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新教材人教B版高中数学选择性必修第二册课时练习-离散型随机变量的方差

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- 1 - 课时练习(十八) 离散型随机变量的方差 (建议用时：40分钟)

一、选择题 1．设随机变量X的概率分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)，D(X)的值分别是( ) A．0和1 B．p和p2 C．p和1－p D．p和(1－p)p D [由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．] 2．已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2

P 13 13 13

设Y＝2X＋3，则D(Y)＝( )

A.83 B.53 C.23 D.13 A [∵E(X)＝0×13＋1×13＋2×13＝1， ∴D(X)＝(0－1)2×13＋(1－1)2×13＋(2－1)2×13＝23， ∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝83.] 3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝( )

A.158 B.154 C.52 D．5 A [两枚硬币同时出现反面的概率为12×12＝14，故ξ～B10，14， - 2 -

因此D(ξ)＝10×14×1－14＝158.故选A.] 4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝Ckn23k·13n－k，k＝0,1,2，…，n，且E(ξ)＝24，则D(ξ)的值为( ) A．8 B．12

C.29 D．16

A [由题意可知ξ～Bn，23， ∴23n＝E(ξ)＝24，∴n＝36. 又D(ξ)＝n×23×1－23＝29×36＝8.] 5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝23，P(X＝x2)＝13，且x1＜x2，又已知E(X)＝43，D(X)＝29，则x1＋x2的值为( ) A.53 B.73 C．3 D.113 C [∵E(X)＝23x1＋13x2＝43.∴x2＝4－2x1， D(X)＝43－x12×23＋43－x22×13＝29. ∵x1＜x2，∴ x1＝1，x2＝2，∴x1＋x2＝3.] 二、填空题 6．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好． 乙 [因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．] 7．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________. 0．196 [因为随机变量ξ～B(10,0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196.]

8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P(ξ＝0)＝15，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________. - 3 -

25 [设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，

则 15＋a＋b＝1，a＋2b＝1，解得

 a＝35，

b＝15， 所以D(ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.] 三、解答题 9．海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下． X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05

X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． [解] ∵E(X1)＝0，E(X2)＝0，∴E(X1)＝E(X2)． ∵D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05＝0.5； D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)由上可知，A面大钟的质量较好． 10．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数． (1)求X的分布列、期望及方差； (2)求Y的分布列、期望及方差． [解] (1)X的可能取值为0,1,2.

若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝C310C312＝611，同理，有P(X＝ - 4 -

1)＝C12C210C312＝922， P(X＝2)＝C22C110C312＝122. ∴X的分布列为 X 0 1 2

P 611 922 122

∴E(X)＝0×611＋1×922＋2×122＝12，

D(X)＝0－122×611＋1－122×922＋2－122×122＝322＋988＋988＝1544. (2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3. 法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝122， P(Y＝2)＝P(X＝1)＝922， P(Y＝3)＝P(X＝0)＝611， ∴Y的分布列为 Y 1 2 3

P 122 922 611

E(Y)＝1×122＋2×922＋3×611＝52，

D(Y)＝1－522×122＋2－522×922＋3－522×611＝1544. 法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝52， D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝1544.

11．(多选题)已知 0＜a＜14，随机变量ξ的分布列如下． ξ －1 0 1 - 5 -

P 34 14－a a 当 a 增大时，( ) A．E(ξ)增大 B．E(ξ)减小 C．D(ξ)减小 D．D(ξ)增大

AD [0＜a＜14，由随机变量ξ的分布列，得： E(ξ)＝a－34，∴当 a 增大时，E(ξ)增大； D(ξ)＝－1－a＋342×34＋0－a＋342×14－a＋1－a＋342×a＝－a2＋ 52a＋316＝－a－542＋74，

∵012．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p＝( ) A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6. 又因为P(X＝4)＜P(X＝6)， 所以C410p4(1－p)6＜C610p6(1－p)4，所以p＞0.5，所以p＝0.6.故选B.] 13．(一题两空)设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p＝________时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为________． 12 5 [由独立重复试验的方差公式可以得到

D(ξ)＝np(1－p)≤np＋1－p22＝n4，等号在p＝1－p＝12时成立，所以D(ξ)max

＝100×12×12＝25，Dξmax＝25＝5.] 14．变量ξ的分布列如下： - 6 -

ξ －1 0 1 P a b c

其中a＋c＝2b，若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________． 59 [由条件可知2b＝a＋c，

又a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝13，a＋c＝23. 又E(ξ)＝－a＋c＝13，∴a＝16，c＝12， 故ξ的分布列为 ξ －1 0 1

P 16 13 12

∴D(ξ)＝－1－132×16＋0－132×13＋1－132×12＝59.]

