【例11-3

专题十一 立体几何中的内切外接问题知识点一 棱锥外接问题外接问题常见于球的计算，而一部分棱锥的外接球的问题，常转化为棱锥外接棱柱的外接球问题或将三棱锥补为长方体，本节就先来探究特殊三棱锥的内外接问题.(1)三组对棱分别相等的四面体必内接于唯一的长方体，且四面体的棱分别为长方体的面对角线;(2)正四面体P ABC -内接于正方体且正方体的棱长a =;(3)若四面体有三条棱两两互相垂直.则可将其放入某个长方体内，其中三条互相垂直的棱也为长方体的棱; (4)若四面体的四个面均是直角三角形，该四面体为鳖臑，则可将其放入某个长方体内，其中三条互相垂直的棱也为长方体的棱;(5)三组对棱分别相等的四面体的棱长A B BC A C ''''、、必构成锐角三角形，即为外接长方体的三个面对角线构成的三角形;(6)任一四面体均内接于唯一的平行六面体.每条棱均为平行六面体的面对角线，且四面体体积是平行六面体体积的三分之一;(7)连接两组对棱的中点可组成平行四边形EGFH ，且另一组对棱与该面距离相等，此时平行四边形EGFH 平行于四面体内接平行六面体的一对平行平面;(8)过一组对棱(AB 与CD )中点()E F ，连线的任一平面(E G F H 、、、共面)必平分其()A BCD V -体积，即AC BGFH BD BD BZFH V V V --=-;（9）由正方体性质可知(i)1BD ⊥平面11AC D ，1BD ⊥平面1ACB . (ii)F 为平面11A C D 的中心，E 为平面1ACB 的中心. (iii)E ，F 为1BD 的三等分点.则正方体内接正四面体C AB D 11-高为E D 1，即正方体体对角线的23.【例1】(2009·江西卷)如图所示.在四面体ABCD 中.截面PQMN 是正方形.则在下列命题中.错误的为（ ）A.AC BD ⊥B.AC 平行于截面PQMNC.AC BD = D .异面直线PM 与BD 所成的角为45【例2】(重庆市七校联考)(多选)如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ,F 分别是棱1BB ，11B C 的中点，G 是棱1CC 上的动点，则下列说法正确的是（ ） A.当G 为中点时，直线AG ∥面1A EFB.当G 为中点时，直线AG 与EF 所成的角为30C.若H 是棱AA 上的动点，且1C G AH =，则平面ACD ⊥平面1B HGD.当G 在1CC 上运动时，直线AG 与平面11AA D D 所成的角的最大值为45︒知识点二 与球有关的内切、外接问题与球有关的内切、外接问题是立体几何的一个重点(切、接问题的解题思路类似，此处以多面体的外接球为例).研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系.一．长方体切割体的外接球设长方体相邻的三条边棱长分别为a ，b ，c ．图1墙角体 图2鳖臑 图3挖墙角体 图4对角线相等的四面体图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图3无重垂线，俯视图是一矩形，AC 为虚线，主视图和左视图为直角三角形，外接球半径均为长方体体对角线一半，R =．图4中2222222222222222222a b BC AD BC AB CD b c AC a b c R AC BD c a AB ααβγβγ⎧+===⎫⎪++⎪=⇒+==⇒++=⇒=⎬⎨⎪⎪=+==⎭⎩abc abc abc V BCD A 31461=⨯-=-．外接球问题遇到墙角体就十分好处理，遇到以下墙角体性质的问题，就可以直接套用公式. 墙角体性质：(1)2222222()AB BC CA a b c ++=++.图 1【解析】如图1，因为Rt PAB △，Rt PBC △，Rt PCA △，所以222222222AB a b BC b c CA a c ⎧=+⎪=+⎨⎪=+⎩，故2222222()AB BC CA a b c ++=++.(2)顶点P 在底面上的投影H 恰为ABC △的垂心.如图 2【解析】如图2，因为Rt PAB △，Rt PBC △，Rt PCA △，又PA ⊥平面PBC ，所以PA BC ⊥. 因为PH ⊥平面ABC ，所以PH BC ⊥，故平面PAH BC ⊥，从而AH BC ⊥. 同理CH BA ⊥，BH AC ⊥，所以H 为ABC △的垂心.(3)设三个侧面和底面的面积分别为ABP S △，BCP S △，CAP S △，ABC S △，则 ①ABP S △是ABH S △与ABC S △的比例中项; ②BCP S △是CBH S △与ABC S △的比例中项; ③CAP S △是CAH S △与ABC S △的比例中项;④2222ABP BCP CAP ABC S S S S ++=△△△△.【解析】因为12BCP S BC PD =⋅△，12CBH S BC HD =⋅△，12ABC S BC AD =⋅△. 在Rt PDA △中，2PD HD AD =⋅.所以2BCP CBH ABC S S S =⋅△△△，所以BCP S △是CBH S △与ABC S △的比例中项. 同理，ABP S △是ABH S △与ABC S △的比例中项. CAP S △是CAH S △与ABC S △的比例中项.2BCP CBH ABC S S S =⋅△△△，2BCP ABH ABC S S S =⋅△△△，2CAP CAH ABC S S S =⋅△△△.