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几何综合题(学生版)

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1 几何综合题复习 1、（2011上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0Rt△ABC的边上，那么m＝_________．

2、如图，设△ABC和△CDE都是正三角形，且∠EBD＝62o，则∠AEB的度数=. 3、如图2，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，点M为BC中点，试探究线段DE与AM之间的关系.

4、已知: 如图, △ABC中, AB = AC, A = 20, BD平分ABC. 求证: BD + BC = AD.

5、如图3，凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且AC⊥BD，已知OA＞OC， OB＞OD，比较BC+AD与AB+CD的大小．

EDCB

A

A B C D

图2 B

A M C

D E

D B O A C 图3 2

LO2O1HGF

EDCB

A

6.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中 ∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0）， 将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x6上时，线段 BC扫过的面积为（）

A．4 B．8 C．16 D．82 7．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为222和，对角线BD、FH都在直线L上，21OO和分别是正方形的中心，线段21OO的长叫做两个正方形的中心距。当中心2O在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变。 （1）计算：DO1，FO2。 （2）当中心2O在直线L上平移到两个正方 形只有一个公共点时，中心距21OO=。 （3）随着中心2O在直线L上的平移，两个正方形的公共 点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）。

8. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC， （1）P是三角形内的一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC． （2）D是三角形内一点，若BD（3）D是三角形内一点，若BD

PCB

ADCB

A

A B C O y x 3 9. 如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点(点P与点C不

重合)，连结BP.将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0＜α＜180），得到△A1B1P,连结AA1，射线AA1分别交射线PB、射线B1B于点E、F. （1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在关系（填“相似”或“全等”），并说明理由； （2）如图2，设∠ABP=β . 当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合. 已知AB=4，设DP=x，△A1BB1的面 积为S，求S关于x的函数关系

10．（1）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在点A处，若3OA，1AB，则点A的坐标是多少？

（2）如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连结OB，将纸片OABC沿OB折叠，

使点A落在A的位置，若5OB，21tanBOC，则点A的坐标是多少？

图1 图2 图3 P B1 F A DO E C B

A1 P B1

F A DO

E C

B A1

P B1

A DO C

B A1

yxOA'CBA

A'ABCOx

y4

11.如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠,使点A与点D2重合,折痕与AD交于点P3;…;设Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为( )

A．512532 B．69352 C．614532D．711352 12.如图，菱形纸片ABCD中， ∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处， 且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，CFFD的 值为( )

A. 312 B. 36 C. 2316 D. 318 13．在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，3OA，4OB，D为边OB的中点. （Ⅰ）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标；

（Ⅱ）若E、F为边OA上的两个动点，且2EF，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

y B

O D C

A x 5

14. 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，分别以AB、AC 为边作等边△ABE和△ACD，连结ED交AB于F，求证：EF=FD．

15. △ABC和△DBE是绕点B旋转的两个相似三角形, 其中ABC与DBE、A与D为对应角. (1) 如图1, 若△ABC和△DBE分别是以ABC与DBE为顶角的等腰直角三角形, 且两三角形旋转到使点B、C、D在同一条直线上的位置时, 请直接写出线段AD与线段EC的关系; (2) 若△ABC和△DBE为含有30角的两直角三角形, 将△DEB绕B点旋转到如图2的位置时, 取AC中点M, DE中点N, 连结MN, MB, NB. 直接写出线段MN与线段CE的数量关系；求出当旋转的角度(1800)为多少时, △BMN的面积最大. 请说明理由;

(3) 若△ABC和△DBE为如图3的两个三角形, 且ACB = ,BDE = , 在绕点B旋转的过程中, 直线AD与EC夹角的度数是否改变？若不改变, 直接写出用含、的式子表示夹角的度数; 若改变, 请说明理由.

