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随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理

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几种收敛函数的介绍

几种收敛函数的介绍

概率论中的收敛-正文概率论中的极限定理和数理统计学中各种统计量的极限性质，都是按随机变量序列的各种不同的收敛性来研究的。

设{X n,n≥1}是概率空间(Ω,F,P)（见概率）上的随机变量序列，从随机变量作为可测函数看，常用的收敛概念有以下几种：以概率1收敛若,则称｛X n,n≥1｝以概率1收敛于X。

强大数律（见大数律）就是阐明事件发生的频率和样本观测值的算术平均分别以概率 1收敛于该事件的概率和总体的均值。

以概率 1收敛也常称为几乎必然（简记为α.s）收敛,它相当于测度论中的几乎处处（简记为α.e.）收敛。

依概率收敛若对任一正数ε,都有，则称{X n,n≥1}依概率收敛于X。

它表明随机变量X n与X发生较大偏差(≥ε)的概率随n无限增大而趋于零。

概率论中的伯努利大数律就是最早阐明随机试验中某事件 A发生的频率依概率收敛于其概率P(A)的。

依概率收敛相当于测度论中的依测度收敛。

r阶平均收敛对r≥1,若X n-X的r阶绝对矩(见矩)的极限,则称{X n,n≥1}r阶平均收敛于X。

特别，当r=1时，称为平均收敛；当r=2时,称为均方收敛，它在宽平稳过程（见平稳过程）理论中是一个常用的概念。

弱收敛设X n的均值都是有限的，若对任一有界随机变量Y都有,则称{X n,n≥1}弱收敛于X。

由平均收敛可以推出弱收敛。

从随机变量的分布函数（见概率分布）看，常用的有如下收敛概念。

分布弱收敛设F n、F分别表示随机变量X n、X的分布函数,若对F的每一个连续点x都有，则称X n的分布F n弱收敛于X的分布F,也称X n依分布收敛于X。

分布弱收敛还有各种等价条件，例如,对任一有界连续函数ƒ(x)，img src="image/254-6.gif" align="absmiddle">。

分布弱收敛是概率论和数理统计中经常用到的一种收敛性。

中心极限定理就是讨论随机变量序列的标准化部分和依分布收敛于正态随机变量的定理。

大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理

大学课件-概率论之大数定律和中心极限定理

依概率收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
若对任意的 >0，有
nlim
P
:
Xn() Y ()
0
则称随机变量序列{Xn}依概率收敛于Y, 记为
Xn P Y
弱大数定律讨论的就是依概率收敛.
以概率1收敛
设有随机变量序列X1, X2,…, Xn和随机变量Y
如果
P(
:
lim
x
X
n
()
P(t1
vn
t2 )
P
t1
np npq
vn
np npq
t2
np npq
t2
np npq
t1
np npq
查分布表
当n 较小时，误差较大，公式可修正为
P(t1
vn
t2 )
t2
(1/ 2) npq
np
t1
(1/ 2) npq
np
查正态分布表
例5.2.2设某地区原有一家小电影院，现拟筹建一所较 大的电影院。根据分析，该地区每天平均看电影者 约有n=1600人，预计新电影院开业后，平均约有3/4 的观众将去新电影院。现计划其座位数，要求座位 数尽可能多，但“空座达到200或更多”的概率不能 超过0.1，问设多少座位为好？
X3
X
2 4
X5
X6
n
n
X2 3n2
X 3n1 X 3n
P14 , n
a 14
习题5.11 假设某洗衣店为第i个顾客服务的时间Xi服从区间[5,53] (单位：分钟)上的均匀分布，且对每个顾客是相互独立的，试问
当n
时，n次服务时间的算术平均值 1 n

_弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理

_弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理

则对任意的 x∈ ，有
n
注1
1 1 S k， k （ 2） ≤ x = Φ（ x） ． ∑ I σ n→∞ log n k = 1 k 满足定理 1 假设条件 （ i ） 的 ｛ a ni ｝ 有 很 多，如 取 a ni = 1 / n β ，β ≥ α； a ni = （ n + 1 － i ） / n γ ， lim nα 1 1 ， ＜∞． 满足 lim sup ∑ An An k = i k
k
a ni X i ， 1 ≤k≤n． ∑ i =1
假设下列条件成立：
（ i） 对某个 α≥1 ， ∑ a ni ＜ C
i =1 n→ ∞
k ， 1 ≤ k ≤ n，n ≥ 1 ，且当 n → ∞ 时，满足 n max a2 n， i → 0； 1 ≤i≤n nα
2 （ ii） 对正常数 σ， Var（ S n， β，lim Var（ S n， n ） = σ ＞ 0， k ） － Var （ S n， k － 1 ） ≥ β / n．
［1 ］ ［2 ］ 几乎处处中心极限定理（ ASCLT） 是由 Brosamler 和 Schatte 分别独立提出并开始研究的，目前 ［35 ］ ． 令｛ X n ， n ≥1 ｝ 为一独立同分布的随机变量序列，且满足 EX1 = 0 ，EX2 已取得了一些结果 1 = 1， n
Sn =
Xi ． ∑ i =1
n －1 n i = 1 j = 2i +1 j 1 1 1 1 Cov ( f（ S i， f ( ∑ a j， + Cov（ f（ S i， f（ S j，j ） ） ≤ 2 ∑ ∑ i） ， i） ， k Xk ) ) i j j i = 1 j = 2i +1 i k = 2i +1

