非平稳高斯序列最大值的几乎处处中心极限定理

中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。

而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。

它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。

因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。

即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。

在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

均匀经验过程几乎处处中心极限定理的一个注记张勇【摘要】设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自[0,1]上服从均匀分布的独立同分布样本,产生的经验过程为Fn(t)=n-1/2∑(I{ξi≤t} -t),0≤t≤1；‖·‖表示一致模,即‖Fn‖=sup0≤t≤1｜Fn(t)｜；U为D[0,1]上的Brown桥,‖U‖=sup｜0≤t≤1 |U(t)｜.利用概率强收敛工具,得到了关于‖Fn‖及sup 0≤t≤1 Fn(t)的形如lim n→∞ 1/lognn∑k=1 1/k I{Fk‖≤x}=P{‖U ‖≤x}=1+2∞∑k=1(-1)ke-2k2x2a.s.的几乎处处中心极限定理.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2011(049)004【总页数】3页(P687-689)【关键词】均匀经验过程;几乎处处中心极限定理;Brown桥【作者】张勇【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O211.4几乎处处中心极限定理(ASCLT)最早分别由Brosamler[1]和Schatte[2]独立提出并研究的. 而对于i.i.d.随机变量列有下述几乎处处中心极限定理: 设{Xn,n≥1}是独立同分布随机变量序列, 则∀x, 有本文I{·}表示示性函数, Φ(·)表示标准正态分布的分布函数. ASCLT问题在随机模拟方面应用广泛[3]. 目前, ASCLT问题已取得许多研究结果: Lacey等[4]针对i.i.d.随机变量列, 在二阶矩的条件下, 证明了ASCLT成立; Peligrad等[5]针对平稳α-混合随机变量列、平稳ρ-混合随机变量列以及平稳PA随机变量列, 在的条件下, 证明了ASCLT成立; 董志山等[6]针对平稳NA和LNQD随机变量列, 在的条件下, 证明了ASCLT和FASCLT成立; 文献[7-10]在不同的条件下分别得到了几乎处处中心极限定理.本文恒假设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自[0,1]上服从均匀分布的独立同分布样本, 产生的经验过程为表示一致模, 即为D[0,1]上的Brown桥,Dehling等[11]对相依数据下的经验过程给出了一种新的处理方法; Drees等[12]得到了由族函数生成经验过程的极限定理; 王芳[13]得到了关于Fn(t)的几乎处处中心极限定理. 本文将文献[13]的结果推广到由随机样本{ξ1,ξ2,…,ξn}产生的经验过程, 即关于‖Fn‖和的几乎处处中心极限定理.引理1 由[0,1]上服从均匀分布、独立同分布的样本{ξ1,ξ2,…,ξn}产生的经验过程Fn(t)弱收敛于D[0,1]上的Brown桥U, 即Fn(t)⟹U.证明: 参见文献[14]中的定理2.引理2 设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自分布函数F的独立同分布样本, 记则存在正常数C, 使得对所有的n及所有的F和正数r, 有P{Dn≥r/n1/2}≤Ce-Cr2.证明: 参见文献[15]中的定理1.引理3 设{ξn,n≥1}为一零均值一致有界的随机变量序列, 再假设|Eξkξl|≤C(k/l)ε对于任意的1≤k<l≤n和某个ε>0成立, 则有证明: 参见文献[7]中的引理2.下面给出本文的主要结果.定理1 对于∀x>0, 有(1)证明: 由引理1知, {Fn(t),n≥1}弱收敛于D[0,1]上的Brown桥U, 于是由连续映射定理[16]知(2)设f(x)是一有界的Lipschitz函数, 并且其Radon-Nikodyn导数为f′(x), 满足|f′(x)|≤Γ. 则由式(2)知Ef(‖Fn‖)→Ef(‖U‖), n→∞.(3)另一方面, 由文献[5]中第二节及文献[16]中定理7.1知, 式(1)等价于(4)因此要证明式(1), 只需证明下式即可:(5)令则对于任意的1≤k<l≤n, 有Cov(Zk,Zl)=Cov(Zk,Zk,l)+Cov(Zk,Zl-Zk,l)=∶I1+I2.(6)由样本的独立性知,I1=0.利用f的Lipschitz性和有界性及引理2, 有从而由式(6)～(8)及引理3知式(5)成立, 即定理1的第一个等号成立. 而定理1的第二个等号可由文献[16]中的式(11.39)直接得到.定理2 对于∀x>0, 有(9)定理2的证明过程与定理1类似.