A B E

D C

A B

C D E 30 30

图1 A B C D E 图2 图3

FEDCBA6 l1

E

l

1

M

NB

DFA

CA

B

DE

F

l1l

1

GCl1

MNB

DEF

l2

CA

16. 在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A(3．0)，B(0，4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β． (I) 如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标； (Ⅱ) 如图②，当旋转后满足BC∥x轴时．求α与β之间的数量关系； (Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)，

17．已知，正方形ABCD的边长为1，直线1l//直线2l，1l与2l之间的距离为1，1l与2l 正方形ABCD的边总有交点． （1）如图1，当ACl1于点A，，ACl2交边DC、BC分别于E、F时，求△EFC 的周长； （2）把图1中的1l与2l同时向右平移x，得到图2，问△EFC与△AMN的周长的和是否 随x的变化而变化，若不变，求出△EFC与△AMN周长的和；若变化，请说明理由； （3）把图2中的正方形饶点A逆时针旋转，得到图3，问△EFC与△AMN周长的和是否随的变化而变化，若不变，求出的周长的和；若变化，请说明理由． 7

18．在△ABC中，ACAB,D是底边BC上一点，E是线段AD上一点,且∠BACCEDBED2．

(1) 如图1,若∠90BAC,猜想DB与DC的数量关系为； (2) 如图2,若∠60BAC，猜想DB与DC的数量关系，并证明你的结论； （3）若∠BAC，请直接写出DB与DC的数量关系.

19．小杰遇到这样一个问题：如图1，在□ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连结EF，△AEF的三条高线交于点H，如果AC=4，EF=3，求AH的长． 小杰是这样思考的：要想解决这个问题，应想办法将题目中的已知线段与所求线段

尽可能集中到同一个三角形中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现可以通过将△AEH平移至△GCF的位置(如图2)，可以解决这个问题． 请你参考小杰同学的思路回答： （1）图2中AH的长等于． （2）如果AC=a，EF=b，那么AH的长等于．

图1 图2 BADCEFHGHFECDAB

ABC

D

E

AE

BCD

图1 图2

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高2012级立体几何测试题学生版

高2012级立体几何测试题学生版

高2012级立体几何测试题班级_________ 姓名__________一、选择题（每小题5分，共60分）1．两条直异面线,a b 所成角的取值范围是（ ） A (0,)2π B (0,]2πC [0,]2πD (0,)π 2．空间四边形S ABC -各边及对角线相等，若,EF 分别为SC ，AB 中点，则异面直线EF 与SA 所成的角为（ ） A2π B 3π C 4π D 6π3．E,F 分别是正方形ABCD 中AB ，BC 中点，沿DE,DF 把∆ADE ，∆CDF 和∆BEF 折起，使A 、B 、C 三点重合于点P ，则有（ ）A DP PEF ⊥平面B DE PEF ⊥平面C DF PEF ⊥平面D PF DEF ⊥平面 4．A 表示点，,,m n l 表示直线，,αβ表示平面，下列命题的逆命题不成立的是（ ）A ,m n m n αα⊥⊥若则B ,m m αβαβ⊥⊥若则C ,,,m n l m m n l n αα⊥⊥⊥若则D ,,m n A l n m l m n ααα⊂⋂=⊥⊥是在内的射影，若则 5．在下列条件中使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）A 2OM OA OB OC =--B 111532OM OA OB OC =++C 0MA MB MC ++=D 0OM OA OB OC +++=6．(2,5,2),(3,1,1)a b ==-，则a 在b 上的射影的长度是（ ）A B11 C 11D 7．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，则这两个二面角大小关系是（ ）A 相等B 互补C 相等或互补D 不确定 8．设有直线m,n ，平面,αβ，则下列命题中正确的是（ ） A ,,,m n m n αβαβ⊂⊂若则 B ,,,m m n n αβαβ⊥⊥⊂若则C ,,,m n m n αβαβ⊥⊥⊥若则D ,,,m n n m βααβ⊥⊂⊥若则A BB 9．PA 垂直于正方形ABCD 所在平面，连结PB ，PC ，PD ，AC ，BD ，则一定互相垂直的平面有（ ）A 8对B 7对C 6对D 5对10．三个平面两两垂直，它们的交线交于一点O ，空间一点P 到这三个平面的距离之比为1:2:3，PO=，则P 到三个面的距离分别是（ ） A 1,2,3 B 3,6,9 C 2,4,6 D 4,8,12 11．把边长为2的正∆ABC 沿BC 边上的中线AD折成60︒的二面角B-AD-C 后，点D 到平面ABC 的距离为（ ） A2 B 1C 5D 12．与空间四边形ABCD 四个顶点的距离相等的平面共有（ ）个 A 4 B 5 C 6 D 7 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 点B 是A （3,7，4-）在xoz 平面上的射影，则OB =__________。

