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摘要分数阶微积分是整数阶微积分的一种推广，即是将阶次推广到实数范围内，其诞生于300多年前，发展到现在，分数阶微积分已经应用于许多的领域，并逐渐发展成为一个非常热门的研究方向。
分数阶控制系统即用分数阶微分方程而非整数阶微分方程来表述的系统，与整数阶微分方程表述的系统相比，分数阶控制系统可以在本质上反映实际系统的真实变化过程，所以与利用整数阶控制系统模型相比利用分数阶控制系统模型可以比较全面清晰地分析系统。
本文给出了分数阶微积分的定义及其性质，分数阶控制系统的求解：包括数值解法和解析解法，并给出了仿真实例，最后对分数阶控制系统的进行了仿真分析，并给出了仿真实例。
关键词分数阶微积分，分数阶控制系统，分数阶控制器，仿真AbatractFractional calculus is a generalization of the fractional calculus. That is, degree order will be extended Within the scope of real Numbers. It was invented more than 300 years ago,and now, Fractional calculus has been used in many fields, and gradually developed into a very hot research direction. Fractional order control system with fractional order differential equation rather than integer order differential equation to describe the system. Compared with Integer order differential equation to describe the system,The fractional order control system can reflect the Real change of the actual system in essence, So compared with using integer order control system model, using fractional order control system model can analysis system more comprehensive and clearly. In this paper, we give the definition of fractional calculus and their properties, Solution of the fractional order control system: Including the numerical solution and analytic solution,and give the simulation. Finally analysis the fractional order control system, and give the simulation.Keywords fractional calculus,fractional-order controller system,fractional-order controller,simulationI目录摘要 (I)Abatract (I)1绪论 (1)1.1 课题的背景和意义 (1)1.2分数阶微积分的应用发展 (2)1.3本文研究内容 (3)2数学理论基础....................................................................................................... .. (3)2.1数学基本函数 (4)2.2 分数阶微积分的定义 (8)2.3 分数阶微积分的性质 (11)2.4 拉普拉斯变换 (12)2.5分数阶微积分的仿真实例 (13)2.6本章小结 (17)3 分数阶控制系统的求解 (18)3.1 分数阶微分方程 (18)3.2分数阶微分方程的数值解法 (20)3.3分数阶微分方程的解析解法 (25)3.4 本章小结 (31)4分数阶控制系统的仿真 (32)4.1整数阶控制系统仿真实例 (32)4.2分数阶控制系统仿真实例 (36)4.3 本章小结 (44)5结论......................................................................................................................... . (45)致谢 (46)参考文献 (46)附录1外文资料翻译.................................................................................................. ..47 A1.1译文：分数阶控制系统的频域稳定性条件.. (47)A1.2原文：Frequency Domain Stability CriteriaforFractional-order Control Systems (57)附录2 附录程序........................................................................................................ ..681绪论1.1 课题的背景和意义分数阶微积分是一个历史悠久且依然新颖的概念，其诞生于300年前，分数阶微积分主要研究的是任意阶次的微分和积分的算子特性以及应用问题。
