高三数学上学期第三次月考试题理

卜人入州八九几市潮王学校昌平区新学道临川2021届高三数学上学期第三次月考试题理〔含解析〕一.选择题(一共12小题) 1.复数z =2+i ，那么z z ⋅=C.3D.5【答案】D 【解析】 【分析】题先求得z ，然后根据复数的乘法运算法那么即得. 【详解】∵z2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-=应选D.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么，一共轭复数的定义等知识，属于根底题.. 2.以下函数中，在区间〔0，+∞〕上单调递增的是 A.12y x=B.y =2x -C.12log y x =D.1y x=【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合函数的解析式考察函数的单调性即可. 【详解】函数122,log x y y x -==，1y x=在区间(0,)+∞上单调递减， 函数12y x=在区间(0,)+∞上单调递增，应选A .【点睛】此题考察简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、根底知识的考察，蕴含数形结合思想，属于容易题.3.“十二平均律〞是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的开展做出了重要奉献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于假设第一个单音的频率为f ，那么第八个单音的频率为C.D.【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f=，那么7781aa q f ===应选D.点睛：此题考察等比数列的实际应用，解决此题的关键是可以判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：〔1〕定义法，假设1n n a q a +=〔*0,q n N ≠∈〕或者1n n aq a -=〔*0,2,q n n N ≠≥∈〕，数列{}n a 是等比数列；〔2〕等比中项公式法，假设数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅〔*3,n n N ≥∈〕，那么数列{}n a 是等比数列.4.设,a b 均为单位向量，那么“33a b a b -=+〞是“a b ⊥〞的〔〕 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】分析：先对模平方，将33a b a b-=+等价转化为a b ⋅=0，再根据向量垂直时数量积为零得充要关系.详解：2222223333699+6a ba b a b a b a a b b a a b b -=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+，因为,a b 均为单位向量，所以2222699+6=0a a b b a a b b a b -⋅+=⋅+⇔⋅⇔a ⊥b ，即“33a b a b -=+〞是“a b ⊥〞的充分必要条件.选C.点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“假设p 那么q 〞、“假设q 那么p 〞的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q 〞为真，那么p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p3．集合法：假设A ⊆B ，那么A 是B 的充分条件或者B 是A 的必要条件；假设A ＝B ，那么A 是B 的充要条件． 5.定积分()1xx e +⎰的值是()A e B.12e +C.12e -D.1e +【答案】C 【解析】 【分析】根据微积分根本定理()()()()bb aaf x F x F b F a ==-⎰，可知()112012x x x e x e ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭⎰求解，即可. 【详解】()11210001111110122222xx x e x e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⨯+-⨯+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰应选：C【点睛】此题考察微积分根本定理，属于较易题.6.七人并排站成一行，假设甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是() A.3600种 B.1440种 C.4820种 D.4800种【答案】A 【解析】 【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可. 【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5554321120A =⨯⨯⨯⨯=种第二步，将甲乙2人插入6个空中，266530A =⨯=种那么不同的排法种数是5256120303600A A =⨯=种应选：A【点睛】此题考察排列问题，插空法是解决此题的关键.属于较易题. 7.()()52x y x y ++的展开式中33xy 的系数为〔〕A.10B.20C.、30D.40【答案】C 【解析】 【分析】把5()x y +按照二项式定理展开，可得5(2)()x y x y ++的展开式中33x y 的系数．【详解】解：()()()()505145555522++x y x y x y C x C x y C y ++++＝，故它的展开式中含33x y 的项有的3335C x y 和23352C x y故33xy 的系数为3255230C C +=， 应选：C ．【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题．8.将三枚骰子各掷一次，设事件A 为“三个点数都不一样〞，事件B 为“至少出现一个6点〞，那么概率(A |B)P 的值是〔〕A.6091B.12C.518D.91216【答案】A 【解析】考点：条件概率与HY 事件．分析：此题要求条件概率，根据要求的结果等于P 〔AB 〕÷P〔B 〕，需要先求出AB 同时发生的概率，除以B 发生的概率，根据等可能事件的概率公式做出要用的概率．代入算式得到结果． 解：∵P〔A|B 〕=P 〔AB 〕÷P〔B 〕， P 〔AB 〕=3606=60216P 〔B 〕=1-P 〔B 〕=1-3356=1-125216=91216∴P〔A/B 〕=P 〔AB 〕÷P〔B 〕=6021691216=6091 应选A ． 9.幂函数()()21m f x m m x =--在()0,∞+上是减函数，那么实数m =〔〕A.