(完整版)高二数学选修2-2导数12种题型归纳(中等难度),推荐文档

导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

人教版高中数学选修2-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习导数的几何意义【学习目标】1．理解导数的几何意义。

2．理解导数的全面涵义。

3．掌握利用导数求函数图象的切线的斜率。

4．会求过点（或在点处）的切线方程。

【要点梳理】（根据课标要求进行适当的深化与拓展。

）要点一、导数几何意义1. 平均变化率的几何意义——曲线的割线函数()y f x =的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是表示连接函数()y f x =图像上两点割线的斜率。

如图所示，函数()f x 的平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的几何意义是：直线AB 的斜率。

事实上，2121()()A B AB A B y y f x f x yk x x x x x--∆===--∆。

换一种表述：曲线上一点00(,)P x y 及其附近一点00(,)Q x x y y +∆+∆， 经过点P 、Q 作曲线的割线PQ ，xyO()y f x =QP Mβ则有0000()()PQ y y y yk x x x x+∆-∆==+∆-∆。

要点诠释：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。

2.导数的几何意义——曲线的切线如图1，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线.定义：如右图，当点00(,)Q x x y y +∆+∆沿曲线无限接近于点00(,)P x y ， 即0x ∆→时，割线PQ 的极限位置直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

T也就是：当0x ∆→时，割线PQ 斜率的极限，就是切线的斜率。

即：0000()()limlim ()x x f x x f x yk f x x x∆→∆→+∆-∆'===∆∆。

导数题型分类剖析〔中等难度〕一、变化率与导数函数 y f ( x0 ) 在x0到x0+x之间的平均变化率，即 f ' ( x0 ) =lim y= limf (x0x) f ( x0 )，表示x 0x x x 函数 y f (x0 ) 在x0点的斜率。

注意增量的意义。

例 1：假设函数y f ( x) 在区间 (a,b) 内可导，且A ．f' ( x )B．2 f'( x0)例 2：假设f'( x0)3，那么lim f ( xh) f ( xh0hA. 3B．6f ( x0h2 ) f ( x0 )例 3：求lim hh0x0 (a,b) 那么limf ( xh) f (xh)的值为〔〕h0hC．2 f'(x0)D．03h)〕〔C．9D．12二、“隐函数〞的求值将 f ' ( x0 ) 看作一个常数对 f (x0 ) 进行求导，代入x0进行求值。

2例 1： f x x3xf 2 ，那么 f2例 2：函数 f x f cos x sin x ，那么f4的值为.4例 3：函数 f ( x) 在R上满足f ()2f(2x)x2 8x8，那么曲线y f ( x) 在点(1, f (1)) 处的切线方程x为〔〕A. y2x 1B.y xC.y3x2D. y2x3三、导数的物理应用若是物体运动的规律是s=s〔t〕，那么该物体在时辰t 的瞬时速度 v=s′〔t 〕。

若是物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v 〔 t〕，那么该物体在时辰t 的加速度 a=v′〔 t〕。

例 1：一个物体的运动方程为s 1t t 2其中 s 的单位是米，t的单位是秒，求物体在 3 秒末的瞬时速度。

例 2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶此后停车，假设把这一过程中汽车的行驶行程s 看作时间t 的函数，其图像可能是〔〕s s s sO t O t O t O tA．B．C．D．四、根本导数的求导公式① C0; 〔C为常数〕②x n nx n 1;③ (sin x)cos x ;④ (cos x)sin x ;1;⑧l o g a x 1 log a e.⑤ (e x ) e x ;⑥ (a x)a x ln a ;⑦ln xx x例 1：以下求导运算正确的选项是( )A ． x1 11B ． log 2x=1 C ． 3 x3 xlog 3 e D ． x 2 cosx2xsin xx 2x ln 2x例 2：假设f x x f x f x f xf x， fxf x n N ，那么 fx0 sin ,1 0,2 1,n 1n ,2005五、导数的运算法那么常数乘积： (Cu )' Cu ' . 和差： ( u v)' u ' v ' .乘积： (uv ) 'u ' v uv ' .除法： uu' v uv 'vv 2例 1：〔 1〕函数 yx 3 log 2 x 的导数是〔 2〕函数 x n e 2 x 1 的导数是六、复合函数的求导f [ ( x)] f ( )* (x) ，从最外层的函数开始依次求导。

