导数复习资料

导数的概念及几何意义知识集结知识元导数及其几何意义知识讲解1．导数及其几何意义【知识点的知识】1、导数的定义如果函数f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称f（x）在（a，b）上可导，则可建立f （x）的导函数，简称导数，记为f′（x）；如果f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点a处的右导数和端点b处的左导数都存在，则称f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．2、导数的几何意义函数f（x）在x＝x0处的导数就是切线的斜率k．例如：函数f（x）在x0处的导数的几何意义：k切线＝f′（x0）＝．【典型例题分析】题型一：根据切线方程求斜率典例1：已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3 B．2 C．1 D．解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′＝﹣＝，解得x0＝3或x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．题型二：求切线方程典例2：已知函数其图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+1∴f（1）＝2+1＝3∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足A故选A．【解题方法点拨】（1）利用导数求曲线的切线方程．求出y＝f（x）在x0处的导数f′（x）；利用直线方程的点斜式写出切线方程为y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．（2）若函数在x＝x0处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在x＝x0处不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的导数不存在，但有切线，则切线与x轴垂直．（3）注意区分曲线在P点处的切线和曲线过P点的切线，前者P点为切点；后者P点不一定为切点，P点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，（4）显然f′（x0）＞0，切线与x轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与x轴正向的夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与x轴平行；f′（x0）不存在，切线与y轴平行．例题精讲导数及其几何意义例1.'已知函数，其中a>0．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：-3<f（x1）+f（x2）<-2．'例2.'求下列函数的导数（1）y=2x3-3x2-4；（2）y=xlnx；（3）．'例3.'已知函数f（x）=ax3-x2（a>0），x∈[0，+∞）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，1]上的最值；（2）若函数y=f'（x）的递减区间为A，试探究函数y=f（x）在区间A上的单调性．'导数的计算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲导数的计算例1.已知函数f（x）=2lnx+x，则f'（1）的值为___．例2.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=e x f′（1）+3lnx，则f′（1）=___．例3.函数f（x）=sin x+e x（e为自然对数的底数），则f′（π）的值为______。

导数一、两种形式的多项式如何求导？1．y ＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ；y ＝a (x ＋m )(x ＋n )(x ＋k )2．y ＝x ＋1x的导数是什么？（用来证明该函数的单调性）二、用导数求单调区间1．f ‘(x )＞0在区间A 上成立是函数f (x )在区间A 上单调递增的充分非必要条件；f (x )在区间A 上单调递增，可以在有限个点处导数值为0，这些点称为拐点（例如x ＝0是函数y ＝x 3的拐点）；2．求函数f (x )的单调区间，教材中使用的是f ‘(x )＞0(或f ‘(x )＜0)，应养成列表的好习惯；3．已知函数f (x )在某区间上是单调增（或减）函数，求参数的取值范围时，应分为两种情况讨论：（1）f ‘(x )＞0(或f ‘(x )＜0)，(2)对能使f ‘(x )≥0(或f ‘(x )≤0)的参数的个别值代入检验．参见2004全国文科I 卷19题三、利用导数求极值、最值1．f ‘(x 0)＝0是函数f (x )在x 0取极值的必要条件，但是非充分条件；因此利用导数求极值时，判断导函数在x 0两侧的符号（列表）不可缺少；2．极值和最值的区别是什么？极大值可以比极小值还小，你知道吗？求区间上的最大（小）值时，可以根据函数的单调性，确定极大值以及可能是最大（小）值的区间端点函数值，再比较大小；3．根据单调性证明| f (x 1)－f (x 2)|＜M 的关键是证明| f (x )max －f (x )min |＜M四、利用导数求切线1．求经过曲线上一点的(x 0，y 0)曲线的切线方程是y －y 0＝f ‘(x 0)(x －x 0)；2．求经过曲线外一点（m ，n ）曲线的切线方程关键是求曲线上的切点(x 0，y 0)，这需要两个方程，一个是：y 0＝f (x 0)，另一个是x 0－m y 0－n＝f ‘(x 0)； 切线斜率的两种形式你能选择使用吗？3．能用导数处理抛物线有关的切线问题（与数列结合）吗？五、原函数与导函数的关系讨论1．你能根据导函数的图象判别原函数的图像吗？2．如何根据导函数（二次函数）判别原函数有两个不同的极值点；。

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =及的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．2．已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,23若函数]2)('[31)(23mx f x x x g ++=在区间（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．3．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若方程恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．4．已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x-=)(，x a x x g ln )(2-=． （I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >； （II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． （I ）求实数a 的值；（II ）求函数()f x 在的最大值和最小值．7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间； （II ）求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值．8．已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238|()()|||27g x g x x x ->-恒成立．9．已知函数.1,ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f（I ）讨论函数)(x f 的单调性；（II ）证明：若.1)()(,),,0(,,521212121->--≠+∞∈<x x x f x f x x x x a 有则对任意10．已知函数21()ln ,()(1),12f x x a xg x a x a =+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数． （I ）求函数()f x 的极值；（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．12．定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围； （III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．答案1．