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

立体几何复习专题(空间角)(学生卷)

专题一：空间角一、基础梳理1.两条异面直线所成的角（1）异面直线所成的角的范围：(0,]2π。

（2）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥。

（3）求异面直线所成的角的方法：（1）通过平移，在一条直线上（或空间）找一点，过该点作另一（或两条）直线的平行线； （2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。

平移技巧有：平行四边形对边平移、三角形中位线平移、补形平移技巧等。

2．直线和平面所成的角（简称“线面角”） （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角。

一直线垂直于平面，所成的角是直角；一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角。

直线和平面所成角范围：[0，2π]。

（2）最小角定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内 经过斜足的直线所成的一切角中最小的角。

（3）公式：已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ且a 上的射影c 与b 相交成ϕ2角，。

内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角。

3．二面角（1）二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。

若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--。

（2）二面角的平面角： 过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内．．．．．． 作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角。

说明：①二面角的平面角范围是[]0,π，因此二面角有锐二面角、直二面角与钝二面角之分。

②二面角的平面角为直角时，则称为直二面角， 组成直二面角的两个平面互相垂直。

（3）二面角的求法：（一）直接法：作二面角的平面角的作法：①定义法；②棱的垂面法；③三垂线定理或逆定理法；（注意一些常见模型的二面角的平面角的作法） （二）间接法：面积射影定理的方法。