导数题型分类解析（中等难度）一、变化率与导数函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即)('0x f =0lim →∆x xy∆∆=0lim →∆x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。

注意增量的意义。

例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+-- 的值为（ ）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．0 例2：若'0()3f x =-，则000()(3)limh f x h f x h h→+--=（ ）A.3- B ．6- C ．9- D ．12-例3：求0lim →h hx f h x f )()(020-+二、“隐函数”的求值将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。

例1：已知()()232f x x x f '+=，则()='2f例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+⎪⎭⎫⎝⎛'=π，则⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 的值为 .例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2-+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ）A. 12-=x yB. x y =C. 23-=x yD. 32+-=x y三、导数的物理应用如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。

如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。

例1：一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。

高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。

导数的物理意义：瞬时速率。

2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。

割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为y f f (x2 ) f ( x1 ) f ( x1x) f ( x1 ) x x x2x1x注1：其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2 、导函数的概念 : 函数y f (x)在 x x0处的瞬时变化率是lim y lim f ( x0x) f ( x0 ) ，则称函数y f (x) 在点 x 0处可导，并把这个极限叫x 0x x 0x做 y f ( x) 在x0处的导数，记作f'( x0)或y'| x x03.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；5、常见的函数导数和积分公式函数导函数定积分y c————————y x n n N *y a x a0, a 1y e xy log a x a 0,a 1,x 0————————y ln xy sin xy cos x常见的导数和定积分运算公式:若 f x ， g x 均可导（可积），则有：和差的导数运算积的导数运算商的导数运算复合函数的导数微积分基本定理和差的积分运算积分的区间可加性6.用导数求函数单调区间的步骤 :①求函数f(x)的导数 f '( x) ②令 f '( x) >0,解不等式，得 x 的范围就是递增区间 .③令 f '( x) <0,解不等式，得 x 的范围，就是递减区间； [注 ]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数 f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。

(2) 求函数 f(x)的导数f '(x) (3)求方程 f '( x) =0 的根 (4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f / ( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x)在这个根处无极值8.利用导数求函数的最值的步骤 :求 f ( x) 在 a, b 上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求 f ( x) 在 a,b 上的极值；⑵将f (x) 的各极值与 f ( a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

