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误差理论第二章系统误差处理

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过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理

过程参数检测及仪表第2章 误差分析及处理

按误差出现的规律，将下列误差进行分类
1、用一只电流表测量某电流，在相同条件下每隔一定时间重复 测量n次，测量数值间有一定的偏差。 2、用万用表测量电阻时，由于零点没有调整，测得的阻值始终 偏大。 3、由于仪表放置的位置问题，使观测人员只能从一个非正常角 度对指针式仪表读数，由此产生的读数误差。 4、由于仪表刻度（数值）不清楚，使用人员读错数据造成的误 差。 5、用热电偶测量温度，由于导线电阻引起的测量误差。 6、要求垂直安装的仪表，没有按照规定安装造成的测量误差。
b a c e d
t
曲线a是恒定系统误差 曲线b是线性变化系统误差 曲线c是非线性变化系统误差 曲线d是周期性变化系统误差 曲线e是复杂规律变化系统误差
再现性 --- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证 --- 原因和规律 --- 减少/消除
系统误差是有规律性的，因此可以 通过实验的方法或引入修正值的方 法计算修正，也可以重新调整测量 仪表的有关部件予以消除。
改变测量条件（如方向）--- 两次测量结果的误差符号相反 --- 平均值消除带有间隙特性的定值系统误差 例：千分尺 --- 空行程（刻度变化，量杆不动）--- 系统误差 正反两个方向对准标志线——不含系统误差－a， 空程引起误差－ε 顺时针 ---
d = a+ε
逆时针 --- d ' = a − ε 正确值 --- a = ( d + d ' ) / 2
第二章 测量误差的分析与处理
第一节 测量误差的概念
实验结果 --- 实验数据 --- 与其理论期望值不完全相同
1、测量误差的产生原因 （1）检测系统误差 （2）环境误差 （3）方法误差 （4）人员误差
2、测量误差的分类

第二章 误差理论及应用

第二章 误差理论及应用

第二章误差理论及应用第一节误差的来源与分类一、误差的来源与误差的概念每一参数的测量都是由测试人员使用一定的仪器，在一定的环境条件下按照一定的测量方法和程序进行的。

尽管被测参数在一定的条件下具有客观存在的确定的真值，但由于受到人们的观察能力、测量仪器、测量方法、环境条件等因素的影响，实际上其真值是无法得到的。

所得到的测量值只能是接近于真值的近似值，其接近于真值的程度与所选择的测量方法、所使用的仪器、所处的环境条件以及测试人员的水平有关。

测量值与真值之差称为误差。

在任何测量中都存在误差，这是绝对的，不可避免的。

当对某一参数进行多次测量时，尽管所有的条件都相同，而所得到的测量结果却往往并不完全相同，这一事实表明了误差的存在。

但也有这样的情况，当对某一参数进行多次测量时，所得测量结果均为同一数值。

这并不能认为不存在测量误差，可能因所使用的测量仪器的灵敏度太低，以致没有反映出应有的测量误差。

实际上，误差仍然是存在的。

由于在任何测量中，误差都是不可避免地存在着，因此对所得到的每一测量结果必须指出其误差范围，否则该测量结果就无价值。

测量误差分析就是研究在测量中所产生误差的大小、性质及产生的原因，以便对测量精度作出评价。

二、测量误差的分类在测量过程中产生误差的因素是多种多样的，如果按照这些因素的出现规律以及它们对测量结果的影响程度来区分，可将测量误差分为三类。

1．系统误差在测量过程中，出现某些规律性的以及影响程度由确定的因素所引起的误差，称为系统误差。

由于可以确知这些因素的出现规律，从而可以对它们加以控制，或者根据它们的影响程度对测量结果加以修正，因此在测量中有可能消除系统误差。

在正确的测量结果中不应包含系统误差。

2．随机(偶然)误差随机误差是由许多未知的或微小的因素综合影响的结果。

这些因素出现与否以及它们的影响程度都是难以确定的。

随机误差在数值上有时大、有时小，有时正、有时负，其产生的原因一般不详，所以无法在测量过程中加以控制和排除，即随机误差必然存在于测量结果之中，但在等精度(用同一仪器、按同一方法、由同一观测者进行测量)条件下，对同一测量参数作多次测量，若测量次数足够多，则可发现随机误差完全服从统计规律。

误差理论及数据处理

误差理论及数据处理
205.30
204.94 205.63
205.71
204.7 204.86
1.修正值不要考虑了 2.算术平均值 3.计算残差
205.24
206.65 204.97 205.36 205.16
205.35
205.21 205.19 205.21 205.32
x 205.30V
vi xi x
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
i 1 n
i 1
i
i
i 1 2
i
n
B
n xi yi xi yi
i 1 i 1 i 1
n( x ) ( xi )
i 1 2 i i 1
n
n
2
A 2, B 1
第二章 测量误差理论与数据处理
2、 曲线拟合
y 2.66 0.422 x
第二章 测量误差理论与数据处理
曲线拟合例题2
[例] 已知
x y xj yj 0 100 1 223 2 497 3 1104 4 2460 5 5490
1）绘y_x曲线（a） 2)初步估计：y=ax2+b 3) 变换： y’=ax’+b (y’=y, x’=x2)
i 1 i 1 i 1 i 1 n
n
n
n
第二章 测量误差理论与数据处理
直线拟合（续）
求极值（求偏导数） n A, B [2( yi A Bxi )] 0 A i 1 n A, B [2 xi ( yi A Bxi )] 0 B i 1 求解方程
2000
1000
0
0
5
10
15
20