-1B.2C.-1或者2D.12【答案】A 【解析】 【分析】先由幂函数求出m 的值，再根据函数的单调性确定答案. 【详解】由于函数是幂函数， 所以211,2mm m --=∴=或者1m =-.当2m =时，()2f x x =在()0,∞+上不是减函数，所以舍去. 当1m =-时，()1f x x -=在()0,∞+上是减函数.应选A【点睛】此题主要考察幂函数的定义和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.10.将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为〔〕A.π2sin(2)4y x =+B.2sin(2)3y x π=+C.2sin(2)4y x π=-D.2sin(2)3y x π=-【答案】D 【解析】 【详解】函数2sin(2)6y x π=+的周期为π，将函数2sin(2)6y x π=+的图象向右平移14个周期即4π个单位，所得图象对应的函数为2sin[2())]2sin(2)463y x x πππ=-+=-，应选D.【此处有视频，请去附件查看】 11.一元二次不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或者3}x >，那么()100x f >的解集为〔〕.A.{|2x x <-或者lg3}x >B.{|2lg3}x x -<<C.{|lg3}x x > D.{|lg3}x x <【答案】D 【解析】 【分析】 根据不等式()0f x <的解集得出2103x -<<，求出解集即可．【详解】一元二次不等式()0f x <的解集为{|2x x <-或者3}x >，那么()0f x >的解集为{|23}x x -<<，那么(10)0xf >可化为2103x -<<； 解得lg3x <，所以所求不等式的解集为{|lg3}x x <．应选D ．【点睛】此题考察一元二次不等式的解法与应用问题，考察指数不等式的解法，是根底题． 12.函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，那么a =A.12-B.13C.12D.1【答案】C 【解析】函数()f x 的零点满足()2112e e x x xx a --+-=-+，设()11eex x gx --+=+，那么()()21111111e 1eeee ex x x x x x g x ---+----=-=-='， 当()0g x '=时，1x =；当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数()g x 获得最小值，为()12g =.设()22hx x x =-，当1x =时，函数()h x 获得最小值，为1-，假设0a ->，函数()hx 与函数()ag x -没有交点；假设0a -<，当()()11agh -=时，函数()h x 和()ag x -有一个交点，即21a -⨯=-，解得12a=.应选C. 【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或者取值范围的方法： 〔1〕利用零点存在性定理构建不等式求解. 〔2〕别离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.〔3〕转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解. 二.填空题(一共4小题)13.向量a =〔－4，3〕，b =〔6，m 〕，且a b ⊥，那么m =__________. 【答案】8. 【解析】 【分析】利用a b ⊥转化得到0a b •=加以计算，得到m . 【详解】向量4,36,ab m a b =-=⊥（），（），，那么•046308a b m m =-⨯+==，，.【点睛】此题考察平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.属于容易题. 14.设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，那么{}n a 的通项公式为_____.【答案】63n a n =-【解析】 【分析】 设等差数列{}n a 的公差为d ，()31n a n d =+-，根据2536a a +=列方程求解公差d ，即可.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，()31n a n d =+-()()253346536a a d d d +=+++=+=，解得6d =.所以()31663na n n =+-⨯=-故答案为：63na n =-【点睛】此题考察等差数列通项公式，属于较易题.15.倾斜角为3π且过点的直线方程为______．【答案】2y =-.【解析】 【分析】直接根据直线方程点斜式写出直线方程，化简后得到所求的结果.【详解】依题意得(π1tan3y x -=，化简得2y =-.【点睛】本小题主要考察直线方程点斜式，考察倾斜角和斜率的对应关系，属于根底题. 16.21()2(2019)2019ln 2f x x xf x =++'，那么(1)f '=_______. 【答案】2020- 【解析】 【分析】先对函数求导，然后求出(2019)f '，进而求出答案．【详解】由题可得()2019()2(2019)0f x x f x x'=++>'， 令2019x =，那么2019(2019)20192(2019)2019f f '+'=+，解得(2019)2020f '=-，所以()2019()40400f x x x x '=-+>，那么2019(1)1404020201f '=-+=-【点睛】此题考察导函数，解题的关键是先求出(2019)f '，属于一般题．三.解答题(一共6小题)17.函数f 〔x 〕=2sinωxcosωx+cos2ωx〔ω>0〕的最小正周期为π. 〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕求f 〔x 〕的单调递增区间.【答案】〔Ⅰ〕1ω=〔Ⅱ〕3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕． 【解析】试题分析：〔Ⅰ〕运用两角和的正弦公式对f 〔x 〕化简整理，由周期公式求ω的值； 〔Ⅱ〕根据函数y=sinx 的单调递增区间对应求解即可. 试题解析：〔Ⅰ〕因为()2sin cos cos2f x x x x ωωω=+24x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22ππωωT ==．依题意，ππω=，解得1ω=．〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数sin y x =的单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕．