八年级数学下册 第 1章 反比例函数 11_2 反比例函数的图象与性质试题 (新版)苏科版

变式1：如图，过反比例函数 y 2 (x 0)图象上任意两 点A、B分别作x轴的垂线，垂足分x别为C、D，连结OA
、OB，设AC与OB的交点为E，ΔAOE与梯形ECDB的
面积分别为 S1 、S2，比较它们的大小，可得 (B )
A．S1>S2
B．S1=S2
C．S1< S2 D．S1和S2的大小关系不确定
11.2 反比例函数的图像与性质 ——面积相关问题
回顾
如图,点P（m，n）是反比例函数 y k
x
图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,
垂足分别是点A、B，则S矩形OAPB=____k____.
结论1：
y
过双曲线上任意一点作x轴、 y轴的垂线，所得矩形的面 积S为定值，即S=|k|.
B P(m,n)
积为——8—— 。
F E
练习3 利用点求图形的面积或函数解析式
如图，已知双曲线 y k (x＞0)经过矩形OABC
x
边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF
的面积为2，则k＝__2___.
练习3利用坐标求图形的面积或函数解析式
变式1：如图，双曲线 y k (k 0)经过矩形OABC的
B P(m,n)
y轴）的垂线，所得直角三角
OA

x
形的面积S为定值，即S= 1 |k| .
2
回顾
图中这些三角形的 y 面积相等吗？
yk x
O
x
知识点
y k (k 0) x
y PB
y P
x A0
0Q
x
S矩形 k
k S三角形
2
例1 已知解析式 求图形的面积

反馈训练： 见指南
影部分面积为3,则这个反比例函数的
关系式是
y


3 x
( x.
0)
y
p
N
M ox
1、分别举出具有下列特征的反比例函数：
（1）图象分布在第一、三象限；
（2）图象在每一个象限内，y随x的增大而增大.
2、如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点， 过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形
△面积P1分A1别O、是△S1P、2AS22O、、S3△.则P（3A3DO，）设他们的y
则四边形OBAC的面积=
。
y
AC
BO
x
2.已知：A是双曲线上的一点，过点A向
x轴作垂线，垂足为B，△AOB的面积
是4,则它的解析式为
。
3.如图,点P是反比例函数 y 2 图象上 x
的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积
为1 .
y
P (m,n)
oD
x
4.如图,点P是反比例函数图象上的一
点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴
反比例函数 y＝10 （ x＞0）的图像是其在第一 x
象限的一支．
2.
y
yy k6 y xx
y
P2(1,6) P1(3,2) P(m,n)
P(m,n)
A P(m,n)
o
x
oA
xo
x
S=︱k︱
1 S= 2 ︱ k︱
1.A是双曲线y= x5上一点，过点A向x轴 作垂线,垂足为B，向y轴作垂线,垂足为C,
y随x增大而增大，求n的取值范围．
5．已知点A（2，y1）、B（1，y2）在反比例函数
y＝ k x

第11章 11.2反比例函数的图像与性质一、单选题（共9题；共18分）1、函数y=mx+n与y= ，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一坐标系中的图像可能是（）A、B、C、D、2、如图，已知直线y=﹣x+4与两坐标轴分别相交于点A，B两点，点C是线段AB上任意一点，过C分别作CD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E．双曲线与CD，CE分别交于点P，Q两点，若四边形ODCE为正方形，且，则k的值是（）A、4B、2C、D、3、已知反比例函数y= 的图象经过点A（﹣1，2），那么，k=（）A、2B、﹣2C、D、﹣4、点A为反比例函数图象上一点，它到原点的距离为5，则x轴的距离为3，若点A第二象限内，则这个函数的解析式为（）A、y=B、y=﹣C、y=D、y=﹣5、如图，反比例函数的图象经过点A，则当x=﹣1时，y的值是（）A、2B、﹣2C、D、-6、在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是( )．A、k>1B、k>0C、k≥1D、k<17、如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y= 在第一象限的图象经过点B，则△OAC与△BAD的面积之差S△OAC﹣S△BAD为（）A、36B、12C、6D、38、若点(－2，y1)、(－1，y2)、(1，y3)在反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是( )A、y1＞y2＞y3B、y2＞y1＞y3C、y3＞y1＞y2D、y3＞y2＞y19、如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为3，则这个反比例函数的解析式为( )A、B、C、D、二、填空题（共9题；共10分）10、已知点A在反比例函数y= 的图像上，点B与点A关于原地对称，BC∥y轴，与反比例函数y=﹣的图像交于点C，连接AC，则△ABC的面积为________．11、如图，y1= x+1与双曲线y2= 的两个交点A，B的纵坐标分别为﹣1，2，则使得y2＜y1＜0成立的自变量x的取值范围是________．12、已知反比例函数（m是常数）的图像在一、三象限，则m的取值范围为________．