15．在对某渔业产品的质量调研中，从甲、乙两地出产的该产品中各随机抽取10件测量该产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图所示的是测量数据的茎叶图．

规定：当产品中的此种元素含量≥15毫克时为优质品． (1)试用上述样本数据估计甲、乙两地该产品的优质品率(优质品件数/总件数)； (2)从乙地抽取的上述10件产品中随机抽取3件，求抽到的3件产品中优质品件数ξ的分布列及方差D(ξ)．

[解] (1)甲地抽取的样本中优质品有7件，优质品率为710.乙地抽取的样本中优质品有8件，优质品率为810＝45. (2)ξ的所有可能值为1,2,3， - 7 -

P(ξ＝1)＝C18·C22C310＝115，P(ξ＝2)＝C28·C12C310＝715，P(ξ＝3)＝C38·C02C310＝715，所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3

P 115 715 715

所以E(ξ)＝1×115＋2×715＋3×715＝125，

所以ξ的方差D(ξ)＝1－1252×115＋2－1252×715＋3－1252×715＝2875.

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人教B版高二数学选修2-3教案：2.3离散型随机变量的方差

人教B版高二数学选修2-3教案：2.3离散型随机变量的方差

一、教学目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

三、教学方法：讨论交流，探析归纳四、内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据的方差的概念：设在一组数据1x ，2x ，…，n x 中，各数据与它们的平均值x得差的平方分别是21)(x x -，22)(x x -，…，2)(x x n -，那么[12nS =21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差五、教学过程： 探析新课：1. 方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+；（2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )4.其它：⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛 （三）、例题探析：例1、随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 例2、有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？例3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.24用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平例4．A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：A 机床B 机床问哪一台机床加工质量较好 （四）、课堂练习：1、设ξ～B (n 、p)且E ξ=12 D ξ=4，求n 、p 2．设随机变量ξ的分布列为求Dξ机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要。

高中数学(人教B版)选择性必修二：概率与统计小结【精品课件】

高中数学(人教B版)选择性必修二：概率与统计小结【精品课件】

解：（1）记“在未来3天里，有连续两天的日销售量
都不低于100个且另一天的日销售量低于50个”的事件
为A，则 P( A) C21 0.62 0.15 0.108.
所以在未来3天里，有连续两天的日销售量都不低于
100个且另一天的日销售量低于50个的概率为0.108.
典型例题
例 （2）用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的
C6 20 5
所以，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为
P( AB) 2
P( B | A)
.
P( A) 5
典型例题
例 某射击运动员进行射击训练时，假设每次击中目标的概率均为0.6，
且每次射击结果互不影响，已知射手射击了5次，求：
（1）其中恰有3次击中目标的概率；
解：设事件A为恰有3次击中目标.
三、正态分布
标准正态分布：
0且 1 的正态分布为标准正态分布.
如果 X
N (0,1) ，那么对于任意 a ，通常记 (a) P( X a ),
也就是说 (a ) 表示 N (0,1) 对应的正态曲线与
内所围的面积.
( a ) 具有性质：(a) (a ) 1.
验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复
试验.
二、离散型随机变量及其分布列
二项分布：一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的
概率为p，记 = 1 − ，且次独立重复试验中出现“成功”
的次数为X，则X的分布列如下表所示：
X
P
0
1
⋯

