第四章 混沌时间序列分析及相空间重构

国内外研究现状分析
综上所述，虽然混沌理论相对比较成熟，预测 模型也具有一定的合理性，在实践中也取得了一些 初步成果，但仍然存在许多缺点与不足： 1）利用混沌理论分析船舶机械运行状况的研 究相对比较少；
2）要求非常恰当的重ຫໍສະໝຸດ 系统相空间；3）模型没有学习能力；
4）对历史数据代表性要求较高；
5）大样本情况下才能保证较高的预测精度。
课题来源
实验室自选课题
课题研究的目的、意义
“凡事预则立，不预则废”，但由于研究对象的复 杂性、多样性、不确定性等因素，预测有时是困难的， 需要人们根据具体情况不断探索新的预测模型。 传统预测往往采用线性模型，其预测结果很难满足 人们的要求。混沌理论是非线性理论的重要组成部分， 能够很好地描述非线性系统运动的变化规律，从而为预 测模型的研究开辟了新思路 。 船舶各种机械的运行具有混沌特性，从混沌的角度， 分析船舶各种机械的运行状况。从而提高船舶运行的稳 定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和工程背景。
国内外研究现状分析
以相空间重构技术为基础，自20世纪 90年代以来，混沌时间序列预测模型研究 已进入深化发展阶段，并已成功被应用到 气象预报、水文观测、工业灾害预测、交 通事故预警等诸多领域。
人们已经提出了多种混沌时间序列预 测模型，经典的混沌时间序列预测模型按 方法分主要有全域法模型、局域法模型和 基于最大Lyapunov指数的预测模型等。
国内外研究现状分析
（1）混沌理论研究
混沌的英文为chaos，其初始涵义是混乱，在非线性 理论中指的是确定性系统产生的对初值极端敏感的非周 期态行为。 1890年左右，法国数学家和物理学家Poincare ，在 太阳系稳定性的研究中，发现了今天所说的混沌现象。 20世纪60年代初，天气预报和气象学的研究叩开了 混沌科学的大门，混沌学开始在美国兴起。 1975年美国华裔数学家李天岩和他的导师Yorke发表 了一篇名为《周期3意味着混沌》的论文，首次正式提出 了混沌的含义和性质。从此，“混沌”这个新的科学名 词经常出现在科技文献之中。

相关 ， 不能 反 映系统 的整 体信 息 。因此 ， 实现 相 空 间重构 的关 键是 选取 参数 ｒ和 ｍ 的最 佳值 。
对 于 ｒ的选 取 ， 目前 常 用 的 方 法 有 自相 关 函
数法、 复 自相关 函数法 、 互 信息 量法 及平 均位 移 法
等 。ｍ 的选 取方 法 有 最 邻 近 点法 、 奇异 值 分 解
之 间的一般 依赖 关 系 。
设 和 ｙ为离散 变量 ， 那 么 的 随机 性 可 以
近 年来 ， 混沌 时 间序 列 分 析 在 科研 和 工程 领
域 中 的应 用很 广 泛 ， 而相 空 间重 构 在 混沌 时 间序
列分 析 中又具 有重 要 意义 。Ｔ ａ ｋ ｅ ｎ ｓ Ｆ证 明可 以
摘
要 对 混 沌 时 间序 列进 行 相 空 间 重 构 时 ， 提 出采 用 互信 息量 法确 定延 迟 时 间 、 用 神 经 网 络 法 确 定 嵌
入 维 数 的新 算 法 。经 验 证 该 方 法 能 够 确 定 相 空 间 重 构 的 延 迟 时 间 和 最 佳 嵌 入 维 数 ， 并 且 能 够从 时 间序
列 中成 功 地ห้องสมุดไป่ตู้重构 原 系统 的相 空 间 。
关 键 词 混 沌 时 间序 列 相 空 间 重 构 延 迟 时 间 嵌 入 维 数 互 信 息 量 法 神 经 网络 法 中图分类号 Ｔ Ｈ ２ ７ １ ． ７ ２ 文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ０ － ３ ９ ３ ２ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ － ０ ３ ０ １ ０ － ４
第 ３期
赵
辉 等． 混 沌 相 空 间重 构 参 数 的选 取 与仿 真