由222242k x k πππππ-≤+≤+，得388k x k ππππ-≤≤+． 所以()f x 的单调递增区间为3,88k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦〔k ∈Z 〕． 【考点】两角和的正弦公式、周期公式、三角函数的单调性.【名师点睛】三角函数的单调性：1.三角函数单调区间确实定，一般先将函数式化为根本三角函数HY 式，然后通过同解变形或者利用数形结合方法求解．关于复合函数的单调性的求法；2.利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，必须先看两角是否同属于这一函数的同一单调区间内，不属于的，可先化至同一单调区间内．假设不是同名三角函数，那么应考虑化为同名三角函数或者用差值法〔例如与0比较，与1比较等〕求解．【此处有视频，请去附件查看】 18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈. (1)求数列{}n a 的前n 项和为n S ；(2)令2nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)22n S n n =+(2)()15252nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 (1)将()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈变形整理为()11,2,1n n S S n n N n n *--=≥∈-，那么数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭符合等差数列定义，首项1131S a ==，公差1d =，求解数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可.(2)先根据(1)中的n S ，求出n a ，从而确定n b ，再根据错位相减法求解n T ，即可. 【详解】(1)()()211,2,n n n S nS n n n n N *--=+-≥∈即()11,2,1n n S S n n N n n *--=≥∈- ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1131S a ==，公差为1d =的等差数列.那么()()3112,nS n n n N n=+-⨯=+∈*，即22n S n n =+ (2)由(1)可知22n S n n =+. 当1n =时，113a S ==当2n ≥时，()()()221212121n n n n n n S n a n S -=-⎡⎤+--+-=+⎣⎦=当1n =时，12113a =⨯+=成立.所以21n a n =+，那么()12122nn n n a b n ⎛⎫==+⨯ ⎪⎝⎭ ()()123111111357212122222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭①()()23411111113572121222222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭②①-②得即()15252nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭【点睛】此题考察定义法求数列的通项公式，以及错位相减法求前n 项和，属于中档题. 19.如图，在三棱柱ABC −111A B C 中，1CC ⊥平面ABC ，D ，E ，F ，G 分别为1AA ，AC ，11A C ，1BB 的中点，AB=BC AC =1AA =2．〔1〕求证：AC ⊥平面BEF ； 〔2〕求二面角B −CD −C 1的余弦值； 〔3〕证明：直线FG 与平面BCD 相交．【答案】(1)见解析〔2〕；〔3〕见解析． 【解析】【详解】分析：〔1〕由等腰三角形性质得AC BE ⊥，由线面垂直性质得1AC CC ⊥,由三棱柱性质可得1//EF CC ，因此EF AC ⊥，最后根据线面垂直断定定理得结论，〔2〕根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面BCD 一个法向量，根据向量数量积求得两法向量夹角，再根据二面角与法向量夹角相等或者互补关系求结果，〔3〕根据平面BCD 一个法向量与直线F G 方向向量数量积不为零，可得结论.详解：〔Ⅰ〕在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中， ∵CC 1⊥平面ABC ， ∴四边形A 1ACC 1为矩形． 又E ，F 分别为AC ，A 1C 1的中点， ∴AC ⊥EF ． ∵AB =BC ． ∴AC ⊥BE ，∴AC ⊥平面BEF ．〔Ⅱ〕由〔I 〕知AC ⊥EF ，AC ⊥BE ，EF ∥CC 1． 又CC 1⊥平面ABC ，∴EF ⊥平面ABC ． ∵BE ⊂平面ABC ，∴EF ⊥BE ． 如图建立空间直角坐称系E -xyz ．由题意得B 〔0，2，0〕，C 〔-1，0，0〕，D 〔1，0，1〕，F 〔0，0，2〕，G 〔0，2，1〕． ∴()()=201=120CD CB ，，，，，， 设平面BCD 的法向量为()n a b c =，，， ∴00n CD n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，∴2020a c ab +=⎧⎨+=⎩，令a =2，那么b =-1，c =-4， ∴平面BCD 的法向量()214n ，，=--， 又∵平面CDC 1的法向量为()=020EB ，，， ∴21cos =21n EB n EB n EB⋅⋅=-由图可得二面角B -CD -C 1为钝角，所以二面角B -CD -C 1的余弦值为21-． 〔Ⅲ〕平面BCD 的法向量为()214n =--，，，∵G 〔0，2，1〕，F 〔0，0，2〕， ∴()=021GF -，，，∴2n GF ⋅=-，∴n 与GF 不垂直， ∴GF 与平面BCD 不平行且不在平面BCD 内，∴GF 与平面BCD 相交． 点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.20.数学竞赛培训一共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步一共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，那么能获得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格互相HY ，其合格的概率均一样，〔见下表〕，且每一门课程是否合格互相HY ，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率34232312〔1〕求甲同学获得参加数学竞赛复赛的资格的概率； 〔2〕记表示三位同学中获得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求ξ的分布列及期望．