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线代练习题

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线代练习题
一、 填空题
1. 排列7623451的逆序数是_______
2. 若a a a a ⎡⎤=⎢
⎥⎢⎥⎣⎦11
1221
221，则a a a a ⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
11
1221
2230300
6
1
3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则B -1_______
4. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
_________
5.设A 为⨯86的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________
6. 设A 为三阶可逆阵，A -⎡⎤
⎢⎥
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
1
002103
2
1，则*A =__________ 7.若A 为m n ⨯矩阵，则齐次线性方程组AX =0有非零解的充分必要条件是
___________
8.已知五阶行列式
D ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
1
2
345304121
1111110235
4
3
2
1，则
A A A A +++
+=414
2
4
34
4
4
5
________ 9.计算矩阵的乘积⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎡⎤-=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
11
32
1
023=_________________
10.公式*
A A =______________
11.排列341782659的逆序数是．
12.函数()f x =211
1
2
x
x
x
x x
---中3x 的系数是．
13．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1()A -=． 14．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．
15.计算矩阵的乘积[]11321023⎡⎤⎢⎥
-⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=________________
16设1121021003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，则_________A *
=.
17设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间
维数为_____________．
18．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1
*1()3
A A --
+=． 19已知五阶行列式1
2345
3201111111
2
1403
5
4321=D ，则=++++4544434241A A A A A _________
20. 排列n(n 1)…321的逆序数是_______。

21. 若
122
21
1211=a a a a ，则=1
6
03032221
1211a a a a 22. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则
1B -=_______。

23. 若A 为n m ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是
_________
24.设A 为86⨯的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________。

25.若A 为n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是 26已知五阶行列式，则=++++4544434241A A A A A
27计算矩阵的乘积[]32123410⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
=( )
选择题
1. 向量组r ,,...,ααα12线性相关且秩为s ，则（）
()A r
s =
()B r s ≤ ()C s
r ≤
()D s
r
2. 若A 为三阶方阵，且20,20,340,+=+=-=A E A E A E 则=A ( )
()8A
()8-B
()43
C
()43
-
D 3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( )
)(A )()(A R B R ≤
)(B )()(A R B R <
)(C )()(A R B R =
)(D )()(A R B R ≥
4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则()
*
kA 等于（）
)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A
5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是（）
)(A AC AB =则C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C ()=T
T T AB A B )(D 22))((B A B A B A -=-+
1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于． (A)(5)n
D - (B)-5D (C) 5D (D)1
(5)
n D --
2. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB =则C B =)(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T T T B A AB =)()(D 22))((B A B A B A -=-+
3．A 为m n ⨯矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是．
(A)(,)R A b m < (B)()R A m <
(C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =<
4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则
()
*
kA 等于_____。

)(A *kA )(B *A k n )(C *-A k n 1)(D *A
三、计算题
1设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且12
=A ，求()1
32--*A A . 2求矩阵的逆
111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
3讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2
123123123
1x x x x x x x x x λλλλλ⎧++=⎪
++=⎨⎪++=⎩
① 有唯一解；②有无穷多解；③无解。

4求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

123412341
342231225
+++=⎧⎪
+++=⎨⎪++=⎩x x x x x x x x x x x 5
已
知
向
量
组
()
11023α=T
，
()
21135α=T
，
()31131α=-T
()41249α=T
()51125α=T
，求此向量组的一个最
大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示． 6
解矩阵方程.12461321-⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
X
7．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
.
8设n 阶方阵A 满足0422=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1
(3)
A E --.
9．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:
12341234123423423
23883295234x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪-++=⎪⎨
-+--=-⎪⎪--=-⎩
10设A 为三阶矩阵，*
A 为A 的伴随矩阵，且2
1=A ，求*
A A 2)3(1--. 11求矩阵的逆
111211120A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
12. 解矩阵方程.12461321-⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
X =．。

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最全线性代数习题及参考答案

最全线性代数习题及参考答案

第一章：一、填空题：1、若a a D ij n ==||，则=-=||ij a D ；解：a a a a a D aa a a a D n nnn nnnn nn )1(11111111-=----=∴==2、设321,,x x x 是方程03=++q px x 的三个根，则行列式132213321x x x x x x x x x = ； 解：方程023=+++d cx bx ax 的三个根与系数之间的关系为：a d x x x a c x x x x x x ab x x x ///321133221321-==++-=++所以方程03=++q px x 的三个根与系数之间的关系为：q x x x p x x x x x x x x x -==++=++3211332213210033)(3321221321333231132213321=--++-=-++=x x x q x x x p x x x x x x x x x x x x x x x3、行列式1000000019980001997002001000= ；解：原式按第1999行展开：原式=!19981998199721)1(0001998001997002001000219981999-=⨯⨯⨯-=+++4、四阶行列式4433221100000a b a b b a b a = ； 解：原式按第一行展开：原式=))(()()(000004141323243243214324321433221433221b b a a b b a a b b b b a a b a b b a a a a b a b b a b a a b b a a --=---=-5、设四阶行列式cdb a a cbda dbcd c ba D =4，则44342414A A A A +++= ；解：44342414A A A A +++是D 4第4列的代数余子式，44342414A A A A +++=0111111111111==d a c d d c c a bd b a c bdd b c c ba6、在五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为 ；解：n 阶行列式可写成∑-=n np p p ta a aD 2211)1(，其中t 为p 1p 2…p n 的逆序数所以五阶行列式中3524415312a a a a a 的符号为5341352412a a a a a 的符号，为1)1()1(5)3,1,5,4,2(-=-=-t7、在函数xx x xxx f 21112)(---=中3x 的系数是 ； 解：根据行列式结构，可知3x 须由a 11=2x ，a 33=x 和第二行的一个元素构成，但此时第三个元素只能取a 22（行、列数均不可重复），所以此式为3332211)3,2,1(2)1(x a a a t -=-，系数为-2。

线性代数练习题(有答案)

线性代数练习题(有答案)

《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

(完整word版)线性代数经典试题4套及答案

线性代数经典试题4套及答案试卷1一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。

错选或未选均无分。

1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λs βs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析

线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。