随机数学 大数定律和中心定理

随机数学 大数定律和中心定理


x

e
t 2 / 2
dt ( x).
二. 独立同分布的中心极限定理:
设 r.v. Xk(k=1, 2, … )相互独立, 服从同一分布 且具有有限的数学期望和方差:
E ( X k ) , D( X k ) 2 , k 1, 2,
则 X n}服从中心极限定理 { .

2
1
k
k 1 2
n
2 3
n
2
1
§2. 中心极限定理
一. 定义 对于独立随机变量序列1, 2, …, n, …,假定Ei, Di存在, 令
n
E
i 1 i i 1
n
n
i
若对对任x R
D
i 1
n
(标准化和)
i
1 x t 2 / 2 lim P{ n x} e dt n 2 则称{ i }服从中心 极限定理. 1 F n ( x) P{ n x}; 2
kn lim P{| p | } 0. ? n n
2. X 1 , X 2 ,, X n是对某长度 a的一组测量 , 通常我们用 1 X ( X 1 X 2 X n )表示测得的长度 , 道理 ？ n
定义1 设1 , 2 ,, n ,是一列随机变量, 如果存在随机变量，使得对任意的 0, 恒有 lim P{| n | } 1
k 1 100
D(V 解 : 易知E(Vk ) 5， k ) 100/12(k 1, 2, , 100).
由独立同分布的中心极 限定理知
P{V 520} P{
V - 100 5 100/12 100

大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总

大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总

大数定理与中心极限定理的关系及应用汇总大数定理和中心极限定理都是概率论中非常重要的定理，它们在概率论和统计学中有着广泛的应用。

下面我们来详细介绍它们的关系及应用。

大数定理（Law of Large Numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述的是随机变量序列的平均值收敛于期望的情况。

大数定理主要分为弱大数定律和强大数定律。

弱大数定律指的是当样本容量趋于无穷大时，随机变量的平均值收敛于期望的概率为1；强大数定律则指的是在一些条件下，随机变量的平均值几乎处处收敛于期望，即概率为1中心极限定理（Central Limit Theorem）是概率论中另一个重要的定理，它描述的是随机变量序列的和随着样本容量的增大逼近于正态分布的现象。

中心极限定理分为三种形式：林德伯格-列维定理、德莫佛拉-拉普拉斯定理和契比雪夫不等式。

其中，林德伯格-列维定理是最早提出的版本，它陈述了独立随机变量和的分布函数在适当的标准化下会趋近于标准正态分布。

大数定理和中心极限定理的关系：大数定理和中心极限定理在一定程度上是互补的。

大数定理关注的是样本容量趋于无穷大时随机变量的平均值的收敛情况，中心极限定理则关注的是样本容量增加时和的分布趋近于正态分布的情况。

可以说，中心极限定理是大数定理的一种具体形式。

应用汇总：大数定理和中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们来汇总一些常见的应用领域：1.投资与金融：大数定理可以应用在股票市场分析中，通过分析历史数据计算出平均回报率，从而预测未来的回报率。

而中心极限定理则可以用于计算股票收益率的置信区间，帮助投资者进行风险管理。

2.生物统计学：大数定理和中心极限定理在生物统计学中有着广泛的应用。

例如，通过大数定理可以估计人口中患其中一种疾病的比例，从而指导公共卫生政策制定。

而中心极限定理则可以用于计算样本均值的置信区间，帮助比较两个群体的差异性。

3.教育评估：在教育评估中，大数定理和中心极限定理可以用于计算学生的平均成绩以及学校的平均分数的置信区间。

大数定理与中心极限定理

大数定理与中心极限定理

n
k 1
Xk,
则对任意正
数 , 有
lim
n
P{|
Yn
|
}
1
即序列
Y
1 n
n k 1
Xk
依概率收敛于
伯努利大数定理（频率的稳定性）
定理4.5 设 n是n次独立试验中事件A发生的次数，p 是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数
恒有
lim P n
n
n
p
0
定理的应用：可通过多次重复一个试验，确定 事件A在每次试验中出现的概率
n p P(A)
n
样本平均数稳定性定理
定理4.6 设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，
且服从同一分布，并具有数学期望 及方差 2，则对于
任意正数 ，恒有 ——辛钦大数定理
即
1
lim
n
P
n
n i 1
Xi
1
观测量X在相同的条件下重复观测n次，当n充分大时， “观测值的算术平均值接近于期望”是一大概率事件。
概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布 是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。
定理4.7（李雅普诺夫定理）
设 X1, X 2,L , X n , 相互独立，且
E(Xk
)
k
,
D( X k
)
2 k
0(k
1, 2,L
).
n
令B2n
2 k
,
则当 n 时，随机变量
k 1
n
n
Xk k
Zn k1
则 P5200 X 9400 P X 7300 2100
1 P X 7300 2100