【答案】(1)512;(2)见解析. 【解析】 【分析】(1)先将合格事件标记，然后根据题目给出的条件求出复赛的资格的概率. (2)直接根据离散型随机变量的概率计算方法解答. 【详解】〔1〕分别记甲对这四门课程考试合格为事件,,,A B C D ,那么“甲能修得该课程学分〞的概率为()()()P ABCD P ABCD P ABCD ++,事件,,,A B C D 互相HY ，3221322132115()()()43324332433212P ABCD P ABCD P ABCD ++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=. (2)0337(0)()12P C ξ==，12357(1)()()1212P C ξ==，22357(2)()()1212P C ξ==,3335(3)()12P C ξ==因此，ξ的分布列如下：因为ξ～53,12B ⎛⎫⎪⎝⎭所以553.124E ξ=⨯= 考点：1.离散型随机变量的分布列；2.数学期望；3.互相HY 事件的概率.21.椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A . 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程； 〔Ⅱ〕设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，假设|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点.【答案】〔Ⅰ〕2212x y +=；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【详解】〔Ⅰ〕因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225； 因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=.〔Ⅱ〕设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=， 21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0). 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算才能，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 22.函数()()ln 1af x x x a a R x=+-+-∈. 〔1〕求函数()f x 的单调区间；〔2〕假设存在1x >，使()1xf x x x-+<成立，求整数a 的最小值. 【答案】〔1〕见解析〔2〕5. 【解析】试题分析：(1)求导，分类讨论110044a a a ≤<<≥、、时三种情况的单调性(2)别离含参量ln 211x x x a x +->-，构造新函数，()ln 211x x x g x x +-=-，求导算出零点的范围，从而求出结果解析：〔1〕由题意可知，0x >，()22211a x x af x x x x-+='-=--， 方程20x x a -+-=对应的14a ∆=-，当140a ∆=-≤，即14a ≥时，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， ∴()f x 在()0,+∞上单调递减；当104a<<时，方程20x x a -+-=，且0<<，此时，()f x 在上()0f x '>，函数()f x 单调递增，在11022⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上()0f x '<，函数()f x 单调递减；当0a ≤时，102<，102>，此时当(),0x f x ⎛∈> ⎝'⎭，()f x 单调递增，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；综上：当0a ≤时，10,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，当12x ⎛⎫+∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()f x 单调递减；当104a <<时，()f x 在上单调递增，在11022⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭（，），上单调递减； 当14a≥时，()f x 在()0,+∞上单调递减； 〔2〕原式等价于()1ln 21x a x x x ->+-，即存在1x >，使ln 211x x x ax +->-成立．设()ln 211x x x g x x +-=-，1x >，那么()()2ln 2'1x x g x x --=-，设()ln 2hx x x =--，那么()1110x h x x x='-=->，∴()h x 在()1,+∞上单调递增． 又()()33ln321ln30,44ln4222ln20hh =--=-=--=-，根据零点存在性定理，可知()h x 在()1,+∞上有唯一零点，设该零点为0x ，那么()03,4x ∈，且()000ln 20h x x x =--=，即002ln x x -=，∴()0000min 0ln 2111x x x gx x x +-==+-由题意可知01ax >+，又()03,4x ∈，a Z ∈，∴a 的最小值为5.点睛：此题考察了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进展分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用别离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进展判断零点范围，然后得出结果．。

