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Delay-dependent stability of symmetric schemes in Boundary Value

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Delay-dependentstabilityofsymmetricschemesinBoundaryValueMethodsforDDEsq

WenhaoLia,*,ShifengWub,SiqingGanaaSchoolofMathematicalSciencesandComputingTechnology,CentralSouthUniversity,Changsha410075,PRChina

bDepartmentofComputerSciences,GuangdongPolytechnicNormalUniversity,Guangzhou510665,PRChina

articleinfoKeywords:DelaydifferentialequationsBVMsSymmetricschemesETRsETR2s

TOMsDelay-dependentstabilityregionsk1;k2

ð0Þ-stability

abstractWeconsiderthesymmetricschemesinBoundaryValueMethods(BVMs)appliedtodelaydifferentialequationsy0ðtÞ¼ayðtÞþbyðtÀsÞwithrealcoefficientsaandb.Ifthenumeri-

calsolutiontendstozerowhenevertheexactsolutiondoes,thesymmetricschemewithðk1þm;k2Þ-boundaryconditionsiscalledsk1;k2ð0Þ-stable.Threefamiliesofsymmetric

schemes,namelytheExtendedTrapezoidalRulesoffirst(ETRs)andsecond(ETR2s)kind,

andtheTopOrderMethods(TOMs),areconsideredinthispaper.Byusingtheboundarylocustechnology,thedelay-dependentstabilityregionofthesymmetricschemesareanalyzedandtheirboundariesarefound.Thenbyusinganeces-saryandsufficientcondition,theconsideredsymmetricschemesareprovedtobesm;mÀ1

ð0Þ-stable.

Ó2009ElsevierInc.Allrightsreserved.

1.IntroductionDelaydifferentialequationsprovideapowerfulmeansofmodelingmanyphenomenainappliedsciences.Whenconsid-eringtheapplicabilityofnumericalmethodsforthesolutionofDDEs,itisnecessarytoanalyzethestabilityofthemethods.Inthelastthreedecades,manyworkshavedealtwiththestabilitypropertiesofInitialValueMethods(IVMs)forlinearscaleDDEs.Oneoftheinterestingproblemsinstabilityanalysisistheinvestigationofthedelay-dependentstabilityofnumericalmethods.BellenandZennaro[1]pointedoutthat,comparedtothedelay-independentstabilityanalysis,theasymptoticsta-bilityanalysisforafixedvalueofthedelayismuchmoredifficult.Oneofthereasonsisthatthedelay-dependentstabilityregionislargerandmorecomplicatedtodescribe.Someearlyliteratureaboutdelay-dependentstabilitymainlyfocusedonpuredelayequationsoronthenumericalinvestigationofstabilityregionfordiscretizationmethods.Later,GuglielmiandHairersystematicallystudiedthedelay-dependentstabilityofh-methodsandRunge–Kuttamethods,twoprincipalkindsofIVMs,formodelEq.(1.1)andmanyinterestingresultshavebeenobtained[2–5].Inparticular,theirresearchesshowthattrapeziumrule,symmetricschemeinLinearMultistepMethods(LMMs),andallGaussmethods,symmetricschemesinRunge–Kuttamethods,aresð0Þ-

stable.Andthenmanyotherworksdealtwiththedelay-dependentstabilityoftrapeziumruleforvariousmodelequations(see[6–9]).Theseexperienceindicatethatthesymmetricschemeshavebetterpropertyindelay-dependentstabilityresearch.Recently,Huang[10]consideredthedelay-dependentstabilityofhighorderRunge–Kuttamethodswithanewidea.

0096-3003/$-seefrontmatterÓ2009ElsevierInc.Allrightsreserved.doi:10.1016/j.amc.2009.08.043

qThisworkwassupportedbytheNaturalScienceFoundationofChina(Grant10871207)andtheScientificResearchFoundationfortheReturned

OverseasChineseScholars,StateEducationMinistry.*Correspondingauthor.E-mailaddress:li_wenhao@yahoo.cn(W.Li).

