九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1_4.3同步练习新版湘教版

湘教版九年级上册数学第4章锐角三角函数含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，∠C=90°，，则的值为（）A. B. C. D.2、在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=12，BC=5，则cosA等于（）A. B. C. D.3、tan45°的值为（）A. B.1 C. D.4、如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是（3，m），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则m的值为（）A.5B.4C.3D.5、如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤高BC=5m，则坡面AB的长度是( )A.10mB.10 mC.15mD.5 m6、在△ABC中，∠C=90°，BC=4，sinA=，则边AC的长是( )A.2B.６C.D.27、四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图）．如果小正方形面积为49，大正方形面积为169，直角三角形中较小的锐角为，那么的值（）．A. B. C. D.8、如图，斜面AC的坡度（CD与AD的比）为1：2，AC=3 米，坡顶有旗杆BC ，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB=10米，则旗杆BC的高度为（）A.5米B.6米C.8米D.（3+ ）米9、课外小组的同学们，在校内准备测量墙外一手机发射塔的高度，小组的同学们首先在校内宽敞处选定一点，在点测得到塔顶的仰角为，然后他们沿与和塔底连线垂直的方向走了米到达点，在点观测塔顶的仰角为，小组根据这些数据计算出发射塔的高度最接近的数值是（）A. B. C. D.10、若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点A和B，顶点为C，且b2﹣4ac＝4，则∠ACB的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.90°11、在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= ，那么AB的长是（）A.3B.C.D.12、如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是( )A. B. C. D.13、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（）A. B. C. D.14、已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则 sin A 的值是( )A. B. C. D.15、三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（）A.cos43°＞cos16°＞sin30°B.cos16°＞sin30°＞cos43° C.cos16°＞cos43°＞sin30° D.cos43°＞sin30°＞cos16°二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在△ABC中，∠C=90°，如果AC:AB=1:3，则cosB=________ ．17、如图，已知是一个锐角，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点A、B，再分别以点A、B为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，画射线.过点作，交射线于点D，过点D作，交于点E.设，，则________.18、如图，若点A的坐标为（1，），则sin∠1=________．19、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=10，AC=20，D为AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折得到△B′CD，B′D交AC于点E．则=________．20、如图是一个仰卧起坐健身器侧面示意图，、是支架，是坐垫，为靠背（可绕点旋转），，，当时，点到地面的距离为________ ．（，，，，）21、如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为________m（结果保留根号）．22、如图所示，一水库迎水坡AB的坡度i=1：2，则求坡角α的正弦值sinα=________ ．23、如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF=4，BC=10，CD=6，则tanC=________．24、如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为 ________．25、如图，在 8×4 的矩形网格中，每个小正方形的边长都是 1，若的三个顶点在图中相应的格点上，则的值为________三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：.27、已知如图，A，B，C，D四点的坐标分别是（3，0），（0，4），（12，0），（0，9），探索∠OBA和∠OCD的大小关系，并说明理由．28、如图，厂房屋顶人字架的跨度BC=10m．D为BC的中点，上弦AB=AC，∠B=36°，求中柱AD和上弦AB的长（结果保留小数点后一位）．参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73．29、某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为“小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好，, ．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到．参考数据：. ）30、如图，AB是长为10m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin37°≈，tan37°≈，sin65°≈，tan65°≈）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、C3、B4、B5、A6、A7、D9、D10、D11、A12、B13、A14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