⋯

Cn0 p 0 q n
Cn1 p1q n1
2.已知某电脑卖家只卖甲、乙两个品牌的电脑，其中甲品牌
人教版高中数学必修第二册9.2.4总体离散程度的估计 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册9.2.4总体离散程度的估计 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册9.2.4总体离散程度的估计同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.有一笔统计资料,共有11个如下数据(不完全以大小排列):2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x,已知这组数据的平均数为6,则这组数据的方差为()A.6B.6C.66D.6.52.在第二次高考模拟统测结束后,某校高三年级一个班级为预估本班学生的高考成绩水平,登记了全班同学的卷面成绩.经查询得知班上所有同学的学业水平考试成绩22分加分均已取得,则加分前后相比,不变的数字特征是()A.平均数B.方差C.中位数D.众数3.样本数据a,3,5,7的平均数是b,且a,b是方程x2-5x+4=0的两根,则这组样本数据的方差是()A.3B.4C.5D.64.若样本数据x1,x2,…,x10的标准差为8,则数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的标准差为()A.8B.15C.16D.325.在教学调查中,甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图L9-2-34所示,假设三个班的平均分都是75分,s1,s2,s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差,则有()图L9-2-34A.s3>s1>s2B.s2>s1>s3C.s1>s2>s3D.s3>s2>s16.某位同学参加歌唱比赛,有8位评委打分.歌唱结束后,各评委打分的平均数为5,方差为3.又加入一个特邀嘉宾的打分为5,此时这9个分数的平均数为x ,方差为s2,则()A.x =5,s2>3B.x =5,s2<3C.x >5,s2<3D.x >5,s2>37.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为x 和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为()A.x ,s2+1002B.x +100,s2+1002C.x ,s2D.x +100,s28.已知样本量为9的四组数据,它们的平均数都是5,条形统计图如图L9-2-35所示,则标准差最大的是()ABCD图L9-2-35二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则这组数据的方差为.10.已知一组数据x1,x2,…,x n的方差为3,若数据ax1+b,ax2+b,…,ax n+b(a,b∈R)的方差为12,则a的值为.11.若40个数据的平方和是56,则这组数据的方差是.12.某高级中学共有学生2000人,其中高一年级有800人,高二、高三年级各有600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为 =3小时,其中高一、高二、高三学生每天的读书时间的平均数分别为 1=2.4小时, 2=3.2小时, 3=3.6小时,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为 12=1, 22=2, 32=3,则全体学生每天的读书时间的方差s2=.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)为了了解某校九年级400名学生的体质情况,随机抽查了20名学生,测试1min仰卧起坐的成绩,测试成绩如下:3035323328363428254028323042373633312624(1)20名学生的平均成绩 是多少?标准差s是多少?(2)成绩位于 -s与 +s之间的学生有多少名?占被抽查学生的百分比是多少?14.(10分)甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩如图L9-2-36所示.(1)分别求出两人成绩的平均数与方差;(2)根据统计图和(1)中算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.图L9-2-3615.(5分)如图L9-2-37是甲、乙两位同学在高三上学期的5次联考中的数学成绩,现在只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图(从左至右依次为第1次至第5次),则从图中可以读出一定正确的信息是()图L9-2-37A.甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数B.甲同学的成绩的方差大于乙同学的成绩的方差C.甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差D.甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数16.(15分)某学校餐厅有大米500袋,其中甲厂的产品有320袋,乙厂的产品有180袋.餐厅监管员为了得到这500袋大米的重量信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:kg),计算得出甲厂样本数据的平均数为100kg,方差为20;乙厂样本数据的平均数是100kg,方差是30.(1)根据以上信息,能够计算出总的样本数据的平均数和方差吗?