第四章 大数定律与中心极限定理

第四章 大数定律与中心极限定理
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式：
eitx cos(tx) i sin(tx)
(2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模：
a bi a 2 b2
4 October 2018
白城师范学院
第四章 大数定律与中心极限定理
第6页
4.1.2 特征函数的性质
(1) 伯努利大数定律是切比雪夫大数定律的特例.
(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.
(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.
4 October 2018
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第四章 大数定律与中心极限定理
第15页
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性：
i) 依概率收敛：用于大数定律；
设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，
每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 > 0，有
lim P n
n p 1
n

4 October 2018
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第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
4.2.2 常用的几个大数定律 大数定律一般形式：
则 {Xn}服从大数定律.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第13页
辛钦大数定律 定理4.2.4
若随机变量序列{Xn}独立同分布，且Xn的 数学期望存在。则 {Xn}服从大数定律.
4 October 2018
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第四章 大数定律与中心极限定理
第14页
注意点
Yn
P
Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.

4-2中心极限定理

4-2中心极限定理

即 查表得：
⎛ 20 3 ⎞ ⎟ ≥ 0.95, Φ⎜ ⎜ n ⎟ ⎠ ⎝
20 3 ≥ 1.645, n
20 3 n≤ ≈ 21.05836847, 1.645
n ≤ 443.4548826
故可取
n = 443
□
定理 (德莫佛－拉普拉斯定理)
设随机变量 η n ( n = 1,2, ) 服从参数为 n, p (0 < p < 1)的二项分布 , 则 对于任意 x , 恒有 ⎧ η n − np ≤ lim P ⎨ n→ ∞ ⎩ np(1 − p )
二、基本定理
列维-林德伯格中心极限定理 设随机变量X1，X2 ，…，Xn，…相互独立、同分布，且均具有期望与方 随机变量和 差： 随机变量和 E ( X k ) = μ , D( X k ) = σ 2 ≠ 0(k = 1,2, ), 的标准化 的标准化 则随机变量
⎛ n ⎞ ∑ X k − E⎜ ∑ X k ⎟ ⎝ k =1 ⎠ Yn = k =1 = ⎛ n ⎞ D⎜ ∑ X k ⎟ ⎝ k =1 ⎠
P{0 ≤ X ≤
⎛ N − np ⎞ ⎛ 0 − np ⎞ ⎟ − Φ⎜ ⎟ N } ≈ Φ⎜ ⎜ np(1 − p ) ⎟ ⎜ np(1 − p) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ N − 10 ⎞ ⎛ N − 10 ⎞ ⎟ − [1 − Φ (3.2)] ≈ Φ⎜ ⎟ − Φ (− 3.2 ) = Φ⎜ ⎝ 3.1 ⎠ ⎝ 3.1 ⎠
长数, , 400) 记
第 k 个学生来参加会议的家
则 X k 的分布律为
Xk pk
0
1
2
0.05 0.8 0.15 ,400)
易知 E ( X k ) = 1.1, D( X k ) = 0.19, ( k = 1,2,

随机变量的几种收敛及其相互关系

随机变量的几种收敛及其相互关系

论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。

概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。

主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。

给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。

本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。

关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。

AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

极值的局部及整体几乎处处中心极限定理的开题报告

极值的局部及整体几乎处处中心极限定理的开题报告

极值的局部及整体几乎处处中心极限定理的开题报告开题报告：极值的局部及整体几乎处处中心极限定理1. 研究背景及意义在数学中，极值问题一直是研究的重要课题之一，其与概率论的关系密切。

中心极限定理是概率论的基本定理之一，用于描述随机变量和概率分布之间的关系。

而极值问题与中心极限定理结合起来，可以得到一些极有价值的结果和应用。

例如，当我们考虑一些大规模的随机问题时，中心极限定理告诉我们，其极限分布可以近似于正态分布，而对于这些随机问题中的极值问题，也可以使用正态分布来近似描述其分布情况。

因此，研究极值问题的局部及整体中心极限定理，不仅有助于深入理解极值问题及其在概率论中的地位，也有助于推广中心极限定理的应用范围。

2. 研究内容及方法本研究计划采用数学分析的方法，研究极值的局部及整体中心极限定理。

具体研究内容包括以下几个方面：(1) 极值统计量的定义和性质；(2) 局部中心极限定理和整体中心极限定理的定义和证明；(3) 局部及整体中心极限定理的应用研究；(4) 数值模拟及实例分析。

