−⎛⎞+−+⋅+⎜⎟−+⋅+⋅−+⋅⎜⎟⎜⎟+−+⋅+⎝⎠3.设,求.【⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=λλλ001001A nA 121(1)2n n n nn nn n n n λλλλλλ−−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠】4.设，，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =，求A 及.5A 【5A 100200611A ⎛⎞⎜⎟==⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】5.设，求.【 】 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=10001000010001λλA n A10010********n n λλ⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠问题3 关于可逆矩阵. 答 相关内容有 1.概念定义1 设A 为阶方阵. 若存在阶方阵n n B ，使得AB BA E ==，则称方阵A 是可逆矩阵，或者说A 可逆，并称B 是A 的逆阵，记作，即1AB −=.定义2 设()ij A a =为阶方阵，由元n (,1,2,,)ij a i j n =L 的代数余子式ij A 组成的方阵1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L称为A 的伴随矩阵.A 的伴随矩阵具有如下重要性质：**AA A A A E ==.2.矩阵可逆的充要条件定理 n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是：0A ≠，且当A 可逆时，1*1AA A−=. ▲设A ，B 都是n 阶方阵，若AB E =，则A ，B 都可逆，且A ，B 互为逆阵. 3.可逆矩阵的性质⑴若方阵A 可逆，则1A −可逆，且11()A A −−=；⑵若方阵A 可逆，则(0A )λλ≠可逆，且111()A A λλ−−=；⑶若方阵A 可逆，则可逆，且；TA T 11T ()()A A −−=⑷若阶方阵n A ，B 都可逆，则AB 可逆，且11()AB B A 1−−−=.问题4 如何求逆矩阵？ 答 求逆矩阵的方法⑴用定义：找方阵B ，使得AB E =. ⑵用伴随矩阵：1*1AA A−=. ⑶用初等行变换：.1()~(A E E A −)⑷用分块矩阵：111A O A O O B OB −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠，111O A O B B O AO −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠. ▲求逆阵的运算容易出错，建议读者求出1A −后验证1AA E −=.例1.设，求.【210121111A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠1A −111110222113A −−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 2.设，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=0004300002000010A 1−A .【100041000100210003⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠0 】3.设B A AB 2−=，，则＝ ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=102010201B 1)2(−+E A .【】 001010100−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠4.设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=3211A E A A B 232+−=1−B ＝ .【10211⎛⎞⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠】 5.已知矩阵A 满足E A 23=，则＝ 1−A .【212A 】 6.已知矩阵A 满足，则 O A =3=++−12)(A A E .【E A −】问题5 如何证明矩阵可逆？ 答 证明矩阵A 可逆的方法有⑴定义法：找方阵B ，使得AB E =； ⑵行列式法：证明0A ≠. 例1.已知矩阵A 满足，证明O E A A =−−322E A 4+可逆，并求其逆阵.【1(621)A E −−】2.已知矩阵A ,B 满足B A AB +=，证明E A −可逆，并求其逆阵.【B E −】3.设A ,B ，B A +都是可逆矩阵，证明11−−+B A 可逆，并求其逆阵.【1()B A B A −+】4.设E B A ==22，且0=+B A ，证明B A +不可逆. 5.已知α,β是相互正交的维列向量，证明可逆. n TE αβ+问题6 如何解矩阵方程？答 先将矩阵方程化简为三种基本类型：AX B =，XA B =，AXB C =，然后用逆矩阵求解.例1.设3阶方阵A ,B 满足，且BA A BA A +=−61⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，则=B .2.设矩阵A ,B 满足，且，求E BA BA A 82*−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=121A B . 3.设，，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312C 11)(−−=−A C B C E T T A . 4.已知，且，求⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A E BA ABA 311+=−−B . 5.设矩阵满足B A ,E B B A 421−=−， ⑴证明E A 2−可逆；⑵若，求⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200021021B A . 6.设，且，则 ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=7600054000320001A )()(1A E A EB −+=−=+−1)(B E . 答案 1. 2.3. 300020001⎛⎞⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎟⎟200040002⎛⎞⎜⎟−⎜⎜⎟⎝⎠100021*********1⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠4. 5. 6. 6000060060600301⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎝⎠020110002⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−⎝⎠1000120002300034⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠问题7 关于伴随矩阵.答 关于伴随矩阵，除了它的定义，还要掌握：1.基本关系式：**AA A A A E ==. 2.求伴随矩阵的方法⑴用定义：1121112222*12n n nn nn A A A A A A A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L M M M L，特别地，若，则； a b A c d ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠*d b A c a −⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠⑵用逆矩阵：1**11AA A A A A−−=⇒=. 