2021年高三上学期第三次月考数学（理）试卷 Word版含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、复数（i是虚数单位），则=( )A． B． C． D．22、已知集合则( )A． B． C． D．3、已知命题则命题p的否定形式是( )A． B．C. D．4、设为正实数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5、为了得到的图象，只需将的图象（）A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象向右平移个单位C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再将所得图象向右平移个单位6、若函数、分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A． B．C． D．7、已知变量满足约束条件则的取值范围是（）A．[95，6] B.（－∞，95]∪[6，＋∞）C．（－∞，3]∪[6，＋∞） D.[3，6] 8、下列四个图中，函数的图象可能是（）A． B．C． D．9、由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（）A. B. 4 C. D. 510、函数y=sin（ωx+φ）的部分图像如图，则=( )A． B． C． D．11、设数列的前项和为，则的最小值为（）A． B． C． D．12．已知函数=，其中e为自然对数的底数，若关于的方程有三个不同的实数根，则的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．以上都有可能二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13、已知函数，且，则．14、设θ为第二象限角，若，则=_________.15、设函数，，若，，使，则实数的取值范围为．16、在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E，F分别为AB，BC的中点，点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示）。

2021年高三数学上学期第三次月考试题 理（答案不全）本试卷分选择题和非选择题两部分。

第I 卷（选择题），第II 卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

5．考试结束后，只将答题卡交回。

第I 卷（选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项 是符合题目要求的）1、设全集，集合，则集合=（ ）A. B. C. D.2、是虚数单位，复数=（ ）A. B. C. D.3、下列命题中真命题的个数是( )①“∀x ∈R ，－x>0”的否定是“∃x ∈R ，－x<0”；② ∀x∈,＋1是奇数；③若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x <0． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4、执行如右图所示的程序框图，则输出的值是（ ）A. B. C. D. 5、如果将函数的图像向左平移个单位后，所得图像对应的函数为偶函数，那么的最小值为（ ）A. B. C. D.6、已知函数的部分如图所示，则（ ）A. =1 =B. =1 =- 是 开始输出S结束否C. =2 =D. =2 = -7、正项数列满足：，则（）A. B. C. D.8、一个几何体的三视图如右图所示,且其左视图是一个等边．．三角形,则这个几何体的体积为（）A．B．C．D．9、定义在上的函数满足，则“”是“”的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要10、已知函数则下列关于函数的零点个数的判断正确的是（）A. 当时，有3个零点；当时，有2个零点B. 当时，有4个零点；当时，有1个零点C. 无论为何值，均有2个零点D. 无论为何值，均有4个零点第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）11、在等差数列中,已知,则________.12、已知向量与的夹角为120°，且，那么的值为________.13、已知变量满足约束条件，则的最大值为________.14、已知正三棱锥ABC，点P、A、B、C都在半径为的球面上，若PA、PB、PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为________.15、对于三次函数，定义是函数的导函数。

***学校高三（上期）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）)1. 已知全集U=R，集合A={x||x−1|<1}，B={x|2x−5x−1≥1}，则A∩∁U B=( )A.{x|1<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|1≤x<2}D.{x|1≤x<4}2. 设m∈R，则“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行”的（）A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件3. 函数f(x)=e x+1x3(e x−1)（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知棱长为的正方体ABCD−A1B1C1D1的一个面A1B1C1D1在半球底面上，四个顶点A，B，C，D都在半球面上，则半球体积为（）A.4B.2C.D.5. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足2acos A =3c−2bcos B，且b=√5sin B，则a＝（）A.5 3B.23C.35D.2√536. 已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当x∈[0, +∞)时，f(x)+xf′(x)>0，若a ＝0.76f(0.76)，b＝(log0.76)f(log0.76)，c＝60.6⋅f(60.6)，则a，b，c的大小关系是（）A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c7. 设F1，F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|BF1|，若cos∠AF2B=35，则椭圆E的离心率为（）A.1 2B.23C.√32D.√228. 已知函数f(x)＝cos(2x−）+2sin(x−）sin(x+）(x∈R)．给出下面四个结论：①f(x)是最小正周期为π的奇函数；②f(x)图象的一条对称轴是；③f(x)图象的一个对称中心是；④f(x)的单调递增区间为．其中正确的结论是（）A.①③B.②③C.②③④D.①②③9. 已知函数f(x)={x2+4a,x>01+log a|x−1|,x≤0(a>0，且a≠1)在R上单调递增，且关于x的方程|f(x)|＝x+3恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）A.(34, 1316] B.(0, 34]∪{1316}C.[14, 34)∪{1316} D.[14, 34]∪{1316}二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）)10. 