3. 研究计划(1) 阅读有关文献，对极值问题及中心极限定理的基本概念和定理进行深入了解，并结合实例进行分析；(2) 研究极值统计量的定义和性质，了解其在实际问题中的应用；(3) 学习局部中心极限定理和整体中心极限定理的证明方法，并遵循证明的一般步骤进行详细证明；(4) 探究局部及整体中心极限定理的应用，考虑综合应用数学分析和计算机模拟等方法进行研究；(5) 运用已有的统计学和概率论软件，比如MATLAB和R等进行数值模拟，进一步检验定理的正确性和可行性；(6) 结合实例分析，对研究结论进行总结，探讨今后的研究方向。

4. 预期成果及意义本研究的预期成果包括：(1) 对极值的局部及整体中心极限定理进行深入探究，得到完整、系统的结论；(2) 对定理的可行性及应用价值进行检验；(3) 提供实例分析，并探讨其在实际应用中的适用性；(4) 为进一步推广中心极限定理的应用提供理论基础。

高斯随机域最大值的几乎处处中心极限定理

高斯随机域最大值的几乎处处中心极限定理

第５３卷第６期　２０１５年１１月　吉林大学学报（理学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶＯＩ．５３　Ｎｏ．６　

ＮＯＶ　２Ｏ１５　

高斯随机域最大值的几乎处处中心极限定理　刘艳萍　，吴群英　，杨飞。　（１．桂林理工大学博文管理学院基础部，广西桂林５４１００４；２．桂林理工大学理学院，广西桂林５４１００４）　

ｄ　摘要：利用高斯随机域加权和的中心极限定理和矩不等式，得到权重为　一Ⅱｄ　，　

ｉ＝１　ｄｋ＝ｋＦ　ｅｘｐ｛Ｉｎ　），０￣ｆ１％１／２时高斯随机域最大值的几乎处处中心极限定理．　

关键词：几乎处处中心极限定理；平稳高斯随机域；权重　中图分类号：Ｏ２１１．４　文献标志码：Ａ　文章编号：１６７１—５４８９（２０１５）Ｏ６—１１４５—０６　

Ａｌｍｏｓｔ　Ｓｕｒｅ　Ｌｉｍｉｔ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｍａｘｉｍｕｍ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　Ｒａｎｄｏｍ　Ｆｉｅｌｄｓ　ＬＩＵ　Ｙａｎｐｉｎｇ　，ＷＵ　Ｑｕｎｙｉｎｇ　，ＹＡＮＧ　Ｆｅｉ。　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ，Ｂｏｗｅｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｎａｇｅｍｅｎｔ　Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，　Ｇｕｉｌｉｎ　５４１００４，Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｚｈｕａｎｇ　Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ　Ｒｅｇｉｏｎ，Ｃｈｉｎａ；２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，　Ｇｕｉｌｉｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｉｎ　５４１００４，Ｇｕａｎｇｘｉ　Ｚｈｕａｎｇ　Ａｕｔｏｎｏｍｏｕｓ　Ｒｅｇｉｏｎ，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｗｉｔｈ　ｔｈｅ　ａｉｄ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｆｉｅｌｄｓ　ｃｅｎｔｒａｌ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｏｆ　ｗｅｉｇｈｔｅｄ　ｓｕｍｓ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ｍｏｍｅｎｔ　ｄ　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，ａｎ　ａｌｍｏｓｔ　ｓｕｒｅ　ｌｉｍｉｔ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｗｉｔｈ　ｗｅｉｇｈｔｉｔ　：１－１７ｄ　ｄｔ一志　ｅｘｐ｛ｌｎＰｋ　｝，０￣＜ｐ＜１／２　ｗａｓ　

大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理

4.1.2 特征函数的性质
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2
性质4.1.3 性质4.1.4 性质4.1.5
16 November 2018
(t ) (t )
aX b(t ) eibt X (at )
X Y (t ) X (t )Y (t ) (0) ik E( X k )
(k )
若 X 与 Y 独立，则
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第7页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性. 非负定性. 逆转公式. 连续场合， p( x) 唯一性.
定理4.1.2
定理4.1.3 定理4.1.4
定理4.1.5
16 November 2018
Байду номын сангаас
1 itx e (t )dt 2
第4页
注 意 点(1)
(1)
itx ( t ) e 当X为离散随机变量时， k 1


k
pk
(t) eitx p( x)dx (2) 当X为连续随机变量时，
这是 p(x) 的傅里叶变换
16 November 2018
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
注 意 点(2)
特征函数的计算中用到复变函数，为此注意： (1) 欧拉公式：
eitx cos(tx) i sin(tx)
(2) 复数的共轭： a bi a bi (3) 复数的模：
a bi a 2 b2
16 November 2018
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理

浅谈中心极限定理的性质极其应用

浅谈中心极限定理的性质极其应用

浅谈中心极限定理的性质极其应用作者：沈逸飞来源：《赢未来》2018年第20期摘要：中心极限定理在现代概率论中已经起到了非常重要的作用，本文对三种常见的中心极限定理进行了简要的介绍，并通过实际问题的举例对定理的应用进行了论述。