3.伴随矩阵的性质（行列式、秩、特征值） 设A 为阶方阵， n ⑴1*n A A−=.⑵若，则()r A n =*()r A n =；若，则()1r A n =−*()1r A =；若()1r A n <−，则. *()0r A =⑶若A 可逆，λ是A 的特征值，则Aλ是的特征值.*A 例1.设，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=4321A =*A ，1A −= .【4231−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠ ；】213/21/2−⎛⎞⎜⎟−⎝⎠2.设A 为阶方阵，证明.n *1()n kA k A −=*证 先求代数余子式.22232323331111123()n nn n n nnka ka ka ka ka ka kA k A ka ka ka −==L L M M M L ，类似求得， 1()(,1,2,,)n ij ij kA k A i j n −==L 故.*1()n kA kA −=*3.设A 为阶可逆方阵，证明n A AA n 2**)(−=.4.设A 为可逆方阵，证明，.T **T()()A A =1**1)()(−−=A A 5.设A 是3阶非零矩阵，且)3,2,1,(==j i A a ij ij ，证明A 可逆，并求A .6.设3阶方阵A 的特征值为1，2，3，则112233A A A ++= .【11】 解A 的特征值为1，2，3，6A =，的特征值为6，3，2，*A 由特征值的性质知，的对角元之和*A 11223363211A A A ++=++=.问题8 关于分块矩阵.答 分块矩阵的内容包括：分块矩阵的概念、运算和分块对角阵1.概念 用一组横线和竖线将矩阵A 分割成若干个小矩阵，每个小矩阵成为A 的子块，这种以子块为元的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵分块的作用是：⑴降低矩阵的阶数，简化矩阵的运算；⑵利用矩阵分块（尤其是按行分块和按列分块），进行理论推导，许多重要的定理和结论都是用这种方法推导出来的.2.运算分块矩阵的运算类似普通的数字矩阵.设11122122A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，11122122B B B B B ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 在运算可行的条件下，1111121221212222A B A B A B A B A B ++⎛⎞+=⎜⎟++⎝⎠；11122122A A A A A λλλλλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠；11111221111212222111222121122222A B A BA B A B AB A B A B A B A B ++⎛⎞=⎜⎟++⎝⎠；TTT1121TT 1222A A A A A ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠. 分块矩阵的运算含有两级运算：分块矩阵间的运算和子块间的运算，分块方法必须使得这两级运算都有意义.对于分块矩阵的加法，要求两个矩阵的分块方法相同；对于分块矩阵的乘法，要求左矩阵列的分组方法和右矩阵行的分组方法一致.3.分块对角阵设均为方阵，则称矩阵12,,,r A A A L 12r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠O为分块对角阵. 分块对角阵具有如下性质：⑴12n n nn r A A A A ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O； ⑵12r A A A A =L ；⑶若都可逆，则12,,,r A A A L A 可逆，且111121r A A A A −−−−⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠O. 例1.设为可逆方阵，，证明B A ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B O O A C ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=***B A OO A B C .2.设A 为阶非奇异方阵,n α为维列向量，n T *EO P A A α⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠，T A Q b αα⎛⎞=⎜⎟⎝⎠⑴计算并化简；【PQ T 10()APQ A b A ααα−⎛⎞=⎜⎟−⎝⎠】⑵证明：Q 可逆的充要条件是T 1A b αα−≠.3.设方阵，可逆，证明分块矩阵11A 22A 111222A A A O A ⎛⎞=⎜⎝⎠⎟可逆，并求1A −. .问题9 关于矩阵的初等变换和初等方阵 答 相关内容有：1.初等变换的概念 下面的三种变换称为矩阵的初等行变换： ⑴互换两行的位置；⑵用一个非零数乘某一行； ⑶把一行的倍数加到另一行上. 将定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定义. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换.如果矩阵A 经有限次初等变换变成矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作~A B .2.初等方阵 单位矩阵经一次初等变换得到的方阵称为初等方阵.三种初等变换对应三种初等方阵，三种初等方阵都可逆，且它们的逆矩阵仍为初等方阵：1(,)(,)E i j E i j −=，11(())(())E i k E i k−=，1(,())(,())E i j k E i j k −=−.3.初等变换与初等方阵的关系定理 对矩阵m n ×A 进行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的阶初等方阵；对矩阵m A 进行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等方阵.推论⑴任何可逆方阵都可以表示为有限个初等方阵的乘积.⑵m 矩阵n ×~A B 的充要条件是：存在阶可逆方阵和阶可逆方阵Q ，使得m P n PAQ B =，特别，m n ×矩阵A 经初等行变换化为B 的充要条件是：存在阶可逆方阵，使得.m P PA B =⑶若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A E E A −))证 .11()(A A E E A −−=⑷若A 为可逆方阵，则经有限次初等行变换，. 1()~(A B E A B −)))证 .11()(A A B E A B −−=4.初等变换的应用⑴求矩阵的秩【用初等变换将矩阵化为阶梯阵】⑵求矩阵的逆矩阵【用初等行变换：】1()~(A E E A −⑶求矩阵方程AX B =的解1X A B −=【用初等行变换：】 1()~(A B E A B −)⑷解线性方程组Ax b =【用初等行变换将方程组的增广矩阵()A b 化为行最简形】 ⑸求向量组12,,,s ααL α的一个最大无关组【用初等行变换将12(,,,)s αααL 化为阶梯阵】 例1.设A 是阶可逆方阵，将n A 的第行和第i j 行对换后得到的矩阵记为B , ⑴证明B 可逆； ⑵求.【1−AB (,)E i j 】2.设，，，则必有（）.【C 】⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1000010101P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=1010100012P （A ） (B) B P AP =21B P AP =12 (C) B A P P =21 (D) B A P P =123.设A 为三阶矩阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再将B 的第2列加到第3列得，则满足C AQ C =的可逆矩阵Q 为（）.