解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） （I ）由图可知 函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=--++=03023233c d b a c b a d …………（4分）（II ）依题意3)2('-=f 且5)2(=f⎩⎨⎧=+--+-=--+534648323412b a b a b a b a解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分） （III ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为：()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个不等实根，即：()m x x x x g -+-=8723及x 轴有三个交点； 42381432--=+-='x x x x x g()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,276832． …………（10分）当且仅当()01640276832<--=>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时，有三个交点， 故而，为所求． …………（12分） 2．解：（I ）)0()1()('>-=x xx a x f （2分） 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞<x f a 当a=1时，)(x f 不是单调函数 （5分）（II ）32ln 2)(,22343)4('-+-=-==-=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x mx x g （6分）2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间（8分）（10分） （12分） 3．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f ),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f 由33210)(+-==⇒='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，所以，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；（依题意得：9)32()32(2762+-=++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα在区间[-2，2]有： 230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f ,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是 函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值及最小值的差等于81， 所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分） ∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分） （II ）xa x a x xa x x g )22)(22(22)(-+=-='，由0)(='x g ，得，列表x22a )(x g '-+ )(x g单调递减 极小值单调递增当时，函数)(x g y =取极小值，无极大值． 由（I ）a e a >，∵，∴，∴01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分） （i ）当，即20≤<a 时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点 （ii ）当，即2>a 时若，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点若，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =； 若，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点； 综上所述，)(x g y =在(1,)a e 上，我们有结论： 当02a e <<时，函数()f x 无零点； 当2a e = 时，函数()f x 有一个零点； 当2a e >时，函数()f x 有两个零点．5．解：（I ）当1k =时，)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<，∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f =（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象及函数(1)1y k x =--图象有公共点，∴函数()f x 有零点，不合要求； ②当0k >时，1()11()111kk x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）令，∵1(1,),()0x f x k '∈++∞<时，∴内是增函数，上是减函数， ∴()f x 的最大值是，∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞ 6． 解：（I ）由2()(23)x f x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分） ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '= ∴2(5)0a e +=，解得5a =-（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在的最小值； ……………（8分），3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在的最大值是3)3(e f =．7．解：（Ⅰ）x x x x f ln 164)(2--=，xx x x x x f )4)(2(21642)('-+=--= 2分由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-<x注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞） 由0)('<x f 得0)4)(2(<-+x x ，解得-2＜x ＜4，注意到0>x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0( 6分 （Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2-+-= 所以xax x x a x x f -+-=-+-=242242)('2， 设a x x x g -+-=242)(2当0<a 时，有△=16+4×208)2(<=-a a ，此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2e e 上单调递增， 所以a e e e f x f -+-==24)()(2min 8分 当0>a 时，△=08)2(2416>=-⨯-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得或； 令0)('<x f ，即02422<-+-a x x ， 解得. ①若≥2e ，即a ≥22)1(2-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.②若，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间，)(x f 在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以min )(x f )221ln()2(322aa a a +-+--=.③若≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2e e 单调递增，所以a e e e f x f -+-==24)()(2min综上所述，当a ≥222)1(-e 时，a e a x f 244)(24min -+-=； 当222)1(2)1(2-<<-e a e 时，)221ln()2(322)(min aa a a x f +-+--=；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min14分8．