高二数学,人教A版选修1-1, 3.3.3,函数的最大(小)值,与导数 课件

人民教育出版社 高二 | 选修1-1
知识归纳 1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？ ①求定义域
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
②求 f '( x )
③令f '( x ) 0解不等式 f ( x )的递增区间
分析：
f ( x )在此区间递减
当2 x 3时，f '( x ) 0;
当x 3或x 2时，f '( x ) 0; f ( x)在此区间递增 当x 3或x 2时，f '( x ) 0. f ( x )图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x ) 图象的大致形状。
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例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入 下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的 水的高度h与时间t的函数关系图象.
h
（1）
h
（2）
h
（3）
h
（4）
O
(A)
t
O
(B)
t
O
(C)
t
O
(D)
t
（1）→（B），（2）→（A），（3）→（D），（4）→（C）
o
x
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函数及图象
y
o y
y f ( x)
单调性
切线斜率 导数的正负 k 的正负
f ( x) x2
在(,0)上递减
在(0, )上递增
x
k<0 k>0

3.3.3 函数的最大(小)值与导数 课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I 内存在x 0，使得对任意的x ∈I ，总有______________，则称f (x 0)为函数在______________的最大值．2．一般地，如果在区间[a ，b ]上的函数y ＝f (x )的图象是一条______________的曲线，那么f (x )必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是____________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f (x )在[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f (x )在(a ，b )内的________；(2)将f (x )的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是( )A ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极大值一定是[a ，b ]上的最大值B ．若f (x )在[a ，b ]上有极小值，则极小值一定是[a ，b ]上的最小值C ．若f (x )在[a ，b ]上有极大值，则极小值一定是x ＝a 和x ＝b 时取得D ．若f (x )在[a ，b ]上连续，则f (x )在[a ，b ]上存在最大值和最小值2．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1,5]上的最大值和最小值是( )A ．f (1)，f (3)B ．f (3)，f (5)C ．f (1)，f (5)D ．f (5)，f (2)3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值是( ) A ．当x ＝1时，y ＝1e B ．当x ＝2时，y ＝2e 2 C ．当x ＝0时，y ＝0 D ．当x ＝12，y ＝12e 4．函数y ＝x ＋1－x 在(0,1)上的最大值为( )A. 2 B ．1 C ．0 D ．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( )A ．1B ．4C ．－1D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( ) A ．－32 B.12 C ．－12 D ．－12或－32题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为__________________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．10．求下列各函数的最值．(1)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]； (2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11．已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．若f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1,2]的最大值为3，最小值是－29，求a 、b 的值．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．3．3.3 函数的最大(小)值与导数答案知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近3．(1)极值 (2)端点处的函数值f (a )，f (b ) 最大 最小1．D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．]2．D [f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2.∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6.∴最大值为f (5)，最小值为f (2)．]3．A [y ′＝e x －x ·e x (e x )2＝1－x e x ，令y ′＝0得x ＝1. ∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2， ∴最大值为1e(x ＝1时取得)．] 4．A [y ′＝12x －121－x.由y ′＝0，得x ＝12. 又0<x <12时，y ′>0，12<x <1时，y ′<0， 所以y max ＝ 12＋ 1－12＝ 2.] 5．B [∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是增函数，在(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎡⎦⎤12，12e π2解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e x cos x ≥0， ∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2.即12≤f (x )≤12e π2. 9．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a .∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20.10．解 (1)f ′(x )＝12＋cos x . 令f ′(x )＝0，又∵0≤x ≤2π，∴x ＝2π3或x ＝4π3.∴f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，又∵f (0)＝0，f (2π)＝π.∴当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0，当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0，∴f (x )在[－1,1]上为增函数．故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12；x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2.11．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立，知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1. 因为f (－13)＝8627， f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5.所以f (x )的最大值为5，故m 的取值范围为(5，＋∞)．12．解 (1)f ′(x )＝x e x ＋12x 2e x ＝e x 2x (x ＋2)． 由e x2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间，由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)；单调减区间为(－2,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，∵f (－2)＝2e2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0， ∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0.故m 的取值范围为(－∞，0)．13．解 ∵f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，∴f ′(x )＝3ax 2－12ax .令f ′(x )＝0，解得x ＝0或4.∵4∉ [－1,2]，故舍去，∴f (x )取最大值，最小值的点在x ＝－1、0、2上取得，f (－1)＝－7a ＋b ，f (0)＝b ，f (2)＝－16a ＋b .当a >0时，最大值为b ＝3，最小值为－16a ＋b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3， 当a <0时，最大值为－16a ＋b ＝3，b ＝－29，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2b ＝－29， 综上所述：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝－29.小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？ 自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

1．求函数的最值时，应注意以下几点． (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局 部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体 范围内讨论问题，是一个整体性的概念． (2)闭区间[a，b]上的连续函数一定有最值，开区间(a， b)内的可导函数不一定有最值，但若有唯一的极值，则此 极值必是函数的最值．
第三章 导数及其应用
[知识提炼·梳理]
1．函数 f(x)在闭区间[a，b]上的最值 函数 f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不端点处或极值点处取得．
类型 1 利用导数求最值(自主研析) [典例 1] 求下列函数的最值： (1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－1，3]； (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． 解：(1)因为 f(x)＝2x3－12x， 所以 f′(x)＝6x2－12＝6(x＋ 2)(x－ 2)，

解答
命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知函数f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的单调区间；
解答
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增. 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k， 当0<k－1<1，即1<k<2时，
(或者没有).
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得. f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取 得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得.
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的 极值 . (2)将函数y＝f(x)的各极值与 端点处 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的 一个是 最大值 ，最小的一个是 最小值 .
知识点三
最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而
言.
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个
思考1 观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值.
答案 极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4).
思考2
结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最
小值？若存在，分别为多少？
答案 存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3).
最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值 点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等式)解决问题.其中注意分 类讨论思想的应用进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小