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常微分期末考试试题题库

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宝鸡文理学院试题
一、填空题（每小题3分，3×10＝30分）
1、方程(,)(,)0MxydxNxydy有只含x的积分因子的充要条件是 。

2、求(,)dyfxydx满足00()yxy的解等价于求积分方程 的连续解。
3、方程22yxdxdy定义在矩形域R:-222,2yx 上，则经过点（0，0）的解的存在区
间是 。
4、若)(txii(1，2，……，)n是n阶齐线性方程()(1)1()()0nnnxatxatx

的n个解，)(tw为其伏朗斯基行列式，则)(tw满足一阶线性方程 。
5、设()t是微分方程组()xAtx的基解矩阵，()xt是)()(tfxtAx的某一解，则它的任
一解()xt可表示为 。
6、若12(),(),,()nXtXtXt为n阶齐线性方程的n个解，则它们线性无关的充要条件是 。
7、在用皮卡逐步逼近法求方程组0()(),()XAtXftXt的近似解时，则()kt 。
8、若()()tt和都是'()XAtX的基解矩阵，则()t和()t具有关系为： 。
9、 微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是____________
10、 对于任意的),(1yx ,),(2yx R (R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使 __________ ,
则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.
二、求下列微分方程（组）的通解（每小题8分，8×5＝40分）
1、 26dyyxydxx, 2、xyexydxdy，

3、texxx25'6''， 4、 '21''xx 。

5、试求方程组'xAx的基解矩阵expAt，其中 1243A
三、（10分）求初值问题的近似解
求初值问题

课程名称 常微分方程 适 用 时 间
试卷类别 4 适用专业、年级、班


0)1(22y
yx

dx

dy

1,11:yxR
的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在

区间的误差估计。
四、证明题（每小题10分，2×10＝20分）

1、如果()xt是Axx'满足)(0t的解，那么 )(exp)(0ttAt

2．在方程0)()(yxqyxpy中，已知)(xp，)(xq在),(上连续．求证：该方程
的任一非零解在xoy平面上不能与x轴相切．
宝鸡文理学院试题参考答案与评分标准
一、填空题（每空3分，3×10＝30分）
1、)(xNxNyM， 2、00(,)xxyyfxydx， 3、4141x，

4、0)()()(1'twtatw ， 5、()()()xttCt 6、12[(),(),()]0nWXtXtXt
7、01[()()()]tktAssfsds 8、()()ttC（C为非奇异矩阵）

9、1， 10、2121),(),(yyNyxfyxf
二、求下列微分方程（组）的通解（每小题8分，8×5＝40分）

1、解：这是n=2时的伯努利不等式，令z=1y,算得 dxdyydxdz2 （2分）
代入原方程得到
xzxdxdz
6
， （3分）

这是线性方程，求得它的通解为

z=826xxc （5分）
带回原来的变量y，得到

y
1
=826xxc或者 cxyx886，这就是原方程的通解。 （7分）

此外方程还有解y=0. （8分）
2、解：xyxydyyxeyedxxx
dxyxexdyxy)(
（2分）

dxxeydxxdyxy
dxxedxyxy
（3分）

xdxedxyxy
， 积分：cxexy221 （5分）

故通解为：0212cexxy （8分）

课程名称 常微分方程 适 用 时 间
试卷类别 4 适用专业、年级、班
3、解：齐线性方程05'6''xxx的特征方程为 0562， （2分）
5,121

（3分），

故通解为ttecectx521)( （4分）
2

不是特征根，所以方程有形如

tAetx2
)(的特解，把)(tx
代回原方程比较系数得

21
1
A，则21()21txte
（6分）

于是原方程通解为
ttteecectx2521211)(
（8分）

4、解： yx' 则 dxdyyx'' （2分）
从而方程可化为

ydxdyy2
1

，积分得：13132yxc， （4分）

代回原变量得1313'2xxc （6分）
积分得 232132tcxc （8分）
5、解：特征方程为
12det()43(1)(5)0EA




（2分）

则 5,121 （3分）
当11时，由0)(11vAE

得 1v， 取111v （4分）
当15时，由22()0EAv
得 22v， 取212v （5分）
则基解矩阵
55()2tttteetee









（6分）

1555555exp()(0)2111132213222ttttttttttttAtteeeeeeeeeeee




























（8分）

三、（10分）求初值问题的近似解
解：4),(max),(yxfMRyx （2分）

byyaxx1,1
00
，41),min(Mbah

解的存在区间为4110hxxx
即4345x.令 （4分）

0)(00yx

313
0)(3121xdxxx

x

3
22
2
13741()0()331136318942xxxxdxxxxx









（7分）

又Lyyf22，误差估计为：
241)!1()()(12nnhn
ML
xx

（10分）

四、证明题（每小题10分，2×10＝20分）
1、证明：由定理8可知dssfstttttt)()()()()()(0101 （4分）

又因为 ()exp,tAt 11000()(exp)exp()tAtAt，0)(sf
所以)exp(exp)(0AtAtt （7分）
又因为矩阵)()()()(00AtAtAtAt
所以)(exp)(0ttAt （10分）
2．证明： 由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间
都是),(． （2分）

显然，该方程有零解0)(xy （4分）．
假设该方程的任一非零解)(1xy在x轴上某点0x处与x轴相切，即有)()(0101xyxy=
0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(xy
可知),(,0)(1xxy （8分），
这是因为零解也满足初值条件)()(0101xyxy= 0，于是由解的惟一性，有
xxyxy,0)()(1,( )．这与)(1xy
是非零解矛盾． （10分）

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常微分方程期末考试题大全(东北师大)