《误差理论与数据处理》习题2及解答

《误差理论与数据处理》习题2及解答
试写出测量结果。③若手头无该仪器测量的标准差值的资料，试由②中 10 次重复测量的 测量值，写出上述①、②的测量结果。 【解】① 单次测量的极限误差以 3σ计算，δlimx=3σ=3×0.5=1.5(μm)=0.0015 (mm) 所以测量结果可表示为：26.2025±0.0015
(mm)
② 重复测量 10 次，计算其算术平均值为： x = 26.2025(mm). 取与①相同的置信度，则测量结果为：26.2025±3σ= 26.2025±0.0015 (mm). ③ 若无该仪器测量的标准差资料，则依 10 次重复测量数据计算标准差和表示测量结 果。选参考值 x0 = 26.202，计算差值 ∆x i = x i − 26.202 、 ∆ x 0 和残差ν i 等列于表中。 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 号
∑ν
i =1
i
n( n − 1)
= 1.253
0.0008 5× 4
= 0.000224 （mm）
σx =
σ
n
=
0.000255 5
= 0.000114 ； σ x =
'
σ'
n
=
0.000224 5
= 0.0001
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
∆ x0 = 1 10 ∑ ∆xi = 0.0005 10 i =1
νi
0 +0.0003 +0.0003 0 +0.0001 -0.0003 -0.0002 0 +0.0001 -0.0003
ν i2
0 9×10 9×10 0 1×10

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

误差理论与平差基础-第2章 误差分布与精度指标

一、偶然误差特性
1、偶然误差
f ()
1 1 1 2
f ( )
1 1 exp 2 ( ) 2 2 2
2 2

参数 和 2 分别是随机误差 的数学期望和方差。它们 确定了正态分布曲线的形状。
1 n i 0 对于随机误差： E () lim n n i 1
三、精度估计的标准
中误差、平均误差和或然误差都可以作为衡量精
度的指标，但由于：
中误差具有明确的几何意义（误差分布曲线的拐点
坐标）
平均误差和或然误差都与中误差存在理论关系
所以，世界上各国都采用中误差作为衡量精度的指
标，我国也统一采用中误差作为衡量精度的指标。
三、精度估计的标准
4、容许误差（极限误差）
定义：由偶然误差的特性可知，在一定的观测条件下，偶然误 差的绝对值不会超过一定的限值。这个限值就是容许（ 极限）误差。
P(| | ) 68.3% P(| | 2 ) 95.5% P(| | 3 ) 99.7%
测量中通常取2倍或3倍中误差作为偶然误差的容许误差；
即Δ容=2m 或Δ容=3m 。
m1 m2，说明第一组的精度高于第二组的精度。
说明：中误差越小，观测精度越高
三、精度估计的标准
2、平均误差
在一定的观测条件下，一组独立的真误差绝对值的数学 期望称为平均误差。 [| |] E (| |) lim n n
4 0.7979 5
三、精度估计的标准
1、中误差
解：第一组观测值的中误差：
0 2 2 2 12 (3) 2 4 2 32 (2) 2 (1) 2 2 2 (4) 2 m1 2.5 10

检测技术 第二章：误差分析与数据处理

检测技术 第二章：误差分析与数据处理

可以得到精确的测量结果，否则还可能损坏仪器、设备、元器件等。
2．理论误差 理论误差是由于测量理论本身不够完善而采用近似公式或近似值计算测量 结果时所引起的误差。例如，传感器输入输出特性为非线性但简化为线性 特性，传感器内阻大而转换电路输入阻抗不够高，或是处理时采用略去高 次项的近似经验公式，以及简化的电路模 型等都会产生理论误差。
误差，周期性系统误差和按复杂规律变化的系统误差。如图2.1所示，其中1为定值系差，2 为
线性系统误差，3为周期系统误差，4为按复杂规律变化的系统误差。 系统误差的来源包括仪表制造、安装或使用方法不正确，
测量设备的基本误差、读数方法不正确以及环境误差等。
系统误差是一种有规律的误差，故可以通过理论分析采 用修正值或补偿校正等方法来减小或消除。
•理论真值又称为绝对真值，是指在严格的条件下，根据一定的理论，按定义确定的数值。 例如三角形的内角和恒为180°一般情况下，理论真值是未知的。 •约定真值是指用约定的办法确定的最高基准值，就给定的目的而言它被认为充分接近于 真值，因而可以代替真值来使用。如：基准米定义为“光在真空中1/299792458s的时间 间隔内行程的长度”。测量中，修正过的算术平均值也可作为约定真值。
表等级为0.2级。
r＝
0.12 100% 100% 0.12 A 100
在选仪表时,为什么应根据被测值的大小,在满足被测量数值范围的前提下,尽可能 选择量程小的仪表，并使测量值大于所选仪表满刻度的三分之二。在满足使用 要求时，满量程要有余量，一般余量三分之一，为了装拆被测工件方便。 （同一精度，量程越大，误差越大，故量程要小，但留余量）
第二章 误差分析与数据处理
三．测量误差的来源
1．方法误差 方法误差是指由于测量方法不合理所引起的误差。如用电压表测量电压时，