第四章 随机过程与时间序列分析§4时间序列的预测分析时间序列分析的内容之一是系统的演化预测，预测的基本思想之一是设法消除随机扰动，考察其长期趋势或者周期变化。

对于严格意义的周期变化现象，不存在预测问题，例如没有人预测明天太阳什么时候升起，因为地球自转在人生的有限时期内可以近似地看成是严格的周期现象。

前面讲过的R/S 分析，则是典型的趋势预测，它不落实未来的具体数值。

但是，在许多时候，趋势预测较之数值预测更有意义。

寻找趋势，最简单的思路是基于某种平均方法对数据进行修匀处理——本节讲述的移动平均法即其之一。

这一节我们讲述两种基本的预测方法：移动平均法和指数平滑法。

这两种方法本质上都是趋势预测。

1 移动平均法移动平均法，实际上就是数据修匀式的一种时间序列预测方法，其计算方法非常简便，关键是理解它的基本思想。

⒈ 数学模型设x i 为时序中第i 个时点的观测值，序列长度为n ，平均处理的观测值数目为m ，则第t 个时点的移动平均值可定义为∑+-=+--=+++=tn t i i m t t t t x m x x x m M 1111)(1 , (4-4-1)式中M t 为第t 个时点的移动平均值，也可当作第t +1个时点的预测值y t +1，即有t t M y =+1, (4-4-2)由上式可得)(1)(1)(1)(1)(112111m t t t m t t m t t t m t m t m t t t t x x m M x x mx x x mx x m x x x m M --------+---+=-++++=-++++=, (4-4-3) 可以看出，只要计算出M t －1，就可以通过迭代法算出M t 。