若，则z的共轭复数为________．11. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．12. 已知圆C的圆心在直线x+y＝0上，圆C与直线x−y＝0相切，且在直线x−y−3＝0上截得的弦长为√6，则圆C的方程为________．13. 已知a∈R，设函数f(x)＝，若关于x的不等式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为________．14. 在直角三角形ABC中，∠ACB＝90∘，AC＝4，＝2，＝3，则＝________．15. 已知正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，则xyx+4y 的最大值为________18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）)16. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin B2=√66，b sin A=√6a sin C，c=1．（1）求a的值和△ABC的面积；（2）求sin(2A+π3)的值．17. 在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，且满足＝0．(Ⅰ)求证：DE // 平面PBC；(Ⅱ)求二面角F−PC−B的余弦值；(Ⅲ)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，短轴长是2．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设椭圆C的下顶点为D，过点D作两条互相垂直的直线l1，l2，这两条直线与椭圆C的另一个交点分别为M，N．设l1的斜率为k(k≠0)，△DMN的面积为S，当时，求k的取值范围．19. 已知等比数列{a n}的公比q>0，且满足a1+a2＝6a3，a4＝4a32，数列{b n}的前n项和S n＝，n∈N∗．(Ⅰ)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(Ⅱ)设c n＝，求数列{c n}的前2n项和T2n．20. 已知f(x)＝x2−4x−6ln x．(Ⅰ)求f(x)在（1, f(1)）处的切线方程以及f(x)的单调性；(Ⅱ)对∀x∈(1, +∞)，有xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12恒成立，求k的最大整数解；(Ⅲ)令g(x)＝f(x)+4x−(a−6)ln x，若g(x)有两个零点分别为x1，x2(x1<x2)且x0为g(x)的唯一的极值点，求证：x1+3x2>4x0．参考答案与试题解析**8学校高三（上）第三次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可解出集合A，B，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：A={x|0<x<2}，B={x|x<1或x≥4}；∴∁U B={x|1≤x<4}，∴A∩∁U B={x|1≤x<2}．故选C.2.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】由直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，可得且，解出即可判断出．【解答】直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1平行，则且，解得m＝−3，因此“m＝−3”是“直线l1:mx+3y＝2−m与l2:x+(m+2)y＝1”平行的充要条件．3.【答案】D【考点】函数的图象与图象的变换【解析】由函数为偶函数，排除AC；由x→+∞时，f(x)→0，排除B，由此得到答案．【解答】f(−x)=e−x+1(−x)3(e−x−1)=−1+e xx3(1−e x)=e x+1x3(e x−1)=f(x)，故函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A，C；当x→+∞时，x3(e x−1)>>e x+1，f(x)→0，故排除B．4.【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算球的表面积和体积棱柱的结构特征【解析】先求正方体的底面对角线的长，再求球的半径，然后求半球的体积．【解答】正方体的顶点A、B、C、D在半球的底面内，顶点A1、B1、C1、D1在半球球面上，底面ABCD的中心到上底面顶点的距离就是球的半径＝，半球的体积：×π×（）3＝2π．5.【答案】A【考点】正弦定理【解析】由正弦定理及两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理可得3sin C cos A＝2sin C，结合sin C≠0，可得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，由正弦定理可求a的值．【解答】∵2acos A =3c−2bcos B，可得：2a cos B＝3c cos A−2b cos A，∴由正弦定理可得：2sin A cos B＝3sin C cos A−2sin B cos A，可得3sin C cos A＝2(sin A cos B+ sin B cos A)＝2sin C，∵sin C≠0，可得：cos A=23，∴sin A=√1−cos2A=√53，又∵b=√5sin B，∴由正弦定理asin A =bsin B，可得：√53=bsin B=√5，可得：a=53．6.【答案】A【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义余弦定理【解析】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，由cos∠AF2B=35，利用余弦定理，可得a＝3k，从而△AF1F2是等腰直角三角形，即可求椭圆E的离心率．【解答】设|F1B|＝k(k>0)，则|AF1|＝3k，|AB|＝4k，∴|AF2|＝2a−3k，|BF2|＝2a−k∵cos∠AF2B=35，在△ABF2中，由余弦定理得，|AB|2＝|AF2|2+|BF2|2−2|AF2|⋅|BF2|cos∠AF2B，∴(4k)2＝(2a−3k)2+(2a−k)2−65(2a−3k)(2a−k)，化简可得(a+k)(a−3k)＝0，而a+k>0，故a＝3k，∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，∴|BF2|2＝|AF2|2+|AB|2，∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形，∴c=√22a，∴椭圆的离心率e=ca =√22，8.