三式相加，得222BCP ABP CAP CBH ABC ABH ABC CAH ABC S S S S S S S S S ++=⋅+⋅+⋅△△△△△△△△△2()CBH ABH CAH ABC ABC S S S S S =++⋅=△△△△△.【例3】在球面上有四个点P 、A 、B 、C .如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===,则这个球的表面积是 ．【例4】(张家口期末)在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑 (bi ē n ào)．如图，三棱锥D ABC -为一个鳖臑，其中DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，2DA AB BC ===，AM DC ⊥，M 为垂足，则（ ）A ．AM ⊥平面BCDB ．DC 为三棱锥D ABC -的外接球的直径C ．三棱锥M ABD -的外接球体积为D ．三棱锥M ABC -的外接球体积与三棱锥M ABD -的外接球体积相等 【例5】(市中区校级模拟)在直角梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD AB ⊥，22AB DC ==，E 为AD 的中点．将EAB △和ECD △分别沿EB ，EC 折起，使得点A ，D 重合于点F ，构成四面体FBCE ．若四面体FBCE 的四个面均为直角三角形，则其外接球的半径为 ． 【例6】(江西模拟)在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，6AB =，8AC =，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O 的表面积为（ ）A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π【例7】四面体BCD A -中，5==CD AB ，34==BD AC ，41==BC AD ，则四面体BCD A -外接球的表面积为（ ） A ．π50B ．π100C ．π150D ．π200【例8】(辽宁期末)粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米、泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一．端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰．粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同．某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄．若粽子的棱长为9cm ，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）（参考数据：6 2.45≈，3.14)π≈A ．320cmB ．322cmC ．326cmD ．330cm【解析】蛋黄近似看成一个棱长为9cm 的正四面体ABCD 的内切球，正四面体为ABCD ，设四面体的内切 【例9】(遵义期末)已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 与ABC ∆的垂心重合，且ABC PBCPBC OBCS S S S =△△△△．若三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ） A ．6 B ．8 C ．10D ．12二． 三棱柱的切割体的外接球⇒图1立着放的模型 图2躺着放的模型图1：立着放的模型一定有重垂线，且重垂线在底面的射影一定位于底面三个顶点中的一个，底面三角形非直角三角形，将重垂线长度设为h ，底面三角形外接圆半径设为r ，A a r sin 2=可以求出，则222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ； 图2：躺着放的模型，底面是直角三角形或者矩形，侧面非直角三角形，底面一条棱垂直于侧面，222⎪⎭⎫⎝⎛+=h r R ．【例10】如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在ABC △中，3=AB ，︒=∠60ACB ，︒=∠90BCD ，AB CD ⊥，22=CD ，则该球的体积为 ．【例11】(莱西市期末)已知球O 是正三棱锥A BCD -(底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)的外接球，3BC =，23AB =，点E 在线段BD 上，且3BD BE =．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ．2πB ．3πC ．4πD ．5π三、切瓜模型(两个平面互相垂直，最大高和最小高问题)图1,PAC BAC AB BC ⊥⊥面面 图2底面ABC 固定，P 在球面上运动，ABC P V -最值问题图1：由图可知，小圆ABC 直径AC 长可以求出，平面PAC 必在大圆上，由APCR sin 2=，解出R ．图2：先根据ABCr sin 2=求出底面圆的直径MN ，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算出P 到底面距离的最大值和最小值．