AppliedMathematicsandComputation215(2009)2445–2455ContentslistsavailableatScienceDirectAppliedMathematicsandComputation

journalhomepage:www.elsevier.com/locate/amcBVMs,basedontheLinearMultistepFormulae(LMF),areusedforsolvingODEs,DDEs,andmanyothermodelsinrecentyears(see[11–14]).TheadvantageinusingBVMsoverIVMscomesfromthestabilitypropertiesofBVMs.Itisimportantthatlotsofstable,high-ordersymmetricschemesarefoundinBVMs.Therearethreemainfamiliesofsymmetricschemes,namelytheExtendedTrapezoidalRulesoffirst(ETRs)andsecond(ETR2s)kind,andtheTopOrderMethods(TOMs).Each

ofthemmayberegardedasasuitablegeneralizationofthebasictrapeziumrule.TostudythestabilitypropertiesofBVMsforDDEs,thedefinitionofPk1;k2

-stabilityareintroducedbyBrugnanoandTrigiante[11].Recently,thedelay-dependentsta-

bilityofGeneralizedBackwardDifferentiationFormulae(GBDF),oneclassofBVMs,isconsideredbyLietal.[15]andanewstabilityconcept,calledsk1;k2

ð0Þ,isintroduced.AndWuetal.[16]studiedthedelay-dependentstabilityofETR2sforrealand

complexcoefficientstestequation.However,otherfamiliesofsymmetricschemes(ETRsandTOMs)arenotconsidered.Therefore,theauthorsofthispaperwanttoproveallsymmetricschemesaresm;mÀ1

ð0Þ-stableinauniformway.

InthispaperweconcentrateontheDDEtestmodel

y0ðtÞ¼ayðtÞþbyðtÀ1Þ;t2ð0;T󰀃;yðtÞ¼uðtÞ;À16t60;

&

ð1:1Þ

wherea;b2R,anduðtÞ2C1½À1;0󰀃.Withoutlossofgenerality,wesetthedelays󰀄1andT2Zþhere.InSection2,someinformationofbackgroundofthispaperareintroduced.InSection3theboundarylocusofsymmetricschemesisdeterminedanditspropertiesarestudied.InSection4,weobtainthestabilityregionofsymmetricschemesandcompareitwiththestabilityregionofcontinuouscase.Anecessaryandsufficientconditionisobtainedtotestthesm;mÀ1

合集下载

1. Numerical linear algebra

1. Numerical linear algebra

(Stoer & Bulirsch, Cheney & Kincaid)
1. Methods for initial value problems for ordinary di erential equations: Runge-Kutta and Adams methods.
2. Methods with automatic step-size control for Runge-Kutta and Adams methods. 3. Basic concepts of stability of the multistep methods for ODE's and systems.
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1. Weak (variational) formulation and characterization of the energy space: essential and natural boundary condition.
3. Eigenvalues and eigenvectors of matrices (minimax methods for symmetric matrices, power method, QR method). Singular value decomposition and its basic properties.
estimates (Courant condition). 3. Error estimates
6. Numerical methods for elliptic problems
(Ames, Striktwerda)
1. Finite di erences and nite volumes: approximation of the equation and the boundary conditions, higher order schemes.
一阶时滞系统的鲁棒α-稳定性区域分析

一阶时滞系统的鲁棒α-稳定性区域分析

Ｋ） ］ （） ６
这里 是 方程 ｖｏ ＝ａ Ｋ（ Ｖ 仃） ｃｔ Ｔ— ０＜ ＜ 的唯一根 ． ｖ
为保 证 Ｒ （ ＜ 一 ， Ｋ＝一 代入 （ ） ， ｅ Ａ） 取 町 ６式 可 得 （ ） 零解 的 Ｏ一稳定 区域 的边 界 、 ３式 Ｌ 记其 边 界
其 仅一稳定 性 的鲁棒 区问．
1利用hayes定理分析一阶时滞系统的稳定性区域11问题的导出我们考虑下列超越方程abe0上式可看作abe0当1时的方1程而1式可同解变化为下式heaeb02文8中hayes第二定理为定理方程h0的根位于直线rek的左边当且仅当ak1及akekbekv2ak212这里v是方程vcotvak0v的唯一的根
献 ［ ］ 合文 ［ ， ， ］ 论 了一 般 时滞 系统 的 Ｏ 一 ４结 ５６７ 讨 ． ｒ 稳定性 问题 ， 且 得 到 了有效 的判别 方法 ； 合 实 并 结 际系统稳 定性对 参数变 化区域 的要求 ， 面将 讨 论 下
ａ Ｋ＜１ （Ｔ— ｅ Ｔ— ，ａ Ｋ） ＜一ｂ ＋（ ＇— ｒ＜ｅ［ ａ Ｆ
Ａ—ａ—ｂ 一 ＝ ｅ ０ （） ４
令 ｓ Ａ ， （ ） 可化为 ＝ ｒ则 ４ 式
Ｓ Ｔ～ｂ ｅ —ａ ｒ・ ～＝ ０ （） ５
根 据 Ｈａｅ 第二 定理 ， ｙｓ 可得结论 ： 方程 （ ） ５ 的根满 足
Ｒ （ ）＜ ｅ Ｓ Ｋ当且仅 当
定 范围 内对参 数 的任 意组 合 总是 稳 定 的¨ ］文 ．
为 消去 ｆ ａ ｂ ｒ （ ， ， ）＝０中 的 Ｖ 根 据 Ｈ ｙｓ 理 ， ａｅ 定
阶实 系数时滞微 分方程
２ ０ －９０ 到第 １稿 ，０ ９１－７收 到 修 改稿 ０９０ －４收 ２０ －２２
第 ２期
非线性微分方程及稳定性