![毕业设计(论文)-混沌电路的设计与研究[管理资料]](https://img.taocdn.com/s1/m/d58bbbd458fb770bf68a55b0.png)
混沌电路的设计与研究一、绪论（一）混沌研究的背景混沌学于上世纪六十年代初在美国兴起。
它是非线性系统中存在的一种普遍现象，也是非线性系统所特有的一种复杂状态。
所以研究的蔡氏电路必然是一个非线性系统，确切地说是一个非线性动力系统。
从函数构造的角度来说，非线性系统要比“线性系统”更多、更普遍。
“线性系统”与“非线性系统”的不同之处至少有两个方面。
第一：线性系统可以使用叠加原理，而非线性系统则不能。
第二：（也就是最本质的）非线性系统对初值极敏感，而线性系统则不然。
经典的动力学理论认为：任何一个系统只要知道了它的初始状态，就可以根据动力学规律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉普拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地知道宇宙过去将来的一切情况。
这就是被称为拉普拉斯决定论的基本观点。
概率论和统计的概念引入物理学后，科学思想发生了重大变化，促使科学家从决定论的那种“经典科学缔造的神话”中走了出来。
概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而有许多偶然的随机的因素，人们只从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。
对此，历来有着尖锐的争论。
爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。
霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，“上帝”不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道和根本看不到的地方。
决定论和非决定论，动力学规律和统计规律似乎有着不可调和的矛盾，使科学方法论陷入苦恼的悖论之中。
而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光。
过去，人们一直认为宇宙是一个可以预测的系统。
后来天文学家在研究三体问题时发现，用决定论的方程，找不到稳定的模式，得到的是随机的结果，这意味着：整个太阳系是不可预测的，用牛顿定理，无法推算出在某一时刻行星运动的准确位置和速度。
即在确定性的系统中出现了随机现象。
新分数阶混沌系统的异结构同步及其电路仿真
黄丽莲;辛方;王霖郁
【期刊名称】《系统仿真学报》
【年(卷),期】2012(24)7
【摘要】提出了一个新分数阶三维混沌系统,对其进行理论分析和数值仿真,仿真结果表明其存在混沌的最小阶数为2.34阶。
基于主动控制法设计一个异结构同步控制器,电路仿真实现了该新分数阶混沌系统与分数阶lü系统的异结构同步。
实验结果证明了该控制器的有效性和可行性。
【总页数】6页(P1479-1484)
【作者】黄丽莲;辛方;王霖郁
【作者单位】哈尔滨工程大学
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5
【相关文献】
1.一个新的分数阶混沌系统及其异结构同步
2.分数阶异结构超混沌系统完全同步与反相同步控制
3.新分数阶混沌系统及异结构同步
4.不确定分数阶超混沌Chen系统和分数阶Rössler系统的自适应异结构同步
5.不同阶异结构分数阶混沌系统的广义投影同步
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基于分数阶混沌系统的文本加解密算法及数字电路实现
谢秋霞;张庆平
【期刊名称】《安庆师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2024(30)1
【摘要】21世纪是信息时代,信息安全备受关注。
针对这一问题,本文提出了一种
基于三维分数阶混沌系统的文本加解密算法。
结合Grünwald-Letnikov导数定义,采用离散的数值解法构建了4个三维分数阶混沌模型。
搭建好电路,在使用时随机
选取1个分数阶混沌系统以产生混沌序列,并由此构造出密钥序列,再将发送端和接收端的文本信息与密钥序列进行异或处理来实现对文本的加解密,从而完成两个STM32之间的无线保密通信。
测试结果表明,该算法具有良好的加密效果和安全性。
【总页数】6页(P66-71)
【作者】谢秋霞;张庆平
【作者单位】安庆师范大学电子工程与智能制造学院
【正文语种】中文
【中图分类】O415.5;TP309.7
【相关文献】
1.基于量子混沌粒子群优化算法的分数阶超混沌系统参数估计
2.基于分数阶控制器的分数阶混沌系统同步
3.基于分数阶Takagi-Sugeno模糊模型的分数阶Chen混沌系统的控制
4.基于分数阶积分器的分数阶混沌系统状态观测器同步研究