【D 】（A ）（B ）（C ）（D ）010100101⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010101001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠010100011⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠011100001⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠4.设A 为三阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1−倍加到第2列得C ，记，则（）.【B 】110010001P ⎛⎞⎜⎟=⎜⎜⎟⎝⎠⎟（A ）（B ）（C ）（D ）1C P AP −=1C PAP −=T C P AP =T C PAP =5.设A 为阶可逆矩阵，交换(2n n ≥)A 的第1行与第2行得矩阵B ，则（）.【C 】（A ）交换的第1列与第2列得*A *B（B ）交换的第1行与第2行得*A *B（C ）交换的第1列与第2列得*A *B −（D ）交换的第1行与第2行得*A *B −问题10 关于矩阵的秩. 答 相关内容有：1.概念 矩阵的非零子式的最高阶数称为矩阵的秩；2.性质⑴设A 是m 矩阵，则n ×()r A m ≤，()r A n ≤； ⑵；T()(r A r A =)⑶若A 为阶矩阵，则当n n A R =)(时，；当n A R =)(*1)(−=n A R 时，；当时，；1)(*=A R 1)(−<n A R 0)(*=A R ⑷； ()()()r A B r A r B +≤+⑸，；()(r AB r A ≤))()(r AB r B ≤⑹若A 可逆，则()(r AB r B )=，若B 可逆，则()(r AB r A )=； ⑺设A 是m 矩阵，n ×B 是矩阵，且n s ×AB O =，则()()r A r B n +≤. 3.定理定理1 初等变换不改变矩阵的秩. 定理2 阶梯阵的秩等于它的非零行数. 4.求法⑴初等变换法：用初等变换化为阶梯阵；⑵夹逼法：利用关于秩的不等式，证明()r A r ≤，，则. ()r A r ≥()r A r =例1.设，，则＝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=4321032100210001A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1100111011010011B )(AB r .【3】 2.设阶矩阵，且)3(≥n ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=111LM M M L L a a a aa a A 1)(−=n A r ，则=a .【11a n=−】3.设，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=54232121a A B 是43×的非零矩阵，且AB O =，=)(B r .【1】第三讲 向量考纲要求1.理解维向量、向量的线性组合与线性表示的概念.n 2.理解向量线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法.3.理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组和秩.4.理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系.5.了解维向量空间、子空间、基、维数、坐标等概念. n6.了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵.7.了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特（Schmidt ）方法. 8.了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质. 问题1 关于向量的线性组合与线性表示. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组数12,,,s k k k L ，使得1122s s k k k βααα=+++L ，则称向量β 是向量组12,,,s ααL α的一个线性组合，或者称向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，其中12,,,s k k k L 称为表示系数.2.关于线性表示的定理 定理1 下列命题等价⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示； ⑵线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 有解；⑶1212(,,,,)(,,,)s s r r αααβααα=L L . 定理2⑴向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有唯一解；⑵向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示且表示法不唯一线性方程组⇔1122s s x x x ααα+++=L β有无穷多解；⑶向量β不可由向量组12,,,s ααL α线性表示⇔线性方程组1122s s x x x αααβ+++=L 无解.定理3 若向量组12,,,s ααL α线性无关，12,,,s αααL ，β线性相关，则向量β可由向量组12,,,s ααL α线性表示，且表示法惟一.问题2 如何判别向量β能否由向量组12,,,s ααL α线性表示？ 答 判别向量β能否由向量组12,,,s ααL αT−线性表示的方法有： ⑴定义法 ⑵秩法⑶利用已知结论 例1.若可由线性表示，则t＝ ()T1,2,t β=()()()T T 1232,1,1,1,2,7,1,1,4ααα==−=−.【.】5t =2.设，()()()TT1231,1,,1,1,,1,,1,2t t ααα=−=−=T()T24,,4t β=−,若β可由321,,ααα线性表示且表示法不唯一，求t 及β的表达式.【124,3(4)t k k 3k βαα==−+−+k α(为任意常数)】 3.若向量组321,,ααα线性无关，432,,ααα线性相关，问 ⑴4α能否由321,,ααα线性表示？ ⑵1α能否由432,,ααα线性表示？ 证明你的结论.答 ⑴4α能由321,,ααα线性表示.因为321,,ααα线性无关，故23,αα线性无关，又432,,ααα线性相关，所以4α能由23,αα线性表示，从而4α能由321,,ααα线性表示.⑵1α不能由432,,ααα线性表示.若1α能由432,,ααα线性表示，由⑴知4α能由23,αα线性表示，则1α能由23,αα线性表示，从而321,,ααα线性相关，与题设相矛盾.所以，1α不能由432,,ααα线性表示.问题3 关于向量组的线性相关性. 答 相关内容有： 1.概念定义 如果存在一组不全为的数012,,,s k k k L ，使得11220s s k k k ααα+++=L ，则 称向量组12,,,s ααL α线性相关，否则称12,,,s ααL α线性无关.2.关于线性相关性的定理 定理1 下列命题等价：⑴向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）；⑵齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解）； ⑶12(,,,)()s r s s ααα<=L ；推论 个维向量组s s s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是行列式12,,,0(0)s ααα=≠L .定理2 向量组s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）的充要条件是其中至少有一个向量可（其中任何一个向量都不可）由其余向量线性表示. 问题4 如何判断向量组的线性相关性？