非线性微分方程及稳定性


定理 (1) 若矩阵A的全部特征值都具有负实部,则系统 (6.12)的零解是渐近稳定的;
(2) 若矩阵A的全部特征值中至少有一个具有正实部,则系统 (6.12)的零解是不稳定的.
定理(Hurwitz准则) 实系数 n 次代数方程
的所有根具有负实部(包括负实根)的充分必要条件是:
定理 若特征方程
没有零根或零实部的根，则非
就有
则称系统(6.3)的零解
是渐近稳定的; 区域
称为
吸引域;如果吸引域是全空间,则称
是全局渐近
稳定的
. (3) 若
都
与
使
但
则称
是不稳定的。
6.3 相平面
现在讨论二阶微分方程组
（6.5）
它的解
（6.6）
如果把时间t当做参数，仅考虑x，y为坐标的（欧氏）空间， 此空间成为方程组（6.5）的相平面（若方程组是高阶的，则称为 相空间）。在相平面（相空间）中方程组的曲线称为轨线。对一般 的方程组（6.5）在相平面上一个点可能有不止一条轨线经过。但 如果方程组（6.5）是驻定方程组，即其右端函数不显含时间t的情 形，此时（6.5）式变成：
为研究（6.1）的特解
邻近的解的性态，通常先利用
变换: 把方程（6.1）化为：
(6.28) （6.3）
其中 此时显然有：
（6.4）
6.2 稳定性的基本概念
定义6.1 设
是系统(6.3)适合初值条件
的解
(1) 若
使得只要
对一切
恒有
则称系统(6.3)的零解
是稳定的。
(2) 若 1)
是稳定的;
2)
使得只要
）趋近于它时，称此极限圈为
稳定的。如果轨线是负向（即
一阶线性偏微分方程的特征线解法

一阶线性偏微分方程的特征线解法

2
该方程称为Poisson方程或位势方程
第18页
3. 定解条件： ＝初始条件＋边界条件
①. 初始条件：
u t =0 = ϕ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω, ut
注意：
t =0
= ψ ( x, y, z ), ( x, y, z ) ∈ Ω,
弦振动方程定解问题需要上述两个初始条件； 热传导方程定解问题只要上述第一个初始条件； 位势方程定解问题不需要初始条件。
这 里 n 为 ∂Ω 的 单 位 外 法 向 ， g为 已 知 函 数 。
第20页
注意：
上述三类方程中，对物体 Ω 的边界 ∂Ω 上每一点都要 施加一个边界条件。 对于不同的问题，相应的边界条件有不同的实际意义。
第21页
叙述一个定解问题时，要标明方程和定解条件成立的范围。
例如：一维热传导方程的第一边值问题：
如果配合画图则更清楚。
T u = g1
ut − a 2u xx = f
u = g2
注意：t=T时不能施加条件！！
0
u ( x , 0) = ϕ ( x )
l
第22页
x
位势方程边值问题：
位势方程的第一边值(Dirchlet)问题：
－Δu ( x) = f ( x), x = ( x1 , L , xn ) ∈ Ω,
第14页
热传导方程的混合问题：
热传导方程的第一边值(Dirchlet)问题：
∂u − a 2 Δu ( x, y, z , t ) = f ( x, y, z , t ), ∂t ( x, y, z ) ∈ Ω, t > 0,
u ( x, y, z , 0) = ϕ ( x, y, z ),