非平稳高斯序列最大值的几乎处处中心极限定理

中心极限定理第一篇：中心极限定理中心极限定理中心极限定理（Central Limit Theorems）什么是中心极限定理大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。

而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。

它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。

因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。

中心极限定理的表现形式中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理：（一）辛钦中心极限定理设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时，将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。

（二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理设μn是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n无限大时，频率设μn / n趋于服从参数为的正态分布。

即：该定理是辛钦中心极限定理的特例。

在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。

（三）李亚普洛夫中心极限定理设差：是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方。

记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时，则对任意的x有：该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。

均匀经验过程几乎处处中心极限定理的一个注记张勇【摘要】设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自[0,1]上服从均匀分布的独立同分布样本,产生的经验过程为Fn(t)=n-1/2∑(I{ξi≤t} -t),0≤t≤1；‖·‖表示一致模,即‖Fn‖=sup0≤t≤1｜Fn(t)｜；U为D[0,1]上的Brown桥,‖U‖=sup｜0≤t≤1 |U(t)｜.利用概率强收敛工具,得到了关于‖Fn‖及sup 0≤t≤1 Fn(t)的形如lim n→∞ 1/lognn∑k=1 1/k I{Fk‖≤x}=P{‖U ‖≤x}=1+2∞∑k=1(-1)ke-2k2x2a.s.的几乎处处中心极限定理.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2011(049)004【总页数】3页(P687-689)【关键词】均匀经验过程;几乎处处中心极限定理;Brown桥【作者】张勇【作者单位】吉林大学数学学院,长春130012【正文语种】中文【中图分类】O211.4几乎处处中心极限定理(ASCLT)最早分别由Brosamler[1]和Schatte[2]独立提出并研究的. 而对于i.i.d.随机变量列有下述几乎处处中心极限定理: 设{Xn,n≥1}是独立同分布随机变量序列, 则∀x, 有本文I{·}表示示性函数, Φ(·)表示标准正态分布的分布函数. ASCLT问题在随机模拟方面应用广泛[3]. 目前, ASCLT问题已取得许多研究结果: Lacey等[4]针对i.i.d.随机变量列, 在二阶矩的条件下, 证明了ASCLT成立; Peligrad等[5]针对平稳α-混合随机变量列、平稳ρ-混合随机变量列以及平稳PA随机变量列, 在的条件下, 证明了ASCLT成立; 董志山等[6]针对平稳NA和LNQD随机变量列, 在的条件下, 证明了ASCLT和FASCLT成立; 文献[7-10]在不同的条件下分别得到了几乎处处中心极限定理.本文恒假设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自[0,1]上服从均匀分布的独立同分布样本, 产生的经验过程为表示一致模, 即为D[0,1]上的Brown桥,Dehling等[11]对相依数据下的经验过程给出了一种新的处理方法; Drees等[12]得到了由族函数生成经验过程的极限定理; 王芳[13]得到了关于Fn(t)的几乎处处中心极限定理. 本文将文献[13]的结果推广到由随机样本{ξ1,ξ2,…,ξn}产生的经验过程, 即关于‖Fn‖和的几乎处处中心极限定理.引理1 由[0,1]上服从均匀分布、独立同分布的样本{ξ1,ξ2,…,ξn}产生的经验过程Fn(t)弱收敛于D[0,1]上的Brown桥U, 即Fn(t)⟹U.证明: 参见文献[14]中的定理2.引理2 设{ξ1,ξ2,…,ξn}为来自分布函数F的独立同分布样本, 记则存在正常数C, 使得对所有的n及所有的F和正数r, 有P{Dn≥r/n1/2}≤Ce-Cr2.证明: 参见文献[15]中的定理1.引理3 设{ξn,n≥1}为一零均值一致有界的随机变量序列, 再假设|Eξkξl|≤C(k/l)ε对于任意的1≤k<l≤n和某个ε>0成立, 则有证明: 参见文献[7]中的引理2.下面给出本文的主要结果.定理1 对于∀x>0, 有(1)证明: 由引理1知, {Fn(t),n≥1}弱收敛于D[0,1]上的Brown桥U, 于是由连续映射定理[16]知(2)设f(x)是一有界的Lipschitz函数, 并且其Radon-Nikodyn导数为f′(x), 满足|f′(x)|≤Γ. 则由式(2)知Ef(‖Fn‖)→Ef(‖U‖), n→∞.(3)另一方面, 由文献[5]中第二节及文献[16]中定理7.1知, 式(1)等价于(4)因此要证明式(1), 只需证明下式即可:(5)令则对于任意的1≤k<l≤n, 有Cov(Zk,Zl)=Cov(Zk,Zk,l)+Cov(Zk,Zl-Zk,l)=∶I1+I2.(6)由样本的独立性知,I1=0.利用f的Lipschitz性和有界性及引理2, 有从而由式(6)～(8)及引理3知式(5)成立, 即定理1的第一个等号成立. 而定理1的第二个等号可由文献[16]中的式(11.39)直接得到.定理2 对于∀x>0, 有(9)定理2的证明过程与定理1类似.参考文献【相关文献】[1] Brosamler G A. An Almost Everywhere Central Limit Theorem [J]. Math Proc Cambridge Philos Soc, 1988, 104(3): 561-574.[2] Schatte P. On Strong Versions of the Central Limit Theorem [J]. Math Nachr, 1988, 137: 249-256.[3] Fisher A. Convex-Invariant Means and a Pathwise Central Limit Theorem [J]. Adv Math, 1987, 63: 213-246.[4] Lacey M T, Phillip W. A Note on the Almost Sure Central Limit Theorem [J]. Statist Probab Lett, 1990, 9: 201-205.[5] Peligrad M, Shao Q M. A Note on the Almost Sure Central Limit Theorem [J]. Statist Probab Lett, 1995, 22: 131-136.[6] DONG Zhi-shan, YANG Xiao-yun. An Almost Sure Central Limit Theorem for NA and LNQD Random Variables [J]. Acta Mathematica Sinica, 2004, 47(3): 593-600. (董志山, 杨小云. NA及LNQD随机变量列的几乎处处中心极限定理 [J]. 数学学报, 2004, 47(3): 593-600.) [7] Gonchigdanzan K, Rempala G. A Note on the Almost Sure Limit Theorem for the Product of Partial Sums [J]. Appl Math Lett, 2006, 19(2): 191-196.[8] LI Yun-xia, WANG Jian-feng. An Almost Sure Limit Theorem for Products of Sumsunder Association [J]. Statist Probab Lett, 2008, 78(4): 367-375.[9] ZHANG Yong, YANG Xiao-yun, DONG Zhi-shan. An Almost Sure Central Limit Theorem for Products of Sums of Partial Sums under Association [J]. J Math Anal Appl, 2009, 355(2): 708-716.[10] Bercu B, Cénac P, Fayolle G. On the Almost Sure Central Limit Theorem for Vector Martingales: Convergence of Moments and Statistical Applications [J]. J Appl Probab, 2009, 46(1): 151-169.[11] Dehling H, Durieu O, Volny D. New Techniques for Empirical Processes of Dependent Data [J]. Stochastic Process Appl, 2009, 119(10): 3699-3718.[12] Drees H, Rootzén H. Limit Theorems for Empirical Processes of Cluster Functionals [J]. Ann Statist, 2010, 38(4): 2145-2186.[13] WANG Fang. Almost Sure Central Limit Theorem for Uniform Empirical Processes [J]. Journal of Capital Normal University: Natural Science Edition, 2006, 26(2): 9-11. (王芳. 均匀经验过程的几乎处处中心极限定理 [J]. 首都师范大学学报: 自然科学版, 2006, 26(2): 9-11.)[14] Pollard D. Convergence of Stochastic Process [M]. Berlin: Springer-Verlag, 1984.[15] Kiefer J, Wolfowitz J. On the Deviations of the Empiric Distribution Function of Vector Chance Variables [J]. Trans Amer Math Soc, 1958, 87: 173-186.[16] Billingsley P. Convergence of Probability Measures [M]. New York: Wiley, 1968.。