导数计算题型一 利用运算法则求导【例1-1】（2019·海南高三月考）下列求导运算正确的是（） A ．(ln 2)'0= B ．(cos )sin x x '=C ．()xxe e--'=D ．()5615xx --=-'【例1-2】（2019·西藏高二期末）求下列函数的导数. （1）2sin y x x =；（2）n 1l y x x=+；（3）322354y x x x =-+-.【举一反三】1.（2019·陕西高二期末（文））求下列函数的导数：（Ⅰ）22ln cos y x x x =++；（Ⅱ）3e xy x =.2．（2017·全国高二课时练习）求下列函数的导数． (1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6；(2)y ＝3x 2＋x cos x ；(3)y ＝22x ＋33x(4)y ＝lg x －21x ；(5)y题型二 复合函数求导【例2】（2019·江苏启东中学高二期中）求下列函数的导函数（1）y =； （2）2sin y x =.（3）()cos 32y x =-； （4）312x y +=.【举一反三】1．（2019·青海高二月考（理））求下列函数的导数：(1)()*()2+1ny x n N ∈＝，； (2)(ln y x =；(3)11x x e y e +=-； (4)2)2(+5y xsin x ＝．2．求下列函数的导数.(1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝ln x ＋；(3)y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭；(4)y ＝ln(2x －5).题型三 求切线方程【例3】（2019·安徽高二期末）已知函数()3f x x x =-．（1）求曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程； （2）求过点()1,0且与曲线()y f x =相切的直线方程．【举一反三】1．（2019·安徽合肥一中高二期中（文））已知函数3()16f x x x =+- （1）求曲线()y f x =在点(1,14)-处的切线的方程；（2）直线l 为曲线()y f x =的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标. 2．（2019·河北安平中学高二月考）曲线xy sinx e ＝＋在点()0,1处的切线斜率是( )A ．2B ．2-C ．1D ．1-3．（2019·重庆高三（理））已知函数()3123f x x x =-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的倾斜角是（ ）A ．6πB ．4πC ．23πD ．34π4．（2019·黑龙江牡丹江一中高二期中（理））过点(2,6)P -作曲线3()3f x x x =-的切线，则切线方程为（ ）A ．30x y +=或24540x y --=B ．30x y -=或24540x y --=C ．30x y +=或24540x y -+=D ．24540x y --=题型四 利用导数求值【例4】(1)（2019·贵州高三月考（文））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()22ln 22f x x x f x '=-+，则()2f '=（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5(2)（2019·昌吉市第九中学高二月考）设函数f (x )=ax +3x 2，若f ′(1)=3，则a 等于（ ） A ．1 B ．−1 C ．3 D ．−3【举一反三】1．（2019·四川高三（文））设函数()f x 的导函数为()f x '，若()1ln 1x f x e x x=+-，则()1f '=（） A ．3e - B ．2e -C ．1e -D ．e2．（2019·福建省南安市侨光中学高三月考（理））已知2019()ln f x e x x =+g ，则()1f '=（）A ．1B ．20191e +C ．20191e -D ．2019e3．（2019·江西高二期末（理））已知函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，若()()f x h x x=，则()2h '=（ ） A ．12 B ．12-C ．18-D ．58题型五 综合运用【例5】（2019·江苏启东中学高二期中）曲线2x y e x =++在点()0,3处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为___________. 【举一反三】 1．曲线y ＝x －1x ＋1在点(0，－1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) A.18 B.14 C.12 D ．1 2．（2019·湖北高二期末（文））设函数()bf x ax x-=，曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3240x y --=.（1）求()f x 的解析式；（2）证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 课后练习1．（2019·全国高三）已知下列四个命题，其中正确的个数有（） ①'1(2)2x x x -=⋅，②'(sin 2)cos 2x x =，③'(log )ln x a x a a =（0a >，且1a ≠），④'1(ln 2)2=A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．（2019·陕西高二期末）函数2(21)y x =+的导数为（） A ．21y x '=+B ．2(21)y x ='+C ．3(21)y x ='+D ．4(21)y x ='+3．（2019·浙江高二期末）函数2()ln sin 1f x x x x =+++的导函数是（）A ．12cos 1x x x +++ B ．12cos x x x -+ C ．12cos x x x+-D ．12cos x x x++4．（2019·抚顺市第十中学高二期中（理））下列求导运算正确的是（ ） A ．2111x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭B ．21(log )ln 2x x '=C ．3(3)3log e x x'=D ．2(cos )2sin x x x x '=-5．（2019·湖北高二期末（文））下列求导运算正确的是（ ）A ．2()x x '= B ．'=C ．()xxe e --'=D ．2ln 2(log )x x'=6．（2019·昌吉市第九中学高二月考）曲线23y x x =+在点()2,10A 处的切线方程是( ) A ．740x y --= B ．10150x y --= C ．10x y -+=D ．+10x y -=7．（2019·山东高三期中）已知函数()2f x x =的图象在1x =处的切线与函数()e xg x a=的图象相切，则实数a =( )A B ．2C ．2D ．8．（2019·河南高三（理））设曲线(1)ln y a x x =--在点()1,0处的切线方程为33y x =-，则a =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49．（2019·甘肃临夏中学高三（文））函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（ ）.A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=10．（2019·江西高三月考）已知直线y x m =-+ 是曲线23ln y x x =-的一条切线，则m 的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．311．（2019·山东高考模拟（理））函数()2ln f x x x =-+的图像在1x =处的切线方程为（ ） A ．210x y +-=B ．210x y -+=C ．10x y -+=D ．10x y ++=12．（2019·辽宁高二期末（理））已知过点(1,1)P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．313．（2019·河南高三期中）已知函数()f x 的导函数为()f x '，()()222f x x xf '+=，则不等式()0f x <的解集为__________．14（2019·全国高三月考（理））已知函数3()2(1)3f x x f x '=+-，则(2)f '=________.15（2019·河北高三开学考试（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f =______.16．（2019·甘肃高三月考）已知()2123f x x xf ⎛⎫'=+- ⎪⎝⎭，则1()3f '-=_____．17．（2019·贵州高二期末（理））已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()()2ln f x xf e x '=-，则()e f '=_____18．（2019·广东高二期末（理））若()sin 2cos2f x x x =+，则'6f π⎛⎫=⎪⎝⎭____ 19．（2019·湖南高二期末（理））已知函数2()xf x e =，则过原点且与曲线()y f x =相切的直线方程为____________.20．已知函数()()()10ln 212f x f x x +'=-+，则()0=f '________. 21（2019·湖南师大附中高三月考（文））曲线cos y x x =+在点(0,1)处的切线方程为__________．22（2019·河北高三月考）若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是__________．23．（2019·江苏省黄桥中学高三月考（理））函数()2cos f x x =在点(6P π处的切线的倾斜角是_____________.24．（2019·内蒙古高三月考（文））已知曲线()3f x x x =-，则过点()1,0P -，且与曲线相切的直线方程为______.25．（2019·重庆高三（理））已知直线y kx =与曲线ln 2y x =相切，则实数k 的值为_________. 26．（2019·河北高三月考（理））已知曲线3y x x =-在点()00,x y 处的切线平行于直线220x y --=，则0x =______.27．（2019·河南高三月考）已知函数()(0xf x a a =>且1)a ≠，若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线与直线1y x =+垂直，则a 的值为________.28．（2019·天津高考模拟）已知函数()xf x e ax =+的图象在点()()0,0f 处的切线与曲线ln y x =-相切，则a =______．29．（2019·原平市范亭中学高二月考（理））已知曲线2()f x x = 求: （1）曲线在点(1,1)P 处的切线方程 （2）曲线过点()3,5P 的切线方程30．（2019·福建高二期中（理））已知曲线2:2C y x x =-+. （1）求曲线C 在点()1,2处的切线方程，（2）求过点()2,3且与曲线C 相切的直线的方程．31．（2019·贵州高二期中（理））已知曲线32()2f x x x x =-+. (1) 求曲线()y f x =在()2,2处的切线方程； (2) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程.。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结高中数学人教版选修2-2导数及其应用学问点总结数学选修2-2导数及其应用学问点必记1．函数的平均变化率是什么？答：平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自变量的转变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是limf(x0x)f(x0)y，则称limx0xx0x函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均变化率和导数的几何意义是什么？答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式有哪些？函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxex xylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinx dxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？答：若fx，gx均可导（可积），则有：和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特殊地：Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特殊地："2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特殊地：积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用导数求函数单调区间的步骤是什么？答：①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求f(x)在a,b 上的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