相似三角形几何模型微专题(精选精练)(学生版)-初中数学

相似三角形几何模型微专题(精选精练)(学生版)-初中数学

相似三角形几何模型微专题(精选精练)【题型目录】【题型1】“A字”模型; 2【题型2】“反A字”模型； 2【题型3】“8字”模型; 3【题型4】“反8字”模型； 4【题型5】“双A字”模型； 5【题型6】“双8字”模型； 6【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合； 6【题型8】“共边等角”模型； 7【题型9】“共顶点等角”模”； 8【题型10】“母子”模型 8【题型11】与“射影”模型； 10【题型12】“一线三直角”模型； 11【题型13】“一线三等角”模型； 13【题型14】“对角互补”模型； 15【题型15】“十字架”模型； 16【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型； 16【题型17】“双垂直等角”模型 18【题型18】“旋转相似”模型 18【题型19】“旋转手拉手”模型 19【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”. 20【题型1】“A字”模型;1.(2024·贵州贵阳·二模)如图，在中，，分别为边，上的点，连接，将沿折叠，使点与点重合，若，，则的长为()A.4B.6C.8D.102.(24-25九年级上·江苏南通·开学考试)如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是．3.(23-24九年级下·全国·期中)如图，在中，D在上，．(1)求证：；(2)若，求的值．【题型2】“反A字”模型；4.(2025九年级下·全国·专题练习)如图，中，，点D在边上，且交于点E．(1)求证：；(2)若，E是中点，求的长．5.(19-20九年级上·全国·课后作业)如图，，分别是与边上的高．求证：．6.(23-24九年级下·贵州黔东南·阶段练习)如图，中，，以为直径的分别交，于点D，E，连接，则的长为( )A.1B.C.2D.【题型3】“8字”模型;7.(23-24九年级上·北京·阶段练习)如图，在菱形中，点E在上，，，则为()A. B. C. D.8.(23-24九年级下·山东枣庄·开学考试)如图，在中，点是线段上一点，，过点作交的延长线于点，若的面积等于，则的面积等于()A.8B.16C.24D.329.(24-25九年级上·上海·阶段练习)如图，点是平行四边形边延长线上一点，交于点，如果，那么．【题型4】“反8字”模型；10.(24-25九年级上·上海奉贤·阶段练习)如图，已知在四边形中，与相交于点O ，．(1)求证：；(2)若，求的值．11.(24-25九年级上·广西桂林·期中)如图，，相交于点，．(1)求证：；(2)已知，，的面积为6，求的面积．12.(23-24九年级上·安徽·单元测试)已知：如图，在⊙O 中，弦、相交于点P ，，，，则．【题型5】“双A字”模型；13.(24-25九年级上·全国·期末)如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长交于，连接并延长交于，连接．求证：．14.(2024九年级上·全国·专题练习)如图1，已知，是上一点，交于点，交于点，连接，与交于．求证：．15.(24-25九年级上·上海·阶段练习)如图，和相交于点，点在上，，．(1)求的长；(2)已知，求的面积．16.(2024·辽宁·模拟预测)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像(点A、B的对应点分别是C、D)．若物体的高为，实像的高度为，则小孔O的高度为．【题型6】“双8字”模型；17.(2024·吉林长春·模拟预测)如图，在中，点、分别在边、上，线段、相交于点，且，．若的面积为2，则的面积为()A.4B.5C.6D.718.(2024·陕西渭南·二模)如图，平行四边形中，，，连交于，则．19.(23-24九年级上·上海松江·阶段练习)如图，平行四边形中，，，是对角线上的两点，且点，是线段的三等分点，交于点，交于点，则．【题型7】“A字模型”与“8字模型”综合；20.(24-25九年级上·河南南阳·阶段练习)如图，，与相交于点E，若，，，则值是()A. B. C. D.21.(23-24九年级下·浙江金华·开学考试)如图，在平行四边形中，是边延长线上的一点，连结交边于点，交对角线于点G，若，则．【题型8】“共边等角”模型；22.(23-24九年级上·辽宁鞍山·期中)如图，平分，D为中点，，求证：．23.(24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习)如图，在中，，，，于B，点D为射线上一点，连接，若与相似．(1)求的长；(2)请直接写出与的面积比．24.(2024·江苏扬州·三模)如图，在中，，，为直线左侧一点．若，则的最大值为．【题型9】“共顶点等角”模”；25.在和中，，，求证：．26.(23-24九年级上·广东深圳·期中)在锐角三角形中，点、分别在边、上，于点，于点，．(1)求证：；(2)若，，，求的长．【题型10】“母子”模型27.(24-25九年级上·山东菏泽·期中)如图，的顶点A，B在上，边与相交于点D，，连接交于点E，．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．28.(22-23九年级上·浙江杭州·期末)如图，在正五边形中，连结交于点F(1)求的度数．(2)已知，求的长．29.(24-25九年级上·浙江·期中)如图，在中，D是上一点，已知．(1)求证：；(2)已知，，求的度数．30.(24-25九年级上·浙江·期末)如图，在中，D为边的中点，点E在边上，连结，并延长至点F，连结，使，且．(1)求证：．(2)若，，求的长．31.(24-25九年级上·湖南岳阳·期中)探究：(1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意一点，且，求的最小值．【题型11】与“射影”模型；32.(20-21九年级·江苏南京·自主招生)点G为的中点，，，△沿翻折使点落在上，四边形为矩形，求．33.(24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习)如图，点是正方形边上一点，过作的垂线，交于点，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若正方形的边长为．点是的中点，求的长．34.(24-25九年级上·吉林长春·期中)如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴的正半轴上，线段、的长度都是方程的解，且若点从点出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，连结．(1)如图，判断三角形的形状，并说明理由．(2)在点运动过程中，利用图及备用图探究，当周长最短时，求点运动的时间．(3)在点的运动过程中，利用备用图探究，是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【题型12】“一线三直角”模型；35.(2024·辽宁·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，正方形的边、分别在轴和轴上，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线折叠后得到，若反比例函数()的图象经过点，则的值为( )A.27B.48C.54D.10836.