误差理论与数据处理-第二章.part2

误差理论与数据处理-第二章.part2

第15页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值的实验标准差与测量次数n的平方根成反比，因此要减小随机 因素的影响，可适当增加测量次数；但是，当n大于10以后，其减小已很 缓慢；此外，由于测量次数越大，恒定的测量条件越难以保证，以致引起 新的误差。因此一般情况下，取10≤n≤ 15的测量次数为宜。
第16页 页
n
n
（2－8）
n
而 δx =
∑δ
i =1
i
n
∑δi 2 ，nδ x＝n i =1 n
n
∑ δ i2 + 21∑j δ iδ j ≤i< = i =1 n
n
2
第7页 页
单次测量的实验标准[ 单次测量的实验标准[偏]差
当n适当大时，可认为
n
1≤ i < j
需进一步研究的问题： 需进一步研究的问题： 我们已可求出单次测量的实验标准偏差σs，那么，多个 测值的算术平均值的实验标准差又怎样计算？
第13页 页
算术平均值的实验标准差
算术平均值：
l1 + l2 + ⋯ + ln ∑ x= = i =1 n n
δ x = x − l0
n
li
算术平均值的误差：
---算 ( δ x ---算术平均值的真误差） ( l0 ---真值 ---真 ）
第9页 页
实例
用游标卡尺测某一尺寸10次 数据见表（ 用游标卡尺测某一尺寸10次，数据见表（设无系统和粗大 10 误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。 ），求算术平均值及单次测值的实验标准差 误差），求算术平均值及单次测值的实验标准差。
测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 序 li/mm 75.01 75.04 75.07 75.00 75.03 75.09 75.06 75.02 75.05 75.08 vi/mm -0.035 -0.005 +0.025 -0.045 -0.015 +0.045 +0.015 -0.025 +0.005 +0.035 vi2/mm2 0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225

测绘技术中的误差理论与误差处理方法

测绘技术中的误差理论与误差处理方法

测绘技术中的误差理论与误差处理方法测绘技术在现代社会中扮演着重要的角色，它不仅用于地理信息系统（GIS）和导航系统等应用领域，还在建筑、交通、能源等各个领域发挥着重要作用。

然而，由于测量仪器、测量环境以及人为因素等的存在，测绘过程中难免会产生误差。

因此，误差理论与误差处理方法成为测绘过程中不可或缺的研究内容。

首先，我们需要了解误差理论的基本概念。

误差是指测量结果与真实值之间的差异。

在测绘领域，误差可以分为随机误差和系统误差两种类型。

随机误差是指由各种不确定因素引起的误差，它们的出现是无规律的。

而系统误差则是由于测量过程中的某些因素引起的、对测量结果产生一定影响的偏差。

误差理论的目标就是通过对误差进行分析和控制，提高测量结果的可靠性和准确性。

在误差处理方法方面，有许多经典的理论和算法可以应用。

其中一个重要的方法是最小二乘法。

最小二乘法根据测量数据和误差模型，寻求一个最佳的解，使得误差的平方和最小化。

通过最小二乘法可以估计出真实值和误差的大小，并通过适当的处理方法对测量结果进行修正。

此外，方差分析也是测绘技术中常用的误差处理方法之一。

方差分析是一种统计学方法，用于研究不同因素对测量结果的影响程度。

通过对测量数据进行方差分析，可以找出主要的误差来源，从而采取相应的措施进行调整和校正。

此外，现代测绘技术中还广泛应用了卡尔曼滤波算法。

卡尔曼滤波算法是一种基于状态空间模型的递推算法，通过对系统状态进行估计和预测，来最优化地处理误差。

卡尔曼滤波算法不仅适用于静态的数据处理，还可以应用于动态的测量过程中，对数据进行实时滤波和校正。

除了上述方法，校正平差以及数据融合技术也是误差处理的重要手段。

校正平差是指通过对测量数据进行整体的把控和调整，使得误差能够得到修正和补偿。

而数据融合技术则是指将多源数据进行组合和整合，以提高测量结果的精度和可靠性。

总结来说，误差理论与误差处理方法在测绘技术中起到至关重要的作用。

通过对误差进行分析和理解，我们可以提高测量结果的可靠性和准确性，并为各行各业提供更加精确和可靠的数据支持。

误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点

误差理论与数据处理第二章误差的基本性质与处理考试重点

1、随机误差产生的原因（装环人）2、随机误差具有统计规律性对称性：绝对值相等的正误差和负误差出现的次数相等。

单峰性：绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多有界性：在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。

抵偿性：随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零。

3、算术平均值非X=X1+X2+...+XiVi(残余误差)=Xi-非X4、标准差（1）单次测量的标准差（δi）标准差=根号下（δi平方和/n）标准差的估计值=根号下（Vi平方和/n-1）（贝塞尔公式）评定单次测量不可靠的参数或然误差p=2/3标准差的估计值平均误差θ=4/5标准差的估计值（2）算术平均值的标准差标准差非x=标准差/根号下n或然误差R=2/3算术平均值标准差非x平均误差T=4/5标准差非x5、极差法Wn=Xmax-Xmino=Wn/dn6、最大误差法真值可代替o=|δi|/Kn真值未知o=|Vi|/Kn'7、权的确定方法:按测量的次数确定权8、单位权化的实质是使任何一个量值乘以自身权数的平方根，得到新的量值权数为1。