参考文献【相关文献】[1] Brosamler G A. An Almost Everywhere Central Limit Theorem [J]. Math Proc Cambridge Philos Soc, 1988, 104(3): 561-574.[2] Schatte P. On Strong Versions of the Central Limit Theorem [J]. Math Nachr, 1988, 137: 249-256.[3] Fisher A. Convex-Invariant Means and a Pathwise Central Limit Theorem [J]. Adv Math, 1987, 63: 213-246.[4] Lacey M T, Phillip W. A Note on the Almost Sure Central Limit Theorem [J]. Statist Probab Lett, 1990, 9: 201-205.[5] Peligrad M, Shao Q M. A Note on the Almost Sure Central Limit Theorem [J]. Statist Probab Lett, 1995, 22: 131-136.[6] DONG Zhi-shan, YANG Xiao-yun. An Almost Sure Central Limit Theorem for NA and LNQD Random Variables [J]. Acta Mathematica Sinica, 2004, 47(3): 593-600. (董志山, 杨小云. NA及LNQD随机变量列的几乎处处中心极限定理 [J]. 数学学报, 2004, 47(3): 593-600.) [7] Gonchigdanzan K, Rempala G. A Note on the Almost Sure Limit Theorem for the Product of Partial Sums [J]. Appl Math Lett, 2006, 19(2): 191-196.[8] LI Yun-xia, WANG Jian-feng. An Almost Sure Limit Theorem for Products of Sumsunder Association [J]. Statist Probab Lett, 2008, 78(4): 367-375.[9] ZHANG Yong, YANG Xiao-yun, DONG Zhi-shan. An Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums under Association [J]. J Math Anal Appl, 2009, 355(2): 708-716.[10] Bercu B, Cénac P, Fayolle G. On the Almost Sure Central Limit Theorem for Vector Martingales: Convergence of Moments and Statistical Applications [J]. J Appl Probab, 2009, 46(1): 151-169.[11] Dehling H, Durieu O, Volny D. New Techniques for Empirical Processes of Dependent Data [J]. Stochastic Process Appl, 2009, 119(10): 3699-3718.[12] Drees H, Rootzén H. Limit Theorems for Empirical Processes of Cluster Functionals [J]. Ann Statist, 2010, 38(4): 2145-2186.[13] WANG Fang. Almost Sure Central Limit Theorem for Uniform Empirical Processes [J]. Journal of Capital Normal University: Natural Science Edition, 2006, 26(2): 9-11. (王芳. 均匀经验过程的几乎处处中心极限定理 [J]. 首都师范大学学报: 自然科学版, 2006, 26(2): 9-11.)[14] Pollard D. Convergence of Stochastic Process [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1984.[15] Kiefer J, Wolfowitz J. On the Deviations of the Empiric Distribution Function of Vector Chance Variables [J]. Trans Amer Math Soc, 1958, 87: 173-186.[16] Billingsley P. Convergence of Probability Measures [M]. New York: Wiley, 1968.。

