误差理论第二章

第二章2-171因此无法说明测量数据中是否存在系统误差。

2通过马利科夫准则进行校核：△=0.4—（—0.4）=0.8因此，有马利科夫准则，当△显著不为零时，则有理由认为测量列存在线性系统误差。

3通过阿卑—赫梅特准则进行校核：u=0.3056因此，由u<= 0.789936可知，本次测量不一定存在周期性的系统误差。

2-19则t=1.404由ν=10+10—2=18及取α=0.05，查t分布表（书中附录表3），得tα=2.1因∣t∣=1.404< tα=2.1故无根据怀疑两组间有系统误差。

2-22解：(1) 3σ准则（莱以特准则）x̅=28.57067σ=0.2646153σ= 0.793844根据3σ准则（莱以特准则）第四测得值的残余误差∣v4∣=0.9493> 0.793844即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。

再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′=28.50286σ==0.0336113σ′= 0.100832由上表知，第十四测得值的残余误差∣v14∣=0.1029> 0.1008即它含有粗大误差，故将此测得值剔除。

再根据剩下的14个测得值重新计算，得x̅′′=28.51σ′′=0.016583σ′′=0.04975剩下的13个测得值的残余误差满足∣vi′′∣<3σ′′故可认为这些测量值不再含有粗大误差。

(2) 罗曼诺夫斯基准则首先怀疑第四测得值含有粗大误差，将其剔除。

然后根据剩下的14个测量值计算平均值和标准差，得x̅=28.50286σ=0.033611选取显著度α=0.05，已知n=15，查表得K(15,0.05)=2.24Kσ=2.240.033611=0.07528774因∣x4—x̅∣=0.90117>0.0752877故第四测量值含有粗大误差，应予剔除。

(3) 格罗布准则由3σ准则计算过程中表格知x̅=28.57067σ=0.264615按测得值的大小，顺序排列的x（1）=28.4，x（15）= 29.52进有两测得值x（1）、x（15）可怀疑，但由于x̅—x（1）=28.57067-28.4=-0.1707x̅—x（15）=28.57067-29.52=0.9493 故先怀疑x（15）是否含有粗大误差计算g(11)=x̅−x（15）σ=3.587查表得g(0)(15，0.05)=2.41则g(11)>g(0)故将第四测得值予以剔除，然后将剩下14个值再一次进行检验分析。

i 1
i 1
1
n
n
i
i 1
1 n
n i 1
li
L0
L0
1 n
n i 1
li
1 n
n
i
i 1
x
1 n
n
i
i 1
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说明：
(1) n=1, δ1= x-L0=l1-L0即为随机误差定义
(2)
n=2，1
2
均值 x 定义为：
x
l1 l2 n
ln
1 n
n
li
i 1
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3 x 与 L0之关系
对n个 i 求和，有
1 2 n l1 l2 ln nL0
=> 同除以n
n
n
i li nL0
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(一) 算术平均值
1 随机误差的表示方法
设被测量真值L0(理想、理论)，一系列测量 值为l0，则测量值中随机误差δi为
i li L0 (i=1,2,3…，n) 2 算术平均值定义
设 l1,l2, ,ln 为n次测量所得结果，则算术平
1
2
x
L0
(3) n→∞时，由随机误差的特征(抵偿性)
有 x L0
1
n
n
i
i 1
0
即：如能对同一量测无限次时，就可得到不受随

试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的 测量值，写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10

① 换位法/替代法
引起系统误差的条件（如被测量的位置）相互交换 --- 其他条件不变 --- 产生系统误差的因素对测量结果起相反的作用 --- 抵消 已知量替换被测量 例：等臂天平称重 --- 左右两臂长的微小差别 --- 恒值系统误差 被测物 ---X；平衡物 --- T；砝码 --- P a）X与P左右交换 --- 两次测量 的平均值 --- 消除系统误差 b）T与X 平衡 P与T平衡
二.随机误差的性质 随机误差主要有以下几方面的性质: (1)在一定测量条件下的有限测量值中,其随机误差的绝 对值不会超过一定的界限,误差所具有的这个特征,我们 称之为有界性; (2)绝对值相等的正误差和负误差出现的次数大致相等, 这一特征称之为对称性; (3)绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现的 次数多,这一特性称之单峰性. (4)对同一量进行多次测量,其误差的算术平均值随着测 量次数的无限增加而趋于零,即误差平均值的极限为零.
一.等精度测量直接测量时的数据处理 (1)求算术平均值 (2)求残余误差 (3)校对算术平均值及其残余误差 (4)判断系统误差 (5)求测量列单次测量的标准差
(6)判断含粗大误差的坏值,并剔除
若存在粗大误差的坏值,剔除之后,又需要重新求算术 平均值和标准差等,重复(1)至(5)步的计算,到不含 粗大误差为止.
两次测量所得的周期系统误差数值相等正负相反取平均值自动检测检测的时间间隔为周期克服随时间周期变化因素的影响有影响的因素定值较窄范围系差稳定修正值测量变化周期传感器信号转换选频放大器滤波器滤色片截断删除无用频带只让有用信号频带通过减轻校正补偿难度措施恒温稳压或稳频1判别方法整个测量完毕之后2粗大误差的减少办法和剔除准则2剔除准则拉依达准则3准则格拉布斯准则显然与事实不符歪曲测量结果主观避免剔除发现不符合实验条件环境突变突然振动电磁干扰等统计方法处理数据超过误差限判为坏值剔除随机误差在一定的置信概率下的确定置信限测量值x剔除测量值x肖维勒系数查表确定测量值查表确定计算算术平均值x剩余误差均方误差剔除坏值随时发现随时剔除重新测量