双半径单交线公式：4222212l R R R -+=2122212122D O E O D O OO OD R +=+==2222222222121121()()24l O C CE O D O C BC O D R R =-+=-+=+-注意：常见的切瓜模型中，一旦出现21l R =或22lR =时，则2R R =或1R R =．双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为1R 和2R ，两半平面交线长度为l ，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是︒90时，此公式将不再适用．【例12】(柴桑区校级期末)球O 为三棱锥P ABC -的外接球，ABC △和PBC △都是边长为23的正三角形，平面PBC ⊥平面ABC ，则球的表面积为（ ） A ．28π B ．20π C ．18π D ．16π【解析】【例13】(驻马店期末)已知平面图形PABCD ，ABCD 为矩形，4AB =，PAD 是以P 为顶点的等腰直角三角形，如图所示，将PAD △沿着AD 翻折至△P AD '，当四棱锥P ABCD '-体积的最大值为163，此时四棱锥P ABCD '-外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．32π四、含二面角的外接球终极公式双距离单交线公式：4sin cos 222222l mn n m R +-+=αα如图，若空间四边形ABCD 中，二面角D AB C --的平面角大小为α，ABD 的外接圆圆心为1O ，ABC 的外接圆圆心为2O ，E 为公共弦AB 中点，则α=∠21EO O ，m E O =1，n E O =2，2lAE =，R OA =，由于21O E O O 、、、四点共圆，且αsin 221O O R OE ='=，根据余弦定理αcos 222221mn n m O O -+=，4sin cos 22222222l mn n m AE OE R +-+=+=αα．(当C ∠与D ∠均为钝角时，外接圆圆心在半平面的另一侧，21EO O ∠为二面角的对顶角，公式不变；当C ∠与D ∠为钝角时，21EO O ∠为二面角的补角，只需将公式中的角α转化为απ-，即4-sin -cos 222222l mn n m R +-+=）（）（απαπ) 注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式()2tan 2222αr h r R -+=．【例14】(亳州模拟)已知空间四边形ABCD ，CD BD ⊥，3CD =，3AB BD AD ===，二面角A BD C --是120︒，若A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则该球的表面积是（ ） A ．15π B ．18π C ．21π D ．24π 【例15】(北碚区校级期末)如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，2AD AB ==，45BCD ∠=︒，90BAD ∠=︒，将ABD △沿BD 进行翻折，在这一翻折过程中，下列说法正确的是（ ）A ．始终有AC BD ⊥B ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，平面ABD ⊥平面ACDC ．当平面ABD ⊥平面BCD 时，直线BC 与平面ABD 成45︒角D ．当二面角A BD C --的大小为120︒时，三棱锥A BCD -外接球表面积为563π 【例16】在四面体S ABC -中，AB BC ⊥，AB BC =，SAC △为等边三角形，二面角S AC B --的余弦值为，则四面体S ABC -的外接球表面积为 ．知识点三 内切球1、内切球的基本概念 (1)内切球定义：①球心到多面体各面距离相等且等于半径的球；②与圆柱两底面以及每条母线都相切的球；③与圆锥底面和各母线都相切的球；④与圆台上下两底面以及每条母线都相切的球. (2)正多面体的内切球和外接球球心重合.(3)正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，除正四面体外，均不重合.(4)任意四面体都有内切球，面数超过四的凸多面体需利用定义判断是否存在内切球. 2、多面体和旋转体的内切球 (1)棱锥内切球半径：①等体积法：由球心到各面距离相等，多面体体积可表示为：123123111111333333n n V rS rS rS rS rS rS ++++=++++==表，所以3V r S =表. ②相似法求解正棱锥内切球半径：（以下以正三棱锥为例）如图，由正三棱锥内切球球心O 在高线上，则球与侧面的切点E 在侧面的高线PD 上，与底面的切点H 为高线垂足，易知POE PDH△∽△，故利用OE PODH PD=，可解出内切球半径R .(2)旋转体内切球半径：（可按照轴截面的内切圆半径计算，外接球同理）如图，已知圆锥高为h ，底面半径为r ，利用两个直角三角形ABD △和AOE △相似可得OE BDAE AD=，故rh=，所以rR rh=（）.注：圆柱、圆台同样以轴截面的方式处理.(3)常见几何体内切球、外接球半径：棱长为a的正方体：内切球半径2aR=，外接球半径R=.棱长为a的正四面体：内切球半径R，外接球半径R.柱体侧棱长a，底面外接圆半径r：柱体可能不存在内切球，柱体中最大的球的半径min{}2aR r=，.