9、系统误差产生的原因（装环方人）10、系统误差的特征（服从某一确定规律变化的误差）不变的系统误差线性变化的系统误差周期性变化的系统误差复杂规律变化的系统误差11、系统误差的发现方法实验对比法残余误差观察法残余误差校核法不同公式计算标准差比较法计算数据比较法秩和检验法t检验法12、系统误差的减小和消除（1）从产生误差的根源上消除系统误差（2）用修正方法消除系统误差（3）不变系统误差消除法（代替法抵消法交换法）（4）线性系统误差消除法（对称法）（5）周期性系统误差消除法（半周期法）13、粗大误差产生的原因测量人员的主观原因客观外界条件的原因14、防止与消除粗大误差的方法（1）设法从测量结果中发现和鉴别而加以剔除（2）加强测量者的工作责任心和以严格的科学态度对待测量工作（3）保证测量条件的稳定（4）采用不等精度测量方法（5）互相之间进行校核的方法15、判别粗大误差的准则3o准则（莱以特准则）罗曼诺夫斯基准则格罗布斯准则狄克松准则计算题测量某电路电流共5次，测得数据（单位位mA）为168.41 168.54 168.59 168.40 168.50 试求算术平均值及标准差或然误差和平均误差。

误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1

误差理论与数据处理-第二章.part4+第三章.part1
第9页 页
异常值判断准则
特点：
3σ准则比较保守，因为在测量次数有限时，出现在靠近±3σs界 限处的数据极少，除非有较大的粗大误差，否则|v|＞3σs而导致 数据被剔除的可能性很小。
在测量次数小于10次时， 3σ准则失效。为什么？
3σ准则只宜用于重复测量次数较多（有的资料推荐测量次数n>50） 的重要测量中。
′ ′ ′ ′ 以上的r10，r10，r11，r11，r21，r21，r22，r22，分别简记为rij，rij′，
第15页 页
异常值判断准则
,n)， 选定显著性水平α，查表得D(α ,n)， 选取计算出的rij 、rij′ 中的数值大者， 即： 若rij > rij′ , 则选rij， 若rij > D(α , n)， 则x′ 为异常值， n 若rij < rij′ , 则选rij′， 若rij′ > D(α , n), 否则判断为 没有异常值。 则 x′ 为 异 常 值 ， 1
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx 2 + ⋯ + dx n ∂x n ∂x1 ∂x 2
第24页 页
2.函数误差的计算 ——a.已定系统误差 函数误差的计算 已定系统误差
计算公式（续）
若已知各个直接测量值的系统误差 可近似得到函数的系统误差为：
∆x1 , ∆x2 , ⋯ , ∆xn
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x 2 + ⋯ + ∆x n ∂x1 ∂x 2 ∂x n
第20页 页
引子
圆柱体体积V的测量
用千分尺直接测量圆柱体的直径d和高度h（d和h的基本尺寸均为 10mm）各6次，测得值列于下表，求圆柱体体积V，并给出最后测 量结果。 直径d (mm) 高度h (mm) 10.085 10.105 10.085 10.115 10.090 10.115 10.080 10.110 10.085 10.110 10.080 10.105

误差理论第二章系统误差处理

误差理论第二章系统误差处理
1
②线形变化的系统误差
即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
令变量t x y
nxny nx ny 2
,
nx ny
nx
2 x
ny
2 y
其中，x 1 nx
1 xi , y ny
yi
,
2 x
1 nx
xi
x
2
,
2 y
1 ny
2
yi y ,
取显著度，自由度nx ny 2，由t分布表查P t t 中的t，
若 t t ,则认为两组间无系统误差。
注：作 图比较！
4
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差
将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减，
差值Δ：
k
n
vi vi
i 1
ik 1
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。
其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。
2
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。

《误差理论与数据处理》习题2及解答

《误差理论与数据处理》习题2及解答

= 1.253 0.0008 = 0.000224 （mm）
n(n − 1)
5×4
④求算术平均值的标准差
σ = σ = 0.000255 = 0.000114 ；σ ' = σ ' = 0.000224 = 0.0001
x
n
5
x
n
5
⑤求单次测量的极限误差和算术平均值的极限误差 因假设测量值服从正态分布，并且置信概率 P=2Φ(t)=99%，则Φ(t)=0.495，查附录
0 1×10-8 9×10-8 4×10-8
0 1×10-8 9×10-8
10
∑ν
2 i
=
42 ×10−8
i =1
5
算术平均值的标准差：σ = σ = 0.00022 = 0.00007 (mm).
（3） 最大误差法计算
8 个测量数据的最大残差为： ν i max = ν 4 = 0.09 查教材P19 表 2-5，n=8 时，1/K’n＝0.61
σ = ν i max = 0.09 × 0.61 = 0.0549 ( g ) Kn'
2-4. 测量某电路电流共 5 次，测得数据（单位为 mA）为 168.41，168.54，168.59，168.40， 168.50，试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。
【解】①选参考值 x0 = 168.5 ，计算差值 ∆xi = xi −168.5 、 ∆x0 和残差ν i 等列于表中。
序号
1 2 3 4 5
xi
Δx i
168.41 168.54 168.59 168.40 168.50
x = x0 + ∆x 0 = 168.488
-0.09 0.04 0.09 -0.10