(22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习)(1)如图，点为正方形对角线上一动点，过点作交于点，试判断线段、的数量关系，并说明理由；(2)如图，点为矩形对角线上一动点，过点作交于点，若，，试判断的值是否为定值？若是定值，请求出的值；若不是定值，请说明理由．37.(24-25九年级上·全国·期末)如图，点是矩形中边上一点，沿折叠为，点落在上．(1)求证：；(2)若，，求的值；38.(24-25九年级上·四川成都·期中)【定义】平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．【初步感知】如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值；【深入探究】如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值；【拓展延伸】在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值．39.(24-25九年级上·陕西榆林·期中)(1)如图，在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点．【探究证明】求证：；【特例分析】若，，为的中点，求的长．【衍生拓展】(2)如图，在中，，，，是的中点，射线，分别交，于点，，且，求的值．【题型13】“一线三等角”模型；40.(24-25九年级上·江西抚州·期中)如图，在等边三角形中，点是边上一动点(点不与端点重合)，作，交边于点，交边于点．(1)求证：；(2)若，，，求的长．41.(2024·河北秦皇岛·模拟预测)如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．(1)如图①，当点在线段上，且时，求证：；(2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：．【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质．(1)由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：；(2)由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：．(1)证明：是等腰直角三角形，，，，，是的中点，，在和中，，；(2)证明：和是两个全等的等腰直角三角形，，，即，，，．42.(24-25九年级上·辽宁沈阳·期中)[问题提出]点E是菱形边上一点，是等腰三角形，，，()，交边于点G，H，连接．探究与的数量关系．[问题探究](1)如图1，当时，求的度数；(2)如图2，当时，的度数；当时，求与之间的数量关系．[问题拓展]当时，若，，则．【题型14】“对角互补”模型；43.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，在中，，，D是边上一点，且，E是边上的动点，过点D作的垂线交线段于点F，试探究线段，，之间的数量关系．44.(24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习)如图，在中，，，直角的顶点O在上，、分别交、于点P、Q，绕点O任意旋转，当时，的值为；当时，的值为．(用含m，n的式子表示)【题型15】“十字架”模型；45.(24-25九年级上·山东菏泽·期中)如图，在矩形中，是对角线，于点，交于点，，，求的长．46.(23-24九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习)如图所示，将矩形分别沿，，翻折，翻折后点A，点D，点C都落在点H上，若，则．47.(2024九年级上·全国·专题练习)(1)如图①，四边形为正方形，，那么与相等吗？为什么？(2)如图②，在中，为边的中点，于点，交于点，求的值；(3)如图③，中，为边的中点，于点，交于点，若，求的长．【题型16】“三角形内接特殊四边形”模型；48.(24-25九年级上·浙江·期末)有一块三角形余料，它的边，高线要把它加工成矩形零件，使矩形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．设，．(1)求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．(2)当时，求加工成的矩形零件的周长．49.(24-25九年级上·山东聊城·阶段练习)如图，有一块形状为直角三角形的余料．已知，，，要把它加工成个平行四边形工件，使在边上，D，E两点分别在边，上，且，则平行四边形的面积为．50.(2023九年级上·全国·专题练习)如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，求的长．51.(2024九年级上·全国·专题练习)如图，在中，于点D，正方形的四个顶点都在的边上．求证：【题型17】“双垂直等角”模型52.(24-25九年级上·四川达州·期末)如图，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，过点E作的垂线交边于点F，连接并延长，交边于点G．(1)求证：；(2)若，，求线段的长．53.(2024·黑龙江大庆·模拟预测)如图，在中，，，，E为线段上一动点，且，当点E从点B运动到点A时，点F的运动路径长为54.(23-24九年级上·四川内江·阶段练习)如图，和都是等腰直角三角形，，顶点在边上，与相交于点F，若，，则的面积为．【题型18】“旋转相似”模型55.(24-25九年级上·全国·课后作业)如图，和均为等腰直角三角形，，在内，．若，，则．56.(2024·安徽合肥·模拟预测)如图，在中，，相交于点O，将绕点C旋转至的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：(1)已知，则(用含的代数式表示)；(2)若，则的长为．【题型19】“旋转手拉手”模型57.(24-25九年级上·河南信阳·阶段练习)四边形和四边形有公共顶点A，连接和．(1)如图1，若四边形和四边形都是正方形，当正方形绕点A旋转角时，和的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，若四边形和四边形都是矩形，且，判断和的数量关系和位置关系，并说明理由；(3)在(2)的条件下，若，，矩形绕点A逆时针旋转角，当时，直接写出线段的长．58.(24-25九年级上·山东日照·阶段练习)【问题呈现】和都是直角三角形，，，，连接，，探究，的位置关系．(1)如图1，当时，直接写出与的位置关系：；与的数量关系为；(2)如图2，当时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，写出正确的结论并说明理由．(与的数量关系可用含式子表示)【拓展应用】(3)当，，时，将绕点旋转，使，，三点恰好在同一直线上，求的长．59.(23-24九年级上·云南玉溪·期末)如图1，正方形和正方形(其中)，连接，交于点，请直接写出线段与的数量关系，位置关系；如图，矩形和矩形，，，，将矩形绕点逆时针旋转，连接，交于点，中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由；矩形和矩形，，，将矩形绕点逆时针旋转，直线，交于点，当点与点重合时，请直接写出线段的长．【题型20】“平行线+角平分线=等腰三角形模型”.60.(24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习)如图，在中，，E、F分别是，的中点，动点P在射线上，交于点D ，的平分线交于Q，当时，()A.8B. C.4 D.1021。