中心极限定理偏态分布中心极限定理（central limit theorem）是概率论中重要的一个定理，它描述了一个有限个独立随机变量和的极限分布的性质。

简单来说，中心极限定理可以用于描述当样本容量变大时，样本均值的分布趋向于正态分布的现象。

中心极限定理的重要性在于它的广泛适用性。

无论原始分布是什么样的，只要满足一定的条件，当取得的样本容量足够大时，样本的均值分布都将近似于正态分布。

这使得我们在实际问题中可以使用正态分布来进行统计推断，无需关心原始数据的分布。

中心极限定理有多种形式，其中最常见的是针对均值的定理。

假设有一个包含n个独立随机变量X1，X2，...，Xn的样本，它们具有相同的分布和参数。

定义这n个随机变量的均值为X̄ = (X1 + X2+ ... + Xn) / n。

根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，X̄的分布将接近于正态分布。

具体而言，均值X̄的均值是原始分布的均值，方差是原始分布的方差除以样本容量n，即Var(X̄) = Var(X) / n。

中心极限定理的证明较为复杂，这里不再赘述。

但是它的主要思想可以用直观的方式解释。

假设我们有大量的样本容量为n的样本，每个样本都是从同一个分布中抽取的。

根据大数定律，随着样本容量的增加，样本的均值将越来越接近于总体的均值。

而中心极限定理揭示了更深层次的信息，即这些样本均值的分布将近似于正态分布。

中心极限定理在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在调查研究中，我们往往需要从总体中随机抽取一部分样本，并通过样本得出总体的某些特征。

如果总体分布未知，我们可以利用中心极限定理来推断总体的均值。

另外，中心极限定理也常用于假设检验和置信区间的构造。

假设检验和置信区间是统计学中常用的方法，用于根据样本数据对总体进行推断，中心极限定理可以使我们更加准确地进行推断。

此外，中心极限定理还可以推广到求和、平均数以外的其他函数。

对于一组独立同分布的随机变量X1，X2，...，Xn，中心极限定理适用于它们的和S，平均数A，最大值M和最小值m等。

大数定律与中心极限定理知识点整理大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中两个重要的概念，它们在统计学和经济学等领域中具有广泛的应用。