答s ααα,,,21L 线性相关（线性无关）等价于齐次方程组11220s s x x x ααα+++=L 有非零解（只有零解），因此可以利用齐次方程组来判断线性相关性，方法有：⑴定义法 ⑵秩法 ⑶行列式法除用上述方法外，还常用下列结论：⑴线性无关向量组的任何一个部分组线性无关； ⑵线性无关向量组的任何一个延伸组线性无关；⑶个维向量必线性相关，一般地，若，则个维向量必线性相关； 1n +n r n >r n ⑷两个向量线性相关的充要条件是它们的对应分量成比例.例1（具体向量组）1.设, ()()()TT1231,1,1,1,2,3,1,3,t ααα===T⑴t 为何值时，321,,ααα线性相关？【5t =】 ⑵t 为何值时，321,,ααα线性无关？【5t ≠】⑶线性相关时，将3α表为21,αα的线性组合.【3122ααα=−+】2.设，，(线性相关，则＝ ()T1,1,2,1()T1,0,0,2)T1,4,8,t −−−t .【】 2t =3.判断()，()，，(的线性相关性. T1,0,2,3T1,1,3,5()T1,1,2,1a −+)T1,2,4,9a +【当且1a ≠−2a ≠−时，线性无关；当1a =−或者2a =−时，线性相关.】 例2（抽象向量组）1.设向量组321,,ααα线性无关，证明133221,,αααααα+++线性无关.2.设向量组s ααα,,,21L 线性无关，讨论13221,,,αααααα+++s L 的线性相关性.3.设r ααα,,,21L 是齐次方程组的一个基础解系，向量0=Ax β不是的解，证明0=Ax β，r αβαβαβ+++,,,21L 线性无关.证 【用定义法】设1211()()r r k k k 0ββαβα++++++=L ，整理得121211()r r k k k k k 0r βαα++++++++=L L ，⑴ 左乘A ，得121211()r r k k k A k A k A 0r βαα++++++++=L L ，121()0(0,1,2,)r i k k k A A i r βα+⇒+++===L Q L ， 1210(0)r k k k A β+⇒+++=≠L Q ，⑵代入⑴，得2110r r k k αα+++=L ，又r ααα,,,21L 线性无关，故，代入⑵，得20,,0r k k +=L 1=10k =， 所以β，1βα+，2βα+，L ，r βα+线性无关.4.设A 是阶矩阵，若存在正整数，使线性方程组有解向量n k 0=x A k α，且，证明线性无关.01≠−αk A ααα1,,,−k AA L 5.设A 为阶矩阵，n 321,,ααα是维列向量，且n 01≠α，11A k αα=，21A l k 2ααα=+，323A l k αα=+0，≠l ，证明321,,ααα线性无关.α6.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且m n ×E AB =，，证明n m >B 的列向量组线性无关. 证 【用秩法，只要证明()r B m =】()r B m ≤，又，故()()()r B r AB r E m ≥==()r B m =，所以B 的列向量组线性无关. 例31.设向量组4321,,,αααα线性无关，则向量组（）.【用排除法，C 】 （A ）14433221,,,αααααααα++++线性无关 （B ）14433221,,,αααααααα−−−−线性无关 （C ）14433221,,,αααααααα−+++线性无关 （D ）14433221,,,αααααααα−−++线性无关2.设向量组Ⅰ：r ααα,,,21L 可由向量组Ⅱ：s βββ,,,21L 线性表示，则（）. （A ）当s r <时,向量组Ⅱ必线性相关 （B ）当s r >时,向量组Ⅱ必线性相关 （C ）当s r <时,向量组Ⅰ必线性相关 （D ）当s r >时,向量组Ⅰ必线性相关【D ，因为1212(,,,)(,,,)r s r r s r αααβββ≤≤L L <TT】3.设有4个向量组① TTT(,,),(,,),(,,),(,,)a b c b c d d e f f g h ②TT(,1,,0,0),(,0,,2,0),(,0,,0,3)a b c d e f③ T T T (,1,2,3),(,1,2,3),(,1,2,3),(,0,0,0)a b c d TTT ④ TTT(1,0,3,1),(1,3,0,2),(2,1,7,2),(4,2,14,5)−−则下列结论正确的是（）.【D 】（A ）线性相关的向量组为①④，线性无关的向量组为②③ （B ）线性相关的向量组为③④，线性无关的向量组为①② （C ）线性相关的向量组为①②④，线性无关的向量组为③ （D ）线性相关的向量组为①③④，线性无关的向量组为②4.设,则（）.【A 】 T T 123(1,4,3,1),(2,,1,1),(2,3,1,1)t t ααα=−=−−=−+（A ）,R t ∈∀321,,ααα 线性无关 （B ）仅当3−=t 时,321,,ααα线性无关 （C ）当时,0=t 321,,ααα线性相关 （D ）仅0≠t 且3−≠t ,321,,ααα线性无关5.设A 是矩阵，则（ ）.【A 】 43×（A ）A 的列向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性无关6.设非零矩阵满足，则（ ）.【A 】 B A ,O AB =（A ）A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （B ）A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 （C ）A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 （D ）A 的行向量组线性相关,B 的列向量组线性相关7.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且满足m n ×E AB =，则（）.【D 】 （A ）A 的列向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （B ）A 的列向量组线性无关,B 的列向量组线性无关 （C ）A 的行向量组线性无关,B 的行向量组线性无关 （D ）A 的行向量组线性无关,B 的列向量组线性无关8.设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关，则（）.【A 】 （A ）1α必能由432,,ααα线性表示 （B ）2α必能由431,,ααα线性表示（C ）3α必能由421,,ααα线性表示 （D ）4α必能由321,,ααα线性表示问题5 关于向量组的秩与最大无关组. 答 相关内容有： 1.概念最大无关组：向量组的一个部分组满足⑴线性无关，⑵任意添加一个向量所得部分组线性相关（向量组12,,,s ααL α中任一向量可由其最大无关组线性表示）.向量组的秩：最大无关组所含向量的个数. 2.定理定理1 矩阵的秩等于它的行向量组的秩，也等于它的列向量组的秩. 定理2 若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()r A r B ≤. 定理3 若向量组A 与向量组B 等价，则()()r A r B =. 3.求最大无关组的步骤⑴以向量m ααα,,,21L 为列向量构成矩阵A ；⑵用初等行变换将矩阵A 化为阶梯阵U ，则U 的首非零元对应的A 的列向量为向量组的一个最大无关组.【若继续将U 化为行最简形，则可求出其余向量由该最大无关组线性表示的表示系数】 例1.向量组的秩为 ()()()(TTTT12342,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,5,6,7,8αααα====).【2】2.求向量组()()()()(T T T T 123451,2,1,2,1,0,3,1,2,1,0,1,2,1,2,2,2,2,4,3ααααα===−=−=)T的一个最大无关组，并把其余向量用此最大无关组线性表示.解 利用初等行变换将()12345,,,,A ααααα=化为阶梯阵：()12345112220211,,,,301232112A ααααα⎛⎞⎜⎟−⎜⎟==⎜⎟−⎜⎟⎝⎠241122205322~022*******⎠1122200770~008800312⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−⎛⎞⎜⎟−−⎜⎟⎜⎟−−⎜⎟−⎝−−−11⎠112220312~0001100000⎛⎞⎜⎟−−−−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 最大无关组为123,,ααα（或者124,,ααα，或者135,,ααα，或者145,,ααα）. 