高中数学人教版选修2-2导数及其应用知识点总结数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率为f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1其中x是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念:函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是f(x0x)f(x0)y，则称函数yf(x)在点x0处可导，并把这个极限叫limx0xx0xlim做yf(x)在x0处的导数，记作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

5、常见的函数导数和积分公式函数导函数不定积分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxxxedxeyexylogaxa0,a 1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常见的导数和定积分运算公式:若fx，gx均可导（可积），则有和差的导数运算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)积的导数运算特别地Cfx"Cf"x商的导数运算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特别地"2gxgx复合函数的导数yxyuux微积分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的积分运算[f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特别地积分的区间可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k为常数)cbacbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)用导数求函数单调区间的步骤:①求函数f(x)的导数f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范围就是递增区间.③令f"(x)9．求曲边梯形的思想和步骤:分割近似代替求和取极限（“以直代曲”的思想）10.定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质性质11dxbaab性质5若f(x)0,xa,b，则f(x)dx0ab①推广[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)aaaabbbb②推广:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dxaac1ckbc1c2b11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.(l）当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于x轴上方的图形面积；（2）当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于x轴上方图形面积的相反数；（3）当位于x轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于x轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．12．物理中常用的微积分知识（1）位移的导数为速度，速度的导数为加速度。

高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。

导数的物理意义：瞬时速率。

2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。

割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()x f x a =, 则()ln x f x a a '=6. 若()x f x e =,则()xf x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''∙=∙+∙3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''∙-∙'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x gx '''=∙ 三.导数在研究函数中的应用1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

高中数学选修2–2知识点第一章 导数及其应用一．导数概念1.导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆，称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '=000()()limx f x x f x x∆→+∆-∆。