从上面的公式还可以看到，m 值越大，M t 的修匀程度也就越大。

极端情况是：当m =1时，M t =x t ；当m =n ，只得一个平均值，即全体x 的均值。

⒉ 计算实例下面借助上节的数据说明移动平均法的计算方法。

上海交通大学学报第31卷第2期JOU RNAL O F SHAN GHA I J I AO TON G UN I V ER S IT YV o l .31№21997混沌时间序列的区间预测3叶中行 龙如军(应用数学系)摘　要　讨论混沌时间序列的区间预测,给出了最优嵌入维数的搜索算法及区间预测算法,并应用于实例,取得较好效果.关键词　混沌;嵌入;相空间;区间预测;奇异吸引子中图法分类号　O 234收稿日期:19962012293攀登计划和国家自然科学基金资助项目.第一作者:男,1946年生,教授.上海,200030. 混沌是一种非线性现象,混沌的动态系统必存在着奇异吸引子,且具有分维的特征.自然科学包括化学、物理、力学中的许多动态系统以及金融系统都存在着混沌现象,例如:化学系统中浓度的变化,流体流动时压强的变化,股票市场中股票价格的变化等等.纯粹数学家感兴趣的是混沌吸引子的拓扑结构,而应用科学家感兴趣的是一个观测到的动态系统是否具有奇异吸引子以及动态系统将来的行为.显然后者具有非常重要的实用价值.混沌的动态系统具有确定性规则.如果能发现这个确定性规则,那么精确预测非线性动态系统将成为可能,但这往往是比较困难的,因此代之以以下的方法.把动态系统中所观测到的某信号值的变化记成一个时间序列:x 1,x 2,x 3,…,x n ,…(下标表示某个单位时间Σ的整数倍),如果所观测到的动态系统呈混沌状态,且已知x 1,x 2,…,x N ,如何建立恰当的动态模型来预测x N +1呢?W h itney [1]建立了m 维可微流形嵌入到R n(只要n ≥2m )中的嵌入定理.Packard 等[2]建议用原始系统中某变量的延迟坐标来重构状态空间.T aken s [3]证明了如果延迟坐标向量的维数n ≥2m +1,则延迟坐标向量的表达是在欧氏空间R n 中的微分同胚.从而为混沌时间序列的预测奠定了坚实的理论基础.以Packw ard 等人的模型为基础,Farm er 和Sido row ich [4]提出用局部近似方法来作时间序列的预测.但在他们的方法中,存在着一些未定的因素(如嵌入维数d ,延迟时间Σ及相似历史数据的取法),而且由模拟确定性规则所带来的误差是不可避免的.本文则从另一角度出发,不是预测某一时刻的信号值,而是预测其取值区间.着重研究两个问题:①寻找最优嵌入维数的算法;②探讨区间预测的理论和算法.区间预测的思想避免了模拟确定性的混沌规则,在实际应用中,取得了较好的效果.1　相空间重构的理论基础20世纪80年代,Packard 等人为了探测流体中湍流行为的奇异吸引子的本质,研究了相空间重构问题,并且建议用原始系统某个变量的延迟时间坐标重构相空间.有如下三阶常微分方程:x α=-(y +z ),　y α=x +0.2y ,　z α=0.4+x z -5.7z(1)其典型的相空间是(x (t ),y (t ),z (t ))(见图1[2]),Packart 等人发现用系统中某个坐标的延迟时间向量作为三维空间的基向量,所描绘的微分动力系统的吸引子的结构非常相似(见图2[2]),虽然有些扭曲,毕竟(x (t ),x (t -Σ),x (t -2Σ))不同于(x (t ),y (t ),z (t )),它已经比较好地反映了系统的某些渐进性质. 对于Packard 等人的建议,T aken s 从理论上给出了证明.定义1　设(N ,Θ),(N 1,Θ1)是两个度量空间,如果存在映射Υ:N →N 1满足:①Υ是满射:②Θ(x ,y )=Θ1(Υx ,Υy )(Πx ,y ∈N ),则称(N ,Θ),(N 1,Θ1)是等距同构的.定义2　如果(N 1,Θ1)与另一个度量空间(N 2,Θ2)的子空间(N 0,Θ2)是等距同构的,则称(N 1,Θ1)可以嵌入(N 2,Θ2).定理1　(T aken s )M 是m 维流形,Υ:M →M ,Υ是一个光滑的微分同胚.y :M →R ,y 有二阶连续导数.<(Υ,y ):M →R 2m +1,其中<(Υ,y )(x )=y (x ),y (Υ(x )),…,y (Υ2m(x )),则<(Υ,y )是M 到R 2m +1的一个嵌入.证明　见文献[3].T aken s 的嵌入定理是在非常一般的情况下讨论的.函数y 实质上就是m 维流形M 中人们所能观测到的信号值.用特殊的函数来取代Υ,令Υ:x t →x t -Σ,x t 表示t 时刻M 中的状态,Σ是时间,显然Υ是一个光滑的关于自身的微分同胚.假设t 时刻M 中能观测到的某信号值记为y t ,则y (x t )=y t ,y (Υ(x ))=y (x t -Σ)=y t -Σ,…,y (Υ2m(x ))=y t -2m Σ.因此嵌入定理中的<(Υ,y )就是(y t ,y t -Σ,…y t -2m Σ),由嵌入定理,<(Υ,y )是一个嵌入.