第二章 误差理论及应用

第二章误差理论及应用
第一节误差的来源与分类
一、误差的来源与误差的概念
每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。

尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。

所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。

测量值与真值之差称为误差。

在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。

当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。

但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。

这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。

实际上，误差仍然是存在的。

由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。

测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。

二、测量误差的分类
在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。

1．系统误差
在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。

由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。

在正确的测量结果中不应包含系统误差。

2．随机(偶然)误差
随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。

这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。

随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。

误差的大小以及正负误差的出现，完全由概率决定，没有理由认为误差偏向一方比偏向另一方更为可能。

因此，误差与测量的次数有关，随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值将逐渐接近于零。

因此，多次测量结果的算术平均值将更接近于真值。

3．过失误差
过失误差是一种显然与事实不符的误差，它主要由于测量者粗枝大叶、过度疲劳或操作不正确等引起，例如读错刻度值、记录错误、计算错误等。

此类误差无规则可寻，只要多方注意，细心操作，过失误差就可以避免。

包含过失误差的测量结果是不能采用的。

第二节系统误差
如前所述，系统误差是测量中按一定规律变化的误差。

当误差的大小和符号保持恒定时，称为恒值系统误差；当误差的大小和符号按一定规律变化时，称为变值系统误差。

如测量仪器指针的零点偏移会产生恒值系统误差，电子电位差计滑线电阻的磨损将导致累进系统误差，测量现场电磁场干扰会引入周期性系统误差等。

一、系统误差的分类
具体测量过程中，系统误差按其产生的原因可分为：
(1)仪器误差 它是由于测量仪器本身不完善或老化所产生的误差。

(2)安装误差 它是由于测量仪器安装和使用不正确而产生的误差。

(3)环境误差 它是由于测量仪器使用环境条件，如温度、湿度、电磁场等与仪器使用规定的条件不符而引起的误差。

(4)方法误差 这是由于测量方法或计算方法不当所形成的误差，或是由于测量和计算所依据的理论本身不完善等原因而导致的误差。

有时也可能是由于对被测量定义不明确而形成的理论误差。

(5)操作误差 也称人为误差。

这是由于观察者先天缺陷或观察位置不对或操作错误而产生的误差。

(6)动态误差 在测量迅变量时，由于仪器指示系统的自振频率、阻尼以及与被测迅变量之间的关系而产生的振幅和相位误差。

上述分类并不很严格，但重要的是系统误差的出现一般是有规律的，其产生的原因往往是可知或能掌握的。

一般地说，应尽可能设法预见各种系统误差的具体来源，并尽力消除其影响；其次是设法确定或估算系统误差值。

系统误差的处理一般属技术问题。

如果测量时系统误差很小，那么测量结果是相当准确的，测量的准确度很大程度上由系统误差来表征。

系统误差越小，表明测量准确度越高。

二、消除系统误差的方法
对于有些系统误差，只要严格按照测量仪器的安装方法、使用条件、操作规程等实施，是不难消除的。

但往往也常采用如下方法来消除系统误差。

1．交换抵消法
将测量中某些条件(如被测物的位置等)相互交换，使产生系统误差的原因相互抵消。

2．替代消除法
在一定测量条件下，用一个精度较高的已知量，在测量系统中取代被测量，而使测量仪器的指示值保持不变。

此时，被测量即等于该已知量。

3．预检法
预检法是一种检验和发现测量仪器系统误差的常用方法。

可将测量仪器与较高精度的基准仪器对同一物理量进行多次重复测量。

设测量仪器读数的平均值为L ，基准仪器读数的平均值为0L ，则L 与0L 的差值△=L -0L ，可以看作为测量仪器在对该物理量测量时的系统误差。

测出系统误差值就可对测量值进行修正。

三、系统误差的综合
在测量系统中，如果有n 个系统误差同时影响某一测量值A ，那么为了估计这n 个误差分量△1，△2，…，△n 对测量值A 的综合影响，就需要对系统误差进行综合，常用的方法有以下几种。

1．代数综合法
如果能够估计出各系统误差分量△i 的大小和符号，就可采用各分量的代数和求得总系
统误差△、δ。

绝对误差：∑=∆=
∆++∆+∆=∆n i i n 121... (2-1)
相对误差：∑==+++=n i i n 121...δ
δδδδ (2-2)
2．算术综合法
如果只能估算出各个系统误差分量△i 的大小，而不能确定其符号时，则可采用最保守的合成方法，即将各分量的绝对值相加。

绝对误差：()∑=∆
=∆++∆+∆±=∆n i i n 1
21... (2-3)
相对误差：()∑==+++±=n i i n 1
21...δδδδδ (2-4)
3．几何综合法
当上述各个系统误差分量△的大小已知，但未能确定其符号时，如果误差分量较多(即n 较大)，如采用算术综合法，则会把总的误差估计过大。

当误差分量较多时，各分量最大误差同时出现的概率是不大的，且它们之间还会互相抵消一部分，此时用几何综合法(或称方和根法)较为合适，即 绝对误差：2122221...∑=∆
±=∆++∆+∆±=∆n i i n (2-5)
相对误差：2122221...∑=±=+++±=∆n i i n δ
δδδ (2-6)
例2-1 试计算使用压力表测量液体(水)管道中压力时的系统
误差，装置如图2-1所示。

已知压力表的准确度为O.5级，量程为0～600kPa ，表盘刻度100
格代表200kPa ，即分度值为2kPa ，测量时指示压力读数为300kPa ，
读数时指针来回摆动±1格，Δh ≤0.05m 。

压力表使用条件大都符
合要求，仅环境温度值偏高于标准值[(20±3)℃]10℃，该压力表
温度修正值为每偏离1℃时造成系统误差为仪表基本误差的4％。

计算：
(1)仪表基本误差
ΔP l =±(O.5%×600)kPa=±3kPa
(2)环境温度造成的系统误差
△P2=±(4％△P 1△t)=±(4％×3×10)kPa=±1.2kPa
(3)安装误差 由于压力表没有安装在管路同一水平面上，高出h+△h 。

为减少这一误差，在高h 处装一放气阀，因而高h 的水柱产生的压力是恒定的，故可对读数进行修正，管路中的实际压力值
p=p i +g ρh
式中，p i 为指示压力；g 为重力加速度；ρ为所测液体的密度，若为水，其密度ρ=1000kg/m 3。

所以可求得安装误差为
△P3=±(△h ρg)=±(O.05m ×1000 kg/m 3×9.8m/s 2)
=±490N/m 2=±O.49kPa
(4)读数误差
△p4=±2kPa
于是总系统误差为
(1)若按算术综合法，则△p 为
()kPa kPa p
p n i i 690.62490.02.131±=+++±=∆±=∆∑= %23.2300690.6±=±=∆=
p p p δ (2)若按几何综合法，则△p 为 ()kPa
kPa p
n i i
p 831.3 2490.02.13 22221±=+++±=∆±=∑=δ
%27.1300831.3±=±=∆=
p p p δ 此例中，因系统误差项数不多，为了安全起见可采用算术综合法的计算值。

随机误差及传递误差略。