13、已知与y=x﹣6相交于点P（a，b），则的值为________．14、如图，点P、Q是反比例函数y= 图像上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1________S2．（填“＞”或“＜”或“=”）15、如图，点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥y轴，C，D在y轴上，若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积为________．16、已知变量y与x成反比，当x=1时，y=﹣6，则当y=3时，x=________．17、反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是________，图象位于________象限．18、如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图像交于点A、点C，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，则四边形ABCD的面积为________．三、解答题（共2题；共21分）19、如图是函数与函数在第一象限内的图象，点P是的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交的图象于点C， PB⊥y轴于点B，交的图象于点D．(1)求证：D是BP的中点；(2)求出四边形ODPC的面积．20、如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k>0）与反比例函数y= 的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m， 0）．其中m>0．(1)四边形ABCD的是________．(填写四边形ABCD的形状)(2)当点A的坐标为（n,3）时，四边形ABCD是矩形，求mn的值．(3)试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．四、综合题（共2题；共20分）(1)求一次函数和反比例函数的解析式；(2)连接AO，BO，求△ABO的面积．22、已知反比例函数y= 的图象经过A（﹣2，1）和B（1，n）(1)求m、n的值．(2)判定点C（1，﹣2）是否也在y= 的图象上．答案解析部分一、单选题1、【答案】B【考点】一次函数的图象，反比例函数的图象【解析】【解答】解：A、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0，∴＜0，∴函数y= 图像经过第二、四象限．与图示图像不符．故本选项错误；B、∵函数y=mx+n经过第一、三、四象限，∴m＞0，n＜0，∴＜0，∴函数y= 图像经过第二、四象限．与图示图像一致．故本选项正确；C、∵函数y=mx+n经过第一、二、四象限，∴m＜0，n＞0，∴＜0，∴函数y= 图像经过第二、四象限．与图示图像不符．故本选项错误；D、∵函数y=mx+n经过第二、三、四象限，∴m＜0，n＜0，∴＞0，∴函数y= 图像经过第一、三象限．与图示图像不符．故本选项错误．故选：B．【分析】根据图像中一次函数图像的位置确定m、n的值；然后根据m、n的值来确定反比例函数所在的象限．2、【答案】B【考点】反比例函数的定义，反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数的应用【解析】【解答】解：四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，根据题意得：，解得：，则C的坐标是（2，2），设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，正方形ODCE的面积是：4，S△ODQ= ×2•a=a，同理S△OPE=a，S△CPQ= （2﹣a）2，则4﹣a﹣a﹣（2﹣a）2= ，解得：a=1或﹣1（舍去），则Q的坐标是（2，1），把（2，1）代入得：k=2．故选B．【分析】四边形ODCE为正方形，则OC是第一象限的角平分线，则解析式是y=x，即可求得C的坐标，根据反比例函数一定关于y=x对称，则P、Q一定是对称点，则设Q的坐标是（2，a），则DQ=EP=a，PC=CQ=2﹣a，根据正方形ODCE的面积﹣△ODQ的面积﹣△OEP的面积﹣△PCQ的面积=△OPQ的面积，即可列方程求得a的值，求得Q的坐标，利用待定系数法即可求得k的值．3、【答案】B【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：由题意，知 2= ，即k=﹣2．故选B．【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式，即可求得k的值．4、【答案】B【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设A点坐标为（x，y）．∵A点到x轴的距离为3，∴|y|=3，y=±3．∵A点到原点的距离为5，∴x2+y2=52，解得x=±4，∵点A在第二象限，∴x=﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，3），设反比例函数的解析式为y= ，∴k=﹣4×3=﹣12，∴反比例函数的解析式为y=﹣，故选B．【分析】先设A点坐标为（x，y），根据A点到x轴的距离为3，得出y=±3，根据A点到原点的距离为5，得出x=±4，从而根据点A的位置确定点A的坐标，再设这个反比例函数的解析式为y= ，再把已知点A的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．