即M 与空间y t ,y t -Σ,…,y t -2m Σ微分同胚.这就从理论上证明了当嵌入维数大于原始动力系统吸引子维数的2倍时,用某信号延迟时间坐标向量为基的相空间与原始系统状态空间等价.定理中当Υ是某些特定函数,M 是非紧流形时,定理同样成立.图1　方程在(x ,y )方向上的投影图2　用(x ,x ・)重构相空间2　搜索最优嵌入维数设原始系统的吸引子维数为d A ,嵌入维数为d E .在T aken s 的嵌入定理中,d E ≥2d A 仅仅只是充分条件.在实际的应用中,d E 并非越大越好.如果嵌入维数太大,就需要更多的观测值,更大的计算量.在有噪声存在的非线性系统中,维数大了,就要花费不必要的时间来观测充满噪声的信号.B rock[5]设计了测量一个时间序列是否II D 方法,Savit 和Green [6]把它发展成条件概率方法,提出变量依赖的概念及准则,而Carsten 和Hong P i [7]进一步通过∆-测试方法来寻找变量依赖准则和嵌入维数的性质.本文以他们的思想为基础,提出两个向量之间关系的概念和算法.考虑一个离散系统,其信号值记为z t (t =1,2,…,N ),我们感兴趣的问题是:过去信号值与将来信号值之间是否存在某种联系:z t =f (z t -1,z t -2,…,z t -d )+r t(2)式中,r t 代表噪声或由不充分维数的嵌入产生的附加信息值.一般来说,r t 会随d 的增加而降低.特别地,当系统具有完全决定性的时候,存在一个最小嵌入维数d m in ,当d >d m in 时,r t 消失.把信号值嵌入到d 维空间,设延迟时间为Σ,y k (t )=x t -k 3Σ,记y (i )=(y 1(i ),y 2(i ),…,y d (i ))(d =2,3,…)为d 维空间中的一点.定义3　定义y (i )与y (j )的关系为R d (i ,j )=∑dk =1y k (i )-y k (j )2,　R 0(i ,j )= x (i )-x (j ) (3) 定义4　定义概率P (R 0≤Ε,R d ≤∆)=n (R 0≤Ε,R d ≤∆)N pairP (R d ≤∆)=n (R d ≤∆)N pairP (R 0≤Ε)=n (R 0≤Ε)N pair(4)其中Npair为所有嵌入向量的数目总和.同理,n (R 0≤Ε,R d ≤∆),n (R d ≤∆)为满足给定距离约束的向量数8上　海　交　通　大　学　学　报1997年　第2期目总和.定义5　定义条件概率P d (Ε ∆)≡P (R 0≤Ε R d ≤∆)=P (R 0≤Ε,R d ≤∆)P (R d ≤∆)(5)P d (Ε∆)是一个重要概念,从定义5,不难得出以下性质[7]:性质1　对于完全随机的序列P 0(Ε)=P 1(Ε ∆)=…=P d (Ε ∆)(6) 性质2　如果考虑的离散系统具有确定性规则时,ΠΕ>0,ϖ∆∆>0使得P d (Ε ∆)=1 (∆≤∆∆>0,d ≥d 0)(7) 性质3　在有噪声的情况下,当Ε小于噪声的宽度时,P d (Ε ∆)将不再饱和到1.性质3可直接由函数的连续性推出.如果y 0=f (y 1,y 2,…,y d )ΠΕ>0,ϖ∆>0,当 y 1-y ′1 <∆, y ′2-y 2 <∆,…, y d -y ′d <∆,则有 y 0-y ′0 <Ε.但当噪声存在时, y 0-y ′0 = f (y 1…)-f (y ′1…)+r -r ′ ,当∆→0, y 0-y ′0 ≥ r -r ′ .因此,当Ε<∃r m ax ,并不能推出 y 0-y ′0 <Ε.条件概率P d (Ε ∆)将不再饱和到1.由以上讨论,在噪声程度较小的情况下,寻找最优嵌入维数d 0,使当d >d 0时,P d (Ε ∆)≈1的算法是可行的.由变量依赖的概念知x t 并不是与过去信号值x t -1,x t -2,…,x t -d 中的每一个都具有变量依赖关系.Savit 和Green [6]提出以等式P i (Ε ∆)∆<Ε=P i -1(Ε ∆)∆<Ε为基础,若等式不满足,认为与第i 个变量存在依赖关系.但当等式成立时,也未必不相关.因此,引入以下定义,并提出新的准则.定义6　定义P d (Ε)=m ax ∆>0P d (Ε ∆)=P d (Ε ∆) ∆≤∆Ε(8)显然P d (Ε)反映了使用d 变量能表征任意时刻系统状态的程度.当P d 0(Ε)=1时,就认为d 0即为最优嵌入维数.当P d (Ε)与P d -1(Ε)近似为零时,就认为第d 个变量为不相关变量.