5.加控
制器的预估-校正算法在分数阶Chen混沌系统中的实现
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2009 年 6月 JOURNAL OF CIRCUITS AND SYSTEMS June ， 2009 文章编号：1007-0249 (2009) 03-0121-05混沌电路系统的模型仿真与电路实现*林若波1,2（1. 揭阳职业技术学院，广东 揭阳 522051；2. 湖南大学 电气信息工程学院，湖南 长沙 410082）摘要：通过对混沌电路系统的分析方法的介绍，指出模型仿真和电路实现的重要性；以二个典型混沌系统为例，阐述了基于Matlab/Simulink 环境下的仿真方法，同时介绍基于Multisim 8平台的电路仿真和实现过程；最后指出混沌电路的发展前景和研究方向。
关键词：混沌；仿真；Lorenz；Simulink；Multisim 8中图分类号：N945.1 文献标识码：A1 引言非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，而混沌理论是非线性科学最重要的成就之一。
“混沌”的发现冲破了传统的决定性观念，著名物理学家福特（J. Ford ）认为混沌的发现是继相对论、量子力学之后，20世纪物理学的第三次革命。
目前混沌系统理论有三个主要的发展方向：应用、综合、和引入比较复杂的数学工具，以求机理研究、分类与构造理论等的进一步发展；寻求数学与物理模型的新范例，研究混沌的应用及其工程系统实现。
2 混沌电路系统的分析方法[1]混沌系统模型的研究一般包括以下几个基本步骤：问题描述、模型建立、仿真实验、结果分析、电路实现，其流程如图1所示。
（1）建立数学模型数学模型是指描述系统的输入、输出变量以及各变量之间关系的数学表达式。
混沌系统中最常用、最基本的数学模型是微分方程与差分方程。
（2）建立仿真模型仿真模型是借助计算机对数学模型进行数值分析计算的模型。
仿真模型的建立是最重要的，它是混沌系统分析的关键点。
有些混沌模型不能直接用于数值计算的，如微分方程，必须进行相应的转换。
（3）仿真与实验变量之间的联系必须通过编制程序来实现，常用的数值仿真编程语言有MATLAB 、C 、FORTRAN 等。
分数阶混沌系统的同步研究及电路实现摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【期刊名称】《《西北师范大学学报（自然科学版）》》【年(卷),期】2019(055)006【总页数】7页(P47-52,73)【关键词】分数阶混沌系统; 电路实现; 线性反馈同步; 保密通信【作者】摆玉龙; 杨阳; 魏强; 段济开; 范满红【作者单位】西北师范大学物理与电子工程学院甘肃兰州 730070【正文语种】中文【中图分类】O415.5; TN1.92分数阶微积分的发展已有300多年的历史，但由于缺乏实际应用，一直没有得到足够的重视.近年来，研究者将分数阶算子引入到整数阶混沌系统的研究中，发现当混沌系统的阶数不是整数时，系统也会发生混沌行为，而且分数阶混沌系统可以很准确的显示混沌系统的动力学特性[1-2].分数阶混沌系统研究成为了一个热点问题，相继出现一系列分数阶混沌系统，如分数阶Chua电路[3]、分数阶Lorenz系统[4]、分数阶Chen系统[5]、分数阶Lü系统[6]等.通过计算仿真发现，当这些混沌系统的阶数不是整数时，系统仍然可以表现为混沌状态，而且，可以更准确的呈现系统的动力学特性.在研究分数阶混沌系统的同时发现，混沌的同步控制问题是一个难点问题，得到了广泛研究并已出现了很多同步方法，如广义同步[7]、混合投影同步[8]、脉冲同步[9]、自适应同步[10-12]等.以上控制方法的控制器都是非线性的，而在实际工程应用中，文中尝试的线性控制器较易实现，经济代价小，因此具有较高的应用价值. 由于分数阶混沌系统同步控制在保密通信、信号处理等领域[13-17]比整数阶混沌系统更具有应用前景和发展前途.目前大部分是对分数阶混沌系统同步控制方法的研究，应用分数阶混沌电路实现混沌保密通信，相关研究还比较少，还处于发展的初期阶段，由于混沌信号自身的特性，混沌控制在保密通信这一领域将有很大的发展空间.文中在整数阶混沌系统的基础上，提出一个新的分数阶混沌系统，该混沌系统与已有的混沌系统相比，时序特性更加复杂、无序.利用波特图频域近似法设计了该2.7阶新分数阶混沌系统的电路.运用驱动-响应同步方法，设计了线性控制器，实现了两个分数阶混沌系统的同步.在同步电路的基础上，利用混沌掩盖保密通信的原理，设计了混沌保密通信电路.1 分数阶微积分的基本理论在分数阶微积分的定义中，最为常用的是Riemann-Liouville(RL)定义[4]，其数学表达式为(1)其中G为Γ函数，n-1≤α<n.当函数f(t)的初始值为零时，(1)式的Laplace变换可表示为(2)时域-复频域转换法是最常用的计算分数阶微积分的方法.通过求解复频域的1/sα,得到复频域的展开形式，再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解，文献[9]提出了一种波特图的频域近似方法.利用波特图频域近似法[9]，文献[7]推导出了α在0.1～0.9的1/sα展开式，这里仅采用近似误差为2 dB的1/sα的展开式[7]，用作文中的系统电路设计.2 分数阶新混沌系统及其电路实现2.1 分数阶新混沌系统(3)其中，0<α≤1,0<β≤1,0<γ≤1并且a=20,b=14,c=11,e=10/3.