关键词：概率；中心极限定理；应用1.概率论与中心极限定理对于概率论这一理论而言，其最早是由两个著名的数学家费马以及帕斯卡所提出的。

近些年来，伴随着越来越多的数学家的不断研究，这一理论已经变成了数学理论中的一个独立的分支了。

不同于其他学科，概率和统计学科所得到的结果不是必然的，这门学科主要是对随机现象所具有的规律进行一个解释。

由于现实生活里面大量的事物均是持续变化发展的，对于事物所产生的结果，我们并没有办法进行完全的掌控，因此对于概率统计而言，其条件和结果两者间也不是存在着必然的联系的，一般情况下，对于一个概率命题而言，其有可能出现A结果，同样也有能出现B结果。

对于我们而言，不但要针对于概率命题进行一个精准的计算，并且还应该拥有分析实际问题的能力。

在概率论里面有一个重要的定理就是中心极限定理，针对于数理统计以及误差分析理论而言，中心极限定理是其基础。

目前这一理论具有很广泛的应用前景，特别是对于经济学而言，这一理论的运用在企业进行相关决策时有着很重要的作用。

2.三种中心极限定理的简述2.1林德贝格-勒维中心极限定理定理1：这里现在假设为一个独立同分布的随机变量序列的集合，同时并且记：那么对于实数y，则：这一定理是由两个著名的数学家勒维以及林德贝格分别于1920年所提出来的，这一定理其告知我们针对于独立同分布的随机变量序列而言，它的共同部分既能够为连续分布的，同样也能够为离散分布的，能够为正态分布的，同样也能够为非正态分布的，只要是这个序列的共同分布存在着方差，同时这个方差的数值不是0，那么就能够对这个定理进行使用。

这个定理也可以这样理解：即当n的数值充分大的时候，能够通过标准正态分布对和有关事件的概率大小进行计算，但是在n的数值相对较小的时候，便不能夠确保这种近似程度了。

第五章-大数定律-中心极限定理

第五章-大数定律-中心极限定理

lim P{| Yn a | } 1,
或 lim P{| Yn a | } 0,
n
则称Y1 ,
, Yn ,
依概率收敛于a, 记为
P Yn a.
想想：数列的收敛性定义，比较数列与随机变量序列 收敛性的区别。
Yn a 意思是: 0, n0 ,当 n n0
lim Yn =a
n
| Yn a |
意思是:当 n 时,Yn落在
而
Yn a
p
(a , a ) 内的概率越来越大. 0, n0 ,当n n0
lim P{ Yn -a }=1
n
Yn
a
a
a
第五章 大数定律及中心极限定理
1 Xk n k=1
n
1 1 n E(X k ) E n X k k=1 k=1
p
n n
将比较密地聚集在它的数学期望的附近.它与数学期望 之差,当时n→∞,依概率收敛到0.这就是大数定律.切 比雪夫定理为这一定律作出了精确的数学公式.
第五章 大数定律及中心极限定理
n 1 n 1 lim P X k E(X k ) n n k=1 n k=1
ι
ι
=1 (5.2)
随机变量期望 的算术平均值
随机变量的 算术平均值
切比雪夫定理说明:在定理的条件下,当n充分大时,n 个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度 是很小的.这意味,经过算术平均后得到的随机变量
注：伯努利大数定律是辛钦大数定律的特殊情况。
比较辛钦大数定律与切比雪夫大数定律条件的差别及 强弱。
大数定律告诉我们两个结论:
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２００８，２８Ａ（４）：７４７—７５６　爨　

数学物理学报　

随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　陈守全　（西南大学数学与统计学院　重庆４００７１５）　林正炎　（浙江大学数学系　杭州３１００２８）　

摘要；该文证明了随机元序列的一个一般的几乎处处中心极限定理，并把这一结论应用于随机　变量序列的函数．　关键词：几乎处处中心极限定理；随机函数；平稳强混合序列；　Ｕ统计量．　Ｍａ（２０００）主题分类：６０Ｆ０５；６０Ｆ１５　中图分类号：０２１　１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００３—３９９８（２００８）０４—７４７－１０　