2014高考立体几何二轮复习—专题综合检测四(立体几何检测学生版)

2014高考立体几何二轮复习—专题综合检测四(立体几何检测学生版)

专题综合检测四时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2013·成都石室一模)设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )A ．若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥αB ．若a ∥α，α⊥β，则a ⊥βC ．若a ⊥β，α⊥β，则a ∥αD ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β 2．(文)(2013·菱湖月考)若某多面体的三视图(单位：cm)如图所示，则此多面体的体积是( )A.12cm 3B.23cm 3 C.56cm 3 D.78cm 3(理)(2012·河北郑口中学模拟)某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13，则该几何体的俯视图可以是( )3．(2013·湖南文，7)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12 D. 24．(文)如图，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在平面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 的内部(理)(2012·嘉兴调研)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AB 上的动点，则直线A 1D 与直线C 1E 所成的角等于( )A ．60°B ．90°C ．30°D ．随点E 的位置而变化5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为136.(2012·广州模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD . 若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°7．(文)已知m 、n 是两条不同直线，α、β为两个不同平面，那么使m ∥α成立的一个充分条件是( )A ．m ∥β，α∥βB ．m ⊥β，α⊥βC ．m ⊥n ，n ⊥α，m ⊄αD ．m 上有不同的两个点到α的距离相等(理)如果一条直线和一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成“正交线面对”的概率为( )A.17B.114C.328D.94908．如图，在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下列四个结论不成立的是( )A ．BC ∥平面PDFB ．DF ⊥平面P AEC ．平面PDF ⊥平面P AED ．平面PDE ⊥平面ABC9．(文)(2013·新课标Ⅱ理，4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l(理)(2013·山东理，4)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形，若P 为底面△A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π610．(文)已知a 、b 、c 、d 是空间四条直线，如果a ⊥c ，b ⊥c ，a ⊥d ，b ⊥d ，那么( ) A ．a ∥b 且c ∥d B ．a 、b 、c 、d 中任意两条可能都不平行 C ．a ∥b 或c ∥d D ．a 、b 、c 、d 中至多有一对直线互相平行(理)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，E 是侧棱BB 1的中点，则直线AE 与平面A 1ED 1所成角的大小为( )A ．60°B ．90°C ．45°D ．以上都不正确11．如图，在棱长为5的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，EF 是棱AB 上的一条线段，且EF ＝2，Q 是A 1D 1的中点，点P 是棱C 1D 1上的动点，则四面体P －QEF 的体积( )A ．是变量且有最大值B ．是变量且有最小值C ．是变量且有最大值和最小值D ．是常量12．(文)已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(理)如图，在△ABC 中，AB ⊥AC ，若AD ⊥BC ，则AB 2＝BD ·BC ；类似地有命题：在三棱锥A －BCD 中，AD ⊥平面ABC ，若A 点在平面BCD 内的射影为M ，则有S 2△ABC ＝S △BCM ·S△BCD.上述命题是( )A ．真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”才是真命题 C ．增加条件“M 为△BCD 的垂心”才是真命题 D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”才是真命题二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)13．(2012·海南模拟)已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，P A ⊥底面ABCD ，点E 、F 分别是棱PC 、PD 的中点，则①棱AB 与PD 所在直线垂直； ②平面PBC 与平面ABCD 垂直； ③△PCD 的面积大于△P AB 的面积； ④直线AE 与平面BF 是异面直线． 以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)14.(2012·安庆市二模)如图，正方形BCDE 的边长为a ，已知AB ＝3BC ，将直角△ABE 沿BE 边折起，A 点在面BCDE 上的射影为D 点，则翻折后的几何体中有如下描述：①AB 与DE 所成角的正切值是2； ②V B－ACE 的体积是16a 2； ③AB ∥CD ； ④平面EAB ⊥平面ADE ； ⑤直线BA 与平面ADE 所成角的正弦值为33.其中正确的叙述有________(写出所有正确结论的编号)．15．(2013·济南质检)如图，在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大值是________．16．