解：（I ）226()26a x x af x x x x-+'=-+=，∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0，即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分） ∵226y x x a =-+是对称轴是32x =，开口向上的抛物线，∴222620y a =⋅-⋅+<的实数a 的取值范围(,4)-∞ （II ）由（I ），方法1：2222()()62(0)a g x f x x x x x x'=-+=+->， ∵4a <，∴323233444244()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分） 设，3448124(23)()x h x x x x -'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在增函数，当32x =时，()h x 取最小值3827∴从而()g x '3827>，∴，函数是增函数，12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838()()2727g x x g x x ->-∴212138()()()27g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴∴3827>，即121238|()()|||27g x g x x x ->- ………………（12分）方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，121222121212()()2()2g x g x x x ax x x x x x -+=+--，12x x +>4a <12221212122()22x x a ax x x x x x +∴+-> ………（8分）设，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-， 由()0u t '>，得由()0u t '<得()u t ∴在上是减函数，在上是增函数，)(t u ∴在32=t 处取极小值2738，，∴所以3827>即121238|()()|||27g x g x x x ->- 9． （1）)(x f 的定义域为),0(+∞，xa x x x a ax x x a a x x f )1)(1(11)('2-+-=-+-=-+-= （i ）若2,11==-a a 即，则 故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即单调增加． （II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212x x a ax x +-+-= 由 .)11(1)1(121)1()('2---=---⋅≥-+--=a a xa x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞><x g x g a a ，从而当021>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即 故，当210x x <<时，有1)()()()(12122121->--=--x x x f x f x x x f x f10．解：（I ）(),()1a f x x g x a x''=+=+，∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，∴当[1,3]x ∈时，2(1)()()()0a x a f x g x x++''⋅=≥恒成立， 即2(1)()0a x a ++≥恒成立，∴在[1,3]x ∈时恒成立，或在[1,3]x ∈时恒成立，∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- （II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =+-+，()(1)()(1)a x a x F x x a xx--'=+-+=∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数 ∴当1x =时，()F x 取极大值，当x a =时，()F x 取极小值21()ln 2m F a a a a a ==--，∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=-设211()ln 22G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''>∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>= ∴211()ln 22G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数∴()()G a G e ≤，即2211(1)()1222e G a e e -≤--=-， 而22211(1)(31)1112222e e e ----=-<-=，∴()1G a M m =-< ∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．11．解：（I ）11()0exf x e x x-'=-==，得当x 变化时，()f x '及()f x 变化情况如下表：∴当1x e=时，()f x 取得极大值，没有极小值；（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴ 即，设2211()ln()x g x x x x x =-- 211211()ln()x g x x x x x =--，，1()g x 是1x 的增函数， ∵12x x <，∴2122222()()ln ()0xg x g x x x x x <=--=；222211()ln ()xg x x x x x =--，，2()g x 是2x 的增函数，∵12x x <，∴1211111()()ln ()0xg x g x x x x x >=--=，∴函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ，又∵，函数2211()ln ()xg x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，∴函数在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立 （方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-， 即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-， 再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 ∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分） 注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> 得函数()f x 的定义域是(1,3)-， （II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线， 又由题设,23)(,0)1(log 2232b ax x x g bx ax x ++='>+++ ∴存在实数b 使得 有解， 由①得,238020ax x b ---=代入③得082020<---ax x ， 有解， ……………………（8分） 方法1：，因为041x -<<-，所以，当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线………………（10分）方法2：得08)1()1(208)4()4(222>+-⨯+-⨯>+-⨯+-⨯a a 或， 1010,10.a a a ∴<<∴<或 方法3：是222(4)(4)802(1)(1)80a a ⎧⨯-+⨯-+≤⎪⎨⨯-+⨯-+≤⎪⎩的补集，即10a <（III ）令2)1ln(1)(,1,)1ln()(xx x xx h x x x x h +-+='≥+=由 又令,0),1ln(1)(>+-+=x x xxx p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+='∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有 ),1[)(+∞∴在x h 单调递减，x y y x y x x y yy x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时， ).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当①②③。