再利用初等行变换将A 化为行最简形：A 00001121110000111111~~00000011110000000000⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎟⎠3， 故412αααα=−+，512ααα=+.3.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，证明s n ×()(r AB r A )≤，()(r AB r B )≤. 证 将A 按列分块为()12,,,n A a a a =L ，则()11121212221212,,,s s n n n ns b b b b b b AB a a a b b b ⎛⎞⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠L L L M M M L (1,2,,)j s L 的第个列向量 1122j j j nj c b a b a b a =+++L n ，即AB 的列向量可由A 的列向量线性表示，故 ()(r AB r A ≤)T ).由，得.TT ()AB B A =T T T T ()(())()()(r AB r AB r B A r B r B ==≤=4.设A 是矩阵，n m ×B 是矩阵，且s n ×O AB =，证明n B R A R ≤+)()(证 ，故1212(,,,)(,,,)s s AB A b b b Ab Ab Ab O ===L L 0(1,2,,)j Ab j s ==L ，即B 的个列向量都是的解，这个解的秩s 0Ax =s ()()R B n R A ≤−（解集的秩），即.0Ax =n B R A R ≤+)()( 5.证明：若A 为阶矩阵，则当时，；当n n A R =)(n A R =)(*1)(−=n A R 时，；1)(*=A R当时，.1)(−<n A R 0)(*=A R 证 ⑴当时，n A R =)(1*0,0n A A A−≠=≠，故；n A R =)(*⑵当时，1)(−=n A R *0,A AA A E O ===，故*()()R A R A n +≤，*()()1R A n R A ≤−=，又**()10()1ij R A n A A O R A =−⇒∃≠⇒≠⇒≥，故；1)(*=A R ⑶当时，则1)(−<n A R *,1,2,,,0ij i j n A A O ∀==⇒=⇒0)(*=A R L . 问题6 关于向量空间.（数一） 答 相关内容有：1.基础知识（向量空间、基、维数、坐标、基变换公式与过渡矩阵、坐标变换公式） 设V 为维向量的非空集合n V 为向量空间⇔对向量的加法和数乘运算封闭； V V 的基的最大无关组；V 的维数的秩；⇔V ⇔V 若1122s s x x x βαα=+++L α，称12(,,,)s x x x L 为在基12,,,s ααL αs 下的坐标（表示系数）； 若1212(,,,)(,,,)s P βββααα=L L ，称矩阵为基P 12,,,s ααL α到基12,,,s ββL β的过渡矩阵（表示系数矩阵） 2.求过渡矩阵的方法设1212(,,,)(,,,)s s P βββααα=L L ，记作B AP =，则1P A B −=，求法如下：因为，所以，可利用初等行变换，.1(,)(,)A A B E A B −=1−1231,1,1,1,0,1,1,0,1ααα==−=31(,)~(,)A B E A B −例1.已知是()()()TTTR的一组基，证明也是()()()TTT1231,2,1,2,3,4,3,4,3βββ===3R 的一组基，并求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵.解 【因为任意3个线性无关的向量是3R 的一组基，只要证明321,,βββ线性无关】123123,,23440143βββ==≠，故321,,βββ线性无关，故321,,βββ是3R 的一组基.经初等行变换，()123123111123,,,,,100234111143αααβββ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠111123101133~011111~001101020020010010⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝⎞⎟⎟⎟⎠⎞⎟⎟⎟−⎠ 100234100234~001101~01001001001001101⎛⎞⎛⎜⎟⎜−−⎜⎟⎜⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝， 故由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵234010101P ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟−−⎝⎠.2.已知3R 的两个基()()(T T 1231,0,1,2,1,1,1,1,1ααα=−==)TT和.()()()TT1230,1,1,1,1,0,1,2,1βββ==−=⑴求由321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵P ；⑵求在这两组基下的坐标.【⑴()T 9,6,5γ=011132244P ⎛⎞⎜⎟=−−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠T (1,2,4)⑵；】T(0,4,5)−。

《线性代数》部分讲义（Word版）GCT 线性代数辅导第一讲行列式一. 行列式的定义● 一阶行列式定义为1111a a =● 二阶行列式定义为2112221122211211a a a a a a a a -=● 在n 阶行列式中，划去元素ij a 所在的第i 行第j 列，剩余元素构成1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记作ij M ．● 令ij j i ij M A +-=)1(，称ij A 为ij a 的代数余子式．●n 阶行列式定义为n n nnn n nn A a A a A a a a a a a a a a a 1112121111212222111211+++=．二. 行列式的性质1.行列式中行列互换，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 332313322212312111a a a a a a a a a 2.行列式中两行对换，其值变号．=333231232221131211a a a a a a a a a –333231131211232221a a a a a a a a a 3.行列式中如果某行元素有公因子，可以将公因子提到行列式外．=333231232221131211a a a ka ka ka a a a 333231232221131211a a a a a a a a a k4.行列式中如果有一行每个元素都由两个数之和组成，行列式可以拆成两个行列式的和．=+++333231232322222121131211a a a b a b a b a a a a +333231232221131211a a a a a a a a a 333231232221131211a a a b b b a a a 由以上四条性质，还能推出下面几条性质5.行列式中如果有两行元素对应相等，则行列式的值为０．6.行列式中如果有两行元素对应成比例，则行列式的值为０．7.行列式中如果有一行元素全为０，则行列式的值为０．8.行列式中某行元素的k 倍加到另一行，其值不变．=333231232221131211a a a a a a a a a 133312321131232221131211ka a ka a ka a a a a a a a +++三.n 阶行列式展开性质nnn n nn a a a a a a a a a D212222111211= 等于它的任意一行的各元素与其对应代数余子式的乘积的和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211 n i ,,2,1 = ● 按列展开定理nj nj j j j j A a A a A a D +++= 2211 n j ,,2,1 =●n 阶行列式D 的某一行的各元素与另一行对应元素的代数余子式的乘积的和等于零．即02211=+++jn in j i j i A a A a A a j i ≠ ● 按列展开的性质02211=+++nj ni j i j i A a A a A a j i ≠四.特殊行列式●nn nna a a a a a22112211=;()11212)1(11211n n n n n n n na a a a a a ----=● 上（下）三角行列式和上面的对角行列式的结果相同.五.计算行列式● 消零降阶法.● 消为特殊行列式（上（下）三角行列式或和对角行列式）..典型习题1. =3D xx x 121332=（）。

