精选高三数学第六次月考试题理
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西藏自治区拉萨市2017届高三数学第六次月考试题 理
（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）
第I卷（选择题）
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知集合2|430,2,3,4AxxxB，则AB（ ）
A．2 B．2,3 C．3 D．2,3,4
2．若43zi，则||zz（ ）
A．1 B．1 C．4355i D．4355i
3．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分，回答如下：甲说：是我考满分；乙说：丙不是满分；丙说：乙说的是真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．不确定
4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（ ）
A．83cm
B．123cm
C．3233cm
D．4033cm
5．已知各项都为正的等差数列na中，若23415aaa，若12a，34a，616a成等比数列，则10a（ ）
A．19 B．20 C．21 D．22
6.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则等待的时间不超过15秒就出现绿灯的概率为（ ） A．710 B．58 C．38 D．310
7．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（ ）
A．0
B．-1 C．12
D．32
8．若x，y满足20,3,0,xyxyx则2xy的最大值为（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
9．设xdxasin，则6)1(xxa的展开式中常数项是（ ）
A．-160B．160 C．-20D．20
10．直三棱柱111ABCABC中，若90BAC，1ABACAA，则异面直线1BA与1AC所成的角等于（ ）
A．30 B．45 C．60 D．90
11．已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为 （ ）
A. 2 B. 2 C. 3 D. 5
12．已知定义在R上的函数fx满足：①当0x时，函数fx为增函数，20f；②函数1fx的图象关于点1,0对称，则不等式0fxx的解集为（ ）
A．,20,2 B．2,02,
C．2,2 D．,22,
第II卷（非选择题）
0 二、填空题：共4小题，每小题5分.
13．某地区有大型商场x个，中型商场y个，小型商场z个，::2:4:9xyz，为了掌握该地区商场的营业情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的中型商场的个数为．
14．已知非零向量,ab的夹角为60°，且1,1aab，则2ab____________．
15．我国南北朝时代的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高， “幂”是面积．意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，类比祖暅原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图1是一个形状不规则的封闭图形，图2是一个矩形，且当实数t取[0，4]上的任意值时，直线y=t被图1和图2所截得的线段长始终相等，则图1的面积为.
16．已知在ABC中，90ACB，8,6ACBC，P是线段AB上的点，则P到,ACBC的距离的乘积的最大值为____________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知函数)0,0)(cos()sin(3)(xxxf为偶函数，且函数)(xfy的图像的两个相邻对称轴间的距离为2.
（1）求)8(f的值；
（2）将函数)(xfy的图像向右平移6个单位后，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数)(xgy的图象，求)(xgy的单调递减区间.
18．（本小题满分12分）
一个口袋中装有大小形状完全相同的3n个乒乓球，其中1个乒乓球上标有数字1，2个乒乓球上标有数字2，其余n个乒乓球上均标有数字3)(Nn，若从这个口袋中随机地摸出2个乒乓球，恰有一个乒乓球上标有数字2的概率是158.
（1）求n的值； （2）从口袋中随机地摸出2个乒乓球，设𝜉表示所摸到的2个乒乓球上所标数字之和，求𝜉的分布列和数学期望𝐸𝜉.
19．（本小题满分12分）
如图，在正方体1111ABCDABCD中，E是1AA的中点.
（1）求证：1//AC平面BDE；
（2）求证：平面1AAC平面BDE；
（3）求直线BE与平面1AAC所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
已知函数21()()ln2fxaxx（aR）．
（１）当1a时，求()fx在区间1,e上的最大值和最小值；
（2）若在区间(1,)上，函数()fx的图象恒在直线2yax下方，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆2212210xyCabab：离心率为63，焦距为22，抛物线22:20Cxpyp的焦点F是椭圆1C的顶点.
（Ⅰ）求1C与2C的标准方程；
（Ⅱ）设过点F的直线l交2C于,PQ两点，若1C的右顶点A在以PQ为直径的圆内，求直线l的斜率的取值范围. 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3cossinxy（为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin()224．
（Ⅰ）写出1C的普通方程和2C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P在1C上，点Q在2C上，求||PQ的最小值及此时P的直角坐标．
23．（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知函数xxxf31)(，1x．
（Ⅰ）求不等式6)(xf的解集；
（Ⅱ）若)(xf的最小值为n，正数a，b满足banab22，求ba2的最小值.
拉萨中学第六次月考理科数学答案
选择题 BDBCAC ACACAD 填空题 127 8 12
解答题
19.（1）设ACBDO，E、O分别是1AA、AC的中点，1AC∥EO 又1AC平面BDE，EO平面BDE，1AC∥平面BDE 4分
（2）1AA平面ABCD，BD平面ABCD，1AABD 5分
又BDAC，1ACAAA，BD平面1AAC 7分
BD平面BDE，平面BDE平面1AAC 8分
（3）由（2）可知直线BE与平面1AAC所成角是∠BEO 9分
设正方体棱长为a,在Rt△BOE中，aBEaEO25,22 11分
∴510sinBEO，即直线BE与平面1AAC所成角的正弦值为510 12分
20.（1）当1a时，21()ln2fxxx，211'()xfxxxx；
对于1,xe，有'()0fx，
所以()fx在区间1,e上为增函数，
所以2max()()12efxfe，min1()(1)2fxf．
（2）令21()()2()2ln2gxfxaxaxaxx，则()gx的定义域为(0,)．
在区间(1,)上，函数()fx的图象恒在直线2yax下方的等价于()0gx在区间(1,)上恒成立．
∵1'()(21)2gxaxax2(1)(21)1(21)21xaxxaxaxxx，
①若12a，令'()0gx，得极值点11x，2121xa，
当211xx，即112a时，在2(,)x上有'()0gx，
此时()gx在区间2(,)x上是增函数，并且在该区间上有2()((),)gxgx，不合题意；
当211xx，即1a时，同理可知，()gx在区间(1,)上是增函数，有()((1),)gxg，不合题意； ②若12a，则有210a，此时在区间(1,)上恒有'()0gx，
从而()gx在区间(1,)上是减函数；
要使()0gx在此区间上恒成立，只需满足1(1)02ga，即12a，
由此求得a的范围是11,22．
综合①②可知，当11,22a时，函数()fx的图象恒在直线2yax下方．
21.解析：
（Ⅰ）设椭圆1C的焦距为2c，依题意有222c，63ca，解得3a，1b，故椭圆1C的标准方程为22131xy，又抛物线22:20Cxpyp开口向上，故F是椭圆的1C上顶点，0,1F∴，，2p∴故抛物线2C的标准方程为24xy.
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：1ykx，设点11,Pxy，22,Qxy，联立214ykxxy得2440xkx，由韦达定理得124xxk，124xx.
A在以PQ为直径的圆内1212120330APAQxxxxyy
2212121216163480xxxxxx
641634481600kk
22.解析：（1）1C的普通方程为2213xy，2C的直角坐标方程为40xy.
（2）由题意，可设点P的直角坐标为(3cos,sin)，因为2C是直线，所以||PQ的最小值即为P到2C的距离()d的最小值，|3cossin4|π()2|sin()2|32d.