中心极限定理偏态分布中心极限定理（central limit theorem）是概率论中重要的一个定理，它描述了一个有限个独立随机变量和的极限分布的性质。

简单来说，中心极限定理可以用于描述当样本容量变大时，样本均值的分布趋向于正态分布的现象。

中心极限定理的重要性在于它的广泛适用性。

无论原始分布是什么样的，只要满足一定的条件，当取得的样本容量足够大时，样本的均值分布都将近似于正态分布。

这使得我们在实际问题中可以使用正态分布来进行统计推断，无需关心原始数据的分布。

中心极限定理有多种形式，其中最常见的是针对均值的定理。

假设有一个包含n个独立随机变量X1，X2，...，Xn的样本，它们具有相同的分布和参数。

定义这n个随机变量的均值为X̄ = (X1 + X2+ ... + Xn) / n。

根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，X̄的分布将接近于正态分布。

具体而言，均值X̄的均值是原始分布的均值，方差是原始分布的方差除以样本容量n，即Var(X̄) = Var(X) / n。

中心极限定理的证明较为复杂，这里不再赘述。

但是它的主要思想可以用直观的方式解释。

假设我们有大量的样本容量为n的样本，每个样本都是从同一个分布中抽取的。

根据大数定律，随着样本容量的增加，样本的均值将越来越接近于总体的均值。

而中心极限定理揭示了更深层次的信息，即这些样本均值的分布将近似于正态分布。

中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在调查研究中，我们往往需要从总体中随机抽取一部分样本，并通过样本得出总体的某些特征。

如果总体分布未知，我们可以利用中心极限定理来推断总体的均值。

另外，中心极限定理也常用于假设检验和置信区间的构造。

假设检验和置信区间是统计学中常用的方法，用于根据样本数据对总体进行推断，中心极限定理可以使我们更加准确地进行推断。

此外，中心极限定理还可以推广到求和、平均数以外的其他函数。

对于一组独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，中心极限定理适用于它们的和S，平均数A，最大值M和最小值m等。

大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。

下面将对它们的主要知识点进行整理。

一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。

它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。

具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。

这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。

2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。

与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。

二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。

它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。

中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。

2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。

3. 样本量越大，越接近正态分布。

总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。

大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。

它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。

什么是高斯分布，及高斯分布的原理高斯分布，也被称为正态分布，是统计学中一种非常重要的分布模型。

它的形式非常特殊，通常呈钟形曲线，并且在均值处有一个峰值，两侧逐渐变平，呈现出典型的对称性。

高斯分布的原理基于中心极限定理。

中心极限定理指出，当我们从总体中抽取大量的随机样本，并且对这些样本进行求和或平均时，这个和或平均值的分布将趋近于高斯分布。

因此，高斯分布被认为是随机变量的极限分布。

高斯分布的数学表达式为f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)，其中 f(x)代表随机变量x的概率密度，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，e是自然对数的底。

这个公式描述了高斯分布的形状特征。

高斯分布有许多重要的性质。

首先，它是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学和工程学等领域。

其次，高斯分布在实际应用中非常实用，因为许多真实世界的现象都近似地符合高斯分布。

例如身高、体重、温度等变量都可以用高斯分布进行建模。

高斯分布还具有很多重要的统计性质。

对于均值为μ、标准差为σ的高斯分布，其均值（μ）即为分布的中心，标准差（σ）则决定了分布的扁平程度。

当标准差较大时，分布更加扁平，而当标准差较小时，分布更加陡峭。

利用高斯分布，我们可以进行各种统计推断和预测。

例如，我们可以根据样本数据推断总体的均值和标准差。

通过高斯分布的特性，我们可以计算出落在某个区间内的概率，并进行置信区间估计。

这些统计推断方法在科学研究、质量控制和金融风险管理等领域都起着重要作用。

总的来说，高斯分布是一种非常重要的概率分布模型，它描述了许多自然和社会现象的统计特征。

通过应用高斯分布，我们可以进行各种统计推断和预测，从而更好地理解和解释现实世界中的数据。

在实际应用中，熟练掌握高斯分布及其性质，对于进行数据分析和决策制定具有重要的指导意义。

概率论在等式与不等式中的应用概率论在等式与不等式中的应用摘要：概率论的思想已广泛应用于其它学科，用概率论中的方法解决其它学科中的一些问题是一个非常有趣的课题．本文利用概率论中方法证明恒等式和不等式，从中可看出它们之间的联系以及应用概率论方法解题的美妙之处．应用的基本思路是：根据所要解决的问题，首先构造一个适当的概率模型，然后应用概率中的已知结论解决所讨论的问题．如何构造适当的概率模型是解决问题的难点所在，也是关键所在。