线性代数考研讲义完整版Newly compiled on November 23, 2020考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,…………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量(k1,k2, …,k n)(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i都用k i替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn 型矩阵.例如2 -1 0 1 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a11 a12… a1na11a12… a1nb1A= a21 a22… a2n和(A|)= a21 a22… a2n b2…………………a m1 am2… amnam1am2… amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A和B相等(记作A=B),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2, ,a n的向量可表示成a1(a1,a2, ,an)或 a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1n矩阵,右边是n1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2, ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A=(1,2, ,n).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个mn的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是mn矩阵,记作A+B (A-B),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作c A,法则为A的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:①加法交换律:A+B=B+A.②加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C).③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A.④数乘结合律: c(d)A=(cd)A.⑤ c A=0 c=0 或A=0.转置:把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作A T(或A).有以下规律:① (A T)T=A.② (A+B)T=A T+B T.③ (c A)T=c A T.转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T表示行向量,当是行向量时, T表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s是一组n维向量, c1,c2,…,c s是一组数,则称c 11+c22+…+css为1,2,…,s的(以c1,c2,…,c s为系数的)线性组合.n维向量组的线性组合也是n维向量.(3) n阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|).(2)用(B|)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|),则就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:a11 a12… a1na 21 a22… a2n… … … . a n1 a n2 … a nn如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0. 2. 定义(完全展开式) 2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 . a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33. a 31 a 32 a 33 一般地,一个n 阶行列式 a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n … … … a n1 a n2 … a nn的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项n nj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10. 至此我们可以写出n 阶行列式的值: a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(n n nnj j j j j j j j j a a a τ-∑… … … a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握. 3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | . ② 某一行(列)的公因子可提出. 于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如|,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0. ⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0. ⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则 A * = A O =|A ||B |. O B * B 范德蒙行列式：形如 1 1 1 … 1 a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a 2…………a1n-i a2n-i a3n-i… ann-i的行列式(或其转置).它由a1,a2 ,a3,…,a n所决定,它的值等于因此范德蒙行列式不等于0 a1,a2 ,a3,…,a n两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D1/D, D2/D,,Dn/D),这里D是系数行列式的值, D i是把系数行列式的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A|)作初等行变换,使得A变为单位矩阵: (A|)(E|),就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A|0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ② 1+x 1 1 1 ③ 1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 1 2 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 . 