九年级数学上册第4章锐角三角函数正弦及30°角的正弦值专题训练题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A的值是( )A.34 B.43 C.35 D.452．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，则sin A的值为()A.512 B.125 C.1213 D.5133．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB＝()A.55 B.255 C.12D．24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．扩大4倍 D．不变5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，则sin B的值为( )A.12 B.22 C.32D．16．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝35，则AB＝()A．15 B．12 C．9 D．67．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sin B的值是____．8．如图，在平面直角坐标系内一点P(5，12)，那么OP与x轴的夹角α的正弦值是____．9．根据图中数据，求sin C和sin B的值．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，求sin A和sin B的值．11．计算：sin30°－|－2|＝______12．如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30°角的山坡向上走，送水到山上因今年春季受旱缺水的王奶奶家(B处)，AB＝80米，则孔明从A到B上升的高度BC是____米．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2，1)和B(3，0)，则sin∠AOB的值等于()A.55 B.52 C.32 D.1214．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列线段之比不等于sin A的是()A.CDAC B.BDBC C.BCAB D.CDBC15．如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sin B＝()A.513 B.1213 C.35 D.4516．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC＝6，sin A＝35，则DE＝________．17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝45，AB＝15，求sin B.18．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，DE＝3，BC＝9.(1)求ADAB的值；(2)若BD＝10，求sin A的值．19．如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，∠A＝30°，求BD和AD的长．20．在矩形ABCD中，DC＝2，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.(1)求证：△DEC∽△FDC；(2)当F为AD的中点时，求sin∠FBD的值及BC的长度．答案：1---6 CDBDCA7. 348. 12139. 解：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2＋AC 2＝34，∴sinC ＝AB BC ＝53434，∴sinB ＝AC BC ＝3343410. 解：sinA ＝12，sinB ＝3211. －3212. 40 13. A14. D15. A16. 15417. 解：∵∠C ＝90°，∴sinA ＝BC AB ，∴45＝BC 15，∴BC ＝12，∴AC ＝AB 2－BC 2＝9，∴sinB ＝AC AB ＝915＝3518. 解：(1)∵DE ∥BC ，DE ＝3，BC ＝9，∴△AED ∽△ACB.∴AD AB ＝DE BC ＝13(2)∵AD AB ＝13，BD ＝10，∴AD AD ＋10＝13.∴AD ＝5.∵∠C ＝90°，∴∠AED ＝90°，∴sinA ＝ED AD ＝3519. 解：∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∴sinA ＝BD AB ，∴12＝BD 6，∴BD ＝3，∴AD ＝AB 2－BD 2＝3320. 解：(1)∵矩形ABCD ，CF ⊥BD ，∴∠DEC ＝∠FDC ＝90°.又∠DCE ＝∠FCD ，∴△DEC ∽△FDC。