关键词：随机变量；数学期望；方差；恒等式；不等式The applications of probability theory in the proofs of equalities and inequalitiesAbstract: The thought of probability theory has already been applied to many other subjects extensively. It is very interesting to solve some problems in other subjects by using probability theory. In th is paper, some methods in probability theory are used to prove several equalities and inequalities in Mathematics. By this, we can see the close relationship between them. It is also very valid to solve problems by using probability theory. Our method is as follows: according to the problem, we first construct their proper probability models, then use some known conclusions in probability theory to solve them. How to construct their probability models is the difficult point as well as the key point.Key words: random variable; mathematical expectation; variance; equality; inequality概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。

中心极限定理依分布收敛中心极限定理是概率论中一项重要的定理，它对很多实际问题的分析和推导具有非常重要的指导意义。

它是在分布收敛的前提下得出的，下面我将以生动、全面的方式介绍中心极限定理，并阐述其指导意义。

中心极限定理是指在一定条件下，对于独立随机变量之和的分布，当变量的数量趋于无穷大时，这个和的分布将会逼近一个正态分布。

具体来说，对于任意独立同分布的随机变量序列X1，X2，...，Xn，它们的和Sn=S1+S2+...+Sn符合中心极限定理，当n趋于无穷大时，Sn的分布趋向于正态分布。

中心极限定理具有广泛的应用范围，其中一个重要的应用是在统计学中。

在大部分情况下，我们无法事先准确地得知总体的分布情况，而只能通过从总体中抽取样本来进行分析。

中心极限定理的应用使得我们可以通过样本数据来推断总体的特征，例如总体均值、总体比例等。

这为统计学的发展和应用提供了重要的工具。

另外，中心极限定理也在财务分析、风险评估、医学统计等领域中得到了广泛的应用。

在财务风险评估中，我们通常面临着大量的证券价格、汇率变动等数据，通过应用中心极限定理，我们能够更准确地预测未来的风险和波动性。

在医学统计中，通过对大量病例的分析，中心极限定理使得我们能够更好地对人群健康状况进行判断和预测。

当然，中心极限定理也有一些前提条件。

首先，序列中的随机变量需要独立同分布。

其次，这些随机变量的方差需要有限。

当这些条件满足时，中心极限定理才能成立。

总之，中心极限定理作为概率论中的重要定理，具有丰富的应用价值。

它在统计学、财务分析、医学统计等领域中为我们提供了重要的指导。

通过中心极限定理，我们可以更准确地分析和推断一系列独立随机变量之和的分布情况，从而帮助我们理解和解决实际问题。

因此，了解和应用中心极限定理对我们的学习和工作具有重要的意义。

（完整版）8-第五章⼤数定律和中⼼极限定理解析第五章⼤数定律和中⼼极限定理⼤数定律和中⼼极限定理是概率论中两类极限定理的统称，前者是从理论上证明随机现象的“频率稳定性”，并进⼀步推⼴到“算术平均值法则”；⽽后者证明了独⽴随机变量标准化和的极限分布是正态分布或近似正态分布问题，这两类极限定理揭⽰了随机现象的重要统计规律，在理论和应⽤上都有很重要的意义。

§5.1 ⼤数定律设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的⼀列随机变量，每个随机变量取值于⼆元集合{0，1}，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=易计算它们的数学期望和⽅差为 (),()j j E X p D X pq ==如果取这些j X 的部分和 n n X X X S +++=Λ21并考虑它们的平均值∑==n j j n n Xn S 1/)(/，易知它的数学期望和⽅差为;nnS S pq E p D n n n == ? ?利⽤定理4.2.13给出的切⽐雪夫不等式可知：对任何⼀个正数t 有2n S pq P p t n t n-≥≤ ? 令∞→n ，有2lim lim 0n n n S pq P p t n t n→∞→∞??-≥≤= 即lim 0n n S P p t n →∞??-≥=(5.1.1) 可见当n 很⼤时，部分和的平均值/n S n 与p 相距超过任何⼀个数0>t 的概率都很⼩，⽽当∞→n 时, 这个概率趋于0。

(5.1.1)式的结果称为弱⼤数定律，也称伯努利⼤数定律, 因为这个定律是伯努利在1713年⾸先证明的，是从理论上证明随机现象的频率具有稳定性的第⼀个定律。

注意式(5.1.1)等价于lim 1n n S P p t n →∞??-≤=(5.1.2) 把它完整地叙述如以下定理：定理5.1.1（伯努利⼤数定律）设ΛΛ,,,,21n X X X 是互相独⽴的取值于⼆元集合{0，1}的⼀列随机变量，并有相同的概率分布函数()()0,1,1j j P X q P X p p q ====+=⼜设 n n X X X S +++=Λ21则 lim 0n n S P p t n →∞??-≥=或等价地lim 1n n S P p t n →∞??-≤=。

