高二数学选修4-4~442参数方程和普通方程的互化-文档资料

2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
分析: 在=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x t2 x sin t x t x t A、 4 B、 C、 D、 2 2 y t y t y sin t y t
（B）抛物线的一部分，这部分过（ 1， ）；
1 （D）抛物线的一部分，这部分过（–1， ） 2
分析 一般思路是：化参数方程为普通方程 求出范围、判断。 解 x2= (cos sin ) 2 =1+sin=2y，
2 2
普通方程是x2=2y，为抛物线。 x | cos sin | 2 sin( )，又0<<2， 2 2 2 4
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4.
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 y t 2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
普通方程
结
参数方程
引入参数 消去参数
3、参数方程和普通方程 的互化
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。

.参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化()将曲线的参数方程化为普通方程，有利于，曲线的参数方识别曲线类型程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过而从参数方消去参数程得到普通方程．()在参数方程与普通方程的互化中，必须使保持一致．，的取值范围[例] 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程．()＋＝，＝θ＋.(θ为参数)()－＋－＝，＝＋.(为参数)[解]()将＝θ＋代入＋＝得：＝＋θ.∴(\\(＝() θ＋，＝() θ＋.))(θ为参数)这就是所求的参数方程．()将＝＋代入－＋－＝得：＝＋－＝(＋)＋＋－＝＋＋∴(\\(＝＋，＝＋＋.))(为参数)这就是所求的参数方程．普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例()，若令＝θ(θ为参数)，则参数方程为(\\(＝θ，＝θ＋θ－))(θ为参数)．．求＝满足下列条件的参数方程：()＝(≠)；()＝θ(θ≠，∈)．解：()将＝代入＝得：·＝，∵≠，∴＝，∴(\\(＝，＝()))(为参数，≠)．()将＝θ代入＝得：＝θ).∴(\\(＝θ，＝( θ)))(θ为参数，θ≠，∈).[例] 将下列参数方程化为普通方程：()(\\(＝()＋，＝－()))(为参数)．()(\\(＝θ＝θ－)) (θ为参数)．[思路点拨]()可采用代入法，由＝＋解出代入表达式．()采用三角恒等变换求解．[解]()由＝＋≥，有＝－，代入＝－，得＝－＋(≥)，这是以()为端点的一条射线．()由(\\(＝θ＝θ－))得(\\( θ＝() ① θ＝(＋) ②))，①＋②得＋＝.消去参数的方法一般有三种：()利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；。

x= sin cos (2) ( 为参数). y 1 sin 2
解： 因为x t 1 1 (1) 所以普通方程是y 2 x （x 1) 3
(2)因为：x sin cos 2 sin( ) 4 所以x 2, 2 2 所以普通方程是x y , x 2, 2 .
x,y范围与y=x2中x,y的范围相同，
x t 且以 y t 2
代入y=x2后满足该方程，从而D是曲线y=x2的一种参数方程.
注意： 在参数方程与普通方程的互化中，必须 使x，y的取值范围保持一致。否则，互化就是 不等价的.
小
普通方程
结
参数方程
引入参数 消去参数
3、参数方程和普通方程 的互化
x cos 3, 由参数方程 ( 为参数)直接判断点M 的轨迹的 y sin 曲线类型并不容易，但如果将参数方程转化为熟悉的普通 方程，则比较简单。
由参数方程得： cos x 3 ,sin 2 cos 2 ( x 3) 2 y 2 1 sin y 所以点M 的轨迹是圆心在（3，0），半径为1的圆。
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
这是以（1， 1）为端点的一条射线（包括端点）
例２、求参数方程
x | cos 2 sin 2 |, (0 2 ) 表示 y 1 (1 sin ) 2

0<x 2 ，故应选（B） 说明 这里切不可轻易去绝对值讨论，平方法 是最好的方法。
x2 y 2 例4 求椭圆 1的参数方程。 9 4
(1)设x=3cos，为参数； (2)设y=2t，t为参数.
为参数。
x 3cos 解：（1）参数方程是 y 2sin
通过代入消元法消去参数t ,
可得普通方程：y=2x-4 （x≥0） 注意：
在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取 值范围保持一致。 否则，互化就是不等价的.
例1、把下列参数方程化为普通方程， 并说明它们各表示什么曲线？
x= t 1 (1) (t为参数) y 1 2 t
参数方程和普通方程的互化：
（1）普通方程化为参数方程需要引入参数 如：①直线L 的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参 数方程
x t, （t为参数） y 2t 2.
②在普通方程xy=1中，令x = tan,可以化为参数方程
x t an , （为参数） y cot .
（2）参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为 普通方程
x a r cos , 如：①参数方程 消去参数 y b r sin . 可得圆的普通方程(x-a)2+(y-b)2=r2.
x t , ②参数方程 （t为参数） y 2 t 4.
2、曲线y=x2的一种参数方程是（ ）.
分析: 在y=x2中，x∈R, y≥0， 在A、B、C中，x,y的范围都
发生了变化，因而与 y=x2不等价； 而在Ｄ中，
x t2 x sin t x t x t A、 4 B、 C、 D、 2 2 y t y t y sin t y t