定义7　定义Κd (Ε)=P d (Ε)-P d -1(Ε)1-P 0(Ε),　Κd =∫∞(P d(Ε)-P d -1(Ε))d Ε∫∞(1-P 0(Ε))d Ε(9)如果Κd≈0,就认为第d 个变量为不相关的,且定义3中的R m (i ,j )(m >d )应修正为R m (i ,j )=∑mk =1,k ≠dy k (i )-y k (j )2 (m >d )(10) 综上,建议以下搜索最优嵌入维数的算法:(1)计算P 0(Ε);(2)从d =1开始,计算P d (Ε ∆),求其最大值P d (Ε);(3)估计Κd 的值;(4)(判断)若Κd～O (0),则第d 个变量为不相关变量(当计算P k (Ε ∆) k >d 时,除去第d 个变量的信息);(5)d +1→d ,重复(2)～(4)步,直到P d (Ε)饱和;(6)若P d 0(Ε)=1,则d 0即为最优嵌入维数.同时,使P d 0(Ε)=1的临界点,即可估计为噪声的最大宽度.上述搜索算法中需要注意的一点是:在(3)中,当估计Κd 时,Κd (Ε)应为(P d (Ε)-P d ′(Ε)) (1-P 0(Ε)),d ′≤d -1,d ′为最近的一个相关变量,当d ′<d 时,在d ′与d 之间的变量都是不相关变量.当然,此算法中的P d (Ε ∆)是统计量,因此,必须观测到较长信号序列,才能减小计算P d (Ε ∆)的误差.注意,以上算法是在假定时间序列是混沌的前提下进行的.在不能断定序列的混沌性时,可先利用W o lf 等[9]提出的方法计算L yap unov 指数,如果最大L yap unov 指数大于零,则可断定该时间序列是混沌的.3　混沌时间序列的区间预测3.1　点预测根据Parkard 等人的模型,先把时间序列嵌入到高维空间.设延迟时间为Σ,嵌入维数为d ,令x (t )={x (t ),x (t -Σ),…,x (t -(d -1)Σ)}.由T aken s 的嵌入定理,新的d 维动态系统同样具有确定性规则.假定当前状态x (t )与将来状态x (t +T )之间满足关系9叶中行等:混沌时间序列的区间预测x(t+T)=f T(x(t))(11) 假定只知道t时刻之前的信号值,要预测x(t+T).Farm er和Sido row ich的局部近似法就是首先在d维空间中定义一个距离,记为‖・‖,且称x(t)=(x(t),x(t-Σ),…,x(t-(d-1)Σ))为预测子.然后在d维空间的嵌入向量中寻找k个与预测子相似的状态,x(t1),x(t2),…,x(t k)(t1,t2,…,t k<t),即满足‖x(t′)-x(t)‖(t′<t)最小.为方便起见,做映射:F T:x(t i)→x(t i+T) (i=1,2,…,k)(12)可用线性多项式来模拟F T,用最小二乘法易得多项式的各项系数.则t+T时刻的预测值就是F T(x (t)).从以上讨论的点预测的思想中,不难发现存在以下问题:(1)选择什么样的距离‖・‖才能确保误差尽可能的小?(2)k取多大才是最优的?(3)用局部近似法来模拟混沌变换时,能否控制误差?问题(1)中的‖・‖可选为欧氏空间的加权距离.在上节的嵌入维数搜索算法中,如果嵌入向量中的某些分量是不相关变量,加权距离在这些分量的权为0,否则为1.3.2　区间预测区间预测的基本思想如下:首先计算最优嵌入维数d,把观测到的数据列嵌入到d维相空间中去,在d维空间中用聚类方法来获取预测子的相似状态(从而减少了人为的因素,避免了k的选择).最后,预测某一时刻值的取值区间,并给出相应评价标准(可靠度).定义7　设∆为给定的一个阈值,称d维空间中的集合G为一个类,如果对任意的x(t),x(t′)∈G,有d t,t′=‖x(t)-x(t′)‖<∆,并称属于同一类的向量为相似状态.给定阈值∆,如果x(t)=x(t),x(t-Σ),…,x(t-(d-1)Σ所在类的相似状态有n个(n>0),记为x(m l)(l=1,2,…,n),取m ax=m ax1<l≤n x(m l+T),　m in=m in1<l≤nx(m l+T)(13) 定义8　假设[m in,m ax]=[a,b],如果子区间[c,d]<[a,b],且落在区间[c,d]内的点有k个,如把[c,d]作为预测区间,则定义预测的可靠度为k n.实际应用中,由于不需要100◊的可靠度.因此,可通过控制预测区间的可靠度,缩小预测区间.以下两定理保证了预测区间较小时,有较高的可靠度.定理2　如果t足够大,f T连续,且聚类阈值∆0可以任意接近于0,则ΠΕ,t+T时刻信号值的预测误差不大于3Ε.证明　混沌的动态系统必存在着整体吸引子A,由整体吸引子的定义,如果t足够大,必使得x(t)及其相似状态x(m l)(l=1,2,…,n)均落在整体吸引子A内.又A为闭集,因此f T为A上的一致连续映射.ΠΕ,ϖ∆,当‖x(t)-x(m l)‖<∆,有 f(x(t))-f(x(m l)) <Ε.因此,由类的定义,当取阈值为∆时,有x(t+T)-x(m l+T) <Ε (l=1,2,…,n)即m in-Ε<x(t+T)<m ax+Ε,　x(t+T)∈m in-Ε,m ax+Ε令I=m in-Ε,m ax+Ε,又当‖x(m i)-x(m j)‖<∆,同样有f(x(m i))-f(x(m j)) <Ε因而,m ax-m in<Ε,即I<m ax-m in+2Ε=3Ε,命题得证.