高维中心极限定理高维中心极限定理（Central Limit Theorem in High Dimensions）是概率论中的重要定理之一，它描述了在高维情况下，随机变量之和的分布逐渐趋向于正态分布的现象。

该定理为我们理解高维数据的统计特性提供了重要的理论基础。

在低维情况下，中心极限定理告诉我们，当独立随机变量的数量趋向于无穷大时，它们的和的分布逐渐趋向于正态分布。

然而，在高维情况下，由于维度的增加，中心极限定理的应用变得更加复杂。

在高维空间中，随机变量之和的分布不再是正态分布，而是收敛于一种称为稀疏高斯分布（Sparse Gaussian Distribution）的分布。

高维中心极限定理的形式化描述是这样的：假设有n个独立同分布的随机变量X1, X2, ..., Xn，它们的期望值为μ，方差为σ^2。

令Sn=X1+X2+...+Xn，当n趋向于无穷大时，Sn/n的分布近似服从稀疏高斯分布。

稀疏高斯分布是一种特殊的高维分布，它的特点是在大多数维度上取值接近于零，只有少数维度上取值较大。

这与低维情况下的正态分布有很大的不同，正态分布在每个维度上都有一定的取值概率。

稀疏高斯分布的出现是由于高维空间的特殊性，维度的增加导致了变量之间的相关性增加，使得随机变量之和的分布逐渐偏离正态分布。

高维中心极限定理的应用在现实生活中非常广泛。

在统计学和机器学习领域，我们经常遇到高维数据，例如基因表达数据、图像数据等。

通过高维中心极限定理，我们可以利用稀疏高斯分布来建模和分析这些数据，从而提取有用的信息。

除了在数据分析领域的应用，高维中心极限定理还在其他领域有着重要的作用。

在通信工程中，高维中心极限定理可以用于分析无线通信系统中的多天线传输，并提供对系统性能的评估。

在金融学中，高维中心极限定理可以用于建模和预测股票市场的波动性。

然而，高维中心极限定理也有一些限制和注意事项。

首先，定理的适用条件是随机变量之间相互独立，这在实际问题中并不总是成立。

ρ--混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理邹广玉;张勇【摘要】Under some suitable assumptions, we proved the almost sure central limit theorem for the products of sums of partial sums for ρ- -mixing sequences using the central limit theorem of weighted sums and the moment inequality.%在适当的假设条件下,利用混合序列加权和的中心极限定理及矩不等式,证明了混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)006【总页数】6页(P1129-1134)【关键词】ρ--混合序列;部分和之和乘积;几乎处处中心极限定理【作者】邹广玉;张勇【作者单位】吉林大学数学研究所,长春 130012;长春工程学院理学院,长春130012;吉林大学数学研究所,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O211.40 引言及主要结果目前, 对各种混合序列极限性质的研究已取得较大进展, 其中对ρ--混合序列极限性质的研究也取得了许多结果[1-6].定义1[2] 如果下列条件成立, 则称随机变量序列{Xk;k≥1}是ρ--混合序列:ρ-(r)=sup{ρ-(S,T): dist(S,T)≥r, S,T⊂N}→0, r→∞,其中:dist(S,T)=inf{s-t: s∈S, t∈T}.文献[7-11]讨论了几乎处处中心极限定理(ASCLT). 本文利用ρ--混合序列加权和的中心极限定理及矩不等式, 证明ρ--混合序列部分和之和乘积的几乎处处中心极限定理.设I{·}表示示性函数, Φ(·)表示标准正态分布N(0,1)的分布函数, log n=ln(e∨n). 记及bk,n=ck,n=dk,n=0, k>n. 再记其中显然ck,n=2(bk,n-dk,n).本文主要结果如下.定理1 设{Xn,n≥1}为正的严平稳ρ--混合序列, 满足EX1=μ>0, Var(X1)=σ2, E<∞, 对某个r>2. 记变异系数γ=σ/μ. 如果下列条件成立:3) ρ-(n)=O(log-δn), 对某个δ>2;则有∀x.(1)定理2 在定理1的条件下, 有∀x.(2)其中F(·)表示eN的分布函数.1 定理的证明设C表示一个正常数, 在不同位置可以取不同的数值.引理1[2] 假设f1(x),f2(y)是 R上的实值、有界绝对连续函数, 且. 则对任意的随机变量X和Y, 有Cov(f1(X),f2(Y))≤C1C2{-Cov(X,Y)+8ρ-(X,Y)‖X‖2,1‖Y‖2,1},其中‖X‖2,1=P1/2(X>x)dx.引理2[3] 设{Xn,n≥1}是一个零均值的ρ--混合序列, 满足E<∞, q≥2, i≥1, 则必存在正常数Dq=D(q,ρ-(·)), 使得引理引理4 假设{Xn,n≥1}是一个零均值严平稳的ρ--混合序列, 满足若则对于0<p<2/3, 有n-1/pTn→ 0 a.s., n→∞.证明: 类似文献[11]中引理2.2的证明.引理5[6] 假设{Xn,n≥1}是一个零均值严平稳的ρ--混合序列, 满足为一实值阵列, 满足及如果一致可积, 则1.1 定理1的证明注意到{Yn}是一个严平稳的ρ--混合序列, 满足EY1=0和先证明令ani=ci,n/σn, 1≤i≤n, n≥1. 显然, 由假设条件4)、引理3及ci,n≤2bi,n可知由{Xn,n≥1}的严平稳性及E<∞可知,一致可积, 由假设条件2)可得, 因此由引理5可知(3)令f(x)为有界的Lipschitz函数且其导函数有界, 则由式(3)知从而(4)另一方面, 由文献[8,12]知, 式(1)等价于(5)因此由式(4)可知要证明式(5), 只需证明(6)令显然由f的有界性知(8)下面估计I2. 