(文)三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①SB ⊥AC ； ②直线SB ⊥平面ABC ； ③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的序号是________． (理)在四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2， ∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小等于__________．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2013·江西八校联考)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝2，点M 、N 分别为A 1B 和B 1C 1的中点．(1)证明：A 1M ⊥平面MAC ；(2)求三棱锥A －CMA 1的体积； (3)证明：MN ∥平面A 1ACC 1.18．(本小题满分12分)(2013·大兴区模拟)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是等边三角形，D是BC的中点．(1)求证：直线A1D⊥B1C1；(2)判断A1B与平面ADC1的位置关系，并证明你的结论．19．(本小题满分12分)(2013·江西师大附中、鹰潭一中模拟)如图1，⊙O的直径AB＝4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为BC的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图2)．(1)求证：OF∥平面ACD；(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)(文)如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2AD＝2CD＝2.(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；(2)在A1B1上是否存在一点P，使得DP和平面BCB1、平面ACB1都平行？证明你的结论．(理)(2012·山西大同学情调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝6，沿对角线BD 把△ABD 折起，使A 点移到A 1点，且A 1在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上．(1)求证：BC ⊥A1D ；(2)求证：平面A 1BC ⊥平面A 1BD ； (3)求三棱锥A 1－BCD 的体积．22．(本小题满分14分)(文)(2013·福建文，18)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ； (3)求三棱锥D －PBC 的体积．(理)(2013·陕西理，18)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ 2.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．（反馈练习）一、选择题1．(文)(2012·杭州第二次质检)如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为()A．6 B．12 3C．24 D．3(理)(2013·郑州质检)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为()A．6＋ 5 B．6＋2 5C．8＋ 5 D．8＋2 52．(2013·福州质检)如图是一个空间几何体的三视图，这个几何体的体积是()A．2π B．4πC．6π D．8π3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是() A．若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥αB．若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂αC．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β4．(2013·嘉兴二测)已知α，β，γ是三个不重合的平面，m、n是不重合的直线，下列判断正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．若α⊥β，l∥β，则l∥αC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n5．在正四面体(棱长都相等的四面体)A －BCD 中，棱长为4，M 是BC 的中点，点P 在线段AM 上运动(P 不与A 、M 重合)，过点P 作直线l ⊥平面ABC ，l 与平面BCD 交于点Q ，给出下列命题：①BC ⊥平面AMD ； ②Q 点一定在直线DM 上； ③V C －AMD ＝4 2. 其中正确的是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③6.如图，正△ABC 的中线AF 与中位线DE 相交于G ，已知△A ′ED 是△AED 绕DE 旋转过程中的一个图形，下列命题中，错误的是( )A ．动点A ′在平面ABC 上的投影在线段AF 上B ．恒有平面A ′GF ⊥平面BCEDC ．三棱锥A ′－FED 的体积有最大值 D ．异面直线A ′E 与BD 不可能垂直7．(2013·合肥质检)在三棱锥A －BCD 中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，△ABC 、△ACD 、△ADB 的面积分别为22、32、62，则三棱锥A －BCD 的外接球的体积为( )A.6π B ．26π C ．36π D ．46π8．(文)(2013·合肥二检)用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如下图形，对这个几何体，下列说法正确的是( )A ．这个几何体的体积一定是7B ．这个几何体的体积一定是10C ．这个几何体的体积的最小值是6，最大值是10D ．这个几何体的体积的最小值是5，最大值是11(理)(2013·杭州质检)如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是B 、D ，如果增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( )A ．AC ⊥βB ．AC ⊥EFC ．