１　引言　在过去十多年里，几乎处处中　５－极限定理引起了广泛关注．　Ｂｒｏｓａｍｌｅｒ（１９８８），Ｓｃｈａｔｔｅ　（１９８８），Ｌａｃｅｙ和Ｐｈｉｌｉｐｐ（１９９０）等人证明了ｉ．ｉ．ｄ．随机变量序列情形的有关结论．　Ｂｅｒｋｅｓ与　Ｄｅｈｌｉｎｇ（１９９３），Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓ￣ｋｉ（２００１）得到了独立不同分布随机变量序列的几乎处处中心极　限定理．但对弱相依随机变量序列，结果却不多．Ｐｅｌｉｇｒａｄ和Ｓｈａｏ（１９９５）证明了平稳强混　合随机变量序列的几乎处处中心极限定理．　本文将证明一个关于随机元序列的几乎处处中心极限定理的一般结果．相应地，我们将　证明对某些混合序列也成立几乎处处中心极限定理．　几乎处处极限定理表明：设｛　，佗　１｝是一定义在概率空间（　，　，Ｐ）上的随机变量　序列．记Ｓｎ＝∑Ｘ　．则在适当的条件下，存在一Ｐ＿零集Ｎ∈Ｑ，使得对任意　∈Ｎ。，对　ｉ＝１　某些常数序列｛０　，｛６　｝和分布函数Ｇ及满足Ａ（ＯＡ）＝０的所有博雷尔集Ａ　Ｃ　Ｒ，成立　

１三１　，　赤∑云　。　（Ｓｋ－ｂｋ）ＥＡ）　ｄｅ（ｘ），　（１．　）　一　ｋ＝ｌ　…　其中　是示性函数，　表示Ｌｅｂｅｓｇｕｅ测度．　

２　主要结果　设（　，ｄ）为一完备可分距离空间，｛　，佗　１）是Ｂ上的随机元序列．用　ｙ表示ｙ的　分布，ＢＬ（Ｂ）是由满足　１ＢＬ＝　ｌｏ。＋ｌＩｇｌｌＬ＜ｏ。的有界李普希兹连续函数ｇ：Ｂ—Ｒ构　成的空间，其中　ｌ。。是上确界范数，　ｌＬ　·令１。ｇ＋ｘ＝ｌｏｇ（　Ｖ　１）·　

收稿日期：２００６—０３—２６；修订日期：２００８—０１—０８　Ｅ－ｍａｉｌ：ｓｑｃｈｅｎＱｓｗｕ．ｅｄｕ．ｃｎ；ｚｌｉｎ＠ｚｊｕ．ｅｄｕ．ｃｎ　基金项目：西南大学博士基金（ＳＷＵＢ２００６０５４）和国家自然科学基金（１０５７１１５９）资助　７４８　数学物理学报　Ｖｌ０１．２８Ａ　定理２．１设｛ｙｎ，礼　１）是Ｂ上的随机元序列．假定存在一满足ｌｉｍ　Ｃ　＝。。，ａｎ＋１／ｃ　＝　ｎ—＋∞　ｏ（１）的非降正数序列｛ｃ　）和Ｂ一值随机元序列　，ｌ，ｋ，ｆ∈Ｎ，　＜ｆ，使得对任意函数　

ｇ∈ＢＬ（Ｂ）和ｋ＜ｆ，有　

ｍａｘ｛Ｅ（ｍｉｎ（ｄ（ＹｋＩ｛ｊ　），１）），Ｃｏｙ（Ｉ９（　），ｇ（ＹｋＩｆ）））　Ｃ（１。ｇ＋ｌ。ｇ＋（　））　。。　其中Ｃ＞０，Ｅ＞０为常数．设｛ｄｋ，　１）满足０　ｄｋ　ｌｏｇ（ｃｋ＋／ｃｋ）且∑ｄｋ＝。。，令　

＝１　Ｄ　＝∑ｄｋ．那么对Ｂ的　一代数　上的任意概率分布　，有　１　

当ｎ一∞时，　ｋ＝ｌ　ａ．ｓ　（２．２）　

当且仅当　当ｎ一∞时，　ｋ＝ｌ嘶　（２．３）　

这里　表示弱收敛．　如果我们取Ｂ＝Ｒ，且设｛Ｚｎ，ｎ　１）是一独立实值随机变量序列，　｛礼％）是一单调　增加的正整数序列．令　＝　（　１，…，ｘ　），　，ｆ＝ｆｋ，ｔ（Ｘｎ￣＋ｌ，…，Ｘｎ　）（１　＜１），其中　Ａ：　一冗，＾，１：７＝己　ｚ　一冗都是可测函数．则由定理２．１，我们得到Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓｇｔｋｉ　（２００１）的定理４．如果　与　，１是相互独立的随机元，　（２．１）式变得简单　

Ｅ（ｍｉｎ（ｄ（Ｙｋ，ｚ，　），１））　ｆ，ｌｏｇ＋ｌｏｇ＋（ｃ￣））一　＋　

定理２．１使得其可能的应用范围变得更广．　从Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓｇ＆ｉ（２００１）定理４的证明，我们可证下列引理．　引理２．１设｛　，ｎ　１）是一致有界随机变量序列．假定存在常数Ｃ＞０，Ｅ＞０，和一　满足ｌｉｍ　Ｃ　＝。ｏ，Ｃｎ＋１／ｃ　＝ｏ（１）的非降正数序列｛ｃ　），使得对ｋ＜？，有　