如果l>2k, 则有由引理3和假设条件2), 并注意到ci,n≤2bi,n可知类似地, 有故由引理1、ρ--混合序列的定义及假设条件4), 有而由文献[2]可知故结合引理2及ci,n≤2bi,n可知从而类似地可证明因此, 有利用f的Lipschitz性和有界性、引理2及n≥j和可知其中0<ε<1. 因此, 当l>2k, 有故联立式(7)～(9), 有(10)为了证明式(6), 令nk=ekτ, 其中τ>1. 由式(10)可知从而对∀ε>0, 有再由Borel-Cantelli引理知, 当k→∞时, Wnk→ 0 a.s. 注意到对任意的n, 存在nk,nk+1, 使得nk<n≤nk+1, 从而有即式(6)成立. 定理1证毕.1.2 定理2的证明令有显然定理1中的式(1)等价于∀x.(11)另一方面, 为了证明式(2), 只需证明∀x.(12)由引理4, 当4/7<p<2/3时, 对充分大的i, 有Ci-1≤Ci1/p-2 a.s.由于当x<1时, log(1+x)=x-R(x), 其中从而有因此, 对任意的ε>0和任意的x, 存在n0=n0(ε,x), 使得当k>n0时, 有故由式(11)成立可知式(12)成立, 定理2证毕.参考文献【相关文献】[1] ZHANG Li-xin, WANG Xiu-yun. Convergence Rates in the Strong Laws of Asymptotically Negatively Associated Random Fields [J]. Appl Math J Chinese Univ: Ser B, 1999, 14(4): 406-416.[2] ZHANG Li-xin. A Functional Central Limit Theorem for Asymptotically Negatively Dependent Random Fields [J]. Acta Math Hungar, 2000, 86(3): 237-259.[3] WANG Jing-feng, LU Feng-bin. Inequalities of Maximum of Partial Sums and Weak Convergence for a Class of Weak Dependent Random Variables [J]. Acta Math Sinica, 2006, 22(3): 693-700.[4] ZHOU Hui. Note on the Almost Sure Central Limit Theorem for ρ--Mixing Sequences [J]. Journal of Zhejiang University: Science Edition, 2005, 32(5): 503-505. (周慧. ρ--混合序列几乎处处中心极限定理的注记 [J]. 浙江大学学报: 理学版, 2005, 32(5): 503-505.)[5] LIU Xiao-ping, YAN Han, WU Qun-ying. A Note on Complete Convergence of ρ--Mixing Random Sequences [J]. Journal of Jilin University: Science Edition, 2009, 47(2): 265-268. (刘筱平, 鄢寒, 吴群英. ρ--混合序列完全收敛性的一个注记 [J]. 吉林大学学报: 理学版, 2009, 47(2): 265-268.)[6] TAN Xi-li, ZHANG Ying, ZHANG Yong. An Almost Sure Central Limit Theorem of Products of Partial Sums for ρ--Mixing Sequences [J/OL]. J of Inequal and Appl, 2012, doi: 10.1186/1029-242X-2012-51.[7] Brosamler G A. An Almost Everywhere Central Limit Theorem [J]. Math Proc Cambridge Philos Soc, 1988, 104(3): 561-574.[8] Peilgrad M, SHAO Qi-man. A Note on the Almost Sure Central Limit Theorem for Weakly Dependent Random Variables [J]. Statist Probab Lett, 1995, 22(2): 131-136.[9] Gonchigdanzan K, Rempala G. A Note on the Almost Sure Limit Theorem for the Product of Partial Sums [J]. Appl Math Lett, 2006, 19(2): 191-196.[10] LI Yun-xia, WANG Jian-feng. An Almost Sure Limit Theorem for Products of Sums under Association [J]. Statist Probab Lett, 2008, 78(4): 367-375.[11] ZHANG Yong, YANG Xiao-yun, DONG Zhi-shan. An Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums under Association [J]. J Math Anal Appl, 2009, 355(2): 708-716.[12] Billingsley P. Convergence of Probability Measures [M]. New York: Wiley, 1968.。