文中选取参数α=β=γ=0.9对分数阶新混沌系统进行研究.其数值仿真相图如图1所示.由此可知，2.7阶分数阶新混沌系统存在混沌吸引子.2.2 平衡点及其稳定性令该系统方程右边等于零，即(4)可得系统有3个平衡点S0(0，0，0)，S1(-6.5784，-3.3257，19.5610)，S2(9.9117， 5.0180，19.5610).在平衡点S0(0，0，0)将系统线性化，其线性化矩阵即Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0，解得特征根为λ01=-7.00,λ02=18.31,λ03=-27.31，由于特征值λ1和λ3为负实数，而λ2为正实数，显然S0是不稳定的且为二维空间中的一个鞍点.将系统在平衡点S1线性化，其Jacobian矩阵为令det(J-λE)=0,得其特征根为(a)x-y-z吸引子(b)x-y相轨图(c)y-z相轨图(d)x-z相轨图图1 α=β=γ=0.9时2.7阶新混沌系统的数值仿真相轨图Fig 1 Numerical simulation phase diagram of a new chaotic system with 2.7 order,α=β=γ=0.9同理，S2处的特征值为由于S1,S2的λ2和λ3是实部为正的共扼复数，且λ1为负实数，所以平衡点S1,S2都是不稳定的鞍焦点.2.3 分数阶混沌电路设计这里，采用误差为2 dB的1/s0设计电路，由文献[7]可知，1/sa的近似表达式为(近似误差2 dB)(5)当α=0.9时，混合型电路单元如图2所示.图2 分数阶1/sa的混合电路Fig 2 Fractional order 1/sa hybrid circuit根据电路设计理论，设计新分数阶混沌系统的电路图，如图3所示.图3中运算放大器采用LM741，模拟乘法器采用AD633(输出系数0.1)，整个电路供电电压为15 V，其中R1=R2=500 Ω，R3=100 Ω，R9=800 Ω，R10=1 kΩ，R11=100 Ω,R17=R18=30 kΩ,R19=100 Ω,R7=R8=R15=R16=R23=R24=10kΩ,R4=R12=R20=61.5 MΩ,R5=R13=R21=1.65 MΩ,R6=R14=R22=15.7kΩ,C1=C4=C7=0.5 μF,C2=C5=C8=0.3 μF,C3=C6=C9=0.44 μF.在Multisim上仿真电路原理图，并用示波器显示各相仿真相图，结果如图4所示，将电路实现的结果与数值仿真结果相比较可知，电路实现的结果与数值仿真结果完全一致，证明了新分数阶混沌系统的正确性.3 分数阶混沌系统同步的电路实验整数阶混沌系统的同步控制研究已取得了很多的研究成果，这为研究分数阶系统的同步控制奠定了坚实的理论基础.这里采用线性反馈控制方法来图3 2.7阶新混沌系统电路原理图Fig 3 Schematic diagram of the 2.7-order new chaotic system实现2个新分数阶混沌系统的同步.所谓线性反馈法就是对2个演化规律相同的自治混沌系统，把一个系统的变量用适当的方式反馈到另一个系统中去，从而控制被反馈的系统，最终达到两个系统的同步.该方法是设计线性反馈控制器，实现起来比较容易，在工程应用中具有较大的实际意义.新分数阶驱动系统微分方程为(6)新分数阶响应系统微分方程为(7)运用电路理论对驱动和响应系统进行电路设计，2个分数阶混沌系统的同步电路如图5所示，其中R25=R26=R30=R31= R35=R36=1 kΩ，R27=(a)x-y平面相轨图(b)x-z平面相轨图(c)y-z平面相轨图图4 2.7阶新混沌系统仿真相轨图Fig 4 Phase diagram of thenew chaotic system of the 2.7 orderR28=R29=R32=R33=R34=R37=R38=R39=10 kΩ，选取合适的控制参数k1,k2,k3，利用Multisim对图5进行仿真，得到各相的同步仿真相图.图6为x1-x2平面的同步相图，是一条穿过原点的直线，图7为x1-x2的时序波形图.由图6和图7可以看出，2个系统实现了完全同步.4 分数阶混沌保密通信电路利用文中提出的新分数阶混沌系统，设计一个分数阶混沌掩盖保密通信电路，混沌掩盖保密通信电路如图8所示，图中R64=R67=R68=R70=R71=R72=R74=100 kΩ，R65=R69=R73=50 kΩ，R66=33 kΩ，混沌掩盖通信的基本原理为：将混沌信号与信源信号叠加在一起，在接收端通过同步差分解调电路，得到信源信号.在电路图8中，信号源信号从Vin输入，调制解调电路的另一输入端口输入混沌信号，2种信号通过运算放大器反向加法电路进行叠加，得到反向的混合信号，再经过一级反向电路，得到正的混合信号，在接收端，利用差分解调电路将混合信号与信源信号进行分离，输出端Vout得到的即是信号源信号.由于发送端与接收端实现了同步，所以该电路可以实现保密通信.文中选用正弦信号作为信号源，通过电路仿真得正弦波信号与叠加后的混沌信号以及叠加后的混沌信号与解调出的输出信号，如图9和图10所示，从电路仿真结果看，输入信号与混沌信号叠加后，信号波形十分复杂，在信号传输过程中，窃听者只能得到混合后的混沌信号，由于解调过程要求驱动电路与响应电路参数完全一致，否则无法解调出传输信号，所以，此电路具有很好的保密特性.