为什么?(2)如果已知甲、乙两厂的样本量按比例分配,你能计算出总的样本数据的平均数和方差各为多少吗?(3)如果已知甲、乙两厂的样本量都是30,你能计算出总的样本数据的平均数和方差各为多少吗?它们分别作为总体的平均数和方差的估计值合适吗?为什么?参考答案与解析1.A[解析]由 =111×(2+4+4+…+11+x)=6,得x=5,∴s2=111×[(6-2)2+(6-4)2+…+(6-11)2+(6-5)2]=6.故选A.2.B[解析]加分前后相比,平均数、中位数、众数都在原来的基础上加上了22分,而全班的成绩波动性没发生变化,即方差没变.故选B.3.C[解析]方程x2-5x+4=0的两根是1,4.当a=1时,a,3,5,7的平均数是4;当a=4时,a,3,5,7的平均数不是1.∴a=1,b=4,则这组样本数据的方差s2=14×[(1-4)2+(3-4)2+(5-4)2+(7-4)2]=5.4.C[解析]已知样本数据x1,x2,…,x10的标准差s=8,则s2=64,数据2x1-1,2x2-1,…,2x10-1的方差为22s2=22×64,所以其标准差为22×64=2×8=16,故选C.5.D[解析]题中所给图是各班成绩的频率分布图,已知甲、乙、丙三个班的平均分都是75分,在甲班的图中,集中在75分附近的数据最多,在丙班的图中数据从50分到100分均匀分布,所有数据不集中在任何一个数据附近,乙班的图介于两者之间.由标准差的意义可得s3>s2>s1.6.B[解析]由题知x =110×(5+9×5)=5,s2=110×(0+9×3)=2.7<3.故选B.7.D[解析]平均数为 ×10+100×1010= +100;方差为110{[( +100)-(x1+100)]2+[( +100)-(x2+100)]2+…+[( +100)-(x10+100)]2}=110[( -x1)2+( -x2)2+…+( -x10)2]=s2,故选D.8.D[解析]选项A中,样本数据都为5,数据没有波动幅度;选项B中,样本数据为4,4,4,5,5,5,6,6,6;选项C中,样本数据为3,3,4,4,5,6,6,7,7;选项D中,样本数据为2,2,2,2,5,8,8,8,8.∴D中数据波动幅度最大,故其标准差最大,故选D.9.53[解析]由题意,这组数据的平均数为6+7+8+8+9+106=8,所以这组数据的方差为16×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=53.10.±2[解析]由题意知3a2=12,解得a=±2.11.910[解析]这组数据的方差s2=140( 12+ 22+…+ 402)- 2=5640-=910.12.2.164[解析]由已知得s2=8002000×[1+(2.4-3)2]+6002000×[2+(3.2-3)2]+6002000×[3+(3.6-3)2]=2.164.13.解:(1)20名学生的平均成绩 =120×(30+35+32+33+28+36+34+28+25+40+28+32+30+42+37+36+33+31+26+24)=32.方差s2=120×(4+9+0+1+16+16+4+16+49+64+16+0+4+100+25+16+1+1+36+64)=22.1,标准差s=22.1≈4.7.(2) -s≈32-4.7=27.3, +s≈32+4.7=36.7,所以成绩位于 -s与 +s之间的有14名学生,占被抽查学生的百分比是1420=70%.14.解:(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩如下:甲:10分,13分,12分,14分,16分;乙:13分,14分,12分,12分,14分.甲=10+13+12+14+165=13(分), 乙=13+14+12+12+145=13(分),甲2=15×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,乙2=15×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.(2)由甲2> 乙2可知乙的成绩较稳定.从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.15.D[解析]甲同学的成绩的平均数x <105+120+120+130+1405=123(分),乙同学的成绩的平均数y >105+115+125+135+1455=125(分),所以A错误;甲同学的成绩从第1次到第5次的波动比乙同学的成绩的波动更小一些,所以甲同学的成绩的方差小于乙同学的成绩的方差,所以B错误;甲同学的成绩的极差在(30,40)内,乙同学的成绩的极差在(35,45)内,所以甲同学的成绩的极差不一定小于乙同学的成绩的极差,所以C错误;甲同学的成绩的中位数在(115,120)内,乙同学的成绩的中位数在(125,130)内,所以D正确.故选D.16.解:(1)根据题设条件可以得到甲、乙两厂样本数据的平均数都是100kg,可以得到总的样本数据的平均数是100kg.不能得出总的样本数据的方差,因为不知道甲、乙两厂的产品各抽取了多少袋.(2)能.总的样本数据的平均数 =100kg,总的样本数据的方差s2=1500×(320×20+180×30)=23.6.(3)甲、乙两厂样本数据的平均数都是100kg,总的样本数据的平均数也为100kg.总的样本数据的方差s'2=160×(20×30+30×30)=25.用100kg作为总体的平均数合适,但用25作为总体的方差就不合适了.。

人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版

人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版

2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。