【例17】(昌江区校级期末)正方体的外接球体积与内切球体积的比为（）A．3B．C D．2【例18】(山东一模)如图，三棱锥V ABC-中，VA⊥底面ABC，90BAC∠=︒，2AB AC AV===，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（）A．(2:1B．3):1C．1):3D．1):2【例19】(南京模拟)如图，正三棱柱111ABC A B C-，底面边长为2，D，E，F，M，N分别为棱AC，AB，BC，11A C，11B C的中点，P为线段MN上的动点，则三棱锥P DEF-内切球半径的最大值为．【例20】(青岛开学)已知圆台的上下底面半径分别为1和2，侧面积为，则该圆台的外接球半径为（）A B C D【例21】(重庆月考)若正三棱柱111ABC A B C -既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的外接球和内切球的半径分别为1R 、2R ，则212()R R =（ ） A ．5 B ．4 C ．92D ．103同步训练1.在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 、AC 、AD 两两垂直，ABC △、ACD △、ADB △、，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为（ ）A B ． C ． D ．2．(凤阳县校级三模)已知正方形123APP P 的边长为4，点B ，C 分别是边12P P ，23P P 的中点，沿AB ，BC ，CA 折叠成一个三棱锥P ABC -（使1P ，2P ，3P 重合于点)P ，则三棱锥P ABC -的外接球的体积为（ ）A ．24πB ．C ．D ．4π3．(瑶海区月考)已知三棱锥P ABC -的顶点P 在底面的射影O 为ABC △的垂心，若2ABC OBC PBC S S S ⋅=△△△，且三棱锥P ABC -的外接球半径为3，则PAB PBC PAC S S S ++△△△的最大值为（ ） A ．8B ．10C ．18D ．224.已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC △满足AB BC =3AC =，若该三棱，则其外接球的半径为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．235．(河南模拟)在四面体ABCD 中，ABD △与BDC △都是边长为2的等边三角形，且平面ABD ⊥平面BDC ，则该四面体外接球的体积为 ．6．(怀化二模)已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD 若平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球表面积为 ．7．(江西月考)已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD ，若二面角A BD C --的大小是120︒，则该几何体的外接球表面积是 ．8．(葫芦岛模拟)已知空间四边形ABCD 中，2AB BD AD ===，1BC =，CD ，若二面角A BD C--的取值范围为2[]43ππ，，则该几何体的外接球表面积的取值范围为 ．9.(全国四模)已知三棱锥D ABC -所有顶点都在球O 的球面上，ABC △为边长为ABD △是以BD 为斜边的直角三角形，且2AD =，二面角C AB D --为120︒，则球O 的表面积为（ ）A ．1483π B ．28π C ．373π D ．36π10.(江门月考)已知三棱锥P ABC -三条侧棱PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PA PB PC ===，M ，N分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则M ，N 两点间距离的最小值为（ ）A ．2B 1C ．2D 2-11.(和平区二模)已知圆锥底面圆的直径为3，该圆锥的内切球也是棱长为a 的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a 为（ ）A B C ．3 D ．9212.(山西月考)P ABC -的外接球和内切球的半径分别为1R 和2R ，则12R R -的值为（ ）A ．4BCD ．1 13．(大武口区校级三模)正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE △，CDF △，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为 ．14．(南开区模拟)如果一个八面体各个面都是全等的正三角形，如图所示，则这个几何体叫正八面体，则棱长为4的正八面体的内切球半径是 ．15．(黄冈期末)若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，当该圆锥体积是球体积两倍时，该圆锥的高为（ ）A ．2B ．4CD ．16．(胶州市期末)在三棱柱111ABC A B C -中，上下底面均为等腰直角三角形，且AB ==1AA ⊥平面ABC ，若该三棱柱存在内切球，则1AA =（ ）A ．2B ．2C ．2D。