【答案】B【考点】命题的真假判断与应用三角函数中的恒等变换应用【解析】本题考查两角和与差的三角函数及辅助角公式，同时考查函数y＝A sin(ωx+φ)的图象与性质，利用两角和与差的三角函数及辅助角公式化简f(x)，然后由正弦函数的性质，逐一分析求解即可．【解答】∵＝，∴f(x)不是奇函数，故①不正确．∵，∴直线是f(x)图象的一条对称轴，故②正确．∵，∴点是f(x)图象的一个对称中心，故③正确，令，可得，所以f(x)的单调递增区间为，故④不正确．所以正确的结论为②③．9.【答案】D【考点】分段函数的应用【解析】由题意可知f(x)在两段上均为增函数，且f(x)在(0, +∞)上的最小值大于或等于f(0)，作出|f(x)|和y＝x+3的图象，根据交点个数判断4a与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出．【解答】由1+loga |x−1|＝0，解得x＝1−1a≤−3，即x≤0时，有且只有一解．则a的范围是[14, 34]∪{1316}．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）10.【答案】1−3i【考点】复数的运算【解析】利用复数的运算法则求出z，由此能求出z的共轭复数．【解答】＝，∴z的共轭复数为1−3i．11.【答案】43【考点】柱体、锥体、台体的体积计算由三视图求外接球问题【解析】本题主要考查空间几何的体积．【解答】解：正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是√2，则该正八面体的体积为1 3×(√2)2×2=43．故答案为：43．12.【答案】(x−1)2+(y+1)2＝2【考点】直线与圆的位置关系【解析】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得关于a，b，r的方程组，求解可得a，b，r的值，则圆的方程可求．【解答】设圆心为C(a, b)，半径为r，由题意可得，{a+b=0 r=√2(√2)2+(√62)2=r2，解得{a=1b=−1r=√2．∴圆C的方程为(x−1)2+(y+1)2＝2．13.[0, 2e]【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】按照x≤1与x>1分类讨论，分别分离变量、求最值即可．【解答】当x<1时，f(x)≥0化为恒成立，，∵x<1，∴x−1<0，∴，∴，当且仅当即x＝0时取等号．∴a≥0(1)当x>1时，f(x)≥0化为恒成立．设，，∴当∈(1, e)时，，g(x)单调递减，当∈(e, +∞)时，，g(x)单调递增，∴g(x)≥g(e)＝e+e＝2e，∴a≤2e．综上，a∈[0, 2e]．故答案为[0, 2e]．14.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角如图所示，设B(0, a)，利用向量的线性运算和数量积运算即可得出．【解答】建立如图所示的坐标系，则由题意可得A(4, 0)，C(0, 0)，设B(0, a)．又∵＝2，∴＝（，）；∵＝3，∴＝+＝+•＝(−2，），∴则＝4×−2×4＝，15.【答案】18【考点】基本不等式及其应用【解析】令x+4y＝t，则由条件可得xyx+4y =1t+6，然后根据条件出t的范围，进一步求出xyx+4y的最大值．【解答】∵正数x，y满足x2y+4xy2+6xy＝x+4y，∴xy(x+4y+6)＝x+4y，∴xy=x+4yx+4y+6．令x+4y＝t，则xy=tt+6且t>0，∵x+4y≥2√4xy=4√xy，当且仅当x＝4y时取等号，∴t≥4√tt+6，即t2+6t−16≥0，∴t≥2或t≤−8（舍），∴xyx+4y =1t+6≤18，∴xyx+4y 的最大值为18．三、解答题（本大题共5小题，共75.0分）16.【答案】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．【考点】求两角和与差的正弦两角和与差的余弦公式【解析】（1）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sin B、cos B的值，再利用正弦定理求得sin C的值，可得cos C的值，可得sin A=sin(B+C)的值，再利用正弦定理求得a的值．（2）求得cos A=−cos(B+C)的值，可得sin A的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin(2A+π3)的值．【解答】解：(1)△ABC中，sin B2=√66，∴cos B2=√1−sin2B2=√306，∴sin B=2sin B2cos B2=√53，cos B=1−2sin2B2=23，∴B为锐角．∵b sin A=√6a sin C，利用正弦定理可得sin B sin A=√6sin A sin C，∴sin C=√6=√3018<sin B，故C为锐角，cos C=√1−sin2C=7√618，∴sin A=sin(B+C)=sin B cos C+cos B sin C=√53×7√618+23×√3018=√306．再根据c=1，利用正弦定理asin A =csin C，可得√306=√3018，求得a=3，故△ABC的面积为S=12ac⋅sin B=12×3×1×√53=√52．（2）∵cos A=−cos(B+C)=sin B sin C−cos B cos C=√53×√3018−23×7√618=−√66，∴sin A=√1−cos2A=√306，cos2A=1−2sin2A=1−2×3036=−23，∴sin(2A+π3)=sin2A cosπ3+cos2A sinπ3=√306×12−23×√32=√30−4√312．17.【答案】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行【解析】(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE // CM，由此能证明DE // 平面PBC．证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE // 平面PBC．(Ⅱ)设点F(1, t, 0)，求出平面FPC和平面PCB的法向量，利用向量法能求出二面角F−PC−B的余弦值．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，利用向量法能求出在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，|AQ|＝．