定理3　如果F T满足L i p sithz条件(L i p sithz常数为L),且最小聚类阈值∆0较小,则X(t+T)的预测误差不大于3L∆.证明　由已知条件及类的定义,以下两式成立:F T(x(t))-F T(x(m l)) <L‖x(t)-x(m l)‖<L∆F T(x(m i))-F T(x(m j)) <L‖x(m i)-x(m j)‖<L∆由上式得:x(t+T)∈[m in-L∆,m ax+L∆],进而可得:m ax-m in<L∆.因此,x(t+T)的预测误差不大于3L∆.命题得证.从以上两个定理可以知道,只要当f T满足一定条件(并不强),最小聚类标准达到很小时,区间预测是相当可靠和有效的.在区间预测的思想中.并不需要知道时间序列中的确定性规则的具体形式,这是01上　海　交　通　大　学　学　报1997年　第2期区间预测区别于局部近似法的重要特征.3.3　区间预测的实用算法根据区间预测的思想,首先要进行聚类.定义9　系统聚类法:(1)设定阈值∆;(2)构造n 个类,每个类只包含一个样品;(3)计算n 个类两两之间的距离,找出最小者,若其小于给定的阈值∆,则转(4),否则转(5);(4)合并距离最近的两类为一新类,n -1→n ,转(3);(5)聚类完毕.定义10　最长距离法:假设类G ={x (1),x (2),…,x (n )},类K ={y (1),y (2),…,y (m )},则G ,K 之间的距离定义为d GK =m ax x i ∈G ,y j ∈K{d x i y j }.由最长距离法的定义,当d GK <∆时,则Πx i ∈G ,y j ∈K ,都有d x (i ),y (j )<∆.把系统聚类法具体应用于区间预测中,假定有离散混沌时间序列,x (n )(n =1,2,…,N ):(1)设定聚类阈值为∆;(2)把m 个嵌入向量x (1+(d -1)Σ),…,x (N ),作为m 个类(m =N -(d -1)Σ+1),分别记为第1类,2类,…,m 类.e =0;(3)按照最长距离法,计算m 个类两两之间的距离(记为d ij )(i ,j <m +1);(4)(判断)若d st =m in 1≤i ,j ≤m ,i <j{d ij }<T ,则合并第s 类及第t 类;否则转(6);(5)(组成新类)把第t +i (i =1,2,…,m -t )类的元素令为第t +i -1类,m -1→m ,e +1→e ,转(3);(6)找出x (N )所在的类,并把类中的元素登记为x (l 1),x (l 2),…,x (l k );(7)m ax =m ax 1≤i ≤k x (l i +T ),m in =m in 1≤i ≤kx (l i +T ).相应的区间预测的实用算法:(1)通过最优嵌入维数算法得出d ;(2)由相关积分法得出延迟时间Σ;(3)重构相空间;(4)利用系统聚类法得出m in ,m ax ;(5)根据需要设定预测可靠度R ,并选择I ,计算x (l 1+T ),x (l 2+T ),…,x (l k +T )落在区间[m in +I ,m ax -I ]内的个数h ,进而计算h k ;(6)(判断)若h k <R ,转(5);否则转(7).(7)结束.4　应　用应用区间预测算法讨论L ogistic 映射.由L ogistic 映射x t =4x t -1(1-x t -1)(t 为时间,取整数时间单位.如t =1,2,3,…)产生2000个数据点(不考虑噪声).(1)搜索最优嵌入维数　计算P d (Ε ∆)和P d (Ε)得表1,表2.表1　Ε=0.1,概率P d (Ε ∆)随∆变化的规律∆维 数2340.0110.9983000.9982990.020.9997360.9976520.9976510.030.9556040.9540700.9540430.040.8412400.8399540.8398600.050.7478900.7468400.7466930.060.6434830.6725440.6724390.070.6156720.6149600.6147010.080.5682230.5675900.5673200.090.5344780.5334250.5332100.100.4965380.4961320.495838表2　最大条件概率P d (Ε)随Ε变化的规律Ε维 数2340.010.280950.28087　0.2808700.020.4411670.4407680.4408020.030.5536480.5531470.5530850.040.6375100.6371030.6368750.050.6955370.6951750.6948600.060.7479240.7476420.7471890.070.7886820.7884450.7880660.080.8270340.8205330.8202110.090.8555720.8554090.8551500.100.8887270.8886020.888403表3　区间预测结果t真实值初始预测区间预测区间4000.911914[0.902319　