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4.2 正 切知|识|目|标1．通过对教材“探究”的学习，理解锐角的正切的定义，并能在直角三角形中求锐角的正切值．2．利用含30°，45°，60°角的直角三角形探索这些特殊角的正切值，并能进行有关计算．3．通过回顾用计算器计算锐角的正弦值，掌握用计算器求锐角的正切值及已知锐角的正切值求它的对应锐角．4．通过对锐角的正弦、余弦、正切的比较，归纳提炼出锐角三角函数的概念．目标一 会求锐角的正切值例1 教材补充例题如图4－2－1所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝10，AB ＝26.求tan A ，tan B 的值．图4－2－1【归纳总结】 锐角的正切的含义1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b 分别是∠A ，∠B 的对边，则tan A ＝a b ，tan B ＝b a. 2．在直角三角形中，求一个锐角的正切值只需要确定两条直角边的长，与斜边无关． 3．直角三角形中，两个锐角的正切值互为倒数．图4－2－2如图4－2－2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝BC AC ，tan B ＝AC BC，所以tan A ·tan B ＝1.例2 教材补充例题已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝23，BC ＝9.求AB 的长．【归纳总结】 利用锐角的正切求三角形边长的条件(1)在直角三角形中；(2)已知其中一锐角的度数和两直角边中一边的长度． 目标二 用特殊角的正切值进行计算 例3 教材例题针对训练计算：tan30°－1－2tan60°＋tan 260°＋tan45°·cos45°.【归纳总结】特殊角的正切值1．tan30°＝33，tan45°＝1，tan60°＝ 3.2．锐角α的正切值tanα的变化规律：锐角α的正切值tanα随着角度α的增大而增大．3．若α是锐角，则tanα·tan(90°－α)＝1.目标三用计算器求锐角的正切值例4 教材练习第2题变式利用计算器计算(精确到0.01)：(1)tan81°；(2)tan43.27°；(3)tan22°18′.【归纳总结】用计算器求值时要注意按键顺序，结果要按要求取近似值．目标四 会进行锐角三角函数的化简与求值例5 教材补充例题 已知α为锐角，且cos α＝13，求tan α＋cos α1＋sin α的值．【归纳总结】 锐角三角函数的化简计算中常用到的公式 (1)sin 2α＋cos 2α＝1(用于正、余弦之间的互化)； (2)tan α＝sin αcos α(用于正弦、余弦与正切之间的互化)．例6 教材补充例题如图4－2－3，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝AC ，D 为AC 的中点，求tan ∠ABD 的值．图4－2－3【归纳总结】 求锐角三角函数值的方法(1)采用转移法，通过作辅助线或利用三角形全等(相似)将锐角转移到直角三角形中；(2)在直角三角形中应用勾股定理分别求出各边的长；(3)利用锐角三角函数的定义求解即可．知识点一 正切的定义在直角三角形中，锐角α的______与______的比叫作角α的正切，记作tan α，即tan α＝__________．图4－2－4如图4－2－4，在Rt △ABC 中，锐角α的对边是BC ，邻边是AC ，则tan α＝BCAC. 知识点二 特殊角的正切值tan30°＝______，tan45°＝____，tan60°＝______．知识点三 用计算器由正切值求角度与用计算器由锐角的正、余弦值求角度相同，仅按的键不同．由正切值求角度时按键顺序应为“2ndF ，tan ，数值，＝”或“SHIFT ，tan ，数值，＝”．知识点四 锐角三角函数的概念定义：我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数．取值范围：当α为锐角时， 正弦：0＜sin α＜1，余弦：0＜cos α＜1，正切：tan α＞0.如图4－2－5，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，tan A ＝12，求BC 的长．解：∵tan A ＝12，∴设BC ＝2x ，则AC ＝x .根据勾股定理，得(2x )2＋x 2＝102， 解得x ＝2 5(负值已舍去)，∴BC ＝4 5.上述解题过程有错误吗？若有，请指出来，并写出正确的解题过程．图4－2－5详解详析【目标突破】例1 解：∵∠C ＝90°，AC ＝10，AB ＝26， ∴BC ＝AB 2－AC 2＝24，∴tan A ＝BC AC ＝2410＝125，tan B ＝AC BC ＝1024＝512.例2 解：∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan B ＝23，∴tan B ＝AC BC ＝23，即AC 9＝23，解得AC ＝6.∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋92＝3 13.例3 解：原式＝tan 30°－（1－tan 60°）2＋tan 45°·cos 45° ＝tan 30°－|1－tan 60°|＋tan 45°·cos 45° ＝33－(3－1)＋1×22＝－2 33＋22＋1. 例4 解：(1)tan 81°≈6.31. (2)tan 43.27°≈0.94. (3)tan 22°18′≈0.41.例5 解：原式＝sin αcos α＋cos α1＋sin α＝sin α（1＋sin α）cos α（1＋sin α）＋cos 2αcos α（1＋sin α）＝sin α＋sin 2α＋cos 2αcos α（1＋sin α）＝sin α＋113（1＋sin α）＝3.例6 解：如图，过点D 作DE⊥AB 于点E.设AC ＝BC ＝2a ，根据勾股定理得AB ＝2 2a.∵D 为AC 的中点，∴AD ＝a.∵在Rt △ABC 中，BC ＝AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠A ＝∠ABC ＝45°.又∵DE⊥AB，∴△ADE 是等腰直角三角形，∴DE ＝AE ＝22a ，∴BE ＝AB －AE ＝3 22a ，∴tan ∠ABD ＝DE BE ＝13.【总结反思】[小结] 知识点一 对边 邻边角α的对边角α的邻边知识点二 331 3[反思] 解：有错误．锐角的正切值应是锐角的对边与邻边的比．正确的解题过程如下： ∵tan A ＝BC AC ＝12，∴设BC ＝x ，则AC ＝2x.根据勾股定理，得x 2＋(2x)2＝102，解得x ＝2 5，∴BC ＝2 5.。