模胚大小 3030以下
3030～4045 4045～5055 5055以上 限位螺钉 小拉杆直径mm 尼龙胶塞 （开闭器）直径mm
数量 4个
4个 4个 4个
13
16 20 25
13
16 20 20
1
十三、三板模标准件的设计
注塑模具设计实例教程
拉杆（水口边）的长度Y： Y=A+B+C+X+S+2； A—面板（定模座板）厚度； B—水口板（流道推板）厚度； C—A板（定模板）厚度； X—水口板和A板的打开距离； X=M+(15～20)； X最少不能小于110mm； M—流道凝料总高度； S —面板和水口板的打开距离； S通常取10mm左右
实例三 玩具面壳注塑模具2D设计
复习：顶出系统、排气系统的设计
注塑模具设计实例教程
检查上次布置作业的完成情况
新课：
十三、三板模标准件的设计 本例标准件主要包括流道钩针、小拉杆、开闭器、顶棍孔、支撑柱、限位柱 、弹簧、限位钉等。 ※三板模配件设计参考：见下表及下图 限位螺钉，小拉杆，尼龙胶塞（开闭器）的选定：
十三、三板模标准件的设计
注塑模具设计实例教程
流道推板与定模座板的打开距离一般常取6～10mm，本例取10mm。 ②流道推板与定模板的打开距离 流道推板与定模板的打开距离L=流道总长+（20～30mm）≥120 mm。本例的流道 总长为94mm，故流道推板与定模板的打开距离取120mm。 （4）小拉杆避空孔在动模视图中的添加 ①【燕秀工具箱】→【三板模相关】，在【三板模相关】对话框中选择第二排 的第一个视图，该视图为小拉杆避空孔的动模视图，选择小拉杆的直径为 Φ 16mm，如图3-1-56所示。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

第10讲加乘原理知识梳理加法原理：完成一件工作共有N类方法。

在第一类方法中有m1种不同的方法，在第二类方法中有m2种不同的方法，……，在第N类方法中有m n种不同的方法，那么完成这件工作共有N＝m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法。

运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。

要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。

合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。

乘法原理：完成一件工作共需N个步骤：完成第一个步骤有m1种方法，完成第二个步骤有m2种方法，…，完成第N个步骤有m n种方法，那么，完成这件工作共有m1×m2×…×m n种方法。

典型例题加法原理【例1】★从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

一天中火车有4班，汽车有3班，轮船有2班。

问：一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同走法？【解析】一天中乘坐火车有4种走法，乘坐汽车有3种走法，乘坐轮船有2种走法，所以一天中从甲地到乙地共有：4＋3＋2=9（种）不同走法。

【小试牛刀】有红、黄、蓝小旗各一面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，做出不同的信号，一共可以做出多少种不同的信号？【解析】如一次升一面，则有3种信号；如一次升两面，则有3×2=6种信号；如一次升三面，则有3×2×1=6种信号；一共有：3+6+6=15种。

【例2】★用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。

②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。