0.921600][0.902319　0.921600]4010.321307[0.289014　0.312430][0.289014　0.312430]4020.872275[0.871939　0.903475][0.871939　0.883475]4030.445646[0.455342　0.485421][0.455342　0.485421]4040.988183[0.960813　0.992134][0.970813　0.992134]4050.046711[0.027112　0.062478][0.037112　0.062478]4060.178116[0.168965　0.200234][0.168965　0.190234]4070.585563[0.563409　0.610874][0.563409　0.610874]4080.970716[0.949045　1.140292][0.949045　1.140292]4090.113707[0.074582　0.156782][0.074582　0.156782] 从表1、表2可以看出,最大条件概率均接近于1,因此最优嵌入维数为2.这也是必然的,因为L o 211叶中行等:混沌时间序列的区间预测21上　海　交　通　大　学　学　报1997年　第2期gistic映射本身仅是2维的.(2)区间预测　取嵌入维数为2,延迟时间为1个时间单位,通过前400个历史数据来预测后10个,结果见表3. 从表3可以看出,区间预测的结果较好,因为L ogistic映射为连续的,初始预测区间即可做为最终预测区间(可靠度近似为100%).参　考　文　献1　帕利斯,梅　罗.动力系统几何理论引论.陈藻平译.北京:科学出版社,19882　Packard,C rutchfield,Show,etc.Geom etry from a ti m e series.Physica R eview s L etters,1980,45:712～7163　T akens F.D etecting strange attracto rs in turbulence.L ecture N o tes in M ath,1981,(898):366～3814　Farm er,Sido row ich.P redict chao tic series.Physica R eview s L etters,1987,59:845～8505　B rock,D echert,Scheinkm an,etc.A test fo r independence based on the co rrelati on di m ensi on.U niversity of W isconsin,P rep rint,1988 6　Savit,Green.T i m e series and dependent variables.Physica D,1991,50:95～1167　Hong P i,Carsten Peterson.F inding the em bedding di m ensi on and variable dependencies in ti m e series.N eural Computati on,1994,6: 509～5188　A barbanel,B row n,Sido row ich.T he analysis of observed chao tic data in physical system s.R eview s of M odern Physics,1993,65:1331～13909　W o lf,Sw ift,Sw inney,etc.D eterm ining L yapunov exponents from a ti m e series.Physica16D,1985,285～317Inte rva l P re d ic tion fo r C ha o tic T i m e S e rie sY e Z hong x ing L ong R ujun(D ep artm en t of A pp lied M athem atics)Abs tra c t　In terval p redicti on fo r chao tic ti m e series is discu ssed.A lgo rithm s fo r search ing the op ti m al em bedding di m en si on and in terval p redicti on are p resen ted,w h ich can be app lied in p ractice w ith satis2 facto ry.Ke y w o rds　chao s;em bedding;p hase sp ace;in terval p redicti on;strange attracto r。