第四章一元函数的导数及其应用4.1导数的概念及运算考点导数的概念和运算1.(2023全国甲文，8）曲线e 1=+xy x 在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为（）A.e4y x =B.e 2y x =C.e e 44y x =+ D.e 3e24y x =+【答案】C【解析】设曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为()e 12y k x -=-，因为e 1xy x =+，所以()()()22e 1e e 11x x xx x y x x +-'==++，所以1e|4x ky ='==，所以()e e 124y x -=-，所以曲线e 1xy x =+在点e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线方程为e e 44y x =+，故选：C2.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)=−lns 0<<1,lns >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)答案A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2),l 1:y-y 1=-11(x-x 1),①l 2:y-y 2=12(x-x 2),②①-②得x P =1−2+211+12,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1),∵l 1⊥l 2,∴-11·12=-1,∴x 1x 2=1,∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2=12·(1−2+2)21+212=12·(−ln 1−ln 2+2)21+2=12·[−ln(12)+2]21+2=12·41+2=21+2,又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1,∴x 1+x 2>212=2,∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围.评析本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.3.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案D y'=a-1r1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D.4.(2021新高考Ⅰ,7,5分)若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线,则()A.e b <aB.e a <bC.0<a <e bD.0<b <e a答案D 解法一:当x →-∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于0,当x →+∞时,曲线y =e x 的切线的斜率k >0且k 趋向于+∞,结合图象可知,两切线的交点应该在x 轴上方,且在曲线y =e x 的下方,∴0<b <e a ,故选D .解法二:易知曲线y =e x 在点P (t ,e t )处的切线方程为y -e t =e t (x -t ),∵切线过点(a ,b ),∴b -e t =e t (a -t ),整理得e t (t -a -1)+b =0.令f (t )=e t (t -a -1)+b ,则f '(t )=e t (t -a ),当t <a 时,f '(t )<0,当t >a 时,f '(t )>0,∴f (t )在(-∞,a )上单调递减,在(a ,+∞)上单调递增,∴当t =a 时,f (t )取得最小值f (a )=-e a +b.由已知得,f (t )的零点的个数即为过点(a ,b )的切线条数,∴f(t)有且仅有2个零点.∴f(a)=-e a+b<0,即b<e a.①若b≤0,则当t<a时,t-a-1<0,e t(t-a-1)<0,则f(t)<0,∴f(t)在(-∞,a)上无零点,而f(t)在[a,+∞)上至多有一个零点,不合题意.②若0<b<e a,由以上讨论可知,f(t)在(-∞,a)上为减函数,在(a,+∞)上为增函数,∴f(t)min=f(a)=-e a+b<0,且limm−∞f(t)=b>0,f(a+1)=b>0,由零点存在性定理可知f(t)在(-∞,a)和[a,+∞)上各有一个零点,结合f(t)的单调性知f(t)有且只有两个零点.综上,0<b<e a.故选D.5.(2021全国甲理,13,5分)曲线y=2K1r2在点(-1,-3)处的切线方程为.答案y=5x+2解题指导:利用导数的几何意义求切线的斜率,利用点斜式得切线方程.解析y=2(r2)−5r2=2−5r2,所以y'=5(r2)2,所以k=y'|x=-1=5,从而切线方程为y+3=5(x+1),即y=5x+2.易错警示:①对分式型函数求导要注意公式的使用,先对分式进行化简可降低出错率.②要注意“在点处”和“过某点”的区别.6.(2022新高考Ⅱ,14,5分)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案y=1e x;y=-1e x(不分先后)解析由题意可知,函数的定义域为{x|x≠0}.易证函数y=ln|x|为偶函数,当x>0时,y=ln x,设切点坐标为(x0, ln x0),∵y'=1,∴切线斜率k=y'|J0=10,故切线方程为y-ln x0=10(x-x0),又知切线过原点(0,0),∴-ln x0=-1,∴x0=e,故切线方程为y-1=1e(x-e),即y=1e x.由偶函数图象的对称性可知另一条切线方程为y=-1e x,故过坐标原点的两条切线方程为y=1e x和y=-1e x.7.(2022新高考Ⅰ,15,5分)若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是.答案(-∞,-4)∪(0,+∞)解析设f(x)=(x+a)e x,则f'(x)=(x+a+1)e x,设切点为(x0,(x0+a)e0),因此切线方程为y-(x0+a)e0=(x0+a+1)e0(x-x0),又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)e0=(x0+a+1)·e0(-x0),整理得02+ax0-a=0,又切线有两条,∴关于x0的方程02+ax0-a=0有两不等实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.8.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-2在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.方法总结求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:①求导函数;②把该点横坐标代入,求出该点处导数值,即为切线的斜率;③用点斜式写出切线方程.9.(2018课标Ⅱ理,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.答案y=2x解析本题主要考查导数的几何意义.因为y'=2r1,所以y'|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.10.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.答案2x-y-2=0解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y'=2.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.11.(2018课标Ⅲ理,14,5分)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.答案-3解析本题考查导数的综合应用.设f(x)=(ax+1)e x,则f'(x)=(ax+a+1)e x,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f'(0)=a+1=-2,解得a=-3.12.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x2+1在点(1,2)处的切线方程为.答案x-y+1=0解析本题考查导数的几何意义.∵y=x2+1,∴y'=2x-12,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.13.(2017天津文,10,5分)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.答案1解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f'(x)=a-1,所以f'(1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.