5、【答案】A【考点】反比例函数的图象，待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：∵点（2，﹣1）在反比例函数图象上，∴k=2×（﹣1）=﹣2，∴y=﹣，当x=﹣1时，y=2．故选A．【分析】把图中的坐标（2，﹣1）代入反比例函数解析式即可求得k的值，进而把x=﹣1代入反比例函数解析式可得y的值．6、【答案】A【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】∵在反比例函数y= 的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而减小，∴k-1>0，则k>1.故选A.【分析】根据反比例函数的性质，当反比例系数k大于0时，y都随x的增大而减小;.7、【答案】D【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，则点B的坐标为（a+b，a-b）．∵点B在反比例函数y=的第一象限图象上，∴（a+b）×（a-b）=a2-b2=6．∴S△OAC-S△BAD=a2-b2=（a2-b2）=×6=3．【分析】分别设△OAC和△BAD的直角边长分别为a、b，根据两腰相等，可写出A，B的坐标，再运用点B在反比例函数上的性质.8、【答案】C【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】因为点(－2，y1)、(－1，y2)、(1，y3)在反比例函数 y =的图象上，则y 1=，y2=，y3=3，所以y3＞y1＞y2故选C.【分析】分别求出y1,y2， y3的值，再作比较或者根据k=3>0，则反比例函数y=在第一、三象限，且在每一个象限y都随x的增大而减少.9、【答案】D【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】设A(x，y),∵A在第二象限，则x<0，y>0，则AB=-x,A到x轴的距离为y，.∵AB⊥y轴，∴AB//x轴，又∵AD//BC,∴四边形ABCD是平行四边形，则S□ABCD=-x·y=3，即xy=-3,∴k=-3.故选D.【分析】根据xy=k，将四边形ABCD的面积转化成用“xy”的代数式表示的，从而构造方程，解出“xy”的值，即为k.二、填空题10、【答案】5【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：设点A的坐标为（m，），则B（﹣m，﹣），C（﹣m，），∴S△ABC= BC•（x A﹣x B）= （y C﹣y B）•（x A﹣x B）= [ ﹣（﹣）]•[m﹣（﹣m）]= × ×2m=5．故答案为：5．【分析】由点A在反比例函数y= 的图像上，可设点A的坐标为（m，），则B（﹣m，﹣），C（﹣m，），根据三角形的面积公式即可得出S△ABC的值．11、【答案】﹣4＜x＜﹣2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：把y=﹣1代入一次函数解析式得：x=﹣4，即A（﹣4，﹣1）；把y=2代入一次函数解析式得：x=2，即B（2，2），结合图形得：y2＜y1＜0成立的自变量x的取值范围是﹣4＜x＜﹣2，故答案为：﹣4＜x＜﹣2【分析】根据A与B的纵坐标，确定出横坐标，结合图形确定出x的范围即可．12、【答案】m＜【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：∵（k为常数）的图像在第一、三象限，∴3﹣2m＞0，解得m＜．故答案为：m＜．【分析】先根据反比例函数的性质得出3﹣2m＞0，再解不等式即可得出结果．13、【答案】﹣6【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】解：∵函数与y=x﹣6相交于点P（a，b），∴ab=1，b﹣a=﹣6，∴﹣= =﹣6，故答案为﹣6【分析】有两函数的交点为（a，b），将（a，b）代入一次函数与反比例函数解析式中得到ab与b﹣a的值，所求式子通分并利用同分母分式的减法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值．14、【答案】=【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解；设p（a，b），Q（m，n），则S△ABP= AP•AB= a（b﹣n）= ab﹣an，S△QMN= MN•QN= （m﹣a）n= mn﹣an，∵点P，Q在反比例函数的图像上，∴ab=mn=k，∴S1=S2．【分析】设p（a，b），Q（m，n），根据三角形的面积公式即可求出结果．15、【答案】3【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【解答】解：∵点A在双曲线y= 上，点B在双曲线y= 上，且AB∥y轴，∴设A（m，），B（m，），∴AB= ﹣= ，∴S▱ABCD= •m=3，故答案为：3．【分析】由AB∥y轴可知，A、B两点横坐标相等，设A（m，），B（m，），求出AB的长，再根据平行四边形的面积公式进行计算即可．16、【答案】-2【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数的解析式为y= （k≠0），∵当x=1时，y=﹣6，∴k=1×（﹣6）=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣；把y=3代入y=﹣得3=﹣，解得x=﹣2，即当 y=3时，x的值为﹣2．故答案为：﹣2．【分析】利用待定系数法求解，设反比例函数的解析式为y= （k≠0），然后把x=1，y=﹣6代入可求出k 的值；把y=3求得的解析式中可计算出对应的x的值．17、【答案】y=﹣；二、四【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y= ，∵反比例函数的图象经过点（﹣1，2），∴k=﹣2×1=﹣2，解析式为：y=﹣∴函数的图象在第二、四象限，故答案为：y=﹣；二、四．