误差理论与数据处理第二章

误差理论与数据处理第二章

vi2 (mm)
0.001225 0.000025 0.000625 0.002025 0.000225 0.002025 0.000225 0.000625 0.000025 0.001225
x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
0.250 1.253 mm 0.0330mm 1010 1
11 i
v l
i 1
11x 22000.74mm 22000.737mm 0.003mm
规则２：
n 11 0.5 0.5 5, A 0.001mm 2 2 11 n v 0 . 003 mm 0 . 5 A 0.005mm i 2 i 1
x
l (l
i 1 i
n
n
n

i 1
o
li )
n

l nl
i 1 i
n
o
n
l0
l
i 1
n
i
n
l0 x 0
三、算术平均值
例 2-1 测量某物理量10次，得到结果见表，求
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
理论值
x
vi
0 +0.05 -0.04 +0.05 -0.07 -0.02 0 +0.01 0 +0.01
vi n(n 1)
四、测量标准差（方均根误差）
表 23
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
li (mm)

误差理论与数据处理

误差理论与数据处理

第2章 误差的基本性质与处理
第一节 随机误差
一、随机误差产生的原因
当对同一测量值进行多次等精度的重复测量时，得到一 系列不同的测量值（常称为测量列），每个测量值都含有 误差，这些误差的出现没有确定的规律，即前一个数据出 现后，不能预测下一个数据的大小和方向。但就误差整体 而言，却明显具有某种统计规律。 随机误差是由很多暂时未能掌握或不便掌握的微小因 素构成，主要有以下几方面： ① 测量装置方面的因素 零部件变形及其不稳定 ② 环境方面的因素 ③ 人为方面的因素
测量环 境误差
测量方 法误差
测量人 员误差
测量设备误差
以固定形式复现标准量值的器具， 如标准电阻、标准量块、标准砝 码等等，他们本身体现的量值， 不可避免地存在误差。一般要求 标准器件的误差占总误差的 1/3～1/10。 测量装置在制造过程中由于设计、制 造、装配、检定等的不完善，以及在 使用过程中，由于元器件的老化、机 械部件磨损和疲劳等因素而使设备所 产生的误差。 测量仪器所 带附件和附 属工具所带 来的误差。
−∞ +∞
(2-4) (2-5)
其平均误差为： ρ 此外由 ∫− ρ f ( δ ) d δ
θ =

∫
+∞
−∞
| δ | f (δ ) d δ ≈
=
1 2
4 σ 5
(2-6)
2 σ 3
可解得或然误差为 ：
ρ = 0 . 6745 σ ≈
(2-7)
由式（2-2）可以推导出： ① 有 f ( ± δ ) > 0 , f (+δ ) = f (−δ ) 可推知分布具有对称性，即绝对值相 等的正误差与负误差出现的次数相等，这称为误差的对称性； ② 当δ=0时有 f max (δ ) = f (0) ，即 f (±δ ) < f (0) ，可推知单峰性，即绝对值 小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，这称为误差的单峰性； ③ 虽然函数 f (δ ) 的存在区间是[-∞,+∞]，但实际上，随机误差δ只 是出现在一个有限的区间内，即[-kσ,+kσ],称为误差的有界性； n ④ 随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋向于零： → ∞ lim n 这称为误差的补偿性。

分析化学误差部分总结

分析化学误差部分总结

分析化学（第六版）总结第二章 误差和分析数据处理第一节 误差定量分析中的误差就其来源和性质的不同, 可分为系统误差、偶然误差和过失误差。

一、系统误差定义: 由于某种确定的原因引起的误差, 也称可测误差特点：①重现性, ②单向性, ③可测性（大小成比例或基本恒定）分类：1. 方法误差: 由于不适当的实验设计或所选方法不恰当所引起。

2. 仪器误差.由于仪器未经校准或有缺陷所引起。

3. 试剂误差.试剂变质失效或杂质超标等不合.所引起4. 操作误差.分析者的习惯性操作与正确操作有一定差异所引起.操作误差与操作过失引起的误差是不同的。

二、偶然误差定义: 由一些不确定的偶然原因所引起的误差, 也叫随机误差.偶然误差的出现服从统计规律, 呈正态分布。

特点：①随机性（单次）②大小相等的正负误差出现的机会相等。

③小误差出现的机会多, 大误差出现的机会少。

三、过失误差1.过失误差: 由于操作人员粗心大意、过度疲劳、精神不集中等引起的。

其表现是出现离群值或异常值。

a) 2.过失误差的判断——离群值的舍弃在重复多次测试时, 常会发现某一数据与平均值的偏差大于其他所有数据, 这在统计学上称为离群值或异常值。

离群值的取舍问题, 实质上就是在不知情的情况下, 区别两种性质不同的偶然误差和过失误差。

离群值的检验方法:（1）Q 检验法：该方法计算简单, 但有时欠准确。

设有n 个数据, 其递增的顺序为x1,x2,…,xn-1,xn, 其中x1或xn 可能为离群值。

当测量数据不多（n=3~10）时, 其Q 的定义为1） 具体检验步骤是:2） 将各数据按递增顺序排列；2）计算最大值与最小值之差；3）计算离群值与相邻值之差； 计算Q 值；5）根据测定次数和要求的置信度, 查表得到Q 表值；6）若Q >Q 表, 则舍去可疑值, 否则应保留。