易错警示不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l的斜率.14.(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln2解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y'=1,由y=ln(x+1)得y'=1r1,∴k=11=12+1,∴x1=1,x2=1-1,∴y1=-ln k+2,y2=-ln k.即−ln+2−1,−ln,∵A、B在直线y=kx+b上,∴2−ln=1+b,−ln=b1+b⇒=1−ln2, =2.评析解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.15.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.答案1解析由题意可得f'(x)=3ax2+1,∴f'(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.16.(2015课标Ⅱ文,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.答案8解析令f(x)=x+ln x,求导得f'(x)=1+1,f'(1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.设直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1的切点为P(x0,y0),则y'|J0=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,∴a=0或x0=-12,又a02+(a+2)x0+1=2x0-1,即a02+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,∴x0=-12,此时a=8.评析本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.17.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x0,y0)(x0>0),∵函数y=1的导函数为y'=-12,∴曲线y=1(x>0)在点P处的切线的斜率k2=-102,则有k1k2=-1,即1·−解得02=1,又x0>0,∴x0=1.又∵点P在曲线y=1(x>0)上,∴y0=1,故点P的坐标为(1,1).18.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.答案y=4x-3解析y'=3ln x+1+x·3=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.评析本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.19.(2020新高考Ⅰ,21,12分)已知函数f(x)=a e x-1-ln x+ln a.(1)当a=e时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;(2)若f(x)≥1,求a的取值范围.解析f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-1-1.(1)当a=e时,f(x)=e x-ln x+1,f'(1)=e-1,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e+1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2.直线y=(e-1)x+2在x轴,y轴上的截距分别为−2e−1,2.因此所求三角形的面积为2e−1.(2)当0<a<1时,f(1)=a+ln a<1.当a=1时,f(x)=e x-1-ln x,f'(x)=e x-1-1.当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以当x=1时,f(x)取得最小值,最小值为f(1)=1,从而f(x)≥1.当a>1时,f(x)=a e x-1-ln x+ln a≥e x-1-ln x≥1.综上,a的取值范围是[1,+∞).名师点评:本题第(2)问中,由不等式成立求参数的取值范围,常规解法是分离参数转化为求函数的最值问题,而本题中参数分布范围较广,无法分离,所以要对参数进行分类讨论,怎样分类是本题的一个难点,特别是当a>1时,证明f(x)≥1需要用到a=1时的结论,思路很窄,技巧性较强.20.(2022全国甲文,20,12分)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若x1=-1,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①.因为曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线也是曲线y=g(x)的切线,所以=(312−1)−213,=2+有且仅有一组解,即方程x2-(312-1)x+213+a=0有两个相等的实数根,从而Δ=(312-1)2-4(213+a)=0⇔4a=914−813−612+1.(1)若x1=-1,则4a=12⇔a=3.(2)4a=914−813−612+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+1,则h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-1)(3x+1),令h'(x)>0,得-13<x<0或x>1,令h'(x)<0,得x<-13或0<x<1,所以h(x)在−130和(1,+∞)上单调递增,在−∞,0,1)上单调递减,又h(1)=-4,h−=2027,所以h(x)≥-4,所以a≥-1.解法二:由题意可知f'(x)=3x2-1,f(x1)=13-x1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-(13-x1)=(312-1)(x-x1),即y=(312-1)x-213①,设公切线与曲线y=g(x)的切点为(x2,22+a),又g'(x2)=2x2,则切线可表示为y-(22+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x-22+a②,因为①②表示同一直线方程,所以312−1=22,−213=−22+s则(312-1)2-813=4⇔4=914−813−612+1.下面同解法一.易错警示:不能认为两曲线的公切线切点相同.21.(2022全国乙理,21,12分)已知函数f(x)=ln(1+x)+ax e-x.(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.解析(1)当a=1时,f(x)=ln(1+x)+x e-x,其定义域为(-1,+∞),f'(x)=1r1+(1-x)e-x,又f(0)=0,f'(0)=2,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x.(2)f(x)=ln(1+x)+ax e-x有零点,即方程ln(x+1)=-ax e-x有根,设g(x)=ln(x+1),h(x)=-ax e-x,因为f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,所以g(x)和h(x)的图象在(-1,0),(0,+∞)上各恰有一个交点.易知g'(x)=1r1,h'(x)=-a(1-x)e-x,g(0)=h(0)=0.当x∈(-1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增.①若a=0,显然不满足.②若a>0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,此时g(x)和h(x)在(-1,0)上无交点.③若a<0,则当x∈(-1,1)时,h'(x)>0,h(x)在(-1,1)上单调递增,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,h(x)在(1,+∞)上单调递减.(i)当x→+∞时,h(x)→0,g(x)→+∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(0,+∞)上有一个交点,需g'(0)<h'(0),解得a<-1;(ii)当x=-1时,h(-1)=a e,当x→-1时,g(x)→-∞,且g(0)=h(0)=0,要满足g(x)和h(x)的图象在(-1,0)上有一个交点,也需要g'(0)<h'(0),解得a<-1.综上所述,a的取值范围为(-∞,-1).。