反比例函数中的面积问题专题课程教案
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学习必备 欢迎下载 反比例函数中的面积问题 适用学科 初中数学 适用年级 初中二年级
适用区域 全国 课时时长（分钟） 60分钟
知识点 1. 函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，
并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较； 2. 相交时所围成的三角形的面积问题。 教学目标 1．熟练应用函数图像与性质知识； 2．灵活掌握反比例函数中面积问题的几种题型； 3．熟练一次函数与反比例函数的综合应用。 教学重点 反比例函数中面积问题涉及题型的掌握。
教学难点 反比例函数与一次函数结合出现的面积问题所涉及的解题方法的归纳。
教学过程 一、复习预习 由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识内容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。这类反比例函数与一次函数的交点问题以及相交后求围成三角形的面积的题型难度很大，并且属于学生在计算中的难点问题，归纳起来有两个方面：1、函数的相交问题，主要探究函数相交的交点个数及如何计算交点坐标，并进一步探究x取何值时，一次函数与反比例函数值的大小比较；2、相交时所围成的三角形的面积问题。现以近年中考试题为例加以分析，希望能对同学自主学习有所帮助。 学习必备 欢迎下载 二、知识讲解 1．反比例函数的定义：一般地，形如y＝kx（1ykxxyk或）（k为常数，k____0）的函数叫做反比例函数．
2．反比例函数的性质：反比例函数y＝kx（k≠0）的图象是___ ___．当k>0时，两分支分别位于第__ ___象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______；当k<0时，两分支分别位于第_______象限内，且在每个象限内，y随x的增大而_______．
3．反比例函数的图象是中心对称图形，其对称中心为_______；反比例函数还是_______图形，它有两条_______，分别是直线__ _____．
4．在双曲线y＝kx上任取一点P向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于_______．
5．因在反比例函数的关系式y＝kx（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数的关系式，因而一般只要给出一组x、y的值或图象上任意一点的坐标，然后代入y＝kx中即可求出_______的值，进而确定出反比例函数的关系式．
6、利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题。设P为双曲线kyx上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy| ,,kyxykskx。从而得：
结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k|。 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：
结论2：在直角三角形ABO中，面积S=2k。 学习必备 欢迎下载 结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|。 结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|。
考点/易错点1 反比例函数与一次函数的结合:一次函数图像过不过原点，注意求面积的方法有些区别。 考点/易错点2 反比例函数图像对称性（轴对称与中心对称）的应用，能相应的得到一些点的坐标的结论时要注意坐标符号的变化。
三、例题精析 题型归类：
题型一：已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k） 【例题1】 【题干】如图，直线OA与反比例函数(0)kykx的图象在第一象限
交于A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k＝ ． 学习必备 欢迎下载 【答案】k=4 【解析】由图象知,k>0,由结论及已知条件得22
k
， ∴ k=4
【例题2】 【题干】如图，已知双曲线(0)kykx（0x）经过矩形OABC的边AB，
BC的中点F、E，且四边形OEBF的面积为2，则k ．
【答案】k=2 【解析】连结OB，∵E、F分别为AB、BC的中点
∴ 而 2OCEOAFkss，由四边形OEBF的面积为2得222kk，解得 k=2。
评注：第①小题中由图形所在象限可确定k>0，应用结论可直接求k值。第②小题首先应用三角形面积的计算方法分析得出四个三角形面积相等，列出含k的方程求k值。
题型二：已知反比例函数解析式，求图形的面积
【例题3】 【题干】在反比例函数4yx的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ） 学习必备 欢迎下载 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为过原点的直线与双曲线交点关于原点对称，故B、C、D的面积易求。对于A：S=4，对于B：阴影中所含的三个小直角三角形面积相等，故S=4362；对于C：S=4，对于D：S=4 故选（B）
题型三：利用数形结合思想求点的坐标，注意分类讨论 【例题4】 【题干】已知一次函数y=kx+b(k≠o)和反比例函数y=2kx的图象交于点A(1，1)．
(1)求两个函数的解析式； (2)若点B是x轴上一点，且△AOB是直角三角形，求B点的坐标． 【答案】解：（1）∵点A（1，1）在反比例函数2kyx的图象上，∴k=2，∴反比例函数的
解析式为： 1yx。设一次函数的解析式为：y=2x+b，∵点A（1，1）在一次函数y=2x+b的图象上，∴b=-1，∴一次函数的解析式为y=2x-1。 （2）如图，∵点A（1，1）， ∴∠AOB=45°，∵△AOB是直角三角形，∴点B只能在x轴正半轴上，①当∠OB1A=90°时，即B1A⊥OB1，∵∠AOB1=45°，∴B1A=OB1，∴B1（1，0）；②当∠OAB2=90°时，∠AOB2=∠AB2O=45°， ∴B1起OB2的中点，∴B2（2，0），综上可知，B点坐标为（1，0）或（2，0）。 学习必备 欢迎下载
例4题图 例5题图
【例题5】 【题干】如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数kyx的图象交于M、N两点．
(1)求反比例函数和一次函数的函数关系式． (2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围．
【答案】解：（1）∵kyx的图象经过N（﹣1，﹣4），∴k=xy=﹣1×（﹣4）=4．∴反比例
函数的解析式为4yx。又∵点M在4yx的图象上，∴m=2．∴M（2，2）．又∵直线y=ax+b
图象经过M，N，∴，∴．∴一次函数的解析式为y=2x﹣2； （2）由图象可知：反比例函数的值＞一次函数的值的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2． 题型四：利用点的坐标及面积公式求图形的面积 【例题6】 【题干】如图，已知(4,),(2,4)AnB是一次函数ykxb的图像和反比例函数myx的
图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积． 学习必备 欢迎下载 【答案】解：（1）(2,4)B在myx上 8m．反比例函数的解析式为：8yx．
点(4,)An在8yx上 (4,2)A。经过，， 解之得 一次函数的解析式为： （2）是直线与轴的交点，当时， 点
评注：对于例4、例5、例6类型的题目，其解题方法基本上都是分三步：先由条件求函数解析式，再通过解方程组求交点坐标，最后由面积公式计算面积。难度属中档题。
题型五：利用反比例函数的对称性求有关的面积问题 【例题7】 【题干】已知, A、B、C、D、E是反比例函数16yx（x>0）图象上五个整数点（横、纵坐
标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）
【答案】∵x,y为正整数，∴x=1,2,4,8,16，即A、B、C、D、E五个点的坐标为(1,16)、(2,8)、(4,4)、(8,2)、(16,1)，因五个橄榄形关于y=x对称，故有
S==13π-26。 学习必备 欢迎下载 题型六：与其它知识结合，如一元二次方程、相似形、二次函数等 【例题7】 【题干】如图，一次函数y=－x+8和反比例函数kyx（x>0）的图象在第一象限内有两个
不同的公共点A(x 1，y 1)、B(x2，y 2)．
(1)求实数k的取值范围． (2)若△AOB的面积S△AOB=24，求k的值．
【答案】解：（1）y=-x+8与y=k/x联立已知k>0， x²-8x+k=0， 64-4k>0，得0
（2）设两个交点横坐标为x1和x2 ，根据x2-x1=6以及x²-8x+k=0，（x2+x1）²-4x1x2=36，由韦达定理x1+x2=8；x1x2=k 解得k=7。
【例题8】 【题干】如图，已知：一次函数：4yx的图像与反比例函数：2yx (0)x
的图像分