该方法计算简单, 但有时欠准确。

（2）G 检验法：该方法计算较复杂, 但比较准确。

具体检验步骤是: 1）计算包括离群值在内的测定平均值；2）计算离群值与平均值 之差的绝对值3）计算包括离群值在内的标准偏差S4）计算G 值。

第二章 误差及数据处理

第二章 误差及数据处理

第二章误差及数据处理§1 误差概述一、误差的来源1.测定值分析过程是通过测定被测物的某些物理量，并依此计算欲测组分的含量来完成定量任务的，所有这些实际测定的数值及依此计算得到的数值均为测定值。

2.真实值 true value真实值是被测物质中某一欲测组分含量客观存在的数值。

在实验中，由于应用的仪器，分析方法，样品处理，分析人员的观察能力以及测定程序都不十全十美，所以测定得到的数据均为测定值，而并非真实值。

真实值是客观存在的，但在实际中却难以测得。

真值一般分为：<1>理论真值：三角形内角和等于1800。

<2>约定真值：统一单位（m.k g,.s）和导出单位、辅助单位。

1）时， <3>相对真值：高一级的标准器的误差为低一级标准器的误差的51（31~20则认为前者为后者的相对真值。

思考：滴定管与量筒、天平与台称3.误差的来源真值是不可测的，测定值与真实值之差称为误差。

在定量分析中，误差主要来源于以下六个方面：<1> 分析方法由于任何一种分析方法都仅是在一定程度上反映欲测体系的真实性。

因此，对于一个样品来说，采用不同的分析方法常常得到不同的分析结果。

实验中，当我们采用不同手段对同一样品进行同一项目测定时，经常得到不同的结果，说明分析方法和操作均会引起误差。

例如：在酸碱滴定中，选用不同的指示剂会得到不同的结果，这是因为每一种指示剂都有着特定的pH变化范围，反应的变色点与酸、碱的化学计量点有或多或少的差距。

另外在样品处理过程中，由于浸取、消化、沉淀、萃取、交换等操作过程，不能全部回收欲测物质或引入其他杂质，对测定结果也会引入误差。

<2> 仪器设备由于仪器设备的结构，所用的仪表及标准量器等引起的误差称为仪器设备误差。

如：天平两臂不等、仪表指示有误差、砝码锈蚀、容量瓶刻度不准等。

<3> 试剂误差试剂中常含有一定的杂质或由贮存不当给定量分析引入不易发现的误差。

第二章 误差的基本性质与处理

第二章 误差的基本性质与处理

x 75.045mm
v
i 1
10
i
0
v
i 1
10
2 i
0.00825mm 2
解：计算得到的值分别填于表中，因此有
0.250 mm 0.0330mm 1010 1 0.250 z 1.253 mm 0.0104mm 10 10 1
1.253


4 5
f ( ) d
1 2
可解得或然误差为 ：
2 3
0.6745
第一节 随机误差
图2-1为正态分布曲线以及各精度参数在图中的 坐标。σ（标准差）值为曲线上拐点A的横坐标，θ （平均误差）值为曲线右半部面积重心B的横坐标， ρ（或然误差）值的横坐标线则平分曲线右半部面积。
x

n
第一节 随机误差
x
n
当n愈大，算术平均值越接近被测量的 真值，测量精度也愈高。
由图可知, x 的减小很 σ一定时，当n>10以后， 慢。因此一般情况下取n=10以内较为适宜。
第一节 随机误差
例2-4 用游标卡尺对某一尺寸测量10次，假定 已消除系统误差和粗大误差，得到数据如下(单位为 mm)：75.01，75.04，75.07，75.00，75.03，75.09， 75.06，75.02，75.08 。求算术平均值及其标准差。 解：本例题中的测量数据与表2-3中的测量数据一样， 表中的算术平均值为: n
第一节 随机误差
符合正态分布的随机误差分布密度如式（2-2） 所示。 1 2 /( 2 2 ) f ( ) e 2 由此式可知：σ值越小，e的指数绝对值越大， 因而f(δ)减小的越快即曲线变陡。而σ越小，在e 前边的系数变大，即对应于误差为零（δ=0）的纵 坐标也大，即对应零误差的纵坐标也大，曲线变高。 如图2-2所示。

误差理论与数据处理知识总结

误差理论与数据处理知识总结

第一章绪论1.1研究误差的意义1.1.1研究误差的意义为：1）正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差2）正确处理测量和试验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据3）正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。

1.2误差的基本概念1.2.1误差的定义：误差是测得值与被测量的真值之间的差。

1.2.2绝对误差：某量值的测得值之差。

1.2.3相对误差：绝对误差与被测量的真值之比值。

1.2.4引用误差：以仪器仪表某一刻度点的示值误差为分子，以测量范围上限值或全量程为分母，所得比值为引用误差。

1.2.5误差来源：1）测量装置误差 2）环境误差 3）方法误差 4）人员误差1.2.6误差分类：按照误差的特点，误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差三类。

1.2.7系统误差：在同一条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号保持不变，或在条件改变时，按一定规律变化的误差为系统误差。

1.2.8随机误差：在同一测量条件下，多次测量同一量值时，绝对值和符号以不可预定方式变化的误差称为随机误差。

1.2.9粗大误差：超出在规定条件下预期的误差称为粗大误差。

1.3精度1.3.1精度：反映测量结果与真值接近程度的量，成为精度。

1.3.2精度可分为：1）准确度：反映测量结果中系统误差的影响程度2）精密度：反映测量结果中随机误差的影响程度3）精确度：反映测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度，其定量特征可用测量的不确定度来表示。