常微分方程期末考试题大全(东北师大)

证明题：设在上连续，且,又，求证:对于方程的一切解，均有。

证明由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为，即.由于，则存在,当时，.因而，由,从而有，显然。

应用洛比达法则得。

证明题：线性齐次微分方程组最多有个线性无关的解，其中是定义在区间上的的连续矩阵函数.证要证明方程组最多有个线性无关的解，首先要证明它有个线性无关的解，然后再证明任意个解都线性相关。

由于是定义在区间上的的连续矩阵函数，所以对任意给定的初始条件，,方程组存在唯一的解。

分别取初始条件，，．．．，它们对应的解分别为且这个解在时的朗斯基行列式为，则是个线性无关的解。

任取方程组的个解,,这个解都是维向量，于是由线性代数有关理论知,它们线性相关。

这就证明了方程组最多有个线性无关的解。

证明题:如果已知二阶线性非齐次方程对应齐次方程的基本解组为，证明其有一特解是,其中及是区间Ｉ上的连续函数，是的朗斯基行列式。

证已知是对应齐次方程的基本解组,则齐次方程的通解为。

用常数变易法，求原方程的特解。

设是原方程的特解，则满足下列关系，解得，,积分得 .原方程的一个特解为故是原方程的一个特解。

证明题：设是常系数线性齐次方程组……（1)的解,的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组,，.。

，是方程组（1)的线性无关解组.证: 设是常系数线性齐次方程组（1）的解，的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，证明向量组，，。

，，是方程组（1）的线性无关的解组。

证先证明，，.。

.，都是方程组（1）的解。

由于方程组（1）的解，则有，即其中表示单位矩阵。

由易得。

(2），由(2）,上式变为,.故，，...，都是方程组(1）的解。

再证明向量组，，.。

，线性无关。

因为的分量都是次数的多项式，但至少有一个分量是的次多项式，所以，而当时，.若,，即，，给上式两边关于求阶导数，得，,则必有。

给，两边关于求阶导数，则必有。

同理，可得,。

故向量组，，...，线性无关.综上所述,我们证明了向量组，，。

《常微分方程》期末考试试卷

《常微分方程》期末考试试卷

▆ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■《常微分方程》期末考试A 卷姓名： 专业：学号： 学习中心：一、 填空题（每个空格4分，共40分）1、 2230dy dy x y dx dx ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 是 阶微分方程，是 方程（填“线性”或“非线性” ）。

2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。

3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是。

4、方程''21=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。

5、微分方程22250+=d yy dx的通解为 。

6、微分方程22680-+=d y dyy dx dx的通解为 ，该方程可化为一阶线性微分方程组 。

二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。

1、-=x y dye dx；2、24+=dyxy x dx ；3、22265t d x dxx e dt dt++=；4、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .三、（8分）考虑方程2(9)(,),=-dyy f x y dx假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3<y ，方程满足00()y x y =的解都在(,)-∞+∞上存在。

四、（10分）设121111201A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求解方程组dX AX dt=满足初始条件1(0)00ϕ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的解()t ϕ。

五、（10分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

证明：见书。

▆。

周口师范学院常微分方程题库期末考试试题r15

周口师范学院常微分方程题库期末考试试题r15


5、求初值问题
⎪⎧ dy ⎨ dx
=
x2
−
y2,R :
x +1
≤ 1,
y
≤ 1 的解的存在区间，并求第
⎪⎩
y(−1) = 0
二次近似解.
6、求方程 d 2 x − 2 dx − 3x = 3t + 1的通解. dt 2 dt
7
求解方程
x2
d2y dx 2
−
x
dy dx
+
y
=
0
.
《常微分方程》试卷 第 4 页 共 4 页
C ex + ln 2
D e2x + ln 2
《常微分方程》试卷 第 2 页 共 4 页
5． dy = x + y − 3 通过下列哪个变换可化为齐次方程（
）.
dx x − y +1
A ξ = x −1, η = y + 2
B ξ = x −1,η = y − 2
C ξ = x + 1,η = y + 2
3．任意一个有解的微分方程都存在积分因子且它们可以互不相同.
（）
4．设 y = ϕ(x) 是方程 dy = f (x, y) 的不可延拓解，则它的存在区间一定是 dx
一个开区间.
（）
5．齐次线性微分方程组
r dY
=
r A( x)Y
的
n
个解在定义区间
I
上线性无关当且
dx
仅当 ∀x ∈ I ，它们的 Wronski 行列式W (x) ≠ 0 .3;e x
的通解.
dx x
2．求方程 dy = x − y + 5 的通解. dx x − y − 2
(整理)常微分方程期末考试试卷(6)

(整理)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程试题二一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。

1、当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。

2、________________称为齐次方程。

4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dxdy = 的解 y=),,(00y x x ϕ作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。

5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。

6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。

7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。

二、计算题（共6小题，每题10分）。

1、求解方程：dx dy =312+++-y x y x2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、讨论方程23=dx dy 31y 在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：t e x x x t cos 32///-=+-5、试求方程组Ax x =/的一个基解矩阵，并计算⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3421,为其中A e At三、证明题（共一题，满分10分）。

试证：如果Ax x t =/）是（ϕ满足初始条件ηϕ=)(0t 的解，那么=)(t ϕ[]η)(0t t A e -常微分方程期末考试答案卷一、填空题。

（30分）1、x y x N y y x M ∂∂=∂∂),(),( 2、)(xy f dx dy = 4、连续的5、w []0)(),...,,(),(21≠t x t x t x n6、n 个线性无关解7、)0()(1-ΦΦt二、计算题。