Ｅ（ｘｋ　）Ｉ　（１Ｏｇ＋ｌｏｇ＋（　））　Ｈ。　

令　‰　

其中ｄ　，Ｄ　如定理２．１所定义．那么　ｌｉｍ　＝０　ａ．Ｓ　下一引理是Ｄｕｄｌｅｙ（１９８９）的定理１１．３．３．　引理２．２设　，　，ｎ＝１，２，…，是Ｂ上的有限博雷尔测度序列．则　

当礼一∞时，　，　Ｎｏ．４　陈守全等：随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　７４９　当且仅当存在一可数集Ｍ　ｃ　Ｂ　（Ｂ）（依赖于　），使得对任意ｇ∈Ｍ　ｌｉｍ／ｇ（ｘ）ｄｐ　（　）＝／ｇ（ｘ）ｄｔｔ（ｘ）．　定理２．１的证明充分性　定义Ｘｋ＝９（　）一Ｅｇ（Ｙｋ），ｋ　１．设Ｋ　１是一满足　９（　）　Ｋ，Ｉｇ（ｘ）一ｇ（ｙ）ｌ　Ｋｄ（ｘ，　），　，Ｙ∈Ｂ的常数．因此应用（２．１）式，我们有，对ｋ＜ｌ　

ｆＥ（Ｘ％　ｆ）ｌ＝ｌＥ（９（　）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｚ）一Ｅｇ（Ｙ１））ｌ　１Ｅ（ｇ（Ｙｋ）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｚ）一９（Ｙｋ，２））１＋１Ｅ（ｇ（Ｙｋ）一Ｅｇ（Ｙｋ））（ｇ（Ｙｋ，ｆ）一Ｅ９（　））ｌ　

２ＫＥ］（ｇ（Ｙｚ）一ｇ（Ｙｋ，ｃ））ｌ＋ｌＣｏｖ（ｇ（Ｙｋ），９（　，ｚ））ｌ　２ＫＥ（ｍｉｎ（Ｋｄ（Ｙ￣，ｌ，　），２Ｋ））＋ｌＣｏｖ（ｇ（Ｙ￣），９（　，ｚ））Ｉ　（４Ｋ２＋Ｉ）　（１ｏｇ＋ｌｏｇ＋（　））　Ｈ　．　

根据引理２．１，我们得到，当ｎ一∞时　ｄ（　ｋ＝ｌ　

）ｃ　一　ｄ（　ｎ　）ｃ　，　

Ｄｎ∑　（夕（　）一Ｅ９（　））　１ｋ＝ｌ　∑

ｋ＝ｌ　＿＿＋。ａ．ｓ．＇　

假设　固定，９∈Ｍ．因为当ｎ一∞时，　１　ｄｋｌｔＹ￣　，根据引理２．２，我们有，当　ｎ＿＿÷００时　）ｄ（　ｋ嘶　）（　）一　夕（　斛ｌ　因此我们得到，对所有ｇ∈Ｍ，当ｎ一∞时　

）ｄ（　ｋ　）（　）一／Ｂ　）　

ｌ　因为集Ｍ是可数的，根据引理２．２，我们得到（２．２）式．　必要性　设　＝　１　ｄｋ１．．ｔｙ￣：，　，　＝　１芝ｄｋ５ｙｋ（　）．设　为一　一连续集，即是说　＝１　＝１　（ａ　）＝０．因为　

／　，　（Ａ）ｄＰ（ｗ）＝　（　），　ｎ　

（２．２）式意味着　ｌｉｍ　（　）＝　（　）ａ．Ｓ．，　（２．４）　

关于（２．４）式取期望，并应用控制收敛定理，得到　ｌ　ｉｒａｏ。　

（Ａ）　（Ａ）·故（２·３）式成立·　Ｉ　

注记２．１根据定理２．１与Ｂｅｒｋｅｓ和Ｃｓ￣ｋｉ（２００１，ｐ．１１７）定理４的证明可知，如果　

ｖａｒ（　ｎ咖（　））　ｃ（１ｏｇＤｎ　），　（２＿５）　７５０　数学物理学报　、，ｏ１．２８Ａ　代番（２．１）式．定理２．１　１Ｊ，然成立．　设｛Ｘｎ，ｎ　１）是一随机变量序列，满足：对每一ｎ≥１，有Ｅ　＜。。．记Ｓｎ：　Ｘ　，　

２＝Ｅ　Ｓｋｌ＝Ｓｚ—Ｓｋ（ｋ＜２）．定义一随机函数ｆｋ＝Ａ（ｘ　一，Ｘｋ）满足　

（　１，…，Ｘｋ）＝。　＋ｂｒｋ（Ｘ１，…，　），　（２．６）　其中ａ，ｂ∈Ｒ，ａ≠０，ｓｕｐ　ＥＩｒ　ｌ＜∞，ｒ　＝Ｄ（　）．　定理２．２设｛Ｘ　，ｎ　１｝是一数学期望为零的随机变量序列，　ｆｋ（Ｘ１，…，Ｘｋ）为一满　足（２．６）式的随机函数．假定对任意函数ｇ∈ＢＬ（Ｒ），有　