1.4有效数字与数据运算1.4.1有效数字：含有误差的任何近似数，如果其绝对误差界是最末位数的半个单位，那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字，称为第一位有效数字。

从第一位有效数字起到最末一位数字止的所有数字，不论是零或非零的数字，都叫有效数字。

1.4.2测量结果应保留的位数原则是：其最末一位数字是不可靠的，而倒数第二位数字应是可靠的。

《误差理论与数据处理》答案

《误差理论与数据处理》答案

《误差理论与数据处理》第一章 绪论1—1．研究误差的意义是什么?简述误差理论的主要内容.答： 研究误差的意义为：（1）正确认识误差的性质,分析误差产生的原因，以消除或减小误差;(2）正确处理测量和实验数据,合理计算所得结果,以便在一定条件下得到更接近于真值的数据；（3）正确组织实验过程,合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下,得到理想的结果。

误差理论的主要内容:误差定义、误差来源及误差分类等. 1-2．试述测量误差的定义及分类,不同种类误差的特点是什么？答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。

系统误差的特点是在所处测量条件下,误差的绝对值和符号保持恒定,或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）；随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。

1—3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同,并举例说明。

答：（1）误差的绝对值都是正数,只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了"，只是差别量;绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。

+多少表明大了多少，-多少表示小了多少. （2）就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”，试求测量的绝对误差和相对误差 解：绝对误差等于： 相对误差等于:1—6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？解: 绝对误差＝测得值－真值，即: △L ＝L －L 0 已知:L ＝50，△L ＝1μm ＝0。