3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x 4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例3 1+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 33x2-29 x3 6 -6例7求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 1 2 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A | =2, |B |=3 ,求|A +B | . 例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z. 1 -z x+3 y y-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01) 2 2 2 2 0 -7 0 0 5 3 -2 2 3.几个n 阶行列式 两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a n b 1 c 2 0 … 0 0 证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)ni i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111nni i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … … b n … 0 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出). 另一个常见的n 阶行列式: 例13 证明a+b b 0 … 0 0 a a+b b … 0 0… … … … = 11n n nn i ii a b a b a b ++-=-=-∑(当ab 时).0 0 0 … a+b b 0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开. 4.关于克莱姆法则的题 例14 设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c, ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等. (2)在此情况求解. 参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10). 例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3. 例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a2-a3+a4-a5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x1=a,x2=b,x3=c..第三讲矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义当矩阵A的列数和B的行数相等时,和A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a11 a12... a1n b11 b12... b1s c11 c12 (1)A= a21 a22… a2nB= b21b22… b2sC=AB=c21c22… c2s………………………a m1 am2… amn, bn1bn2… bns, cm1cm2… cms,则c ij =ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj.矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:①矩阵乘法有条件.②矩阵乘法无交换律.③矩阵乘法无消去律,即一般地由AB=0推不出A=0或B=0.由AB=AC和A0推不出B=C.(无左消去律)由BA=CA和A0推不出B=C. (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:①加乘分配律 A(B+C)= AB+AC,(A+B)C=AC+BC.②数乘性质 (c A)B=c(AB).③结合律 (AB)C= A(BC).④ (AB)T=B T A T.2. n阶矩阵的方幂和多项式任何两个n阶矩阵A和B都可以相乘,乘积AB仍是n阶矩阵.并且有行列式性质: |AB|=|A||B|.如果AB=BA,则说A和B可交换.方幂设k是正整数, n阶矩阵A的k次方幂A k即k个A的连乘积.规定A 0=E.显然A的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:①A k A h= A k+h.② (A k)h= A kh.但是一般地(AB)k和A k B k不一定相等!n阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0,对n阶矩阵A规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+ a1A+a0E.称为A的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E.乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有: (AB )2=A 22AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ). 二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A 的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22 A 21 A 22 B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22 要求A ij 的列数B jk 和的行数相等. 准对角矩阵的乘法: 形如A 1 0 ... 0 A = 0 A 2 0… … … 0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A1,A2,…,A k都是方阵.两个准对角矩阵A10 ... 0 B1 0 0A= 0 A2... 0 , B= 0 B2 0………………0 0 …A k 0 0 …B k 如果类型相同,即A i和B i阶数相等,则A1B10 0AB = 0 A2B2… 0 .………00 …A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A是mn矩阵B是ns矩阵. A的列向量组为1,2,…,n,B的列向量组为1,2,…,s, AB 的列向量组为1,2,…,s,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):①AB的每个列向量为:i=A i,i=1,2,…,s.即A(1,2,…,s)=(A1,A2,…,A s).② =(b1,b2,…,bn)T,则A= b11+b22+…+b nn.应用这两个性质可以得到:如果i=(b1i,b2i,…,b ni)T,则i=A I=b1i1+b2i2+…+b nin.即:乘积矩阵AB的第i个列向量i是A的列向量组1,2,…,n的线性组合,组合系数就是B的第i个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB的第i个行向量是B的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(,,), C=(+2-,3-+,+2),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(ij):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s 列,设 B=(1,2,…,s),则 X也应该有s列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s 个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0B=0；AB=ACB=C.