ｖａｒ（志　（凳））　ｌｏｇｌｏｇｎ　）·　（２．７）　

如果当佗一∞时，　Ｎ（Ｏ，１），那么　志　｛　）　＿ｓ＿·　（２．８）　

证我们取　＝　／　，　，ｌ＝（Ｓｌ一　）／　（　＜２），Ｃｋ＝　，ｄｋ＝１／　．根据注记２．１，有　面１　ｘ－￣　１　ｓ　）　西（－ｚ）ａ－ｓ·，　（２·９）　

根据Ｌａｃｅｙ和Ｐｈｉｌｉｐｐ（１９９０），（２．８）式等价于下列表述，对任意函数９∈ＢＬ（Ｒ）　ｌｉｒａ　夕（鱼ａａｋ）＝　㈤ａ．ｓ．，　（２＿１０）　

由（２．６）式，我们有　鱼：　＋　

因此　Ｉ９（　）　）Ｉ＜１１９１１Ｂ　１．　（２＿１１）　

在假定ｒ　＝Ｄ（盯　）下，我们得到　志　ＢＬ　·　

结合（２．９），（２．１０），（２．１１）与（２．１２）式，我们得到（２．８）式．　Ｉ　３应用　本小节主要把定理２．１，定理２．２应用到某些特殊随机变量序列．　定理３．１设｛墨　，ｎ　１）是一非平稳高斯随机变量序列，具有零均值和单位方差，且协　方差矩阵ｒｉｊ＝Ｃｏｖ（Ｘ￣，　）使得　＝ｓｕｐ｝ｒｉｊｆ＜１，ｒｉｊ￣ｏｇ（ｊ—ｉ）　Ｃ／（１ｏｇｌｏｇ（ｊ—　））一（１－Ｆｅ）．设　ｔ≠Ｊ　Ｎｏ．４　陈守全等：随机变量序列函数的几乎处处中心极限定理　７５１　｛ｕｎｉ｝是使得∑（１－　（　｛））有界的实数序列，对某一常数ｃ＞０，　＝ｍｉｎ．“　ｉ　ｃ（１ｏｇｎ）ｍ／　

１　』　０　如果　

ｎ　Ｐ（ｎ（五　札　））＝Ｇ（　），　

１　

证我们取　鉴｛　），　，ｆ　ｆ（ｘｄ，ｃ　，　＝１／　一为了证明定理，根据　注记２．１，只需证明下式就足够了．　

ｖａｒ（志　（　））　ｌｏｇ　ｌｏｇ　ｎ　）　

上述不等式的证明类似于Ｃｈｅｎ和Ｌｉｎ（２００６）的引理２．１和引理２．４．定理证毕．　Ｉ　注记３．１如果乱　ｔ＝，“　，则定理３．１的条件可换为下列条件：ｎ（１一西（“　））是有界的，　且对充分大的ｎ和Ｊ—ｉ＞ｎ　，有　

ｇ（　）　，　其中０＜ｏｄ＜１．　设｛　，ｎ　１）是一定义在概率空间（Ｑ，　，Ｐ）上的实值随机变量序列．记　＝∑　，　

表示由　。，　＋１，…，托生成的　一域．　如果随机变量序列｛　，ｎ　１）满足：当礼一Ｏ０时　

Ｑ（礼）：＝ｓｕｐ　ｓｕｐ　ｌＰ（ＡＢ）一Ｐ（４）尸（Ｂ）Ｉ—　０，　

那么称｛　，ｎ　１｝为一Ｏｌ一混合随机变量序列．如果随机变量序列｛Ｘｎ，ｎ　１）满足：当　ｎ＿＿＋。。时　

（ｎ）：＝ｓｕｐ　Ｅ［ｓｕｐ｛ＩＰ（ＡＩ　）一Ｐ（　）ｌ：Ａ∈　）］—　０　七＞１　

那么称｛Ｘｎ，ｎ　１｝为一　一混合随机变量序列．如果随机变量序列｛Ｘ　，ｎ　１）对任意　ｎ　２满足　

Ｃｏｖ（ｆ（Ｘ１，…，ｘｎ），ｈ（Ｘ１，…，　））　０　其中按坐标非降的函数ｆ，ｈ：Ｒ“一Ｒ使得协方差存在．则称序列｛　，几　１）是相伴随机　变量序列．如果随机变量序列｛　，ｎ　１）对｛１，２，…，ｎ）的任意不相交非空子集，和　，满　足　

Ｃｏ￣（ｆ（ｘｉ，ｉ∈　），夕（　，Ｊ∈　））　０　其中按坐标非降的函数．厂：Ｒ　一Ｒ和ｇ：ＲＪ—Ｒ使得协方差存在．则称序列｛　，ｎ　１）　是负相伴随机变量序列．　

Ｚ　Ｇ　＝　Ｘ　＾　一　ｌ一　∑　么　刀