001mm ，测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0。

001＝49.999(mm ）1—7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100。

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③测量方法的因素：采用近似的测量方法或近似的计算公式等引起的 误差。 ④测量人员方面的因素：由于测量人员在刻度上估计读数时，习惯偏 于某一方向；记录动态信号有滞后的倾向。
二、系统误差的特点
是在同一条件下，多次测量同一量值时，误差的绝对值和符号保持不 变，或者在条件改变时，误差按一定规律变化。可见，多次重复测量 同一量值时，系统误差不具有抵偿性，因此，系统误差即是服从某一 确定规律变化的误差。 常见的有：
11
（四）线性系统误差消除法——对称法
对称法是消除线性系统误差的有效方法。随着时间的变化，被测量 作线性增加，若选定某时刻为中点，则对称此点的系统误差算术平 均值皆相等，即： L1 L5 L2 L4 L3 2 2 因此，可将测量对称安排，取各对称点两次读数的算术平均值作为 测得值，即可消除线性系统误差。
四、系统误差的减少和消除
（一）从产生误差根源上消除系统误差
这是最根本的方法，要求测量人员对测量过程中可能产生的系统误 差的环节作仔细分析，并在测量前就将误差从根源上加以消除。
（二）用修正方法消除系统误差
即预先将测量器具的系统误差检定出来或计算出来，做出误差表或 误差曲线，然后取与误差数值大小相同而符号相反的值作为修正值， 将实际测得值加上相应的修正值，就可得到不包含该项系统误差的 10 测量结果。
（三）不变系统误差消除法
①代替法 在测量装置上对被测量测量后不改变测量条件，立即用一个标准量 代替被测量，放到测量装置上再次测量，得出被测量与标准量的差 值，即被测量=标准量+差值。 ②抵消法 进行两次测量，以便从两次读数时出现的系统误差大小相等、符号 相反，取两次测得值的平均值，作为测量结果，即可消除系统误差。 ③交换法 根据误差产生原因，将某些条件交换，以消除系统误差。（如在天 平上称量物体，用交换法，可消除因左右臂不等而带来的系统误差）
4
①若残余误差大体上正负相同，且无显著变化规律，则无根据怀 疑存在系统误差。 ②若残余误差数值有规律地递增或递减，且在开始与结束时误差 符号相反，则存在线性系统误差。
③若残余误差符号有规律地逐渐由负到正，且循环交替重复变化， 则存在周期性系统误差。
④若残余误差出现4图中的变化规律，则可能同时存在线性系统误 差和周期性系统误差。
12
x1 , 1 ; x2 , 2 ;
; xm , m . 若任意两组结果之差为:= xi x j , 其标
准差为: = i2 2 j , 则任意两组结果 xi 与x j间不存在系统误差 的标志是: xi x j 2 i2 2 j
7
（六）秩和检验法（组间）
2 v i i 1 n
对等精度测量列,按贝塞尔公式 1
n 1 ,
,
按别捷尔斯公式 2 1.253 令
v
i 1
n
1
n n 1
2 2 1 u, 若 u , 则认为测量列中存在系统误差. 1 n 1
（五）计算数据比较法（组间）
对同一量独立测得m组结果，并知它们的算术平均值和标准差为：
①不变的系统误差
即在整个测量过程中，误差符号和大小固定不变。如某量快的公称尺 寸为10mm，实际尺寸为10.001mm，则按公称尺寸使用，始终 存在-0.001mm的系统误差。(例盘秤）
2
②线形变化的系统误差 即在测量过程中，误差值随测量值或时间的变化成比例地增大或减小。 如刻度值为1mm的标准刻尺，由于有刻划误差δ，每一刻度实际间 距为（1+δ/mm)mm，当用它与另一长度比较，得到比值为K， 则被测长度的实际值为：L=K（1+δ/mm)mm，但读数值为 Kmm，这就产生随测量值变化的线形系统误差-Kδ。（如杆秤） ③周期变化的系统误差
注：作 图比较！
5
（三）残余误差校核法
①用于发现线性系统误差 将测量列中前k个残余误差相加，后n-k个残余误差相加。两者相减， k n 差值Δ ：
vi
i 1
i k 1
v
i
若Δ显著不为0，则认为测量列可能存在线性系统误差。 其中，当n为偶数时，k=n/2；当n为奇数时，k=(n+1)/2。该 校核法称为马科夫准则。它能有效地发现线性系统误差，但不能发 现不变的系统误差。 ②用于发现周期性系统误差
在整个测量过程中，误差随被测值或时间的变化，是按周期性规律变 化的。如仪表指针的回转中心与刻度盘中心有偏心e，则指针在任一 转角φ引起的读数误差为ΔL=esinφ。
④复杂规律变化的系统误差 在整个测量过程中，误差是按确定的且复杂的规律变化的。如微安表 的指针偏转角与偏转力矩不能保证严格的线形关系，但表盘仍采用均 匀刻度所产生的误差。
若一等精度测量列，按先后顺序将残余误差排列 v
1
, v2 ,
, vn
若令:U
vivi1 v1v2 v2v3
i 1
n 1
vn1vn n 1 2时,
则认为该测量列中含有周期性系统误差。称为阿卑-赫梅特准则，它能 6 有效地发现周期性系统误差。
（四）不同公式计算标准差比较法
§2-2 系统误差
实际上测量结果的精度，不仅取决于随机误差，还取决于系统误差的影 响。由于系统误差是和随机误差同时存在测量数据之中，且不易发现， 多次重复测量不能减少它对测量结果的影响，这种潜伏性使系统误差比 随机误差更具危险性。因此要研究其规律，寻找减小或消除其影响的方 法就很重要。
一、系统误差的产生原因
（五）周期性系统误差消除法——半周期法
对周期性误差，可以相隔半个周期进行两次测量，取两次读数平均 值，即可有效地消除周期性系统误差。如：
周期性系统误差为:L a sin 在 1时, L1 a sin 1 ; 在 1 + 时, L2 a sin 1 a sin 1 L1 ; 取两次读数平均值 L1 L2 L1 L1 0 2 2
是由固定不变的或按确定规律变化的因素所造成的。 ①测量装置方面的因素：仪器机构设计原理上的缺陷，如齿轮杠杆测微 仪的直线位移与角度不成比例的误差；仪器零件制造和安装不正确，如 标尺的刻度偏差、刻度盘和指针的安装偏心、天平的臂长不等；仪器附 件制造偏差，如标准环规直径偏差等。 ②环境方面的因素：测量时实际温度对标准温度的偏差；测量过程中的 温度、湿度、气压等按一定规律变化的误差。 1
对某量进行两组独立测量， xi , i 1, 2
, nx , ny
yi , i 1, 2
将它们混合以后，按大小顺序重新排列，取测量次数较少的那一组，
数出它的测得值在混合后的次序（即秩），并相加，得到秩和T。
1 ）当两组的测量次数n1 , n2 10时，可根据秩和检验表查得T , T （显著度 为0.05)。若T_ T T时，则两组间不存在系统误差。 n1 n1 n2 1 n1n2 n1 n2 1 . 2）当n1 , n2 10时,秩和T 服从正态分布N , 2 12 n1 n1 n2 1 n1n2 n1 n2 1 即数学期望a , 标准差 ， 2 12 T a 由T a t t 选取概率 t ,由正态分布表查得t , 若 t t , 则两组间不存在系统误差。 3）若两组数据中有相同的数值，则该数据的秩按所排列的两）
当两组测得值服从正态分布时，若独立测得的两组数据为：
xi , yi ,
i 1, 2 i 1, 2
, nx , ny
令变量t x y 1 其中， x nx

n
nx n y n x n y 2
x 2 x
ny nx n y 1 yi , n x
3
三、系统误差的发现
由于系统误差通常数值较大，产生原因复杂，需根据具体测量过程和 测量仪器具体分析。 常用的用于发现系统误差的方法： （一）实验对比法 是改变产生系统误差的条件进行不同条件的测量，以发现系统误差。 适用于发现不变的系统误差。（如用工商局的电子秤与小贩的秤比对） （二）残余误差观察法 是根据测量列的各个残余误差的大小和符号的变化规律，直接由误差 数据或误差曲线图形来判断有无系统误差。主要用于发现有规律变化 的系统误差。 具体办法：根据测量先后顺序，将测量列的残余误差列表或作图进行 观察，可以判断有无系统误差。
2 x
2 y

, 1 xi x , ny
2 2 y
1 xi , y n y


y y ,
2 i
取显著度，自由度nx n y 2，由t分布表查P t t 中的t， 若 t t , 则认为两组间无系统误差。
9
上述七种方法，其中前四类（实验对比法、残余误差观察法、残余 误差校核法和不同公式计算标准差比较法）发现测量列组内有无系 统误差，而后三类（计算数据比较法、秩和检验法、t检验法）是 用于发现组间的系统误差。但通常须根据具体的测量仪器和测量过 程选取相应的方法。