【解答】证明：(Ⅰ)证法一：取PB的中点M，AB的中点N，连结EM，CM，∵在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB // DC，AB⊥AD，DC＝AD＝1，AB＝2，∠PAD＝45∘，E是PA的中点，F在线段AB上，∴CD // AB，且CD＝，EM // AB，且EM＝，∴EM // CD，且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE // CM，∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（1）证法二：由题意得DA、DC、DP两两垂直，如图，以D为原点，DA、DC、DP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A(1, 0, 0)，B(1, 2, 0)，C(0, 1, 0)，P(0, 0, 1)，E（），＝(−1, −1, 0)，＝(0, −1, 1)，设平面PBC的法向量为＝(x, y, z)，则，取y＝1，得＝(−1, 1, 1)，又＝（），∴＝0．又DE⊄平面PBC，∴DE // 平面PBC．（2）设点F(1, t, 0)，则＝(1, t−1, 0)，＝(1, 2, 0)，∵＝0，∴＝1+2(t−1)＝0．解得t＝，∴F(1，，0)，，＝(0, 1, −1)，设平面FPC的法向量＝(x, y, z)，由，得，取x＝1，得＝(1, 2, 2)，设二面角F−PC−B的平面角为θ，则cosθ＝＝，∴二面角F−PC−B的余弦值为．(Ⅲ)设＝＝(−λ, 0, λ)，λ∈[0, 1]，∴＝，∴＝λ−1，∴cos<>＝＝，∵FQ与平面PFC所成角的余弦值是，∴其正弦值为，∴||＝，解得，或（舍），∴在线段PA上是否存在点Q，使得FQ与平面PFC所成角的余弦值是，＝（-），|AQ|＝．18.【答案】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．【考点】椭圆的标准方程椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)根据椭圆C的离心率为，短轴长是2，结合a2＝b2+c2，即可求出a，b的值；(Ⅱ)设l1的方程为y＝kx−1，代入入+y2＝1，求出M的坐标，可得DM，用-代k得DN＝，求出△DMN的面积，＝，可得>，从而可求k的取值范围．【解答】（1）设椭圆C的半焦距为c，则由题意得，又a2＝b2+c2，联立解得a＝2，b＝1．∴椭圆方程为+y2＝1，（2）由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为+y2＝1，所以椭圆C与y轴负半轴交点为D(0, −1)．因为l1的斜率存在，所以设l1的方程为y＝kx−1，代入+y2＝1，得M（，），从而DM＝＝．用-代k得DN＝，所以△DMN的面积S＝•×＝．则＝，因为，即>，整理得4k4−k2−14<0，解得-<k2<2所以0<k2<2，即-<k<0或0<k<．从而k的取值范围为（-，0)∪(0，）．19.【答案】（1）依题意，由a1+a2＝8a3，a4＝2a32，可得，解得q＝，a1＝，∴a n＝•（）n−1＝（）n，n∈N∗，对于数列{b n}：当n＝1时，b3＝S1＝1，当n≥7时，b n＝S n−S n−1＝-＝n，∵当n＝6时，b1＝1也满足上式，∴b n＝n，n∈N∗．（2）由题意及(Ⅰ)，可知当n为奇数时，c n＝•a n+7＝×（）n+3＝-，当n为偶数时，c n＝a n⋅b n＝n⋅（）n，令A＝c5+c3+...+c2n−2，B＝c2+c4+...+c8n，则A＝c1+c3+...+c4n−1＝-+-+…+-＝-＝-，B＝c6+c4+c6+...+c2n＝2⋅（）2+4⋅（）4+2⋅（）8+...+2n⋅（）2n，∴（）2B＝2⋅（）4+2⋅（）2+...+(2n−2)⋅（）2n+7n⋅（）7n+2，两式相减，可得B＝2⋅（）2+2⋅（）4+3⋅（）2+...+2⋅（）2n−2n⋅（）2n+6，＝（）3+（）7+（）5+...+（）3n−1−2n⋅（）2n+2，＝−2n⋅（）2n+7，＝−(n+）•（）2n+2+，∴B＝-•（）2n−6+，∴T8n＝c1+c2+...+c5n＝(c1+c3+...+c8n−1)+(c2+c3+c6+...+c2n)＝A+B＝--•（）2n−1+＝-（+）2n−2．【考点】数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的单调性【解析】(Ⅰ)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；(Ⅱ)xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得ℎ(x)的单调性，以及最小值，即可得到所求k的最大整数解；(Ⅲ)求得g(x)的导数和单调性，由极小值小于0，可得a>2e，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证．【解答】（1）f(x)＝x2−4x−6ln x的导数为f′(x)＝2x−4−，可得f′(1)＝−8，f(1)＝−3，所以f(x)在（1, f(1)）处的切线方程为y+3＝−8(x−1)即y＝−8x+5；由f′(x)＝(x+1)(x−3)，由f′(x)>0，可得x>3；由f′(x)<0，可得0<x<3，所以f(x)的单调递减区间为(0, 3)，单调递增区间为(3, +∞)；（2）xf′(x)−f(x)>x2+6k(1−）−12等价于k<（）min，可令ℎ(x)＝，ℎ′(x)＝，记m(x)＝x−2−ln x，m′(x)＝1−>0，所以m(x)为(1, +∞)上的递增函数，且m(3)＝1−ln3<0，m(4)＝2−ln4>0，所以∃x0∈(3, 4)，m(x0)＝0，即x0−2−ln x0＝0，所以ℎ(x)在(1, x0)上递减，在(x0, +∞)上递增，且ℎ(x)min＝ℎ(x0)＝＝x0∈(3, 4)，所以k的最大整数解为3；(Ⅲ)证明：g(x)＝x2−a ln x，g′(x)＝2x−＝＝0，可得x0＝，当x∈(0，），g′(x)<0，x∈（，+∞)，g′(x)>0，所以g(x)在(0，）上单调递减，（，+∞)上单调递增，而要使g(x)有两个零点，要满足g(x0)<0，即g（）＝（）2−a ln<0可得a>2e，因为0<x1<，x2>，令＝t(t>1)，由f(x1)＝f(x2)⇒x12−a ln x1＝x22−a ln x2，即x12−a ln x1＝t2x12−a ln tx1⇒x12＝，而x1+3x2>4x0⇔(3t+1)x1>2⇔(3t+1)2x12>8a，即(3t+1)2•>8a，由a>0，t>1，只需证(3t+1)2ln t−8t2+8>0，令ℎ(t)＝(3t+1)2ln t−8t2+8，则ℎ′(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，令n(t)＝(18t+6)ln t−7t+6+，则n′(t)＝18ln t+11+>0(t>1)，故n(t)在(1, +∞)上递增，n(t)>n(1)＝0；故ℎ(t)在(1, +∞)上递增，ℎ(t)>ℎ(1)＝0；∴x1+3x2>4x0．。