(左消去律)；BA=0B=0；BA=CAB=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=CB=A-1C. BA=CB=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理 n阶矩阵A可逆|A|0.证明“”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|0. (并且|A-1|=|A|-1.)“”因为|A|0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E, CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=EBA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)②如果A和B都可逆,则AB也可逆,并且(AB)-1=B-1A-1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E(i,j)-1= E(i,j), E(i(c))-1=E(i(c-1)), E(i,j(c))-1= E(i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵①计算逆矩阵的初等变换法当A可逆时, A-1是矩阵方程AX=E的解,于是可用初等行变换求A-1:(A|E)(E|A-1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.②伴随矩阵若A是n阶矩阵,记A ij是|A|的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A11 A21… An1A*= A12 A22… An2=(Aij)T.………A 1n A2n… Amn请注意,规定n阶矩阵A的伴随矩阵并没有要求A可逆,但是在A可逆时, A*和A-1有密切关系.基本公式: AA*=A*A=|A|E.于是对于可逆矩阵A,有A-1=A*/|A|, 即A*=|A|A-1.因此可通过求A*来计算A-1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A； n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1 =(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A= T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1 T,求a. (03三,四)④ n维向量=(1/2,0,,0,1/2)T, A=E- T, B=E+2 T,求AB. (95四)⑤ A=E- T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n=A n-2+A2-E. (2) 求A n.例4设A为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足A1=1+2+3, A2=22+3, A3=22+33.求作矩阵B,使得A(1,2,3)=(1,2,3)B. (2005年数学四)例5设3阶矩阵A=(1,2,3),|A|=1,B=(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B|.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A是3阶矩阵,是3维列向量,使得P=(,A,A2)可逆,并且A3=3A-2A2.又3阶矩阵B满足A=PBP-1.(1)求B.(2)求|A+E|.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A,B满足ABA*=2BA*+E,其中A= 1 2 0 ,求|B|.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A= 1 -1 0 , A-1XA=XA+2A,求X.-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A= -1 1 1 , A*X=A-1+2X,求X.1 -1 1例11 4阶矩阵A,B满足ABA-1=BA-1+3E,已知1 0 0 0A*= 0 1 0 0 ,求B. (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A= 2 1 0 , B= 0 0 0 , XA+2B=AB+2X,求X11.2 13 0 0 -1例13设1=(5,1,-5)T,2=(1,-3,2)T,3=(1,-2,1)T,矩阵A满足A=(4,3) T, A2=(7,-8) T, A3=(5,-5) T,1求A.2.概念和证明题例14 设A是n阶非零实矩阵,满足A*=A T.证明:(1)|A|>0.(2)如果n>2,则|A|=1.例15 设矩阵A=(a ij)33满足A*=A T,a11,a12,a13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A 0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆. 讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A T =1.(2)T =1 A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆 E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆 B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵, E+AB可逆,证明(E+AB)-1A也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例135A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1① 3.② a2(a-2n). ③ -1. ④ E. ⑤ 4.例2 O.例3 (1)提示: A n=A n-2+A2-EA n-2(A2-E)=A2-E A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例 4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例 6 –4a.例 7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例 9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例 10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例 11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例 12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例 13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例 17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例 24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系设1,2,…,s是一个n维向量组.如果n维向量等于1,2,…,s的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s线性表示.如果n维向量组1,2,…,t中的每一个都可以可以用1,2,…,s线性表示,就说向量1,2,…,t可以用1,2,…,s线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s线性表示表示方式是否唯一”就是问：向量方程x11+x22+…+xss=。