导数的物理意义：瞬时速率。

2．导数的几何意义：通过图像可以看出当点n P 无限趋近于P 时，割线n PP 趋近于稳定的位置直线PT ，我们说直线PT 与曲线相切。

割线n PP 的斜率是00()()n nn f x f x k x x -=-，当点n P 趋近于P 时，函数()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即00()()lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-3．导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数记作y ',即0()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆二.导数的计算1）基本初等函数的导数公式:1．若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2. 若()f x x α=,则1()f x xαα-'=;3. 若()sin f x x =, 则()cos f x x '= 4 . 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;5. 若()xf x a =, 则()ln x f x a a '= 6. 若()x f x e =,则()x f x e '=7. 若()log a f x x =, 则1()ln f x x a'= 8. 若()ln f x x =,则1()f x x'=2）导数的运算法则1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•3. 2()()()()()[]()[()]f x f xg x f x g x g x g x ''•-•'=3）复合函数求导()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数(())()y f g x g x '''=•三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数:(1).函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减.(2).已知函数的单调性求参数的取值范围:“若函数单调递增，则()0f x '≥；若函数单调递减，则()0f x '≤”.注意公式中的等号不能省略，否则漏解. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.求函数()y f x =的极值的方法是:(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x ' ; (3)求方程()f x '=0的根;(4)如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值; 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值;3.函数的最大(小)值与导数函数极大值与最大值之间的关系.求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值.4.生活中的优化问题利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题考点：1、导数在切线方程中的应用. 2.导数在单调性中的应用3、导数在极值、最值中的应用.4、导数在恒成立问题中的应用5.定积分(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限nbi i an i=1f (x)dx=lim f ()x ξ→∞∆∑⎰(2)定积分几何意义：①baf (x)dx (f (x)0)≥⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积.②baf (x)dx (f (x)0)≤⎰表示y=f(x)与x 轴，x=a,x=b 所围成曲边梯形的面积的相反数.(3)定积分的基本性质： ①bbaakf (x)dx=k f (x)dx ⎰⎰②b b b1212aaa[f (x)f (x)]dx=f (x)dx f (x)dx ±±⎰⎰⎰③b c baacf (x)dx=f (x)dx+f (x)dx ⎰⎰⎰(4)求定积分的方法：①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义③微积分基本公式ab f(x)F(b)-F(a),F x f x =⎰’其中（）=()第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

《导数及其应用》经典题型总结一、知识网络结构题型一 求函数的导数及导数的几何意义 考点一 导数的概念，物理意义的应用例1．(1)设函数()f x 在2x =处可导，且(2)1f '=，求0(2)(2)lim2h f h f h h→+--；(2) ()2sin(25)f x x x =+,求()f x '(3)已知()(1)(2)(2008)f x x x x x =+++L ，求(0)f '.考点二 导数的几何意义与物理意义的应用例2: 已知抛物线y=ax 2+bx+c 通过点P(1，1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求实数a 、b 、c 的值 例3：已知曲线y=.34313+x (1)求曲线在（2，4）处的切线方程;(2)求曲线过点（2，4）的切线方程.例4：已知物体运动的位移s 与时间f 关系为s(t)= 221t t -+，则t=1时物体的速度与加速度分别为____________, ___________________题型二 函数单调性的应用考点一 利用导函数的信息判断f(x)的大致形状例1 如果函数y ＝f(x)的图象如图，那么导函数y ＝f(x)的图象可能是( )导 数导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值常见函数的导数 导数的运算法则例1 求函数5224+-=x x y 的单调区间.（不含参函数求单调区间）例2 已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x (a ∈R ，a ≠0)，求f (x )的单调区间．（含参函数求单调区间）练习：求函数xax x f +=)(的单调区间。

例3 若函数f(x)＝x 3－ax 2＋1在(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围．（单调性的逆向应用）练习1：已知函数0],1,0(,2)(3>∈-=a x x ax x f ，若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围。

数学选修2-2导数及其应用知识点必记1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为=∆∆=∆∆xfx y x x f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 注1：其中x ∆是自变量的改变量，可正，可负，可零。

注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。

2、导函数的概念是什么？答：函数在0x x =处的瞬时变化率是，则称函数在点处可导，并把这个极限叫做在处的导数，记作或，即=.3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。

4导数的背景是什么？答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。

答：若()f x ，()g x 均可导（可积），则有：答：①求函数f (x )的导数'()f x②令'()f x >0,解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令'()f x <0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； 注：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。

7.求可导函数f (x )的极值的步骤是什么？答：(1)确定函数的定义域。

(2) 求函数f (x )的导数'()f x(3)求方程'()f x =0的根(4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤是什么？答：求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： ⑴求)(x f 在[]b a ,上的极值；⑵将)(x f 的各极值与(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。