浅谈中心极限定理的性质极其应用作者：沈逸飞来源：《赢未来》2018年第20期摘要：中心极限定理在现代概率论中已经起到了非常重要的作用，本文对三种常见的中心极限定理进行了简要的介绍，并通过实际问题的举例对定理的应用进行了论述。

关键词：概率；中心极限定理；应用1.概率论与中心极限定理对于概率论这一理论而言，其最早是由两个著名的数学家费马以及帕斯卡所提出的。

近些年来，伴随着越来越多的数学家的不断研究，这一理论已经变成了数学理论中的一个独立的分支了。

不同于其他学科，概率和统计学科所得到的结果不是必然的，这门学科主要是对随机现象所具有的规律进行一个解释。

由于现实生活里面大量的事物均是持续变化发展的，对于事物所产生的结果，我们并没有办法进行完全的掌控，因此对于概率统计而言，其条件和结果两者间也不是存在着必然的联系的，一般情况下，对于一个概率命题而言，其有可能出现A结果，同样也有能出现B结果。

对于我们而言，不但要针对于概率命题进行一个精准的计算，并且还应该拥有分析实际问题的能力。

在概率论里面有一个重要的定理就是中心极限定理，针对于数理统计以及误差分析理论而言，中心极限定理是其基础。

目前这一理论具有很广泛的应用前景，特别是对于经济学而言，这一理论的运用在企业进行相关决策时有着很重要的作用。

2.三种中心极限定理的简述2.1林德贝格-勒维中心极限定理定理1：这里现在假设为一个独立同分布的随机变量序列的集合，同时并且记：那么对于实数y，则：这一定理是由两个著名的数学家勒维以及林德贝格分别于1920年所提出来的，这一定理其告知我们针对于独立同分布的随机变量序列而言，它的共同部分既能够为连续分布的，同样也能够为离散分布的，能够为正态分布的，同样也能够为非正态分布的，只要是这个序列的共同分布存在着方差，同时这个方差的数值不是0，那么就能够对这个定理进行使用。

这个定理也可以这样理解：即当n的数值充分大的时候，能够通过标准正态分布对和有关事件的概率大小进行计算，但是在n的数值相对较小的时候，便不能夠确保这种近似程度了。