下面将对它们的主要知识点进行整理。

一、大数定律（Law of Large Numbers）大数定律是关于随机变量序列均值的收敛性的一个法则。

它表明，当独立同分布的随机变量不断增加时，其均值将会趋近于理论期望。

具体来说，大数定律包含以下几个重要概念：1. 弱大数定律（Weak Law of Large Numbers）弱大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值以概率1收敛于理论期望。

这个定律要求序列中的随机变量具有有限的方差和独立同分布的性质。

2. 强大数定律（Strong Law of Large Numbers）强大数定律指的是当随机变量序列无限增加时，其均值几乎处处收敛于理论期望。

与弱大数定律相比，强大数定律要求序列中的随机变量只需要具有独立性，而不需要具有方差的有限性。

二、中心极限定理（Central Limit Theorem）中心极限定理是关于随机变量和其样本均值之间关系的一个重要定理。

它表明，当样本量增加时，随机变量的分布将趋近于正态分布。

中心极限定理包含以下几个关键点：1. 独立同分布的随机变量之和的分布趋近于正态分布。

2. 标准化后的样本均值的分布趋近于标准正态分布。

3. 样本量越大，越接近正态分布。

总结：大数定律和中心极限定理是概率论与数理统计中非常重要的概念。

大数定律研究随机变量序列均值的收敛性，而中心极限定理研究随机变量和其样本均值的分布趋近于正态分布的关系。

它们的应用广泛，对于统计学、经济学等领域的研究与实践具有重要意义。

什么是高斯分布，及高斯分布的原理高斯分布，也被称为正态分布，是统计学中一种非常重要的分布模型。

它的形式非常特殊，通常呈钟形曲线，并且在均值处有一个峰值，两侧逐渐变平，呈现出典型的对称性。

高斯分布的原理基于中心极限定理。

中心极限定理指出，当我们从总体中抽取大量的随机样本，并且对这些样本进行求和或平均时，这个和或平均值的分布将趋近于高斯分布。

因此，高斯分布被认为是随机变量的极限分布。

高斯分布的数学表达式为f(x) = (1 / σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)，其中 f(x)代表随机变量x的概率密度，μ是分布的均值，σ是分布的标准差，e是自然对数的底。

这个公式描述了高斯分布的形状特征。

高斯分布有许多重要的性质。

首先，它是最常见的连续概率分布之一，广泛应用于自然科学、社会科学和工程学等领域。

其次，高斯分布在实际应用中非常实用，因为许多真实世界的现象都近似地符合高斯分布。

例如身高、体重、温度等变量都可以用高斯分布进行建模。

高斯分布还具有很多重要的统计性质。

对于均值为μ、标准差为σ的高斯分布，其均值（μ）即为分布的中心，标准差（σ）则决定了分布的扁平程度。

当标准差较大时，分布更加扁平，而当标准差较小时，分布更加陡峭。

利用高斯分布，我们可以进行各种统计推断和预测。

例如，我们可以根据样本数据推断总体的均值和标准差。

通过高斯分布的特性，我们可以计算出落在某个区间内的概率，并进行置信区间估计。

这些统计推断方法在科学研究、质量控制和金融风险管理等领域都起着重要作用。

总的来说，高斯分布是一种非常重要的概率分布模型，它描述了许多自然和社会现象的统计特征。

通过应用高斯分布，我们可以进行各种统计推断和预测，从而更好地理解和解释现实世界中的数据。

在实际应用中，熟练掌握高斯分布及其性质，对于进行数据分析和决策制定具有重要的指导意义。

概率论在等式与不等式中的应用概率论在等式与不等式中的应用摘要：概率论的思想已广泛应用于其它学科，用概率论中的方法解决其它学科中的一些问题是一个非常有趣的课题．本文利用概率论中方法证明恒等式和不等式，从中可看出它们之间的联系以及应用概率论方法解题的美妙之处．应用的基本思路是：根据所要解决的问题，首先构造一个适当的概率模型，然后应用概率中的已知结论解决所讨论的问题．如何构造适当的概率模型是解决问题的难点所在，也是关键所在。

关键词：随机变量；数学期望；方差；恒等式；不等式The applications of probability theory in the proofs of equalities and inequalitiesAbstract: The thought of probability theory has already been applied to many other subjects extensively. It is very interesting to solve some problems in other subjects by using probability theory. In th is paper, some methods in probability theory are used to prove several equalities and inequalities in Mathematics. By this, we can see the close relationship between them. It is also very valid to solve problems by using probability theory. Our method is as follows: according to the problem, we first construct their proper probability models, then use some known conclusions in probability theory to solve them. How to construct their probability models is the difficult point as well as the key point.Key words: random variable; mathematical expectation; variance; equality; inequality概率论是从数量上研究随机现象的规律性的学科。