图9和图10中输入信号与解调出的信号完全一致，即证明此保密通信电路的正确性. 图5 2.7阶新混沌系统同步电路图Fig 5 2.7-order new chaotic system synchronization circuit图6 系统(6)与系统(7)x1-x2平面的同步仿真图Fig 6 Simultaneous simulationof system(6) and system(7) x1-x2plane图7 系统(6)与(7)的同步仿真波形图Fig 7 Synchronous simulation waveforms of system (6) and system (7)图8 混沌掩盖保密通信电路调制解调电路Fig 8 Modulation and demodulation circuit of secure communication circuit with chaotic masking图9 正弦波信号与叠加后的混沌信号Fig 9 Sine wave signal and superimposed chaotic signal图10 叠加后的混沌信号与解调出的输出信号Fig 10 Chaotic signal after superposition and demodulated output signal5 结束语对新提出的分数阶混沌系统通过数值仿真、平衡点理论分析进行验证，并设计了电子电路，电路仿真结果与数值仿真完全一致，证明了系统模型的正确性，由于分数阶混沌系统更精确、动力学特性更加复杂无序，构建了新分数阶混沌系统驱动-响应同步电路图，以及新分数阶混沌保密通信电路，并在Multisim上进行仿真，采用混沌掩盖原理对输入信号进行加密，用混沌信号对信号源信号加以掩盖，在接收端，利用差分解调电路对混沌信号进行解调，由电路仿真结果可以看出，解调出的输出信号与输入信号完全一致，即说明此电路具有很好的保密性，可以实现保密通信.参考文献:【相关文献】[1] CARROLL T L,PECORA L M.Synchronizing chaotic circuits[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1991,38(4):453.[2] TOUR J M,HE T.Electronics:the fourth element[J].Nature,2008,453:42.[3] HARTLEY T T,LORENZO C F,KILLORY QAMMER H.Chaos in a fractional order Chua’s system[J].IEEE Transactions on Circuits & Systems,1995,42(8):485.[4] GRIGORENKO I,GRIGORENKO E.Chaotic dynamics of the fractional Lorenzsystem[J].Physical Review Letters,2003,91(3):034.[5] LU J G.Nonlinear observer design to synchronize fractional-order chaotic systems via a scalar transmitted signal[J].Physica:A Statistical Mechanics & ItsApplications,2006,359(1):107.[6] WU X,LI J,CHEN G.Chaos in the fractional order unified system and its synchronization[J].Journal of the Franklin Institute,2008,345(4):392.[7] MAHMOUD G M,MAHMOUD E g synchronization of hyperchaotic complex nonlinear systems[J].Nonlinear Dynamic,2011,67(2):1613.[8] VELMURUGAN G,RAKKIYAPPAN R,CAO J.Finite-times synchronization of fractional-order memristor-based neural networks with time delays[J].NonlinearDynamics,2015,73(1/2):36.[9] ZHENG S.Further results on the impulsive synchronization of uncertain complex-variable chaotic delayed systems[J].Complexity,2016,21(5):131.[10] SONG X,SONG S,LI B.Adaptive synchronization of two time-delayed fractional-order chaotic systemswith different structure and different order[J].Optik:International Journal for Light and Electron Optics,2016,127(24):11860.[11] 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