AC 与BD 在β内的射影在同一条直线上 D ．AC 与α、β所成的角相等9．已知正四面体A －BCD ，设异面直线AB 与CD 所成的角为α，侧棱AB 与底面BCD 所成的角为β，侧面ABC 与底面BCD 所成的角为γ，则( )A ．α>β>γB ．α>γ>βC ．β>α>γD ．γ>β>α10．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AB 的中点，则点C 到平面A 1DM 的距离为( )A.63aB.66aC.22aD.12a11．(文)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可知这个几何体的侧面积是( )A.3πB.π3 C.2π3 D.5π(理)如图，鼓状的几何体是由半径为5的圆O 经过两个水平平面切割而成，上下底面都是半径为4的圆，五点O 1、O 、O 2、A 、D同在平面α上，而另五点O 1、O 、O 2、B 、C 同在平面β上，若α⊥β，则直线OB 与AC 所成角的余弦值为( )A.1785B.52C.1715D.151312.(2012·朝阳期末)已知正方形ABCD 的边长为22，将△ABC 沿对角线AC 折起，使平面ABC ⊥平面ACD ，得到如右图所示的三棱锥B －ACD .若O 为AC 边的中点，M 、N 分别为线段DC 、BO 上的动点(不包括端点)，且BN ＝CM .设BN ＝x ，则三棱锥N －AMC 的体积y ＝f (x )的函数图象大致是( )二、填空题13.(2012·临川一中模拟)如图，ABED －FC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，OA ＝1，OD ＝2，△OAB ，△OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形．则棱锥F －OBED 的体积为________．14．(文)(2012·西宁一中模拟)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 与α平行；(3)若α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直．上面命题中，真命题．．．的序号是________．(写出所有真命题的序号) (理)(2012·廊坊模拟)过正方形ABCD 的顶点A ，引P A ⊥平面ABCD .若P A ＝BA ，则平面ABP 和平面CDP 所成的二面角的大小是________． 15．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P －ABC 的正(主)视图与侧(左)视图的面积的比值为________． 16．(文)(2012·天津文)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.三、解答题17.如图，在空间四边形ABDP 中，AD ⊂α，AB ⊂α，AB ⊥AD ，PD ⊥α，且PD ＝AD ＝AB ，E 为AP 中点．(1)请在∠BAD 的平分线上找一点C ，使得PC ∥平面EDB ； (2)求证：ED ⊥平面EAB .18．下面一组图形为P －ABC 的底面与三个侧面．已知AB ⊥BC ，P A ⊥AB ，P A ⊥AC .(1)写出三棱锥P －ABC 中的所有的线面垂直关系(不要求证明)；(2)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 上的一点，求证：平面MBC ⊥平面P AB ；(3)在三棱锥P －ABC 中，M 是P A 的中点，且P A ＝BC ＝3，AB ＝4，求三棱锥P－MBC 的体积．19．(文)已知四棱锥P －ABCD 的直观图和三视图如图所示，E 是PB 的中点．(1)求三棱锥C －PBD 的体积；(2)若F 是BC 上任一点，求证：AE ⊥PF ；(3)边PC 上是否存在一点M ，使DM ∥平面EAC ，并说明理由．(理)(2012·合肥第二次质检)如图，PO ⊥平面ABCD ，点O 在AB 上，EA ∥PO ，四边形ABCD为直角梯形，BC ⊥AB ，BC ＝CD ＝BO ＝PO ，EA ＝AO ＝12CD .(1)求证：PE ⊥平面PBC ；(2)直线PE 上是否存在点M ，使DM ∥平面PBC ，若存在，求出点M ；若不存在，说明理由．(3)求二面角E －BD －A 的余弦值．20．(文)(2012·梅州二模)下图是一几何体的直观图、正(主)视图、侧(左)视图、俯视图．其中俯视图是边长为4的正方形，正(主)视图为直角梯形，侧(左)视图为等腰直角三角形，且CE 是中线．(1)若F 为PD 的中点，求证：AF ⊥平面PCD ；(2)证明：BD ∥平面PEC .(理)(2013·天津耀华中学月考)如图所示，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求证：BF ⊥DM ；(2)求二面角A －CD －E 的余弦值．21．(文)如图所示，在直三棱柱ABC －A1B 1C 1中，AB ＝BB 1＝BC ，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ；(2)求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A 1；(3)在CC 1上是否存在一点E ，使得∠BA 1E ＝45°，若存在，试确定E 的位置，并判断平面A 1BD 与平面BDE 是否垂直？若不存在，请说明理由．(理)(2012·揭阳一模)如图①，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将△BEF剪去，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P，得一三棱锥如图②所示．(1)求证：PD⊥EF；(2)求三棱锥P－DEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值．22．(文)如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，且P A＝2，E是侧棱PC上的动点．(1)求四棱锥P－ABCD的体积；(2)如果E是P A的中点，求证PC∥平面BDE；(3)是否不论点E在侧棱P A的任何位置，都有BD⊥CE？证明你的结论．(理)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点．B∥平面ADC1；(1)求证：A(2)求二面角C1－AD－C的余弦值；(3)试问线段A1B1上是否存在点E，使得AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．。