【分析】让点的横纵坐标相乘即为反比例函数的比例系数，根据比例系数的符号即可判断反比例函数的两个分支所在的象限．18、【答案】2【考点】反比例函数系数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定【解析】【解答】因为直线 y=x与反比例函数都关于原点对称，所以OB=OD，OA=OC，即四边形ABCD是平行四边形.可设A（x,）,则S▱ABCD=4S△OAB=4××x×=2.故答案为2.【分析】根据S△OAB=，再判定平行四边形解答.三、解答题19、【答案】（1）证明：因为点P（x,y）在反比例函数，则可设P（x，）.则BP=x.∵PB⊥y轴，∴点D的纵坐标与点P的纵坐标相等，则D的纵坐标是，又∵点D在反比例函数,∴D（,）,则BD=，BD=BP，即D是BP的中点.（2）解：S四边形ODPC=S四边形OAPB-S△OBD-S△OAC=6--=3.【考点】反比例函数系数k的几何意义【解析】【分析】（1）点P与点D的纵坐标相等，可设点P（x,）,再求出点D的坐标，比较横坐标. （2）利用反比例函数的系数k的几何意义做.20、【答案】（1）平行四边形（2）解：因为A（n,3）,且A在反比例函数y=，则n=1,A (1,3).∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OA=，则m=.,∴mn=.（3）不能.因为当四边形ABCD为菱形时，则AC⊥BD.∵BD在x轴上，∴AC在y轴上，而反比例函数y=与y轴没有交点，则随着k与m的变化，四边形ABCD不能成为菱形.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质【解析】【分析】（1）由中心对称可知OA=OC,OB=OD,则四边形ABCD是平行四边形；（2）可求出n的值；根据矩形的性质可得OA=OB，则可求出m；（3）根据菱形的对角线互相垂直去判断.四、综合题21、【答案】（1）解：把点（1，3），B（3，n）分别代入y= （x＞0）得m=1，n=1，∴A点坐标为（1，3），B点坐标为（3，1），把A（1，3），B（3，1）分别代入y=kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y=﹣x+4，反比例函数的解析式为y=（2）解：分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．令﹣x+4=0，得x=4，即D（4，0）．∵A（1，3），B（3，1），∴AE=3，BC=1，∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD= ×4×3﹣×4×1=4．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】（1）先把点A（1，3），B（3，n）分别代入y= （x＞0）可求出m、n的值，确定B点坐标为（3，2），然后利用待定系数法求一次函数的解析式；（2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．22、【答案】（1）解：∵A（﹣2，1）在反比例函数上，∴m=﹣2×1=﹣2；∵B（1，n）在反比例函数上，∴1×n=﹣2，∴n=﹣2（2）解：∵1×（﹣2）=﹣2=m，∴点C（1，﹣2）在y= 的图象上【考点】待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【分析】（1）把A点的坐标代入解析式，即可求得m，把B点的坐标代入解析式，即可求n；（2）看此点的横、纵坐标的积即可进行判断．。

利用反比例函数的图像解题对于一些函数题，直接求解，困难繁琐，如果画出函数的大致图像，选取符合条件的某些点，数形结合，研究分析，那么不但容易求解，而且直观简捷，现举几例说明如下：例1．在函数xk y =〔k ＞0〕的图像上有三点A 1〔1x ，1y 〕、A 2〔2x ，2y 〕、A 3〔3x ，3y 〕，1x ＜2x ＜0＜3x ，那么以下各式中，正确的选项是〔 〕A ．1y ＜0＜2yB ．3y ＜0＜1yC ．2y ＜1y ＜3yD ．3y ＜1y ＜2y 析解：由题意画出xk y =〔k ＞0〕的草图，再根据1x ＜2x ＜0＜3x 的条件，找出1y 、2y 、3y ，显然2y ＜1y ＜3y ，故应选C ．例2．反比例函数xk y =〔k ＜0〕图像上有两点A 〔1x ，1y 〕、B 〔2x ，2y 〕且1x ＜2x ，那么1y -2y 的值是〔 〕A ．正数B ．负数C ．非负数D ．不能确定 析解：分三种情形作图求解〔1〕假设1x ＜2x ＜0如图1，有1y ＜2y ，1y -2y ＜0，即1y -2y 是负数； 〔2〕假设1x ＜0＜2x 如图1，有1y ＞2y ，1y -2y ＞0，即1y -2y 是正数； 〔3〕假设0＜1x ＜2x 如图1，有1y ＜2y ，1y -2y ＜0，即1y -2y 是负数．2x1xxy 1y 2y2x1x0 xy2y1yxy1x 2x 3x1y 2y3y2x1xxy1y2y所以，1y —2y 的值不确定，应选D ． 例3.如图是三个反比例函数x k y 1=，x ky 2=，x k y 3=在x 轴上方的图像，由此观察得到1k ，2k ，3k 的大小关系为〔 〕A ．1k ＞2k ＞3kB ．3k ＞2k ＞1kC ．2k ＞3k ＞1kD ．3k ＞1k ＞2k 析解：由反比例函数xk y =的图像和性质可估算1k ＜0，2k ＞0，3k ＞0，在x 轴上任取一值0x 且0x ＞0，0x 为定值，那么有021x k y =，032x k y =且1y ＜2y ，如图，∴3k ＞2k ，应选B ．yxk y 2=xＯxk y 1=xk y 3=。